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分学
多元微积分的应用实例
物理学：描述物理现象，如流体力学、电磁学等 工程学：解决工程问题，如结构分析、控制系统设计等 经济学：分析经济模型，如市场均衡、最优化问题等 计算机科学：用于图像处理、机器学习等领域
无穷级数与常微分
07
方程
无穷级数的概念和性质
性质：收敛性、发散 性、绝对收敛性、条
件收敛性等
数
常微分方程的概念和分类
常微分方程：描述函数在某点或某区 间上的变化规律的方程
一阶常微分方程：只含有一个未知函 数和一个自变量的方程
二阶常微分方程：含有两个未知函数 和两个自变量的方程
高阶常微分方程：含有多个未知函数 和多个自变量的方程
线性常微分方程：未知函数和自变量 之间的关系是线性的方程
非线性常微分方程：未知函数和自变 量之间的关系是非线性的方程
常微分方程的基本解法与实例
基本解法：分离变量法、积分因子法、常数变易法等 实例：求解一阶线性常微分方程、求解二阶线性常微分方程等 应用：在物理、化学、生物等领域有广泛应用 难点：求解高阶常微分方程、求解非线性常微分方程等
微分方程的应用实例
生物：描述生物种群增长、 生态平衡等现象
化学：描述化学反应速率、 物质扩散等现象
06
多元函数微积分
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限：定义、性质、计算方法 多元函数的连续性：定义、性质、判断方法 多元函数的可微性：定义、性质、判断方法 多元函数的可导性：定义、性质、判断方法 多元函数的可积性：定义、性质、判断方法 多元函数的积分：定义、性质、计算方法
偏导数与全微分
性质。
函数连续性的 性质：连续函 数具有局部有 界性、局部保 号性、局部保 序性等性质。
多元微积分的应用实例
物理学：描述物理现象，如流体力学、电磁学等 工程学：解决工程问题，如结构分析、控制系统设计等 经济学：分析经济模型，如市场均衡、最优化问题等 计算机科学：用于图像处理、机器学习等领域
无穷级数与常微分
07
方程
无穷级数的概念和性质
性质：收敛性、发散 性、绝对收敛性、条
件收敛性等
数
常微分方程的概念和分类
常微分方程：描述函数在某点或某区 间上的变化规律的方程
一阶常微分方程：只含有一个未知函 数和一个自变量的方程
二阶常微分方程：含有两个未知函数 和两个自变量的方程
高阶常微分方程：含有多个未知函数 和多个自变量的方程
线性常微分方程：未知函数和自变量 之间的关系是线性的方程
非线性常微分方程：未知函数和自变 量之间的关系是非线性的方程
常微分方程的基本解法与实例
基本解法：分离变量法、积分因子法、常数变易法等 实例：求解一阶线性常微分方程、求解二阶线性常微分方程等 应用：在物理、化学、生物等领域有广泛应用 难点：求解高阶常微分方程、求解非线性常微分方程等
微分方程的应用实例
生物：描述生物种群增长、 生态平衡等现象
化学：描述化学反应速率、 物质扩散等现象
06
多元函数微积分
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限：定义、性质、计算方法 多元函数的连续性：定义、性质、判断方法 多元函数的可微性：定义、性质、判断方法 多元函数的可导性：定义、性质、判断方法 多元函数的可积性：定义、性质、判断方法 多元函数的积分：定义、性质、计算方法
偏导数与全微分
性质。
函数连续性的 性质：连续函 数具有局部有 界性、局部保 号性、局部保 序性等性质。
《高等数学课件PPT》-完整详细版
1
微积分基本定理
微积分基本定理的概念和推导，描述定积分和不定积分之间的关系。
2
带变限积分
带变限积分的计算方法和几何解释，通过例题演示如何求解带变限积分。
极限和连续
深入介绍极限和连续的概念、性质和运算法则，帮助学生理解和掌握这两个重要概念。
极限
数列极限和函数极限的定义和性质，常见的极限计 算方法和极限存在准则。
连续
函数连续的定义和判定条件，连续函数的性质和运 算法则。
函数及其图像
介绍函数的概念和性质，以及如何通过绘制函数图像来更好地理解函数。
函数
函数的定义、定义域、值域和性质，常见函数类型 和函数之间的关系。
图像
绘制函数图像的方法和技巧，通过观察图像认识函 数的特点和变化趋势。
导数和微分
介绍导数和微分的概念、性质和计算方法，以及它们在几何和物理中的应用。
1 导数
导数的定义和性质，导数的计算方法和常见 函数的导数公式。
2 微分
微分的概念和计算方法，微分在几何和物理 中的应用。
《高等数学课件PPT》-完整详 细版
一份完整详细的高等数学课件PPT，深入介绍高等数学的各个知识点，帮助 学生更好地理解和掌握这门重要学科。
课程目标和重要性
通过介绍高等数学课程的学习目标和重要性，帮助学生明确学习目标，激发学习兴趣，并认识到 高等数学在现实生活和学科发展中的广泛应用。
学习目标
深入理解高等数学的各个概念和方法，提高解决数学问题的能力。
不定积分与牛顿-莱布尼茨公式
深入研究不定积分的概念、性质和计算方法，以及牛顿-莱布尼茨公式的推导和应用。
1 不定积分
不定积分的定义和计算方法，常见函数的不 定积分公式。
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因此
Sn
a, 0,
n 为奇数 n 为偶数
从而
lim
n
Sn
不存在
,
因此级数发散.
