高数同济版 幂级数

k 0
*说明: 两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比
原来两个幂级数的收敛半径小得多. 例如, 设
an xn 1 ( a0 1, an 0, n 1, 2, )
n0
bn xn 1 x
n0
b0 bn
1, 0,
b1 n
1, 2, 3,
它们的收敛半径均为 R , 但是
anxn
(1)
n0
1 n!
x
n
;
(2) n! xn .
n0
解: (1)
1
R lim an lim n an1 n
n! 1
lim (n 1)
n
(n 1)!
所以收敛域为 ( , ) .
(2)
R lim an n an1
lim
n
n! (n 1) !
lim 1 n n 1
0
所以级数仅在 x = 0 处收敛 .
n0
n
常数 M > 0, 使 an x0n M (n 1, 2, )
收敛 发散
发散
收o敛
发散x
an xn
M
x x0
n
当 x x0 时, M
n0
故原幂级数绝对收敛 .
x
x0
n 收敛,
an xn
n0
也收敛,
反之, 若当 x x0 时该幂级数发散 ,下面用反证法证之.
假设有一点 x1 满足 x1 x0 且使级数收敛 , 则由前 面的证明可知, 级数在点 x0 也应收敛, 与所设矛盾,
2) 若 0, 则根据比值审敛法可知, 对任意 x 原级数
绝对收敛 , 因此 R ;
3) 若 ,则对除 x = 0 以外的一切 x 原级发散 ,
因此 R 0 .
说明:据此定理
R lim 1 n n | an |
记下来!!!
an xn 的收敛半径为 R lim
an
n0
n an1
比值判别法成立
故假设不真. 所以若当 x x0 时幂级数发散 , 则对一切 满足不等式 x x0 的 x , 原幂级数也发散 . 证毕
由Abel 定理可以看出, an xn 的收敛域是以原点为
中心的区间.
n0
用±R 表示幂级数收敛与发散的分界点, 则
R = 0 时, 幂级数仅在 x = 0 收敛 ;
R = 时, 幂级数在 (－∞, +∞) 收敛 ;
an1 an
, 则
1) 当 ≠0 时,
R
1
;
2) 当 ＝0 时, R ;
3) 当 ＝∞时, R 0 .
证:
lim
n
an 1 x n 1 an xn
lim an1 x n an
x
1) 若 ≠0, 则根据比值审敛法可知:
当
x
1,
即
x
1
时,
原级数收敛;
当
x
1,
即
x
1
时,
原级数发散.
因此级数的收敛半径 R 1 .
n0
半径是多少 ?
答: 根据Abel 定理可知, 级数在 x x0 收敛 , x x0 时发散 . 故收敛半径为 R x0 .
2. 在幂级数
2 (1)n n0 2n
xn
中,
an1 an
1 2
2 (1)n1 2 (1)n
32 ,
1 6
,
能否确定它的收敛半径不存在 ?
n 为奇数 n 为偶数
n0
bn xn
1 1 x x2 xn 1 x
n0ຫໍສະໝຸດ Baidu
其收敛半径只是 R 1.
定理4 若幂级数 an xn 的收敛半径 R 0 , 则其和函
n0
数 S(x) 在收敛域上连续, 且在收敛区间内可逐项求导与
逐项求积分, 运算前后收敛半径相同:
S ( x)
an xn
nan xn1,
x (R, R)
它的发散域是 ( , 1 ] 及 [1， ）, 或写作 x 1.
二、幂级数及其收敛性
形如
an (x x0 )n a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2
n0
an (x x0 )n (1)
的函数项级数称为幂级数, 其中数列 an (n 0,1, )称
为幂级数的系数 .
收敛 , x=1时级数发 则当 x 0 时, 有
散．
S(x)
xn
1
x n 1
1
x
xn dx
n0n 1 x n0 n 1 x n0 0
1 x xn
x 0 n0
dx
1 x
x
0
1
1
x
d
x
1 ln(1 x) x
(0 x 1 )
S(x) 1 ln(1 x) , (0 x 1 ) x
n
1)(2 n (n 1)2
2)
x2
4 x2
当4 x2
1即
x
1 2
时级数收敛
故收敛半径为 R 1 .
当4 x2 1即
x
1 2
时级数发散
2
例4. 求幂级数 解: 令 t x 1 ,
(x 1)n 的收敛域.
n1 2n n 级数变为
n1
1 2n n
tn
(2)
R lim 1 a n n
n
lim
n1 n 设和函数为 S(x), x [1,1)
S(x) xn1
1
n1
1x
S(x) x 1 dx S(0) ln(1 x) 0 1 x
(1)n S(1) ln 2.
n1 n
内容小结
1. 求幂级数收敛域的方法
1) 对标准型幂级数 an xn (an 0)
n0
先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性 . 2) 对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)
S(x)
x n 1
xk S(x) ( x )
n1(n 1)! k 0 k !
因此得
S(x) C ex
(d dx
S(x) ex
0)
由S (0)
1得
S
(x)
ex
,
故得
n0
xn n!
e
x
.
例7. 求 (1)n 的和.
n1 n
解: 构造幂级数 xn , 显然收敛域为[-1,1)
答: 不能. 因为
lim n
n
un (x)
lim n 2 (1)n x
n
2
x
2
当 x 2 时级数收敛 , x 2 时级数发散 , R 2.
