高等数学 二重积分概念PPT课件
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二重积分的概念和性质PPT讲稿
17
例 设D为圆域 x2 y2 R2
z
二重积分 R2 x2 y2 d
D
=
DO
xR
y
解 z R2 x2 y2是上半球面
由二重积分的几何意义可知，上述积分等于
上半球体的体积：
R2 x2 y2d 2 R3 3
D
18
三、二重积分的性质
(二重积分与定积分有类似的性质)
性质１ 设、 为常数, 则
看作均匀薄片.
(2) Mi (i ,i ) i
y
n
(3) M (i ,i ) i
(i ,i )
i1 n
•
(4) M lim 0
(i ,i ) i
i 1
O
i
x
10
二、二重积分的概念
1. 二重积分的定义
定义 设f ( x, y)是有界闭区域D上的有界函数,
① 将闭区域D任意分成n个小闭区域
2
double integral
第一节 二重积分的概念 与性质
问题的提出 二重积分的概念 二重积分的性质
3
一、问题的提出
回想 定积分中会求平行截面面积为已知的 立体的体积、旋转体的体积.
一般立体的体积如何求 先从曲顶柱体的体积开始. 一般立体的体积可分成一些比较简单的 曲顶柱体的体积. 而曲顶柱体的体积的计算问题, 可作为 二重积分的一个模型.
即
V f ( x, y)d ,
D
平面薄片D的质量
它的面密度 ( x, y)在薄片D上的二重积分,
即
M ( x, y)d .
D
13
注
1.重积分中 d 0,
2. 在直角坐标系下用 y
平行于坐标轴的直线网来
例 设D为圆域 x2 y2 R2
z
二重积分 R2 x2 y2 d
D
=
DO
xR
y
解 z R2 x2 y2是上半球面
由二重积分的几何意义可知，上述积分等于
上半球体的体积：
R2 x2 y2d 2 R3 3
D
18
三、二重积分的性质
(二重积分与定积分有类似的性质)
性质１ 设、 为常数, 则
看作均匀薄片.
(2) Mi (i ,i ) i
y
n
(3) M (i ,i ) i
(i ,i )
i1 n
•
(4) M lim 0
(i ,i ) i
i 1
O
i
x
10
二、二重积分的概念
1. 二重积分的定义
定义 设f ( x, y)是有界闭区域D上的有界函数,
① 将闭区域D任意分成n个小闭区域
2
double integral
第一节 二重积分的概念 与性质
问题的提出 二重积分的概念 二重积分的性质
3
一、问题的提出
回想 定积分中会求平行截面面积为已知的 立体的体积、旋转体的体积.
一般立体的体积如何求 先从曲顶柱体的体积开始. 一般立体的体积可分成一些比较简单的 曲顶柱体的体积. 而曲顶柱体的体积的计算问题, 可作为 二重积分的一个模型.
即
V f ( x, y)d ,
D
平面薄片D的质量
它的面密度 ( x, y)在薄片D上的二重积分,
即
M ( x, y)d .
D
13
注
1.重积分中 d 0,
2. 在直角坐标系下用 y
平行于坐标轴的直线网来
二重积分的概念与性质ppt课件
(1,0),(1,1), (2,0).
课后习题
解 在 D 内有 1 x y 2 e,
y
故 0 ln(x y) 1,
于是 ln(x y) ln(x y)2,
1
x y2
D
o
12x
x y1
因此 ln(x y)d [ln(x y)]2d .
D
D
20/24
练
机动
1. 习比较下列积分值的大小关系:
I2 xy d xd y ； I3 xy dxdy
x y 1
1 x1 1 y1
[提示] 被积函数相同，则比较区域D的大小. y
1
解 I1, I2, I3 被积函数相同, 且非负, 由它们的积分域范围可知
o
1x
由性质 6 知 e d (x2 y2 ) ea2 ,
D
abπ e d (x2 y2 ) abπ ea2 .
D
19/24
例3 比较积分 ln(x y)d 与[ln(x y)]2d
D
D
的大小,其中 D 是三角形闭区域 ,三顶点各为
任取一点
若存在一个常数 I , 使
记作
则称 f (x, y) 可积 , 称 I 为 f (x, y) 在D上的二重积分.