综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ;
q 1 时, 等比级数发散 .
例2. 判别下列级数的敛散性:
(1)
ln
n1
n
n
1
;
解: (1)
(2) n1n(n11) .
Sn
ln 2 1
ln 3 2
ln 4 3
的敛散性.
证: 将级数 un 的前 k 项去掉, 所得新级数 uk n
n1
n1
的部分和为
n
n uk l Sk n Sk
l 1
由于n 时, n 与Sk n 极限状况相同, 故新旧两级
数敛散性相同.
当级数收敛时, 其和的关系为 S Sk .
类似可证前面加上有限项的情况 .
性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数
将各项依
n1
un u1 u2 u3
n1
un
称上式为无穷级数，其中第 n 项 un 叫做级数的一般项,
级数的前 n 项和
n
Sn uk u1 u2 u3 un
k 1
称为级数的部分和. 若 lim Sn S 存在, 则称无穷级数
n
收敛 , 并称 S 为级数的和, 记作
S un
1 n (n 1)n
34
二 、交错级数及其审敛法
设 un 0 , n 1, 2, , 则各项符号正负相间的级数 u1 u2 u3 (1)n1un
称为交错级数 .
定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:
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对应法则f
(
W
y f (x0 )
自变量
)
因变量
约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义 的一切实数值.
例如， y 1 x2 例如， y 1
1 x2
D :[1,1] D : (1,1)
如果自变量在定 y
义域内任取一个数值
时，对应的函数值总
是只有一个，这种函 W
数叫做单值函数，否
y
则叫与多值函数．
5.绝对值:
a
a a
a0 a0
运算性质:
ab a b;
( a 0)
a a; bb
a b a b a b.
绝对值不等式:
x a (a 0)
a x a;
x a (a 0)
x a 或 x a;
二、函数概念
定义 设x 和y 是两个变量,D是一个给定的数集， 如果对于每个数x D , 变量 y 按照一定法则总有
y arctan x
反余切函数 y arccot x
y arccot x
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反 三角函数统称为基本初等函数.
二、复合函数 初等函数
1.复合函数
设 y u, u 1 x2 ,
y 1 x2
定义: 设函数 y f (u) 的定义域D f , 而函数 u ( x)的值域为Z , 若 D f Z , 则称 函数 y f [( x)]为x 的复合函数.
( x), ( x) 1
10 当( x) 1时,
或 x 0, ( x) x 2 1, 或 x 0, ( x) x2 1 1,
x 1; 0 x 2;
20 当( x) 1时,
或 x 0, ( x) x 2 1, 或 x 0, ( x) x2 1 1,
(
W
y f (x0 )
自变量
)
因变量
约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义 的一切实数值.
例如， y 1 x2 例如， y 1
1 x2
D :[1,1] D : (1,1)
如果自变量在定 y
义域内任取一个数值
时，对应的函数值总
是只有一个，这种函 W
数叫做单值函数，否
y
则叫与多值函数．
5.绝对值:
a
a a
a0 a0
运算性质:
ab a b;
( a 0)
a a; bb
a b a b a b.
绝对值不等式:
x a (a 0)
a x a;
x a (a 0)
x a 或 x a;
二、函数概念
定义 设x 和y 是两个变量,D是一个给定的数集， 如果对于每个数x D , 变量 y 按照一定法则总有
y arctan x
反余切函数 y arccot x
y arccot x
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反 三角函数统称为基本初等函数.
二、复合函数 初等函数
1.复合函数
设 y u, u 1 x2 ,
y 1 x2
定义: 设函数 y f (u) 的定义域D f , 而函数 u ( x)的值域为Z , 若 D f Z , 则称 函数 y f [( x)]为x 的复合函数.
