大一高数上PPT课件

高等数学研究的主要对象是函数，主要研
究函数的分析性质（连续、可导、可积等）和 分析运算（极限运算、微分法、积分法等）。 那么高等数学用什么方法研究函数呢？这个方 法就是极限方法，也称为无穷小分析法。从方 法论的观点来看，这是高等数学区别于初等数 学的一个显著标志。
由于高等数学的研究对象和研究方法与初
K1，使对任一xX，有f(x)K1，则称函数f(x) 在X上有上界，而称K1为函数 f(x)在X上的一个 上界。
图形特点：
y
y=K1
y=f(x)的图形在
直线y=K1的下方。
y=f(x)
O
x
如果存在数K2，使对任一xX，有f(x)K2， 则称函数f(x)在X上有下界，而称K2为函数f(x) 在X上的一个下界。 图形特点：函数 y=f(x) 的图形在直线 y=K2
元素: 组成集合的事物称为集合的元素。a 是集 合M的元素表示为aM。 集合的表示:
(1) A={a, b, c, d, e, f, g}。 (2) M={(x, y) | x，y为实数，x2+y2 =1}。
几个数集: R表示所有实数构成的集合，称为实数集。 Q表示所有有理数构成的集合，称为有理集。 Z表示所有整数构成的集合，称为整数集。 N表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集。
2. 举例
圆的面积的计算公式为A=pr2，半径r可取
(0, +)内的任意值。
由落体下落距离的计算公式为s= 1- gt2，t
可取[0, T]内的任意值。
2
圆内接正n边形的周长的计算公式为
Sn=2nr
sin p-
n
，
n可取3，4，5，
。
3. 函数的定义 设 D 是一个给定的数集。如果对于每个数
xD，变量 y 按照一定法则总有确定的数值和 x对应，则称 y 是 x 的函数，记作y=f(x)。
什么样的函数存在反函数？
y y=f(x)
y
y
y=f(x) y
-x O
x
xO
单调函数存在反函数.
xx
关于反函数的变量符号：
在数学中，习惯上自变量用x表示，因变量用y 表 示。按此习惯，我们把函数 y=f(x)的反函数x=f -1 (y) 改写成y= f -1 (x)。
反函数的图形： 反函数的图形与
子集: 若xA，则必有xB，则称A是B 的子集, 记
为AB（读作A包含于B）。 显然，N Z ，Z Q ，Q R 。
2. 区间:
数集{x|a<x<b}称为开区间，记为(a, b)， 即 (a, b)={x|a<x<b}。
(a， b)
Oa
bx
[a, b]={x|axb}称为闭区间。
[a， b]
的之间。
y
y= M
y=f(x)
O
x
y= -M
函数的有界性举例：
f(x) = sin x在(-, +)上是有界的： 即| sin x | 1。
y
1
y=sin x
-2p
-p
O
p
2p x
-1
无界函数举例：
y
函数f(x)=1/x在开区间
(0,1)内是无界的。 函数f(x) =1/x在(0, 1)内
有下界，无上界。
4. 函数的图形 在坐标系xOy内，集合 C={(x, y) | y=f(x)，xD}
所对应的图形称为函数y=f(x)的图形。
y
Rf y
y=f(x)
(x, y) C
O
x
x
D
5. 函数举例 例1. 在直角坐标系中，由方程x2+y2=r2确
定了一个函数。 对于任意x(-r, r)，对应的函数值有两个：
果对于任意的xD，有f(-x)= f(x)，则称f(x)
为偶函数。
偶函数的图形关于y轴对称。
y
偶函数举例： y=x2，
y=f(x) f(百度文库x)=f(x)
y=cos x
都是偶函数
-x O
x
x
如果对于任意的xD，有 f(-x)=-f(x)，则 称f(x)为奇函数。奇函数的图形关于原点对称。
y
2
1
0 1x
任取 xD，与 x对应的 y的数值称为函数 y=f(x)在点 x处的函数值，记为 f(x)。
值域：Rf={y | y=f(x),xD}。
求函数的定义域举例：
求 函 数 y = 1 - x 2 - 4 的 定 义 域 。 x
解: 要使函数有意义, 必须x0, 且x2-40。 解不等式得|x|2。
函数的定义域为 D={x| |x|2}, 或D=(-, -2][2, +)。
微积分学，无穷级数论和作为理论基础的