积分和
积分表达式
x, y称为积分变量
积分域
被积函数
面积元素
2.【对二重积分定义的说明】
(1)积分存在时，其值与区域的分法和点
？ 不能 用 i 0 代替 0
10/24
D
D
其中 D : (x 2)2 ( y 1)2 2
解Ⅰ 积分域D 的边界为圆周
高等数学 二重积分概念PPT课件
即: 1.96 I 2
12
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例3. 判断积分
解: 分积分域为 D1, D2 , D3, 则
原式 = 3 1 x2 y2 d x d y D1 D2 3 x2 y2 1d x d y
的正负号. y
D3 D2
O 1 32x
D1
猜想结果为负
D1 d x d y
记作
则称 f (x, y) 可积 , 称 I 为 f (x, y)在D上的二重积分.
积分和
积分表达式
x , y 称为积分变量
积分域
被积函数
面积元素
6
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如果 f (x, y) 在D上可积, 可用平行坐标轴的直线来划
分区域 D , 这时
因此面积 y
元素d也常记作 dxdy, 二重积分记作
1
D
解: 积分域 D 的边界为圆周
O 1 2 3x x y 1
它在与 x 轴的交点 (1,0) 处与直线
而域 D 位于直线的上方, 故在 D 上 x y 1, 从而 (x y)2 (x y)3
D (x y)2 d D (x y)3 d
11
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D1
OD x
(2) f (x , y) f (x, y), 则 D f (x, y) d 0
当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍
有类似结果.
在第一象限部分, 则有
4 (x2 y2 ) d x d y D1
D (x y) d x d y 0
又 D 的面积为 1 ,
故结论成立 .
高等数学课件D91二重积分概念
实际应用背景：二重积分在物理、工程、经 济等领域有广泛应用，如计算面积、体积、 质量等
添加 标题限制条件：二重积源自的计算需要满足一定的 条件，如函数在积分区域上连续、可积等
添加 标题
积分区域：二重积分的计算需要确定积分区 域，积分区域可以是平面区域、曲面区域等
添加 标题
积分顺序：二重积分的计算需要确定积分顺 序，积分顺序可以是先对x积分，再对y积分， 也可以是先对y积分，再对x积分
添加 标题
积分方法：二重积分的计算可以使用不同的 积分方法，如直接积分法、换元积分法、分 部积分法等
添加 标题
积分技巧：二重积分的计算需要掌握一些积 分技巧，如对称性、周期性、奇偶性等
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汇报人：
二重积分在几何上的应用
计算曲面的面积
计算曲面的体积
计算曲面的旋转体 体积
计算曲面的旋转体 表面积
二重积分在物理上的应用
计算曲面的面积和体积
计算流体的压力和流量
计算电场的强度和分布
计算热传导和扩散问题
二重积分在经济学上的应用
计算边际成本：二重积分可以用来计算边际成本，从而帮助企业进行成本控制和优化。
注意二重积分的计算精度和误差控制
计算精度：选择合适的积分方法，如矩形法、梯形法、辛普森法等 误差控制：通过增加积分区间的划分，提高计算精度 数值稳定性：避免在积分过程中出现数值不稳定的情况 计算结果验证：通过与其他方法或已知结果进行比较，验证计算结果的准确性
注意二重积分的实际应用背景和限制条件
添加 标题
极坐标变换法：适用于积 分区域为圆形或扇形的情 况
换元积分法：适用于积分 区域为圆环或椭圆的情况
分部积分法：适用于积分 区域为不规则图形的情况
高等数学课件D91二重积分概念
转动惯量计算
