高等数学 二重积分概念PPT课件

6. 设
D 的面积为 ,
则有
m D f (x, y) d M
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7.(二重积分的中值定理)
连续, 为D 的面积 , 则至少存在一点
在闭区域D上 使
D f (x, y)d f ( , )
证: 由性质6 可知,
min D
f
(x,
y)

1
但不好估计 .
π 3 2 π (4 3) π (1 3 2) 0
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8. 设函数
在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称,
D 位于 x 轴上方的部分为D1 , 在 D 上
y
(1) f (x , y) f (x, y), 则
D f (x, y) d 2D1 f (x, y) d
在每个 中任取一点
则
Vk f (k , k ) k (k 1, 2, , n)
3)“近似和”
n
f (k , k ) k
k 1 4
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4)“取极限”
( k ) max P1P2 P1,P2 k
令 max ( k ) 1k n
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内容小结
1. 二重积分的定义
n
D
f (x, y) d
lim
0 i1
f (i ,i ) i
(d dxdy)
2. 二重积分的性质 (与定积分性质相似)
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思考与练习
1. 比较下列积分值的大小关系:
I2 xy d x d y
解法: 类似定积分解决问题的思想:
“大化小, 常代变, 近似和, 求 极限”
3
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1)“大化小”
用任意曲线网分D为 n 个区域
1, 2, , n
以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 f (k , k )
小曲顶柱体
D
2)“常代变”
( k ,k ) k

D
f
(x,
y)d

max
D
f
(x,
y)
由连续函数介值定理, 至少有一点
使
f
( ,
)

1

D
f
(x,
y) d
因此
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例1. 比较下列积分的大小:
y
D (x y)2 d , D (x y)3 d
其中 D : (x 2)2 ( y 1)2 2
为D 的面积, 则
D1 d D d
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5. 若在D上 f (x, y) (x, y) , 则
D f (x, y) d D (x, y) d
特别, 由于 f (x, y) f (x, y) f (x, y)
D f (x, y)d D f (x, y) d
D f (x, y) dxdy.
O
x
引例中曲顶柱体体积:
V D f (x, y) d D f (x, y) d x d y
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三、二重积分的性质
1. D k f (x, y)d k D f (x, y) d ( k 为常数)
3. D f (x, y)d D1 f (x, y)d D2 f (x, y)d
第九章 重积分
一元函数积分学
重积分 多元函数积分学 曲线积分
曲面积分
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第一节 二重积分的概念与性质
一、引例 二、二重积分的定义与可积性 三、二重积分的性质
2
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一、引例
曲顶柱体的体积
给定曲顶柱体:
底： xOy 面上的闭区域 D
D
顶: 连续曲面
侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 求其体积.
例2. 估计下列积分之值
I

D
dxd y 100 cos2 x cos2
y
D : x y 10
y
解: D 的面积为 (10 2)2 200
10
由于ห้องสมุดไป่ตู้
D
1 102

100

1 cos2 x

cos 2
y

1 100
10
O 10 x
10
积分性质5
200 I 200 102 100
记作
则称 f (x, y) 可积 , 称 I 为 f (x, y)在D上的二重积分.
积分和
积分表达式
x , y 称为积分变量
积分域
被积函数
面积元素
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如果 f (x, y) 在D上可积, 可用平行坐标轴的直线来划
分区域 D , 这时
因此面积 y
元素d也常记作 dxdy, 二重积分记作
D1
OD x
(2) f (x , y) f (x, y), 则 D f (x, y) d 0
当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍
有类似结果.
在第一象限部分, 则有
4 (x2 y2 ) d x d y D1
D (x y) d x d y 0
x y 1 11
I3 xy d xd y
y
1 1
n
V

lim
0 k 1
f
(k , k ) k
f (k , k )
( k ,k ) k
5
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二、二重积分的定义及可积性
定义: 设 f (x, y)是定义在有界区域 D上的有界函数 ,
将区域 D 任意分成 n 个小区域
任取一点
若存在一个常数 I , 使
即: 1.96 I 2
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例3. 判断积分
解: 分积分域为 D1, D2 , D3, 则
原式 = 3 1 x2 y2 d x d y D1 D2 3 x2 y2 1d x d y
的正负号. y
D3 D2
O 1 32x
D1
猜想结果为负
D1 d x d y
1
D
解: 积分域 D 的边界为圆周
O 1 2 3x x y 1
它在与 x 轴的交点 (1,0) 处与直线
而域 D 位于直线的上方, 故在 D 上 x y 1, 从而 (x y)2 (x y)3
D (x y)2 d D (x y)3 d
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