高数习题课二重积分

2 D
D
d xd y
1 ( x 2 y 2 ) d xd y 0 2 D 1 3 1 2 d r d r 0 4 2 0
y
D
o
1x
(2) 积分域如图: 添加辅助线 y x, 将D 分为 D1 , D2 , 利用对称性 , 得
I x d xd y x y e
四，消去被积函数绝对值符号 五， 利用重积分换元公式
分块积分法 利用对称性
二、作业讲析
（略）
三、典型例题讲解
例1. 化二重积分 f ( x, y)dxdy 为直角坐标下的二次积分 ，
D
其中积分区域D是： （1）由直线 y x, y 2 及双曲线
xy 1( x 0) 所围成的闭区域；
u v 令 xy u, xy v，则 x u v , y u
3
D D
D Duv , 4 u 8,5 v 15
( x, y) 1 | J || | (u, v) 2v
故
S 1d dxdy
D D
| J | dudv du
D1 , D2 两部分
2
D2
o
D
1 x
2 ( 2 1) 3 2 说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号.
( x y )d xd y 2 d xd y
例6. 求由曲线 xy 4, xy 8, xy3 5, xy3 15 所围成的第一象限部分闭区域的面积。 解： S 1d dxdy
1 x
2
2
或
I dy
1
y
1/ y
f ( x, y)dx
（2）环形闭区域 1 x2 y 2 4 。
y D4
I f ( x, y )dxdy f ( x, y )dxdy
D1 D2
D1
D3
D2
x
f ( x, y )dxdy f ( x, y )dxdy
D1
1
D2
3 2 y y
d y
0
e dx
y
y
y
yx
O
3 (1 y ) e d y
0
1
D1
1
D2
1 y (3 x) 2
3 x
3 ( e 2 )
2 2 2 D
2
(3) e
D
max{ x 2 , y 2 }
dxdy, D {( x, y ) | 0 x 1, 0 y 1}
3.设D是由圆 x 2 y 2 2 x围成的闭区域，计算下列二重积分：
(1) xydxdy
D
(2) ( x y)dxdy
D
证明： 4. 设 f ( x ) 在 [0, a ](a 0) 上连续 ，
5 x A 3 y A
[5 (1) 3 2] A 9
形心坐标 1 x x d xd y A D 1 y y d xd y A D
例8. 设 f ( x) 在 [a, b] 上连续 ， 证明
f ( x) dx (b a)
4 Duv
8
15
5
1 dv 2 ln 3 2v
例7. 计算二重积分 线
D D
其中D 是由曲
所围成的平面域 .
解: I 5 x d xd y 3 y d xd y
积分区域 ( x 1) 2 ( y 2) 2 32
其形心坐标为: x 1 , y 2
面积为:
2 a b b a a
b
b 2 f ( x)dx a
证:左端 f ( x) dx f ( y ) d y
f ( x) f ( y ) dxd y
D
1 [ f 2 ( x) f 2 ( y )] dxd y 2
D
a x b D: a y b 利用
y
y sin x
o
解: 如图所示
D1

D2
2 x
I d x
0

sin x 0
f ( x, y ) d y
2
2

d x
来自百度文库
0 sin x
f ( x, y ) d y

1 0
D1
f ( x, y ) d D f ( x, y ) d
arcsin y
arcsin y
(2) I ( x 2 y 2 2 xy 2) d xd y, 其中D 为圆域
D
x 2 y 2 1 在第一象限部分. 解: (1) 作辅助线 y x 2 把与D 分成
D1 , D2 两部分, 则
I d xd y
D1
1 1 1 x
1 D1 1
y
dy
f ( x, y ) d x
2 arcsin y
dy
1
0
arcsin y
f ( x, y ) d x
例3. 计算积分 1 dx x1 sin y dy
2
3
2
y
解：因为 sin y 的原函数不是初等函数， 故只能交换积分次序。积分区域如右图： 2
2
I dy
2uv u 2 v 2
f 2 ( x) dxd y = D
(b a) f 2 ( x) dx = 右端 a
b
四、练习题
1.设
D {( x, y ) a x a, x y a}, D1 {( x, y ) 0 x a, x y a}, 则 ( x y cos x sin y ) dx d y
课件制作：于红香 全志勇
一、 二、 三、
内容总结 作业讲析 典型例题讲解
四、
练习题
一、
内容总结
定义（留意几何背景及物理背景） 性质（六条性质）
二重积分
直角坐标法
计算方法 极坐标法 一般换元法
重积分计算的基本技巧
一，选择积分次序不仅要考虑区域的形状， 还要考虑被积函数的特点。 二，善用对称性及重心公式来简化二重积分。 三，巧妙选取极坐标系。一般来说，区域为圆形域， 或被积函数含 x 2 y 2 的，考虑选取极坐标系， 可使计算更为简单。
D3 D4
dx
2
1
1
4 x2
2
4 x
f ( x, y)dy 1 dx
f ( x, y )dy 1 dx
1
2
4 x2 4 x
2
f ( x, y )dy
dx
1
1 x 2
2
4 x2 1 x
2
4 x
f ( x, y )dy
例2。交换下列二次积分的顺序:
2 D
D1
x2 y2
d xd y

1 1
D2
xyex
x
2
y
2
y yx o D2 1 x D1 1 y x
dxd y
x d x d y 0 0
2 1
2 3
例5. 计算二重积分
(1) I sgn( y x 2 )d xd y, D : 1 x 1， y 1 0 D
在
1 5 2.（1） ；（2） ；（3）e 1; 2 4
3.（1）0 ；（2）

4. 略
备选题 交换积分顺序计算
I dx e d y dx e d y
y y 0 0 1 0
1
x
3
3 x 2
解. 积分域如图.
I e y d x d y e y d x d y
D2
d xd y
x2 0
o D2
1 x
d x 2 d y d x
1 1
2 dy 3
(2) 提示:
I ( x y 2 xy 2) d xd y
2 2 D
( x y 2 ) d xd y
D
y 1
D1 D2
yx
作辅助线 y x 将D 分成
0
2
1 y
1
sin y 2dx
2
y sin y dy
0
2
1
3
x
1 (1 cos 4) 2
例4. 计算二重积分 I ( x x ye
2 D
x2 y2
) d xd y , 其中:
(1) D为圆域
(2) D由直线
解: (1) 利用对称性.
围成 .
x2 y2
I x d x d y x ye
D D1
( A) 2 cos x sin y d x d y
D1
( B) 2
D1
x y dx d y
(C ) 4 ( x y cos x sin y ) d x d y (D) 0
2.计算下列二重积分：

6 y
(1) dy
6 0
cos x dx x
(2) ( x y )dxdyD : 2 x x y 4 x
（2）环形闭区域 1 x2 y 2 4 。
（1）由直线 y x, y 2 及双曲线 解：如右图，
xy 1( x 0) 所围成的闭区域；
y p3 p2
三线交点为p1(1,1), p2(2,2), p3(1/2,2)，
0
p1 x
I dx
1/ 2
2
1
2
1/ x
f ( x, y)dy dx f ( x, y)dy
2 f ( x)dx f ( y )d y [ f ( x) dx]2 .
0 x 0
a
a
a
y a D2 D1 1.选A. 提示: 如图, D D1 D2 D3 D4 DD 3 a D4 O a x 由对称性知
在 上是关于 y 的奇函数 上是关于 x 的偶函数
练习题答案