2017年12月松江区高三一模数学Word版(附解析)

上海市松江区2018届高三一模数学试卷

2017.12

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1. 计算：2lim 31n n n →∞=-

2. 已知集合{|03}A x x =<<，2{|4}B x x =≥，则A B =

3. 已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若1918a a +=，47a =，则10S =

4. 已知函数2()log ()f x x a =+的反函数为1()y f x -=，且1(2)1f -=，则实数a =

5. 已知角α的终边与单位圆221x y +=交于点01(,)2

P y ，

则cos2α= 6. 图为一个算法的程序框图，当输入值x 为8时，则其输

出的结果是

7. 函数sin 2y x =的图像与cos y x =的图像在区间[0,2]π

上交点的个数是

8. 若直线30ax y -+=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于

A 、

B 两点，且23AB =，则a =

9. 在ABC ∆中，90A ∠=︒，ABC ∆的面积为1，若BM MC =，4BN NC =，则AM AN ⋅ 的最小值为

10. 已知函数()|2|1f x x x a =--有三个零点，则实数a 的取值范围为

11. 定义(,)a a b F a b b a b ≤⎧=⎨>⎩

，已知函数()f x 、()g x 的定义域都是R ，则下列四个命题中 为真命题的是 （写出所有真命题的序号）

① 若()f x 、()g x 都是奇函数，则函数((),())F f x g x 为奇函数；

② 若()f x 、()g x 都是偶函数，则函数((),())F f x g x 为偶函数；

③ 若()f x 、()g x 都是增函数，则函数((),())F f x g x 为增函数；

④ 若()f x 、()g x 都是减函数，则函数((),())F f x g x 为减函数；

12. 已知数列{}n a 的通项公式为2n n a q q =+（0q <，*n N ∈），若对任意*,m n N ∈都有

1(,6)6

m n a a ∈，则实数q 的取值范围为

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13. 若2i -是关于x 的方程20x px q ++=的一个根（其中i 为虚数单位，,p q R ∈），则q 的值为（ ）

A. 5-

B. 5

C. 3-

D. 3

14. 已知()f x 是R 上的偶函数，则“120x x +=”是“12()()0f x f x -=”的（ ）

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

15. 若存在[0,)x ∈+∞使221x

x m x

<成立，则实数m 的取值范围是（ ） A. (,1)-∞ B. (1,)-+∞ C. (,1]-∞- D. [1,)+∞

16. 已知曲线1:||2C y x -=与曲线222:4C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（ ）

A. (,1][0,1)-∞-

B. (1,1]-

C. [1,1)-

D. [1,0](1,)-+∞

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17. 在ABC ∆中，6AB =，AC =，18AB AC ⋅=-.

（1）求BC 边的长；

（2）求ABC ∆的面积.

18. 已知函数()|1|a f x x

=-（0x ≠，常数a R ∈）. （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；

（2）当0a >时，研究函数()f x 在(0,)x ∈+∞内的单调性.

19. 松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t （单位：分钟）满足220t ≤≤，经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t 相关，当1020t ≤≤时电车为满载状态，载客量为400人，当210t ≤<时，载客量会减少，减少的人数与(10)t -的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记电车载客量为()p t .

（1）求()p t 的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量；

（2）若该线路每分钟的净收益为6()150060p t Q t

-=

-（元），问当发车时间间隔为多少时， 该线路每分钟的净收益最大？

20. 已知椭圆2222:1x y E a b +=（0a b >>）经过点3(1,)2

，其左焦点为(3,0)F -，过F 点 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，交y 轴的正半轴于点M .

（1）求椭圆E 的方程；

（2）过点F 且与l 垂直的直线交椭圆于C 、D 两点，

若四边形ACBD 的面积为

43

，求直线l 的方程； （3）设1MA AF λ=，2MB BF λ=，求证：12λλ+为定值.

21. 已知有穷数列{}n a 共有m 项（2m ≥，*m N ∈），且1||n n a a n +-=（11n m ≤≤-，*n N ∈）.

（1）若5m =，11a =，53a =，试写出一个满足条件的数列{}n a ；

（2）若64m =，1=2a ，求证：数列{}n a 为递增数列的充要条件是642018a =；

（3）若10a =，则m a 所有可能的取值共有多少个？请说明理由.