转动惯量是描述刚体转动时惯性大小 的物理量，二重积分可用于计算平面 薄片对于某轴的转动惯量。
概率论中期望值、方差等统计量求解
期望值求解
在概率论中，二重积分可用于计算二维随机变量的期望值，通过对联合概率密度函数进 行积分，得到期望值的数学表达式。
方差求解
方差是衡量随机变量取值分散程度的统计量，二重积分可用于计算二维随机变量的方差。
确定极径和极角的积分范围和 顺序，注意极径和极角的取值 范围。
根据被积函数的性质和积分区 域的形状，选择合适的积分方 法，如凑微分、分部积分等。
换元法在二重积分中应用
01 通过变量代换将复杂的被积函数或积分区域简化 为易于计算的形式。
02 常用的换元方法包括极坐标代换、广义极坐标代 换、三角代换等。
判断函数$f(x,y)=begin{cases}
典型例题分析与解答
01
1, (x,y)neq(0,0) n0, (x,y)=(0,0)
02
end{cases}$在闭区域$D={(x,y)|x^2+y^2leq1}$上是否 可积，并说明理由。
03
解答：该函数在点(0,0)处不连续，但该点是一个孤立的不连续点， 其集合是零面积集。因此，根据可积性条件，该函数在闭区域D 上仍可能可积。实际上，通过计算可以发现该函数在D上的二重 积分为$pi$，说明该函数在D上确实可积。
实际应用问题举例
01
02
03
物理学中的应用
计算电场强度、磁场强度 等物理量在曲线或曲面上 的积分。
工程学中的应用
计算流体在管道中的流量、 物体表面的压力分布等。
经济学中的应用
计算某一区域内的经济总 量、人口分布等。
转动惯量是描述刚体转动时惯性大小 的物理量，二重积分可用于计算平面 薄片对于某轴的转动惯量。
概率论中期望值、方差等统计量求解
期望值求解
在概率论中，二重积分可用于计算二维随机变量的期望值，通过对联合概率密度函数进 行积分，得到期望值的数学表达式。
方差求解
方差是衡量随机变量取值分散程度的统计量，二重积分可用于计算二维随机变量的方差。
确定极径和极角的积分范围和 顺序，注意极径和极角的取值 范围。
根据被积函数的性质和积分区 域的形状，选择合适的积分方 法，如凑微分、分部积分等。
换元法在二重积分中应用
01 通过变量代换将复杂的被积函数或积分区域简化 为易于计算的形式。
02 常用的换元方法包括极坐标代换、广义极坐标代 换、三角代换等。
判断函数$f(x,y)=begin{cases}
典型例题分析与解答
01
1, (x,y)neq(0,0) n0, (x,y)=(0,0)
02
end{cases}$在闭区域$D={(x,y)|x^2+y^2leq1}$上是否 可积，并说明理由。
03
解答：该函数在点(0,0)处不连续，但该点是一个孤立的不连续点， 其集合是零面积集。因此，根据可积性条件，该函数在闭区域D 上仍可能可积。实际上，通过计算可以发现该函数在D上的二重 积分为$pi$，说明该函数在D上确实可积。
实际应用问题举例
01
02
03
物理学中的应用
计算电场强度、磁场强度 等物理量在曲线或曲面上 的积分。
工程学中的应用
计算流体在管道中的流量、 物体表面的压力分布等。
经济学中的应用
计算某一区域内的经济总 量、人口分布等。
高数课件27二重积分
二重积分的应用
在几何、物理、经济学等领域有广泛应用，如计算面积、体积、质 心、转动惯量等。
常见错误类型及避免方法
计算错误
如对积分区域理解不准确、积分顺序错误、 计算失误等；需要细心审题，按照正确的计 算步骤进行计算。
概念理解错误
如对二重积分的概念、性质理解不透彻；需要加强 对基本概念和性质的理解和掌握。
解题步骤
在实际应用中，可能会遇到一些特殊 的二重积分问题，如物理中的质心、 转动惯量等计算问题。
求均匀薄板在直角坐标系下的质心坐 标，其中薄板的密度函数为ρ(x,y)， 所占区域为D。
04 数值方法与近似计算
矩形法、梯形法和辛普森法简介
矩形法
将积分区域划分为若干个小矩形， 以矩形的面积近似代替被积函数 的面积，从而求得二重积分的近 似值。