( x), ( x) 1
10 当( x) 1时,
或 x 0, ( x) x 2 1, 或 x 0, ( x) x2 1 1,
x 1; 0 x 2;
20 当( x) 1时,
或 x 0, ( x) x 2 1, 或 x 0, ( x) x2 1 1,
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解
原式
lim a cos ax sinbx x0 bcos bx sinax
cos bx lim x0 cos ax
1.
第27页/共175页
例5 求 lim tan x . x tan 3 x
2
解
原式
lim
x
sec2 3sec2
x 3x
1 3
lim
x
cos2 3x cos2 x
2
2
1 lim 6cos 3x sin3x lim sin6x
第14页/共175页
例4 设函数f ( x)在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导, 证明:
至少存在一点 (0,1),使 f ( ) 2[ f (1) f (0)].
证 分析: 结论可变形为
f (1) f (0) 10
f () 2
f ( x) ( x 2 )
x .
设 g( x) x2 ,
F(b) F(a) f (b) f (a) f () .
F (b) F (a) F ()
当 F ( x) x, F (b) F (a) b a, F ( x) 1,
f (b) f (a) f () F (b) F (a) F ()
f (b) f (a) f (). ba
第10页/共175页
例3 证明当x 0时, x ln(1 x) x. 1 x
证 设 f ( x) ln(1 x),
f ( x)在[0, x]上满足拉氏定理的条件,
f ( x) f (0) f ()( x 0), (0 x)
f (0) 0, f ( x) 1 , 由上式得 1 x
ln(1 x) x , 1
又0 x 1 1 1 x
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导数的应用
第五章
函数的单调性和极值
导数与函数的单调性：导数大于0，函数单调递增；导数小于0，函数单调递减
极值的定义：函数在某点处的导数为0，且该点两侧的导数符号相反，则该点为函数的极 值点
极值的分类：极大值和极小值
极值的求解：通过求导数等于0的点，并判断该点两侧的导数符号，确定极值点
曲线的凹凸性和拐点
质。
定积分的应用： 定积分在物理、 工程、经济等 领域有着广泛 的应用，如计 算物体的质量、 体积、重心等。
定积分的计算 方法：常用的 定积分计算方 法有牛顿-莱布 尼茨公式、积 分表法、数值
积分法等。
定积分的运算和求法
定积分的定义： 对函数在某一区 间上的积分
定积分的性质： 线性性、可加性、 单调性等
导数：函数在某一点的切 线斜率
凹凸性：函数在某点附近 的增减性
拐点：函数在某点附近的 凹凸性发生变化的点
应用：判断函数的单调性、 极值、最值等
洛必达法则和不定积分
洛必达法则：用于求解极限， 包括0/0型和∞/∞型
不定积分：用于求解函数的原 函数，包括基本积分公式和换 元积分法
洛必达法则的应用：求解极限、 求导、求积分等
不定积分的应用：求解函数的 原函数、求导、求积分等
泰勒公式和等价无穷小量代换
等价无穷小量代换：将复杂 函数替换为简单函数，便于 计算和近似
泰勒公式的应用：求极限、 求导数、求积分等
泰勒公式：将函数展开为多 项式形式，便于计算和近似
等价无穷小量代换的应用： 求极限、求导数、求积分等
不定积分与定积分
极限的应用：极限在微积分、函数分析、概率论等领域有着广泛的应用。
极限的运算和求法
极限的定义：函数 在某点或某区间上 的极限值
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3)的定义域.
1 x2
解
f
(x)
1 2
0 x1 1 x2
f
(x
3)
1 2
0 x31 1 x32
1 2
3 x 2 2 x 1
故 D f :[3,1]
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17
三、函数的特性
1．函数的有界性:
若X D, M 0, x X , 有 f ( x) M 成立,
因变量
自变量
当x0 D时, 称f ( x0 )为函数在点x0处的函数值.
函数值全体组成的数集 W { y y f ( x), x D} 称为函数的值域.
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9
函数的两要素: 定义域与对应法则.
( x D x0)
对应法则f
(
W
y f (x0 )
自变量
)
因变量
约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义 的一切实数值.
{x a x b} 称为半开区间, 记作 (a,b]
有限区间
[a,) {x a x} (,b) {x x b}
无限区间
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
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4
3.邻域: 设a与是两个实数 , 且 0.
