PKPM建模中手算楼梯方法

第8章楼梯结构设计计算
楼梯的平面布置，踏步尺寸、栏杆形式等由建筑设计确定。

板式楼梯和梁式楼梯是最常见的现浇楼梯，宾馆和公共建筑有时也采用一些特种楼梯，如螺旋板式楼梯和剪刀式楼梯(图8-1)。

此外也有采用装配式楼梯的。

这里主要介绍板式楼梯和梁式楼梯的计算机构造特点。

(a)剪刀式楼梯(b)螺旋板式楼梯
图8-1 特种楼梯
楼梯的结构设计包括以下内容：
1) 根据建筑要求和施工条件，确定楼梯的结构型式和结构布置；
2) 根据建筑类别，按《荷载规范》确定楼梯的活荷载标准值。

需要注意的是楼梯的活荷载往往比所在楼面的活荷载大。

生产车间楼梯的活荷载可按实际情况确定，但不宜小于3.5kN ／m(按水平投影面计算)。

除以上竖向荷载外，设计楼梯栏杆时尚应按规定考虑栏杆顶部水平荷载0.5kN／m(对于住宅、医院、幼儿园等)或1.0kN／m(对于学校、车站、展览馆等)；
3).进行楼梯各部件的内力计算和截面设计;
4) 绘制施工图，特别应注意处理好连接部位的配筋构造。

1．板式楼梯
板式楼梯由梯段板、休息平台和平台梁组成(图8-2)。

梯段是斜放的齿形板，支承在平台梁上和楼层梁上，底层下端一般支承在地垄墙上。

板式楼梯的优点是下表面平整，施工支模较方便，外观比较轻巧。

缺点是斜板较厚，约为梯段板斜长的1／25—1／30，其混凝土
图8-2 板式楼梯的组成
图8-3 梯段板的内力
用量和钢材用量都较多，一般适用于梯段板的水平跨长不超过3m 时。

板式楼梯的计算特点：梯段斜板按斜放的简支梁计算(图8-3)，斜板的计算跨度取平台梁间的斜长净距'
n l 。

设楼梯单位水平长度上的竖向均布荷载q g p +=(与水平面垂直)，则沿斜板单位斜长上的竖向均布荷载αcos '
p p =(与斜面垂直)（三角形斜边了），此处α为梯段板与水平线
间的夹角(图8-4)，将'
p 分解为:
ααα
c o s c o s c o s ''⋅==p p p x
αααs i n c o s s i n ''⋅==p p p y
此处
','y x p p 分别为'p 在垂直于斜板方向及沿斜板方向的分力，忽略'y p 对梯段板的影
响，只考虑'x p 对梯段板的弯曲作用。

设n l 为梯段板的水平净跨长， 'n l 为其斜向净跨长, 因 αcos 'n n l l =
故斜板弯矩:
斜板剪力:
因此，可以得到简支斜板(梁)计算的特点为：
1) 简支斜梁在竖向均布荷载p (沿单位水平长度)作用下的最大弯矩，等于其水平投影长度的简支梁在户作用下的最大弯矩;
2) 最大剪力等于斜梁为水平投影长度的简支粱在p 作用下的最大剪力值乘以αcos ; 3) 截面承载力计算时梁的截面高度应垂直于斜面量取。

虽然斜板按简支计算，但由于梯段与平台梁整浇，平台对斜板的变形有一定约束作用，故计算板的跨中弯矩时，也可以近似取102
max n ql M =。

为避免板在支座处产生裂缝，应在板上面配置一定量钢筋，一般取Ф8@200mm ，长度为4n l 。

分布钢筋可采用Ф6或Ф8，每级踏步一根。

平台板一般都是单向板，可取lm 宽板带进行计算，平台板一端与平台梁整体连接，另
一端可能支承在砖墙上，也可能与过梁整浇，跨中弯矩可近似取为
2
81pl M =
，或取
2
101pl M ≅。