极坐标下二重积分表示
设$D$是直角坐标系$xOy$中的有界闭区域，其边界曲线 在极坐标系$rho O theta$中的方程为$rho=rho(theta)$， $alpha leq theta leq beta$，则 $iint_{D}f(x,y)dsigma=int_{alpha}^{beta}dtheta int_{0}^{rho(theta)}f(rho cos theta, rho sin theta)rho drho$。
应用问题错误
如在实际应用中未能正确建立数学模型或选 择合适的计算方法；需要提高应用能力和问 题解决能力。
提高解题效率和准确性建议
熟练掌握基本计算方法
通过大量练习，熟练掌握直角坐标法、极坐标法等基本 计算方法，提高计算速度和准确性。
注意积分顺序的选择
根据具体问题选择合适的积分顺序，可以简化计算过程 并提高计算效率。
在几何、物理、经济学等领域有广泛应用，如计算面积、体积、质 心、转动惯量等。
常见错误类型及避免方法
计算错误
如对积分区域理解不准确、积分顺序错误、 计算失误等；需要细心审题，按照正确的计 算步骤进行计算。
概念理解错误
如对二重积分的概念、性质理解不透彻；需要加强 对基本概念和性质的理解和掌握。
解题步骤
在实际应用中，可能会遇到一些特殊 的二重积分问题，如物理中的质心、 转动惯量等计算问题。
求均匀薄板在直角坐标系下的质心坐 标，其中薄板的密度函数为ρ(x,y)， 所占区域为D。
04 数值方法与近似计算
矩形法、梯形法和辛普森法简介
矩形法
将积分区域划分为若干个小矩形， 以矩形的面积近似代替被积函数 的面积，从而求得二重积分的近 似值。
极坐标下二重积分表示
设$D$是直角坐标系$xOy$中的有界闭区域，其边界曲线 在极坐标系$rho O theta$中的方程为$rho=rho(theta)$， $alpha leq theta leq beta$，则 $iint_{D}f(x,y)dsigma=int_{alpha}^{beta}dtheta int_{0}^{rho(theta)}f(rho cos theta, rho sin theta)rho drho$。
应用问题错误
如在实际应用中未能正确建立数学模型或选 择合适的计算方法；需要提高应用能力和问 题解决能力。
提高解题效率和准确性建议
熟练掌握基本计算方法
通过大量练习，熟练掌握直角坐标法、极坐标法等基本 计算方法，提高计算速度和准确性。
注意积分顺序的选择
根据具体问题选择合适的积分顺序，可以简化计算过程 并提高计算效率。
《高等数学二重积分》PPT课件
D
D
(x2)2 (y1)2 2所围成 .
2、ln(x y)d与[ln(x y)]2d,其中D 是矩形
D
闭区域:3 x 5,0 y 1 .
编辑ppt
21
四 、 估 计 积 分 I(x24y29)d的 值 ,其 中 D 是 圆
D
形 区 域 :x2y24.
编辑ppt
22
练习题答案
一 、 1、 连 续 ；
编辑ppt
23
顶柱体体积之
和近似表示曲
o
y
顶柱体的体积，x D
•
(i ,i )
n
i
曲顶柱体的体积
Vlim
0
f(i,i)i.
i1
编辑ppt
4
２．求平面薄片的质量
设 有 一 平 面 薄 片 ， 占 有 xo 面 上 y 的 闭 区 域
D ， 在 点 (x ,y)处 的 面 密 度 为 (x ,y)， 假 定 (x ,y)在 D 上 连 续 ， 平 面 薄 片 的 质 量 为 多 少 ？
于 是 ln x 2 (y 2 )dx 0 .dy
r x y 1
编辑ppt
15
例 4 比 较 积 分 lnx (y)d与 [ln x(y)2]d
D
D
的 大 小 , 其 中 D是 三 角 形 闭 区 域 , 三 顶 点 各 为 (1,0),
(1,1), (2,0).
y
解 三 角 形 斜 边 方 程 xy2
2、 以 z f ( x , y )为 曲 顶 ,以D 为 底 的 曲 顶 柱 体 体 积
的代数和；
3、>,<；
4、 .