数集{ x x a }称为点a的邻域 ,
Q----有理数集 R----实数集
数集间的关系: N Z, Z Q, Q R. 若A B,且B A,就称集合A与B相等. ( A B)
例如 A {1,2}, C { x x2 3x 2 0}, 则 A C.
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一、问题的提出
1.自由落体运动的瞬时速度问题
如图, 求 t0时刻的瞬时速度,
取一邻近于t
的时刻
0
t
,
运动时间
t
,
平均速度 v
s t
s s0 t t0
g 2 (t0
t).
当 t t0时, 取极限得
瞬时速度 v lim g(t0 t)
tt0
2
gt0 .
t0
t t
2.切线问题 割线的极限位置——切线位置
x
x
y lim y .
x0 x
例1 求函数 f ( x) C(C为常数)的导数.
解
f ( x) lim h0
f ( x h) h
f ( x) lim C h0
C h
0.
即 (C ) 0.
例2 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
解 (sin x) lim sin( x h) sin x
x0
x
lim ( x0 x0
x) ( x0 )
x
f( x0 ) 存在,
且 f( x0 ) f( x0 ) a,
则 f ( x)在点 x0可导，
且 f ( x0 ) a.
三、由定义求导数
步骤: (1) 求增量 y f ( x x) f ( x);
(2) 算比值 (3) 求极限
y f ( x x) f ( x);
a x ln a.
即 (a x ) a x ln a.
(e x ) e x .
例5 求函数 y log a x(a 0, a 1)的导数.
解 y lim loga ( x h) loga x
1.自由落体运动的瞬时速度问题
如图, 求 t0时刻的瞬时速度,
取一邻近于t
的时刻
0
t
,
运动时间
t
,
平均速度 v
s t
s s0 t t0
g 2 (t0
t).
当 t t0时, 取极限得
瞬时速度 v lim g(t0 t)
tt0
2
gt0 .
t0
t t
2.切线问题 割线的极限位置——切线位置
x
x
y lim y .
x0 x
例1 求函数 f ( x) C(C为常数)的导数.
解
f ( x) lim h0
f ( x h) h
f ( x) lim C h0
C h
0.
即 (C ) 0.
例2 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
解 (sin x) lim sin( x h) sin x
x0
x
lim ( x0 x0
x) ( x0 )
x
f( x0 ) 存在,
且 f( x0 ) f( x0 ) a,
则 f ( x)在点 x0可导，
且 f ( x0 ) a.
三、由定义求导数
步骤: (1) 求增量 y f ( x x) f ( x);
(2) 算比值 (3) 求极限
y f ( x x) f ( x);
a x ln a.
即 (a x ) a x ln a.
(e x ) e x .
例5 求函数 y log a x(a 0, a 1)的导数.
解 y lim loga ( x h) loga x
高等数学课件
微积分在力学中的应用： 解决力学问题，如牛顿第 二定律、能量守恒等
微积分在电学中的应用： 解决电学问题，如电场强 度、电势等
微积分在热力学中的应用： 解决热力学问题，如热传 导、热对流等
微积分在光学中的应用： 解决光学问题，如折射率、 反射率等
微积分在声学中的应用： 解决声学问题，如声速、 声压等
微积分在材料科学中的应 用：解决材料科学问题， 如应力、应变等
傅里叶变换与拉 普拉斯变换的关 系：傅里叶变换 是拉普拉斯变换 的特殊情况，当 s=jω时，傅里 叶变换等于拉普 拉斯变换
傅里叶变换与拉 普拉斯变换的应 用：信号处理、 控制系统分析、 图像处理等领域
05
高等数学解题方法
代数法与因式分解法
代数法：通过代数运算求解问题的方法， 包括解方程、解不等式等
导数与微分
导数：函数在某一点的切线斜率 微分：函数在某一点的增量 导数与微分的关系：导数是微分的极限 导数的计算方法：极限法、导数公式、导数表等 微分的计算方法：微分公式、微分表等 导数与微分的应用：求极限、求导数、求微分等
不定积分与定积分
不定积分：求导数的逆运算，用于求解微分方程 定积分：求函数在某一区间上的面积，用于求解物理问题 积分公式：牛顿-莱布尼茨公式，用于求解不定积分 积分技巧：换元法、分部积分法、积分表等，用于求解定积分
高等数学课件完整版