说明: 可以证明
(为什么?)
比值判别法成立
根值判别法成立
作业
P277 1 (1), (3), (5), (7), (8) 2 (1), (3)
P323 7 (1), (4) 8 (1), (3)
根值判别法成立
例1.求幂级数 x x2 x3 (1)n1 xn
23
n
的收敛半径及收敛域.
1
解: R lim an lim n an1 n
n 1
1
n 1
对端点
x
=
1,
级数为交错级数
(1)n1
n1
1, n
收敛;
对端点
x
=－1,
级数为
n1
1, n
发散
.
故收敛域为 (1, 1] .
例2. 求下列幂级数的收敛域 :
n0
n1
xS(x) dx 0
an
n0
xxn dx an xn1,
0
n0n 1
x (R, R)
(证明略 )
注: 逐项积分时, 运算前后端点处的敛散性不变.
通过逐项求导和逐项积分目的是转化幂级数为等比级数 这样可方便求和.
例5. 求级数
xn
的和函数 S(x) .
n0n 1
解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , 且 x 1时级数
0 R , 幂级数在 (－R , R ) 收敛 ;在[－R , R ]
外发散; 在 x R 可能收敛也可能发散 .
R 称为收敛半径 ，(－R , R ) 称为收敛区间.
(－R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域.
收敛 发散
发散
收o敛
发散x
定理2. 若 an xn 的系数满足 lim
n0
n
则对满足不等式
x x0
n0
的一切 x 幂级数都绝对收敛.
反之, 若当 x x0 时该幂级数发散 , 则对满足不等式
x x0 的一切 x , 该幂级数也发散 .
证:
an xn
an x0n
xn x0n
an x0n
x x0
n
M
x x0
n
an x0n 收敛, 则必有 lim an x0n 0, 于是存在
n
n
2n n
2
当
t
=
2
时,
级数为
1
n 1 n
,
此级数发散;
当 t = – 2 时, 级数为 (1)n , 此级数条件收敛;
n1 n
因此级数(2)的收敛域为 2 t 2 ,故原级数的收敛域为
2 x 1 2 , 即 1 x 3.
三、幂级数的运算
定理3. 设幂级数 an xn及 bn xn 的收敛半径分别为
下面着重讨论
x0
0 的情形,
即
因为只要令
x
x0
t
则(1)成为 antn
n0
an xn a0 a1x a2x2 an xn
n0
例如, 幂级数
xn 1 x L
xn L
即是此种情形.
n0
1
, 1 x
收敛域 x 1
定理 1. ( Abel定理 ) 若幂级数 an xn 在 x x0 点收敛 ,
n1
敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域 ;
若常数项级数 un (x0 ) 发散 , 称 x0 为其发散点, 所有 n1
发散点的全体称为其发散域 .
在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 S(x) , 称它
为级数的和函数 , 并写成
S(x) un (x)
n1
若用 Sn (x) 表示函数项级数前 n 项的和, 即
而
S(0) 1 ,
lim
x0
ln
(1 x
x)
1
,
因此由和函数的连续性得:
1 ln(1 x) , S(x) x
1,
x ([1,0) U(0,1)
x0
例6.
求幂级数
n0
xn n!
的和函数 .
解: 由例2可知级数的收敛半径 R＝+∞. 设
S(x) xn
n0 n!
( x )
则
例3. 求幂级数 n0((n2!n))2! x2n 的收敛半径 .
解: 级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2, 故直接由
比值审敛法求收敛半径.
lim un1(x) n un (x)
lim
n
[ [
2 (n 1) ] ! (n 1) ! ]2
x
2
(n1)
[2n]! [ n ! ]2
x2n
lim
n
(
2
n
Sn (x) uk (x)
k 1
令余项 rn (x) S(x) Sn (x)
则在收敛域上有
lim
n
Sn
(
x)
S
(
x)
,
lim
n
rn
(
x)
0
例如, 等比级数 xn 1 x x2 xn
n0
它的收敛域是 (1 , 1 ) ,当x (1 , 1 )时, 有和函数
xn
1
n0
1 x
求收敛半径时直接用比值法或根值法,
也可通过换元化为标准型再求 . 2. 幂级数的性质
1) 两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与 乘法运算.
2) 在收敛区间内幂级数的和函数连续;
3) 幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.
思考与练习
1. 已知 an xn 在 x x0 处条件收敛 , 问该级数收敛
n0
n0
R1, R2, 令 R min R1 , R2 , 则有 :
an xn an xn (为常数)
n0
n0
x R1
an xn bn xn (an bn ) xn ,
x R
n0
n0
n0
*
an xn
bnxn
cn xn ,
x R
n0
n0
n0
n
其中 cn akbnk
以上结论可用部分和 的极限证明 .
§12.3 幂级数
第十二章
一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算
一、 函数项级数的概念
设 un (x) (n 1, 2, ) 为定义在区间 I 上的函数, 称
un (x) u1(x) u2 (x) un (x)
n1
为定义在区间 I 上的函数项级数 .
对 x0 I , 若常数项级数 un (x0 )收敛, 称 x0 为其收