三 、1、 ( x y)2 d ( x y)3 d ；
高等数学(微积分)课件-87二重积分
二重积分的奇偶性
总结词
二重积分的奇偶性是指，对于可积函数$f(x,y)$，如果将函数中的$x$或$y$替换为其相 反数，则二重积分的结果可能会发生变化。
详细描述
设函数$f(x,y)$在有界闭区域$Omega$上可积，如果对于任意的$(x,y) in Omega$，都有$f(-x,y) = f(x,y)$ 或$f(x,-y) = f(x,y)$，则称$f(x,y)$为偶函数或奇函数。根据奇偶性，我们可以得到$int_{Omega} f(-x,y) dOmega = int_{Omega} f(x,y) dOmega$或$int_{Omega} f(x,-y) dOmega = -int_{Omega} f(x,y) dOmega$。
二重积分的几何意义
二重积分表示的是曲面z=f(x,y)与平面交线所围成的 区域D的体积。
当f(x,y)>0时，二重积分表示区域D在xoy平面上的 投影区域的面积乘以f(x,y)的高度。
当f(x,y)<0时，二重积分表示区域D在xoy平面上的 投影区域的面积乘以|f(x,y)|的高度。
02
二重积分的计算方法
03
2. 根据变量替换关系，将二重积分转化为新 的变量下的形式。
04
3. 对新的二重积分进行计算，得到结果。
03
二重积分的几何应用
曲面的面积计算
总结词
二重积分在计算曲面的面积时，可以将曲面转Байду номын сангаас 为平面区域，通过计算该区域的面积得到曲面的 面积。
总结词
在计算曲面的面积时，需要先确定曲面的函数表 达式和其在平面上的投影区域，然后利用二重积 分计算投影区域的面积，最后乘以 $sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}$ 得到曲面的面积。
二重积分概念课件-PPT课件
定理20.1
平面有界图形 P 可求面积的充要条件是: 对任给的 0, 总存在直线网 T, 使得 S ( T ) s ( T ) . P P
( 2 )
证 必要性 设有界图形 P 的面积为 I P . 由定义 1, 有 I I I . P 0, 由 I P 及 I P 的定义知道, 分别 P P 存在直线网 T 1 与 T 2 , 使得
P ; (ii) i 上的点都是 P 的外点, 即 i (iii) i 上含有 P 的边界点.
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
将所有属于第(i) 类小矩形
(图 21-1 中紫色部分)的面 积加起来, 记这个和数为 (这 ( T ) sP (T ), 则有 s P R
§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
于是由(3)可得
P
sT () I, S () T I .
P
从而对直线网 T 有 S () TsT () . P P
S () TsT () . P P
2
P
P
2
充分性 设对任给的 0, 存在某直线网 T, 使得
§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
平面图形的面积
我们首先定义平面图形的面积. 我们称平面图形 P 是有界的, 如果存在一矩形 R , 使得 P R.
设 P 是一平面有界图形, 用平行于二坐标轴的某一
组直线网 T 分割这个图形 (图21-1) , 这时直线网 T 的网眼 (小闭矩形) i 可分为三类: (i) i 上的点都是 P 的内点;
大学课程《高等数学》PPT课件：7-1 二重积分的概念与性质
则有 f ( x, y)d g( x, y)d .
D
D
特殊地 f ( x, y)d f ( x, y)d .
D
D
性质６ 设M 、m 分别是 f ( x, y)在闭区域 D 上的
最大值和最小值， 为 D 的面积，则
m f ( x, y)d M
D
（二重积分估值不等式）
性质７ 设函数 f ( x, y)在闭区域D 上连续， 为D 的面积，则在 D 上至少存在一点( , ) 使得
即: 1.96 I 2
定积分与二重积分的区别
定积分与二重积分都表示某个和式的极限 值，且此值只与被积函数及积分区域有关．不 同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为 定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分 区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域 上的二元函数．
二重积分的定义 （和式的极限） 二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积） 二重积分的性质
f ( x, y)d f (,) 二重积分中值定理
D
y
D (x y)2 d , D (x y)3 d
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
其中 D : (x 2)2 ( y 1)2 2
1
D
解: 积分域 D 的边界为圆周
O 1 2 3x x y 1
它在与 x 轴的交点 (1,0) 处与直线
而域 D 位于直线的上方, 故在 D 上 x y 1, 从而 (x y)2 (x y)3
D
f ( x, y)d g( x, y)d .
D
D
性质３ 对区域具有可加性 ( D D1 D2 )
f ( x, y)d f ( x, y)d f ( x, y)d .
D
D1
D2
性质４ 若 为D的面积， 1 d d .
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第九章 重积分
一元函数积分学
重积分 多元函数积分学 曲线积分
曲面积分
1
第一节 二重积分的概念与性质
一、引例 二、二重积分的定义与可积性 三、二重积分的性质
2
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一、引例
曲顶柱体的体积
给定曲顶柱体:
底： xOy 面上的闭区域 D
D
顶: 连续曲面
侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 求其体积.
D f (x, y) dxdy.