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目录
01 03 05
单击添加目录项标题
02
高等数学基础知识
04
高等数学解题方法
06
高等数学概述 高等数学核心内容 高等数学实际应用案例
01
添加章节标题
02
高等数学概述
高等数学的定义
《高等数学课件》课件
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该 点的斜率或切线斜率。
导数的几何意义
导数在几何上表示曲线在某一点处的切线斜率 。
导数的性质
导数具有一些重要的性质，如线性性质、乘积法则、商的导数法则等。
导数的计算方法
基本初等函数的导数
对于一些基本的初等函数，如幂函数、指数 函数、三角函数等，它们的导数已经给出。
链式法则
乘积法则用于计算两个函数的导数，公式为 (uv)'=u'v+uv'。
乘积法则
链式法则是计算复合函数导数的重要工具， 通过链式法则可以将复合函数的导数转化为 简单函数的导数。
商的导数法则
商的导数法则是计算分式函数的导数的关键 ，公式为(u/v)'=(u'v-uv')/v^2。
微分的概念与性质
详细描述
无穷级数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用。在 数学领域，无穷级数可以用来证明一些数学定理，如泰 勒定理等；在物理领域，无穷级数可以用来描述一些物 理现象，如振动和波动等；在工程领域，无穷级数可以 用来解决一些工程问题，如信号处理和图像处理等。
感谢您的观看
THANKS
重积分、方向导数等概念的基础。
06
微分方程
微分方程的基本概念
总结词
理解微分方程的基本定义和分类
详细描述
介绍微分方程的定义，以及微分方程 的分类，如线性微分方程、非线性微 分方程、一阶微分方程、高阶微分方 程等。
一阶微分方程的解法
总结词
掌握一阶微分方程的常见解法
详细描述
介绍一阶微分方程的常见解法，如变量分离法、积分因子法、常数变易法等，并 举例说明每种解法的应用。
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该 点的斜率或切线斜率。
导数的几何意义
导数在几何上表示曲线在某一点处的切线斜率 。
导数的性质
导数具有一些重要的性质，如线性性质、乘积法则、商的导数法则等。
导数的计算方法
基本初等函数的导数
对于一些基本的初等函数，如幂函数、指数 函数、三角函数等，它们的导数已经给出。
链式法则
乘积法则用于计算两个函数的导数，公式为 (uv)'=u'v+uv'。
乘积法则
链式法则是计算复合函数导数的重要工具， 通过链式法则可以将复合函数的导数转化为 简单函数的导数。
商的导数法则
商的导数法则是计算分式函数的导数的关键 ，公式为(u/v)'=(u'v-uv')/v^2。
微分的概念与性质
详细描述
无穷级数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用。在 数学领域，无穷级数可以用来证明一些数学定理，如泰 勒定理等；在物理领域，无穷级数可以用来描述一些物 理现象，如振动和波动等；在工程领域，无穷级数可以 用来解决一些工程问题，如信号处理和图像处理等。
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THANKS
重积分、方向导数等概念的基础。
06
微分方程
微分方程的基本概念
总结词
理解微分方程的基本定义和分类
详细描述
介绍微分方程的定义，以及微分方程 的分类，如线性微分方程、非线性微 分方程、一阶微分方程、高阶微分方 程等。
一阶微分方程的解法
总结词
掌握一阶微分方程的常见解法
详细描述
介绍一阶微分方程的常见解法，如变量分离法、积分因子法、常数变易法等，并 举例说明每种解法的应用。
《高等数学》课件
《高等数学》PPT课件
欢迎来到《高等数学》PPT课件。让我们一起探索数学的奇妙世界，进一步 了解高等数学的概述和其在现实生活中的应用与意义。
什么是高等数学
高等数学是数学的重要分支，研究微积分、极限、连续、导数、积分和常微 分方程等概念与理论，为其他学科提供数学工具和方法。
极限与连续
1
极限的定义
极限是数列或函数无限接近某一特定值的概念。学习极限有助于我们理解数学中 的趋势和变化规律。
积分具有线性性质、换元积分法和分部积分法等运算法则，简化了对复杂函数的 积分计算。
3
牛顿-莱布尼兹公式
牛顿-莱布尼兹公式将定积分与不定积分联系起来，使我们能够通过求不定积分 来求定积分。
常微分方程
1 常微分方程的定义
常微分方程描述了自变量和函数之间的关系，在物理、生物和工程等领域中有广泛应用。
2 一阶常微分方程的解法