极限理论我们这门课程叫高等数学，它的内容 包括一元和多元，以及作为一元微积分学的简 单应用——常微分方程。由于构成它的主体是 一元函数微积分学，所以有时又称为微积分。
17世纪（1763年）Descartes建立了解析几 何，同时把变量引入数学，对数学的发展产生 了巨大的影响，使数学从研究常量的初等数学 进一步发展到研究变量的高等数学。微积分是 高等数学的一个重要的组成部分，是研究变量 间的依赖关系——函数的一门学科，是学习其 它自然科学的基础。
定义中，数集D叫做这个函数的定义域， x 叫做自变量，y叫做因变量。
函数符号: 函数y=f(x)中表示对应关系的记号f 也可改
用其它字母，例如j 、F 等。此时函数就记作 y=j(x)，y=F(x)。
定义域： 在数学中，有时不考虑函数的实际意义，
而抽象地研究用算式表达的函数。这时约定函 数的定义域就是自变量所能取的使算式有意义 的一切实数值。 函数值：
y f(x2)
y=f(x)
f(x1)
O
x1
x2
x
I
如果对于区间I上任意两点x1及x2，当
x1<x2时，恒有 f(x1)
>
f(x2)，
则称函数f(x)在区间I上是单调减少的。
y
f(x1) y=f(x)
f(x2)
O
x1
x2
x
I 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。
3. 函数的奇偶性 设函数f(x)的定义域D关于原点对称。如
等数学有很大的不同，因此高等数学呈现出 以下显著特点：
理论性更强 概念更复杂 表达形式更加抽象 推理更加严谨
因此在学习高等数学时，应当认真阅读和 深入钻研教材的内容，一方面要透过抽象的 表达形式，深刻理解基本概念和理论的内涵 与实质，以及它们之间的内在联系，正确领 会一些重要的数学思想方法，另一方面也要 培养抽象思维和逻辑推理的能力。
y = sgn x
1
O
x
-1
-2
例5.函数y=[x]称为取整函数,任给x, [x]取值
为不超过x的最大整数, 即x -1<[x] ≤ x 。 y
函数的定义域为D=(-, +)， 5
y=[x]
函数的值域为Rf =Z
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 x
-1
-2
-3
-4
-5
例 6 .函 数 y = 1 2 + x x , , 0 x 1 x 1 是 一 个 分 段 函 数 。 函数的定义域为 D=[0, 1](1, +)=[0, +)。 当 当 0 0 x x 1 1 时 时 ， ， y y = = 2 2 x x ； ； 当 当 x x > > 1 1 时 时 ， ， y y = = 1 1 + + x x 。 。
算 y= u ，这就是说函数 y= 1-x2 的对应法则是由函 数u=1-x2和y= u 所决定的，我们称函数 y= 1-x2 是 由函数u=1-x2和y= u 复合而成的复合函数，变量 u称
-2
奇函数举例： y=x3，
y=sin x 都是奇函数。
4. 函数的周期性
设函数f(x)的定义域为D。如果存在一个不为零 的数 l ，使得对于任一xD有(xl)D，且 f(x+l) = f(x)，则称f(x)为周期函数，l 称为f(x)的周期。
周期函数的图形特点：
-2l
-l
y y=f(x)
O
l
2l
y
2
y=2
O
x
例3. 函数 y=|x|= x, x0 称为绝对值函数。 -x, x<0
函数的定义域为D=(-, +)。 函数的值域为Rf =[0, + )。
y
y=|x|
O
x
1, 当x>0 例4. 函数 y = sgn x = 0, 当x=0 称为符号函数。
-1, 当x<0 函数的定义域为D=(-, +)。 y 函数的值域为Rf ={-1, 0, 1}。 2
学习数学，必须做一定数量的习题，做习 题不仅是为了掌握数学的基本运算方法，而且 也可以帮助我们更好地理解概念、理论和思想 方法。但我们不应该仅仅满足于做题，更不能 认为，只要做了题，就算学好了数学。
高等数学中几乎所有的概念都离不开极限， 因此极限概念是高等数学的重要概念，极限理 论是高等数学的基础理论，极限是高等数学的 精华所在，是高等数学的灵魂。因此很好地理 解极限概念是学习好微积分的关键，同时也是 从初等数学迈入高等数学的一个重要阶梯。