考虑到板支座的转动会受到一定约束，一般应将板下部受力钢筋在支座附近
弯起一半,必要时可在支座处板上面配置一定量钢筋, 如图(8-5)所示。

图8-4 斜板上的荷载 图8-5 平台板配筋
例8-1 某公共建筑现浇板式楼梯，楼梯结构平面布置见图(8-6)。

层高3.6m ，踏步尺寸150×300mm （踏步高×宽）。

采用混凝土强度等级C25，钢筋为HPB235 和 HRB335。

楼梯上均布活荷载标准值=3.5kN ／m 2，试设计此楼梯。

1. 楼梯板计算
板倾斜度 ,5.000150==αtg 894.0cos =α 设板厚h=120mm ；约为板斜长的1／30。

取lm 宽板带计算 (1) 荷载计算
图8-6 例8-1的楼梯结构平面
荷载分项系数 2.1=G γ 4.1=Q
γ 基本组合的总荷载设计值 m kN p /82.124.15.32.16.6=⨯+⨯= 表8-1 梯段板的荷载
(2) 截面设计
板水平计算跨度m l n 3.3=
弯矩设计值
m kN pl M n ⋅=⨯⨯==
96.133.382.1210110122
mm h 100201200=-=
117.010010009.111096.13262
01=⨯⨯⨯==
bh f M
c s αα
614.0124.0117.0211211=<=⨯--=--=b s ξαξ
2
01703210124
.010010009.11mm f bh f A y
c s =⨯⨯⨯=
=
ξ
α
%27.021027
.145.045.0%59.01201000703min 1===>=⨯==
y t s f f bh A ρρ
选配ø10@110mm, A s =714mm 2
分布筋ø8，每级踏步下一根，梯段板配筋见图(8-7)。

表8-2 平台板的荷载
2. 平台板计算
设平台板厚h=70mm, 取lm 宽板带计算。

(1) 荷载计算 总荷载设计值
m kN p /19.85.34.174.22.1=⨯+⨯=
(2) 截面设计 板的计算跨度
m l 76.12/12.02/2.08.10=+-=
弯矩设计值
m kN pl M ⋅=⨯⨯==
54.276.119.810110122
mm h 5020700=-=
085.05010009.111054.22
6
2
01=⨯⨯⨯==
bh f M
c s αα
614
.009.0085.0211211=<=⨯--=--=b s ξαξ
2
0125521009
.05010009.11mm f bh f A y
c s =⨯⨯⨯=
=
ξ
α
%27.021027
.145.045.0%364.0701000255min 1===>=⨯==
y t s f f bh A ρρ
选配ø6/8@140mm, A s =281mm 2 平台板配筋见图(8-7)。

图8-7 梯段板和平台板配筋
3. 平台梁B1计算
设平台梁截面 mm b 200= mm h 350= (1) 荷载计算
总荷载设计值 m kN p /44.304.193.82.195.14=⨯+⨯= (2) 截面设计
计算跨度 m l l n 53.3)24.06.3(05.105.10=-== 弯矩设计值
m kN pl M ⋅=⨯⨯==
4.4753.344.30818122
剪力设计值
KN pl V n 1.5136.344.3021
21=⨯⨯==
截面按倒L 形计算,
mm h b b f f 550705200'5'=⨯+=+=
mm h 315353500=-= 经计算属第一类T 形截面, 采用HRB335钢筋
07.03155509.11104.4726
2
0'1=⨯⨯⨯==
h b f M
f c s αα
55.0074.007.0211211=<=⨯--=--=b s ξαξ
2
0'1508300074
.03155509.11mm f h b f A y
f c s =⨯⨯⨯=
=
ξ
α
%2.045.0%73.0350200508
min 1==>=⨯==
y
t s f f bh A ρρ
选2ø14+1ø16，A s =509.1mm 2 斜截面受剪承载力计算 配置箍筋ø6@200mm
kN V kN h S A f bh f V sv yv
t u 1.5141.79315200
3.28221025.131520027.17.025.17.000=>=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+=
满足要求
平台梁配筋见图(8-8)。

图8-8 平台梁配筋
2．梁式楼梯
梁式楼梯由踏步板，斜梁和平台板、平台梁组成(图8-9)。

其荷载传递为：
1)踏步板
踏步板按两端简支在斜梁上的单向板考虑，计算时一般取一个踏步作为计算单元，踏步板为梯形截面，板的计算高度可近似取平均高度2/)(21h h h +=(图8-10)板厚一般不小于30mm~40mm ，每一踏步一般需配置不少于2ø6的受力钢筋，沿斜向布置间距不大于300mm 的ø6分布钢筋。

图8-9 梁式楼梯的组成图8-10 踏步板
2)斜边梁
斜边梁的内力计算特点与梯段斜板相同。

踏步板可能位于斜梁截面高度的上部，也可能位于下部，计算时可近似取为矩形截面。

图(8-11)为斜边梁的配筋构造图。

3)平台梁
平台梁主要承受斜边梁传来的集中荷载(由上、下楼梯斜梁传来)和平台板传来的均布荷载，平台梁一般按简支梁计算。

图8-11 斜梁的配筋
例8-2某数学楼楼梯活荷载标准值为2.5kN／m2，踏步面层采用30mm厚水磨石，底面为20mm厚，混合砂浆抹灰，混凝土采用C25，梁中受力钢筋采用HRB335，其余钢筋采用HPB235，楼梯结构布置如图(8-12)所示。