偏导数及其运算法则
多元函数的极值
偏导数描述了多元函数在给定 方向上的变化率，通过偏导数， 我们可以了解函数在各个方向 上的变化情况。
多元函数的极值是指函数在特 定约束条件下的最大值和最小 值，可以通过偏导数和拉格朗 日乘数法等方法求解。
通过分离变量、齐次化和常数变易法等方法，我们可以解决一阶常微分方程。
3 二阶常微分方程的解法
二阶常微分方程的解法需要基于一阶方程的解法，我们可以通过特征方程和待定系数法 等方法求解。
多元函数微积分初步
二元函数的概念和性质
二元函数描述了自变量和因变 量之间的关系，帮助我们研究 二维空间中的变化规律。
函数的微分
微分是导数的一个重要应用，描述了函数图像在某一点处的近似变化，以及函数在一段区间 内的平均变化率。
欢迎来到《高等数学》PPT课件。让我们一起探索数学的奇妙世界，进一步 了解高等数学的概述和其在现实生活中的应用与意义。
什么是高等数学
高等数学是数学的重要分支，研究微积分、极限、连续、导数、积分和常微 分方程等概念与理论，为其他学科提供数学工具和方法。
极限与连续
1
极限的定义
极限是数列或函数无限接近某一特定值的概念。学习极限有助于我们理解数学中 的趋势和变化规律。
积分具有线性性质、换元积分法和分部积分法等运算法则，简化了对复杂函数的 积分计算。
3
牛顿-莱布尼兹公式
牛顿-莱布尼兹公式将定积分与不定积分联系起来，使我们能够通过求不定积分 来求定积分。
常微分方程
1 常微分方程的定义
常微分方程描述了自变量和函数之间的关系，在物理、生物和工程等领域中有广泛应用。
2 一阶常微分方程的解法
偏导数及其运算法则
多元函数的极值
偏导数描述了多元函数在给定 方向上的变化率，通过偏导数， 我们可以了解函数在各个方向 上的变化情况。
多元函数的极值是指函数在特 定约束条件下的最大值和最小 值，可以通过偏导数和拉格朗 日乘数法等方法求解。
通过分离变量、齐次化和常数变易法等方法，我们可以解决一阶常微分方程。
3 二阶常微分方程的解法
二阶常微分方程的解法需要基于一阶方程的解法，我们可以通过特征方程和待定系数法 等方法求解。
多元函数微积分初步
二元函数的概念和性质
二元函数描述了自变量和因变 量之间的关系，帮助我们研究 二维空间中的变化规律。
函数的微分
微分是导数的一个重要应用，描述了函数图像在某一点处的近似变化，以及函数在一段区间 内的平均变化率。
高数ppt课件
无穷级数的求和法和乘法运算
求和法
求和法是求无穷级数和的基本方法。对于简单的无穷级数，可以直接计算其和。对于复杂的无穷级数，可能需要 使用一些技巧来求解。
乘法运算
乘法运算是指将两个无穷级数相乘。在乘法运算中，需要特别注意收敛性的变化。如果两个无穷级数相乘后的结 果是收敛的，那么它们的乘积就是收敛的；否则，它们的乘积就是发散的。
总结标词题
利•用文无字穷级内数容表示π • 文字内容
和•e是文高字数内中容另一个 • 重文要字的内应容用。
详细描述
π和e是数学中非常重 要的常数，它们都可 以通过无穷级数来表 示。例如，π可以通
过级数sin(x)/x = π/2, x≠0来表示，而 e可以通过级数1 +
x/1! + x^2/2! + x^3/3! + ...来表示。
多元函数的极值和最小二乘法
多元函数的极值
极值是函数在某点达到的最大或最小值。对 于二元函数f(x,y)，如果它在点(x0,y0)达到 极值，那么fx(x0,y0) = 0和fy(x0,y0) = 0。 类似地，对于三元函数f(x,y,z)，它在点 (x0,y0,z0)达到极值，那么fx(x0,y0,z0) = 0 、fy(x0,y0,z0) = 0和fz(x0,y0,z0) = 0。
高数的历史和发展
1 2
3
早期起源
自古希腊数学家开始研究极限和微积分的前身，到17世纪牛 顿和莱布尼茨的微积分学革命。
18世纪发展
以拉格朗日、欧拉等数学家对微积分和解析几何的杰出贡献 为标志。
19世纪现状
高数在物理、工程、经济等多领域得到广泛应用，如麦克斯 韦的电磁学理论、傅里叶的三角级数方法等。
-高等数学-课件完整版
高等数学-课件完整版
2020/10/17
一、 基本概念
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
aM, aM, A {a1 , a2 ,, an }
有限集
M { x x所具有的特征} 无限集
若x A,则必x B,就说A是B的子集. 记作 A B.
2020/10/17
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 .
U (a) {x a x a }.
a
a
a x
点a的去心的邻域,
记作
U
0
(
a
).
U (a) { x 0 x a }.