O
x
引例中曲顶柱体体积:
V D f (x, y) d D f (x, y) d x d y
7
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三、二重积分的性质
1. D k f (x, y)d k D f (x, y) d ( k 为常数)
3. D f (x, y)d D1 f (x, y)d D2 f (x, y)d
在每个 中任取一点
则
Vk f (k , k ) k (k 1, 2, , n)
3)“近似和”
n
f (k , k ) k
k 1 4
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4)“取极限”
( k ) max P1P2 P1,P2 k
令 max ( k ) 1k n
n
V
lim
0 k 1
f
(k , k ) k
f (k , k )
( k ,k ) k
5
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二、二重积分的定义及可积性
定义: 设 f (x, y)是定义在有界区域 D上的有界函数 ,
将区域 D 任意分成 n 个小区域
任取一点
若存在一个常数 I , 使
14
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内容小结
1. 二重积分的定义
n
D
f (x, y) d
lim
0 i1
f (i ,i ) i
(d dxdy)
2. 二重积分的性质 (与定积分性质相似)
15
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思考与练习
1. 比较下列积分值的大小关系:
I2 xy d x d y
为D 的面积, 则
D1 d D d
8
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5. 若在D上 f (x, y) (x, y) , 则
D f (x, y) d D (x, y) d
特别, 由于 f (x, y) f (x, y) f (x, y)
D f (x, y)d D f (x, y) d
D
f
(x,
y)d
max
D
f
(x,
y)
由连续函数介值定理, 至少有一点
使
f
( ,
)
1
D
f
(x,
y)回 结束
例1. 比较下列积分的大小:
y
D (x y)2 d , D (x y)3 d
其中 D : (x 2)2 ( y 1)2 2
D1
OD x
(2) f (x , y) f (x, y), 则 D f (x, y) d 0
当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍
有类似结果.
在第一象限部分, 则有
4 (x2 y2 ) d x d y D1
D (x y) d x d y 0
即: 1.96 I 2
12
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例3. 判断积分
解: 分积分域为 D1, D2 , D3, 则
原式 = 3 1 x2 y2 d x d y D1 D2 3 x2 y2 1d x d y
的正负号. y
D3 D2
O 1 32x
D1
猜想结果为负
D1 d x d y
6. 设
D 的面积为 ,
则有
m D f (x, y) d M
9
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7.(二重积分的中值定理)
连续, 为D 的面积 , 则至少存在一点
在闭区域D上 使
D f (x, y)d f ( , )
证: 由性质6 可知,
min D
f
(x,
y)
1
记作
则称 f (x, y) 可积 , 称 I 为 f (x, y)在D上的二重积分.
积分和
积分表达式
x , y 称为积分变量
积分域
被积函数
面积元素
6
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如果 f (x, y) 在D上可积, 可用平行坐标轴的直线来划
分区域 D , 这时
因此面积 y
元素d也常记作 dxdy, 二重积分记作
解法: 类似定积分解决问题的思想:
“大化小, 常代变, 近似和, 求 极限”
3
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1)“大化小”
用任意曲线网分D为 n 个区域
1, 2, , n
以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 f (k , k )
小曲顶柱体
D
2)“常代变”
( k ,k ) k
1
D
解: 积分域 D 的边界为圆周
O 1 2 3x x y 1
它在与 x 轴的交点 (1,0) 处与直线
而域 D 位于直线的上方, 故在 D 上 x y 1, 从而 (x y)2 (x y)3
D (x y)2 d D (x y)3 d
11
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例2. 估计下列积分之值
I
D
dxd y 100 cos2 x cos2
y
D : x y 10
y
解: D 的面积为 (10 2)2 200
10
由于
D
1 102
100
1 cos2 x
cos 2
y
1 100
10
O 10 x
10
积分性质5
200 I 200 102 100
但不好估计 .
π 3 2 π (4 3) π (1 3 2) 0
13
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8. 设函数
在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称,
D 位于 x 轴上方的部分为D1 , 在 D 上
y
(1) f (x , y) f (x, y), 则
D f (x, y) d 2D1 f (x, y) d
x y 1 11
I3 xy d xd y
y
1 1
一元函数积分学
重积分 多元函数积分学 曲线积分
曲面积分
1
第一节 二重积分的概念与性质
一、引例 二、二重积分的定义与可积性 三、二重积分的性质
2
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一、引例
曲顶柱体的体积
给定曲顶柱体:
底： xOy 面上的闭区域 D
D
顶: 连续曲面
侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 求其体积.