试设计此楼梯。

(a)楼梯结构平面 (b)楼梯结构剖面
图8-12 梁式楼梯结构布置图
解: 1. 踏步板(TB 一1)的计算
(1)荷载计算 (踏步尺寸mm mm b a 15030011⨯=⨯。

底板厚d=40mm) 恒荷载
踏步板自重
m
kN /08.1253.02045
.0195.02.1=⨯⨯+⨯
踏步面层重 m kN /35.065.0)15.03.0(2.1=⨯+⨯
(计算踏步板自重时，前述ABCDE 五角形踏步截面面积可按上底为
mm d 45894.0/40cos /==ϕ，下底为mm d b 195894.0/40150cos /1=+=+ϕ，高为
a 1=300mm 的梯形截面计算。

)
踏步抹灰重
m kN /14.01702.0894.03
.02.1=⨯⨯⨯
g=1.08+0.35+0.14=1.57kN/m 使用活荷载 m kN q /05.13.05.24.1=⨯⨯= 垂直于水平面的荷载及垂直于斜面的荷载分别为
m kN q g /62.2=+
m kN q g /34.2894.062.2''=⨯=+
(2)内力计算
斜梁截面尺寸选用150mmX350mm ，则踏步的计算跨度为
m b l l n 68.115.053.10=+=+=
踏步板的跨中弯矩
kNm
l q g M 826.068.134.281)''(8122
0=⨯⨯=+=
(3)截面承载力计算
取一踏步()150300(11mm mm b a ⨯+⨯为计算单元, 已知,894.0'5626cos cos 0
==ϕ等效矩形截面的高度h 和宽度b 为
mm d b h 4.12940894.015032
cos 321=+⨯⨯=+=
ϕ
mm a b 7.251894.0/30075.0cos /75.01=⨯==ϕ
则:
mm a h h s 4.109204.1290=-=-=
0248.04.1097.2519.111026.825
2
01=⨯⨯⨯==
bh f M
c s αα
614.00252.00248.0211211=<=⨯--=--=b s ξαξ
2
014.362100252
.04.1097.2519.11mm f bh f A y
c s =⨯⨯⨯=
=
ξ
α
%27.021027
.145.045.0%112.04.1297.2514.36min 1===<=⨯==
y t s f f bh A ρρ
则: 2min 9.874.1297.2510027.0mm bh A s =⨯⨯==ρ
踏步板应按min ρ配筋，每米宽沿斜面配置的受力钢筋
m
mm A s /9.261894.03001000
9.872=⨯⨯=
，为保证每个踏步至少有两根钢筋，故选用
ø8@150(A s =335mm 2)
2. 楼梯斜梁(TL 一1)计算 (1) 荷载
踏步板传来 m
kN /99.73.01
)15.0253.1(62.221=⨯⨯+⨯⨯
斜梁自重
m kN /56.1894.01
2515.0)04.035.0(2.1=⨯
⨯⨯-⨯
斜梁抹灰 m kN /28.0894.0121702.0)04.035.0(2.1=⨯⨯⨯⨯-⨯
楼梯栏杆 m kN /12.01.02.1=⨯
总计 m kN q g /95.9=+
(2) 内力计算
取平台梁截面尺寸mm mm h b 450200⨯=⨯,则斜梁计算跨度:
m b l l n 8.32.06.30=+=+=
斜梁跨中弯矩和支座剪力为:
m kN l q g M ⋅=⨯⨯=+=0.188.395.981)(81220
kN l q g V n 9.176.395.921)(21=⨯⨯=+=
(3) 截面承载能力计算
取mm a h h 315353500=-=-=
翼缘有效宽度
'f b 按梁跨考虑 mm l b f 6336/'0==
按梁肋净距考虑
mm b s b f 915150215302'0=+=+= 由于,1.0350/40/'>=h h f 'f b 可不按翼缘厚度考虑，最后应取mm b f 633'=.
判别T 形截面类型：
m kN M m kN h h h b f f f f c ⋅=>⋅=⨯-⨯⨯⨯=-1882)405.0315(406339.11)'5.0(''01α故按等一类T 型截面计算
025.03156339.111018'26201=⨯⨯⨯==h b f M
f c s αα
550.00264.0025.0211211=<=⨯--=--=b s ξαξ
2011873000264.03156339.11'mm f h b f A y f c s =⨯⨯⨯==ξ
α
%2.045.0%36.0350150187min 1==>=⨯==y t s f f bh A ρρ
故选用2
12, 2226mm A s = 由于无腹筋梁的抗剪能力:
N V N bh f V t c 1790025.4200531515027.17.07.00=>=⨯⨯⨯==
可按构造要求配置箍筋, 选用双肢箍ø6@300.
3. 平台梁(TL 一2)计算
(1) 荷载
斜梁传来的集中力
kN Q G 9.188.395.921=⨯⨯=+
平台板传来的均布恒荷载 m kN /99.2)2.026.1()1702.02506.065.0(2.1=+⨯⨯+⨯+⨯
平台板传来的均布活荷载 m kN /5.35.2)2.026.1(4.1=⨯+⨯
平台梁自重 m kN /34.225)06.045.0(2.02.1=⨯-⨯⨯
平台梁抹灰 m kN /32.017)06.045.0(02.02.12=⨯-⨯⨯⨯
总计 m kN q g /15.9=+
(2) 内力计算(计算简图见图8-13)
平台梁计算跨度
m a l l n 00.424.076.30=+=+=
m m l l n 00.495.376.305.105.10<=⨯==
故取 m l 95.30=
跨中弯矩
m kN b b a Q G l Q G l q g M ⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⨯-⨯⨯+⨯⨯=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+++-+++=56225.0)225.068.1(9.18295.39.18295.315.9812)2()(2)(2)(812020
支座剪力
kN Q G l q g V n 0.559.18276.315.921)(2)(2
1=⨯+⨯⨯+++=
考虑计算的斜截面应取在斜梁内侧，故
kN V 1.369.1876.315.921=+⨯⨯=
图8-13 平台梁计算简图
(3) 正截面承载力计算
翼缘有效宽度b f ’，
按梁跨度考虑mm l b f 6586/39506/'0===
按梁肋净距考虑
mm b s b f 1000200216002'0=+=+= 最后应取mm b f 658'=
判别T 型截面类型:
m kN M m kN h h h b f f f f c ⋅=>⋅=⨯-⨯⨯⨯=-56167)605.0415(606589.11)'5.0(''01α按第一类T 形截面计算
045.04156589.111056'26201=⨯⨯⨯==h b f M
f c s αα
550.0046.0045.0211211=<=⨯--=--=b s ξαξ
201498300046.04156589.11'mm f h b f A y f c s =⨯⨯⨯==ξ
α
%2.045.0%55.0450200498min 1==>=⨯==y t s f f bh A ρρ
选用2
18(A s ＝509m 2) (4) 斜截面承载力计算
由于无腹筋梁的承载力
N V N bh f V t c 361007378741520027.17.07.00=>=⨯⨯⨯==
可按构造要求配置箍筋，
选用双肢箍ø6@200。

