方程与不等式专题

专题二《方程与不等式》

●中考点击

考点分析：

命题预测：方程与方程组始终是中考命题的重点内容，近几年全国各地的中考试题中，考查方程和方程组的分值平均占到25%，试卷涉及的主要考点有方程和方程组的解法；一元二次方程根的判别式以及根与系数关系的简单运用；列方程和方程组解应用题三大类问题．其中列一元一次方程求解商品利润问题以选择题为主；一元二次方程的解法以选择题和解答题为主；根的判别式及根与系数的关系以选择题和解答题为主，但难度一般不大；列二元一次方程组解应用题以解答题为主，主要考查解工程类、方案设计类及愉策类问题．结合2007－2008年的中考题不难看出，课改区对方程（组）的考题难度已经有所降低，如根与系数关系的运用，课改区几乎不再考查．

不等式与不等式组的分值一般占到5－8%左右，其常见形式有一元一次不等式（组）的解法，以选择题和填空题为主，考查不等式的解法；不等式（组）解集的数轴表示及整数解问题，以选择题和填空题为主；列不等式（组）解决方案设计问题和决策类问题，以解答题为主．近年试题显示，不等式（组）的考查热点是其应用，即列不等式（组）求解实际生活中的常见问题．

由此可见，在方程（组）与不等式（组）这一专题中，命题趋势将会是弱化纯知识性的考题，而更加热衷于数学知识在生活中的应用问题． ●难点透视

例1解方程：

224111

x x x x -=-+- ． 【考点要求】本题考查了分式方程的解法． 【思路点拨】去分母将分式方程转化为整式方程是解分式方程的基本方法，验根只需将结果代入最简公分母即可．

原方程变形为

)

1)(1(4121-+=+--x x x x x 方程两边都乘以)1)(1(-+x x ，去分母并整理得022

=--x x ，解这个方程得1,221-==x x ．经检验，2=x 是原方程的根，1-=x 是原方程的增根．∴原方程的根是2=x ．

【答案】2=x ．

【方法点拨】部分学生在解分式方程时，往往不能拿到全部分数，其中很多人是因为忘记检验．突破方法：牢牢记住分式方程必须验根，检验这一步不可缺少．

例2⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-.

03,04222xy x y x

【考点要求】本题考查用消元法解二元二次方程组． 【思路点拨】解方程组的基本思路就是消元和降次，要根据方程组的特点选取适当方法．

⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-②

xy x ①y x .

03,04222由方程①可得()()022=-+y x y x ，

∴02,02=-=+y x y x 或.它们与方程②分别组成两个方程组：

⎩⎨⎧=+-=+0

40

22

xy x y x ⎩⎨⎧=+-=-0

40

22

xy x y x 解方程组⎩⎨

⎧=+-=+0

4022

xy x y x 可知，此方程组无解；

解方程组⎩⎨⎧=+-=-04022xy x y x 得⎩⎨

⎧-=-=⎩⎨

⎧==42

42

2

221y x x x 所以原方程组的解是⎩⎨

⎧-=-=⎩⎨

⎧==424

2

2

221y x x x 【答案】⎩⎨

⎧-=-=⎩⎨

⎧==4

2

42

2221y x x x 【规律总结】少数学生未能掌握二元二次方程组的基本解题思路，不知如何处理．突破方法：将第一个方程通过因式分解，得到两个一次方程，再分别与第二个方程组成两个新的方程组，求解．

解题关键：解二元二次方程组的基本解题思想是消元，即化二元为一元．常用的方法就是通过因式分解进行降次，再重新组成新的方程组求解，所求得的结果即为原方程组的解．

例3下列一元方程中，没有实数根的是（ ）

A ．01-22

=+x x B ．02x 222

=++x

C ．01x 22

=++

x D ．02x 2=++-x

【考点要求】本题考查一元二次方程根的判别式．

【思路点拨】根据2

4b ac =-，确定好选项方程中的各项的系数及常数项，代入根的判别式进行计算，如果所求结果非负，则有实数根；否则没有实数根．

C

选项中22

44112b ac =-=-⨯⨯=-＜0，方程无实数根．

【答案】选C ． 【错解分析】出现错误的学生主要是两原因：一是根的判断式未能记牢，出现使用错误，二是在确定各项系数和常数项时，弄错符号，导致计算错误．突破方法：将一元二次方程化

为一般式后，再确定系数及常数项．

解题关键：根据2

4b ac =-可知，若二次项系数与常数项异号，则方程必有实数根，从而缩小解题范围．

例4用换元法解分式方程22

2

1x x x x

++=

+时，如果设2y x x =+，那么原方程可化为关于y 的一元二次方程的一般形式是 ．

【考点要求】本题考查利用换元法将分式方程转化为整式方程．

【思路点拨】整体代换（换元法）也是我们解方程常用的方法之一，它在解方程中起到消元、降次简化运算的作用．

把2y x x =+代入原方程得，2

1y y

+=，即220y y +-=，故答案应填写220y y +-=．

【答案】220y y +-=．

【方法点拨】整体换元要求原方程具备一定结构特点，如果不具备，必须设法通过变形化出相同或者相关的形式再进行换元．

例5若不等式组⎩⎨

⎧->-->6

33

32a x x x 的正整数解只有2，求a 的整数值．

【考点要求】本题考查解不等式组及不等式组的解集等知识的综合运用．

要求a 的值，可先求出不等式组中的各不等式的解集，再根据不等式组的正整数解只有2，列出关于a 的不等式组，进而求出a 的值．

⎩⎨

⎧->-->63332a x x x ，解得⎪⎩

⎪

⎨⎧-><363

a x x ． 又∵原不等式组只有正整数解2． 由右图，应有23

6

1<-≤

a ． ∴,129<≤a ∴.11,10,9=a 【答案】.11,10,9=a

【误区警示】部分学生解出不等式组的解集后，不知如何运用“正整数解只有2”这一条件．突破方法：用含a 的代数式表示不等式组的解集，结合数轴表示出不等式组的解集，再转化为关于a 的不等式组，求出a 的值．

例6如图甲是某学校存放学生自行车的车棚的示意图（尺寸如图所示），车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图乙是车棚顶部截面的示意图，弧AB 所在圆的圆心为O ．

车棚顶部是用一种帆布覆盖的，求覆盖棚顶的帆布的面积（不考虑接缝等因素，计算结果保留π）．

O B

A ·

图乙

图甲