D f (x, y) dxdy.
O
x
引例中曲顶柱体体积:
V D f (x, y) d D f (x, y) d x d y
7
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三、二重积分的性质
1. D k f (x, y)d k D f (x, y) d ( k 为常数)
3. D f (x, y)d D1 f (x, y)d D2 f (x, y)d
在每个 中任取一点
则
Vk f (k , k ) k (k 1, 2, , n)
3)“近似和”
n
f (k , k ) k
k 1 4
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4)“取极限”
( k ) max P1P2 P1,P2 k
令 max ( k ) 1k n
n
V
lim
0 k 1
f
(k , k ) k
f (k , k )
( k ,k ) k
5
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二、二重积分的定义及可积性
定义: 设 f (x, y)是定义在有界区域 D上的有界函数 ,
将区域 D 任意分成 n 个小区域
任取一点
若存在一个常数 I , 使
14
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内容小结
1. 二重积分的定义
n
D
f (x, y) d
lim
0 i1
f (i ,i ) i
(d dxdy)
2. 二重积分的性质 (与定积分性质相似)
15
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思考与练习
1. 比较下列积分值的大小关系:
I2 xy d x d y
为D 的面积, 则
D1 d D d
8
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5. 若在D上 f (x, y) (x, y) , 则
D f (x, y) d D (x, y) d
特别, 由于 f (x, y) f (x, y) f (x, y)
D f (x, y)d D f (x, y) d
D
f
(x,
y)d
max
D
f
(x,
y)
由连续函数介值定理, 至少有一点
使
f
( ,
)
1
D
f
(x,
y)回 结束
例1. 比较下列积分的大小:
y
D (x y)2 d , D (x y)3 d
其中 D : (x 2)2 ( y 1)2 2
D1
OD x
(2) f (x , y) f (x, y), 则 D f (x, y) d 0
当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍
有类似结果.
在第一象限部分, 则有
4 (x2 y2 ) d x d y D1
D (x y) d x d y 0
即: 1.96 I 2
12
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例3. 判断积分
解: 分积分域为 D1, D2 , D3, 则
原式 = 3 1 x2 y2 d x d y D1 D2 3 x2 y2 1d x d y
的正负号. y
D3 D2
O 1 32x
D1
猜想结果为负
D1 d x d y
6. 设
D 的面积为 ,
则有
m D f (x, y) d M
9
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7.(二重积分的中值定理)
连续, 为D 的面积 , 则至少存在一点
在闭区域D上 使
D f (x, y)d f ( , )
证: 由性质6 可知,
min D
f
(x,
y)
1
记作
则称 f (x, y) 可积 , 称 I 为 f (x, y)在D上的二重积分.
积分和
积分表达式
x , y 称为积分变量
积分域
被积函数
面积元素
6
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如果 f (x, y) 在D上可积, 可用平行坐标轴的直线来划
分区域 D , 这时
因此面积 y
元素d也常记作 dxdy, 二重积分记作
解法: 类似定积分解决问题的思想:
“大化小, 常代变, 近似和, 求 极限”
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1)“大化小”
用任意曲线网分D为 n 个区域
1, 2, , n
以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 f (k , k )
小曲顶柱体
D
2)“常代变”
( k ,k ) k
1
D
解: 积分域 D 的边界为圆周
O 1 2 3x x y 1
它在与 x 轴的交点 (1,0) 处与直线
而域 D 位于直线的上方, 故在 D 上 x y 1, 从而 (x y)2 (x y)3
D (x y)2 d D (x y)3 d
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例2. 估计下列积分之值
I
D
dxd y 100 cos2 x cos2
y
D : x y 10
y
解: D 的面积为 (10 2)2 200
10
由于
D
1 102
100
1 cos2 x
cos 2
y
1 100
10
O 10 x
10
积分性质5
200 I 200 102 100
但不好估计 .
π 3 2 π (4 3) π (1 3 2) 0
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8. 设函数
在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称,
D 位于 x 轴上方的部分为D1 , 在 D 上
y
(1) f (x , y) f (x, y), 则
D f (x, y) d 2D1 f (x, y) d
x y 1 11
I3 xy d xd y
y
1 1