(a)TB —1; (b)TL 一1; (c)TL 一2
图8-14 踏步板、斜梁和平台梁配筋图
(5)附加箍筋计算
采用附加箍筋承受由斜梁传来的集中力，若附加箍筋仍采用双肢箍筋ø6，则附加箍筋总数为:
59.12103.282189001=⨯⨯=+=
yv sv f nA Q G m 个
斜梁侧需附加2个ø6的双肢箍筋。

踏步板(TB 一1)、斜梁(TL 一1)和平台梁(TL 一2)的配筋图如图(8-14a 、b 、 c)所示。

3．现浇楼梯的一些构造处理
1) 当楼梯下净高不够，可将楼层梁向内移动(图8-15)，这样板式楼梯的梯段就成为折线形。

对此设计中应注意两个问题：(1)梯段中的水平段，其板厚应与梯段相同，不能处理成和平台板同厚；(2)折角处的下部受拉纵筋不允许沿板底弯折，以免产生向外的合力将该处的混凝土崩脱，应将此处纵筋断开，各自延伸至上面再行锚固。

若板的弯折位置靠近楼层梁，板内可能出现负弯矩，则板上面还应配置承担负弯矩的短钢筋(图8-16)。

图8-15 楼层梁内移时 图8-16 板内折角时的配筋
2) 若遇折线形斜梁，梁内折角处的受拉纵向钢筋应分开配置，并各自延伸以满足锚固要求，同时还应在该处增设箍筋。

该箍筋应足以承受未伸入受压区域的纵向受拉钢筋的合力，且在任何情况下不应小于全部纵向受拉钢筋合力的35％。

由箍筋承受的纵向受拉钢筋的合力，可按下式计算(图8-17)。

未伸人受压区域的纵向受拉钢筋的合力
2cos 211α
s y s A f N =
全部纵向受拉钢筋合力的35％为
2cos 7.02α
s y s A f N =
式中 A s ——全部纵向受拉钢筋的截面面积;
A s1——未伸人受压区域的纵向受拉钢
筋的截面面积：
α——构件的内折角。

图8-17 折线形斜梁内折角处配筋
按上述条件求得的箍筋, 应设置在长度为
α83htg s =的范围内。