2020/10/17
5.绝对值:
a
a a
a0 a0
运算性质:
ab a b;
( a 0)
a a; bb
a b a b a b.
0
x
1 ,
求函数
f
(x
3)的定义域.
1 x2
解
f
(
x)
1 2
0 x1 1 x2
f
(
x
3)
1 2
0 x31 1 x32
1 2
3 x 2 2 x 1
故 D f :[3,1]
2020/10/17
三、函数的特性
1．函数的有界性:
若X D, M 0, x X , 有 f ( x) M 成立,
则称函数 f ( x)在区间 I上是单调增加的 ;
y
y f (x)
2020/10/17
f (x2 )
f (x1)
o
x
I
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D, 如果对于区间 I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有 (2) f ( x1 ) f ( x2 ), 则称函数 f ( x)在区间I上是单调减少的;
2020/10/17
一、 基本概念
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
aM, aM, A {a1 , a2 ,, an }
有限集
M { x x所具有的特征} 无限集
若x A,则必x B,就说A是B的子集. 记作 A B.
2020/10/17
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 .
U (a) {x a x a }.
a
a
a x
点a的去心的邻域,
记作
U
0
(
a
).
U (a) { x 0 x a }.
2020/10/17
5.绝对值:
a
a a
a0 a0
运算性质:
ab a b;
( a 0)
a a; bb
a b a b a b.
0
x
1 ,
求函数
f
(x
3)的定义域.
1 x2
解
f
(
x)
1 2
0 x1 1 x2
f
(
x
3)
1 2
0 x31 1 x32
1 2
3 x 2 2 x 1
故 D f :[3,1]
2020/10/17
三、函数的特性
1．函数的有界性:
若X D, M 0, x X , 有 f ( x) M 成立,
则称函数 f ( x)在区间 I上是单调增加的 ;
y
y f (x)
2020/10/17
f (x2 )
f (x1)
o
x
I
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D, 如果对于区间 I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有 (2) f ( x1 ) f ( x2 ), 则称函数 f ( x)在区间I上是单调减少的;
《高等数学》PPT课件
x
y
y
xy ln y xy ln x
y2 x2
例9
设
y
(x
a1 )a1 ( x
a2求
dy dx
解 两边取对数得
ln y a1 ln( x a1 ) a2 ln( x a2 ) an ln( x an )
两边对 x 求导得
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14
例10
1 y a1 a2 an
例6
设 y ( x 1)3 x 1 , 求y. ( x 4)2 e x
解 等式两边取对数得
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11
ln y ln( x 1) 1 ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3
上式两边对 x求导得
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
dx
解得
dy dx
ex y xey
,
由原方程知 x 0, y 0,
dy dx
x0
ex xe
y
y
x0 y0
1.
完整版课件ppt
4
例2 设曲线C的方程为 x3 y3 3 xy,求过C上
点(3 , 3)的切线方程, 并证明曲线C在该点的法 22
线通过原点 .
解 方程两边对 x求导, 3x2 3 y2 y 3 y 3xy
§4、隐函数与参变量 函数微分法
完整版课件ppt
1
一、隐函数的导数
定义: 由方程F(x, y)0所确定的函数 y y(x)称为 隐函数.
相应地，y f (x)形式的函数称为显函数.
F(x, y) 0
y f ( x) 隐函数的显化
问题:1、 方程F(x, y)0什么时候确定一个隐函数？ 2、隐函数不易显化或不能显化如何求导?
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xx0
切线 MT的斜率为 ktan lim f(x)f(x0). x x0 xx0
二、导数的定义
定义 设函数 y f ( x)在点 x0的某个邻域内 有定义, 当自变量 x在 x0处取得增量x (点 x0 x 仍在该邻域内)时, 相应地函数 y取 得增量y f ( x0 x) f ( x0 ); 如果y与 x之比当x 0时的极限存在, 则称函数 y f ( x)在点 x0处可导, 并称这个极限为函 数 y f ( x)在点 x0处的导数, 记为y x x0 ,
一、问题的提出
1.自由落体运动的瞬时速度问题
如图, 求t0时刻的瞬时速, 度
取一邻t0的 近时 于t,刻 运动时间 t,
平均速 v度 s t
s t
s0 t0
g 2 (t0 t).
当tt0时 , 取极限得
瞬
时v 速 lim g度 (0 tt) 2 t t0
gt0.
t0 t
t
2.切线问题 割线的极限位置——切线位置
即 f (0 )f (0 ), 函y数 f(x)在 x0点不 . 可
四、导数的几何意义
★ 如 果 f(x )在 开 区 间 a ,b 内 可 导 ， 且 f (a )及
f (b )都 存 在 ， 就 说 f(x )在 闭 区 间 a ,b 上 可 导 .