O
bx
(a，+)
(a, +) ={ x|a<x}， (-, b) ={ x|x<b}，
Oa
x
(- ， b)
O
bx
(-,+) = R
3. 邻域: 以点 a 为中心的任何开区间称为点 a 的邻域，记
作U(a)。
设>0，则称区间(a-, a+)为点a 的邻域，记作 U(a, )，即 U(a, ) ={x|a-<x<a+} ={x| |x-a|<}。 其中点 a 称为邻域的中心, 称为邻域的半径。
y = - r2 - x2 及y = r2 - x2 。 如果自变量在定义域内任取一个数值时， 对应的函数值只有一个，这种函数叫做单值 函数，否则叫做多值函数。 以后凡是没有特别说明时，函数都是指单 值函数。
例2. 函数 y=2。 函数的定义域为D = (-, +)。 函数的值域为Rf ={2}。 函数的图形为一条平行于x 轴的直线。
Oa
bx
[a, b)={x|ax<b}及 (a, b]={x|a<xb}称为
半开区间。
[a， b)
Oa
bx
(a， b]
Oa
bx
上述区间都是有限区间，其中a 和 b 称为 区间的端点，b-a 称为区间的长度。
以下区间称为无限区间：
[a，+)
[a, +) ={ x|ax}，
Oa
x
(- ， b]
(-, b] ={ x|xb}，
直接函数的图形关 于直线y = x对称。
y y=j(x)
Q(b,a)
y=x y=f(x)
O
P(a,b)
x
2．复合函数
例 函数 y= 1-x2 表示 y是 x的函数，它的定义域为 [-1，1]．设 u=1-x2，则函数 y= 1-x2 的值可以按如 下方法计算：
对于任一 x [-1，1]，先计算 u=1-x2，然后再计
O a-
a+ x
去心邻域:
U
(a,)
={x
|0<|
x-a
|<}。
O a- a a+ x
二、函数的概念
1. 常量与变量
在观察自然现象或技术过程时，常会遇到各种不 同的量，其中有的量在过程中不起变化始终只取同 一数值，这种量叫做常量。
还有一些量在过程中是变化着的，也就是可以取 不同的数值，这种量叫做变量。
x
四、反函数与复合函数
1. 反函数 设函数y=f(x)的定义域为D，值域为W。 对于任一数值 yW，D上可以确定唯一数值
x 与 y 对应，这个数值 x 适合关系 f(x)=y。
如果把 y看作自变量，x 看作因变量，按 照函数的定义就得到一个新的函数，这个 新函数称为函数y=f(x)的反函数，记作 x=f -1(y)。
的上方。
y
y=f(x)
O
x
y=K2
如果存在数 M,使对任一 xX，有 | f(x) |M，
则称函数f(x)在X上有界；如果这样的M不存在，
则称函数f(x)在X上是无界函数，就是说对任何M，
总存在 x1X，使|f(x)|>M。 有界函数的图形特点：
函数y = f(x)的图形在直线y = - M和y = M
y
f ( 1 ) = 2 1 = 2 ； f ( 1 ) = 2 1 = 2 ； 22 3
y = 1+x
1 ) = 2 1 = 2 ； f ( 1 ) = 2 1 = 2 ； 2 22
f (3) = 1+3 = 4。 1 y = 2 x
O1 2 3 x
三、函数的几种简单特性
1. 函数的有界性
设函数f(x)在数集X上有定义。如果存在数
y=1/x
这是因为，任取M>1，
总有0< x1<M -1<1，使 f(x1)>M，所以函数无上界。
但此函数在(1, 2)内是 O
1
2
x
有界的。
2. 函数的单调
性 设函数y= f(x)在区间I上有定义。如果对
于区间 I 上任意两点x1及x2, 当x1 < x2时，恒有 f(x1) < f(x2)，
则称函数f(x)在区间I上是单调增加的。
参考书目
＜工科数学分析基础＞ 马知恩 等编 （高教出版社）
＜高等数学释疑解难＞ 工科数学课委会编（高教出版社）
＜高等数学辅导＞ 盛祥耀 等编（清华大学出版社）
＜高等数学解题方法及同步训练＞
同济大学编（同济大学出版社）
第一章 函数与极限
§1.1 函 数
一、集合及其运算
1.集合
集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事 物的总体。集合用A，B，M等表示。