★
设函f(x 数 ) ((x x)),,
xx0, xx0
讨论x在 0的点
可导 . 性
若 lim f(x0 x)f(x0)
x 0
x
lx i0m (x0 x x )(x0)f(x0)存,在
若 lim f(x0 x)f(x0)
x 0
x
lx i0m (x0 x x )(x0)f(x0)存,在
且 f ( x 0 ) f ( x 0 ) a ,
则f(x)在点x0可导，
且 f(x0)a.
三、由定义求导数
步骤: ( 1 ) 求 y 增 f ( x x 量 ) f ( x );
dy 或df(x)
dxxx0
dx
, xx0
即 y x x 0 l x 0 i x y m l x 0 ifm (x 0 x x ) f(x 0 )
其它形式 f(x 0) lh i0m f(x 0 h h )f(x 0).
f(x0)x l ix0 m f(xx ) x f0 (x0).
1 x
loga
e.
即 (lo axg )1 xloae g.
(lnx) 1 . x
例6 讨论f(函 x)x数 在 x0处的.可导
解 f(0h)f(0)h,
h
h
lim f(0h)f(0)lim h 1,
h 0
h
h h 0
y y x
o
x
f(0h )f(0 ) h
lim
lim1.
h 0
h
h h 0
2.右导数:
f ( x 0 ) x lx 0 i 0 f m ( x x ) x f 0 ( x 0 ) l x i 0 f ( m x 0 x x ) f ( x 0 ) ;
★ 函 数 f(x )在 点 x 0处 可 导 左 导 数 f (x 0)和 右 导 数 f (x 0)都 存 在 且 相 等 .
解 (sx i)n lis m ix n h ()sixn
h 0
h
h
limcos(x
h0
h) 2
sin 2
h
cx o . s
2 即(sx ) i n co x . s
(sixn) x coxsx
4
4
2. 2
例3 求函 yx数 n(n为正 )的 整导 .数数
解 (xn)lim (xh)nxn
解 (ax)lim axhax
h0 h ax limah 1
h0 h axlna.
即(ax)axl求y 函 lo ax ( 数 g a 0 ,a 1 )的.导数
解 ylim loa(g xh )loax g
h 0
h
h
lim
loga
(1
) x
1
h0
h
x
x
1xlh im 0loag(1h x)h x
h 0
h
li[n m n 1 x n (n 1 )x n 2 h h n 1 ]nxn1
h 0
2 !
即(xn)nn x 1.
更一般地 (x ) x 1 . ( R )
例如,
(
x )
1
11
x2
2
1. 2x
( x 1 )
(1)x11
1 x2
.
例4 求函 f(x) 数 ax(a0 ,a1 )的.导数
记作 y, f(x),dy或df(x). dx dx
即 ylim f(x x)f(x)
x 0
x
或 f(x ) lif m (x h )f(x ).
h 0
h
注意: 1.f(x0)f(x)xx0.
2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近 函数.
播放
★ 单侧导数
1.左导数:
f ( x 0 ) x lx 0 i 0 f m ( x x ) x f 0 ( x 0 ) l x i 0 f ( m x 0 x x ) f ( x 0 ) ;
播放
精品资料
y
如图, 如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线.
yf(x)
N
T
CM
极限位置即
o
x0
xx
M N 0, NM 0.T设 M (x 0 ,y 0 )N ,(x ,y ).
割线 MN的斜率为 tan y y0 f(x) f(x0),
N 沿 C 曲 M 线 ,x x 0 , x x0
关于导数的说明：
★ 点导数是因变x0量 处在 的点 变化 ,它率 反映因 了变量随自变量 而的 变变 化化 的快 慢程.度
★ 如果y函 f(x数 )在开I内 区的 间每 处都, 就 可称 导f(函 x)在 数 开I内 区可 间 . 导
★ 对于任x 一I,都对应f(着 x)的一个确定的 导数.这 值个函数叫做原 f(x)来 的函 导数 函 . 数
(2 )算比 y f(x 值 x ) f(x );
x
x
(3)求极 y 限 lim y.
x 0 x
例1 求函 f(x ) C 数 (C 为)常 的数 .导数
解 f(x)lim f(xh )f(x)limCC 0.
h 0
h
h0 h
即(C )0.
例2 设函 f(x ) s数 ix ,n 求 (sx ) i及 n (sx ) ix n . 4