高等数学Ⅱ答案。同济大学应用数学系本科少学时类型第三版

习题7-1

1. 设2, 3.=-+=-+-u a b c v a b c 试用a , b , c 表示23.-u v 解：

232(2)3(3)

2243935117-=-+--+-=-++-+=-+u v a b c a b c a b c a b c a b c

习题7-2

1. 在空间直角坐标系中, 指出下列各点在哪个卦限？

A (1, −2, 3);

B (2, 3, −4);

C (2, −3, −4);

D (−2, −3, 1).

解A 在第四卦限, B 在第五卦限, C 在第八卦限, D 在第三卦限.

2. 在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置: A (3,

4, 0); B (0, 4, 3); C (3, 0, 0); D (0, −1, 0).

解在xOy 面上, 的点的坐标为(x , y , 0); 在yOz 面上, 的点的坐标为(0, y , z ); 在zOx 面上, 的点的坐标为(x , 0, z ).

在x 轴上, 的点的坐标为(x , 0, 0); 在y 轴上, 的点的坐标为(0, y , 0), 在z 轴上, 的点的坐标为(0, 0, z ).

A 在xOy 面上,

B 在yOz 面上,

C 在x 轴上,

D 在y 轴上.

3. 求点(a , b , c )关于(1)各坐标面; (2)各坐标轴; (3)坐标原点的对称点的坐标. 解 (1)点(a , b , c )关于xOy 面的对称点为(a , b , −c ); 点(a , b , c )关于yOz 面的对称点为

(−a, b, c); 点(a, b, c)关于zOx面的对称点为(a, −b, c).

(2)点(a, b, c)关于x轴的对称点为(a, −b, −c); 点(a, b, c)关于y轴的对称点为(−a, b, −c); 点(a, b, c)关于z轴的对称点为(−a, −b, c).

(3)点(a, b, c)关于坐标原点的对称点为(−a, −b, −c).

4.自点P

0(x

, y

, z

)分别作各坐标面和各坐标轴的垂线, 写出各垂足的坐标.

解在xOy面、yOz面和zOx面上, 垂足的坐标分别为(x

0, y

, 0)、(0, y

, z

)和(x

, 0, z

).

在x轴、y轴和z轴上, 垂足的坐标分别为(x

0, 0, 0), (0, y

, 0)和(0, 0, z

).

5.过点P

0(x

, y

, z

)分别作平行于z轴的直线和平行于xOy面的平面, 问在它们上面的点的坐

标各有什么特点？

解在所作的平行于z轴的直线上, 点的坐标为(x

0, y

, z); 在所作的平行于xOy面的平面上,

点的坐标为(x, y, z

).

6. 一边长为a的立方体放置在xOy面上, 其底面的中心在坐标原点, 底面的顶点在x轴和y 轴上, 求它各顶点的坐标.

7.已知两点M

1(0, 1, 2)和M

2

(1, −1, 0). 试用坐标表示式表示向量及

11.在yOz面上, 求与三点A(3, 1, 2)、B(4, −2, −2)和C(0, 5, 1)等距离

12. 试证明以三点A(4, 1, 9)、B(10, −1, 6)、C(2, 4, 3)为顶点的三角形是等腰三角直角三角形.

14. 求点M(4, −3, 5)到各坐标轴的距离.

17. 设已知两点和计算向量的模、方向余弦和方向角.

18. 设向量的方向余弦分别满足(1)cosα=0; (2)cosβ=1; (3)cosα=cosβ=0, 问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？

20.设向量r的模是4, 它与轴u的夹角是60°, 求r在轴u上的投影.

21. 设m=3i+5j+8k, n=2i-4j-7k, p=5i+j-4k,求向量a=4m+3n-p在x轴上的投影及在y轴上的分向量.

解：a=4(3i+5j+8k)+3(2i-4j-7k)-(5i+j-4k)=13i+7j+15k

在x轴上的投影a x=13,在y轴上分向量为7j.

习题7-3

1.设a=3i−j−2k, b=i+2j−k, 求(1)a⋅b及a×b; (2)(−2a)⋅3b及a×2b; (3)a、b夹角的余弦.

解(1)a⋅b=3×1+(−1)×2+(−2)×(−1)=3,

(2)(−2a)⋅3b =−6a⋅b = −6×3=−18,

a×2b=2(a×b)=2(5i+j+7k)=10i+2j+14k .

2. 设a、b、c为单位向量, 且满足a+b+c=0, 求a⋅b+b⋅c+c⋅a .

解因为a+b+c=0, 所以(a+b+c)⋅(a+b+c)=0,

即a⋅a+b⋅b+c⋅c+2a⋅b+2a⋅c+2c⋅a=0,

于是

3.已知M

1(1, −1, 2)、M

2

(3, 3, 1)和M

3

(3, 1, 3). 求与、同时垂直的单位向量.

4. 设质量为100kg 的物体从点M 1(3, 1, 8)沿直线称动到点M 2(1, 4, 2), 计算重力所作的功(长度单位为m , 重力方向为z 轴负方向).

5.在杠杆上支点O 的一侧与点O 的距离为x 1的点P 1处, 有一与成角θ的力F 1作用着; 在

O 的另一侧与点O 的距离为x 2的点P 2处, 有一与成角θ的力F 1作用着. 问θ1、θ2、x 1、

x 2、|F 1|、|F 2|符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？

解:因为有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零, 再注意到对力矩正负的 规定可得, 使杠杆保持平衡的条件为

6.求向量a =(4, −3, 4)在向量b =(2, 2, 1)上的投影. 解:

7. 设a =(3, 5, −2), b =(2, 1, 4), 问λ与μ有怎样的关系, 能使得λa +μb 与z 轴垂直?

解λa +μb =(3λ+2μ, 5λ+μ, −2λ+4μ), λa +μb 与z 轴垂⇔λa +μb ⊥k

⇔(3λ+2μ, 5λ+μ, −2λ+4μ)⋅(0, 0, 1)=0,

即−2λ+4μ=0, 所以λ=2μ . 当λ=2μ 时, λa +μb 与z 轴垂直. 试用向量证明直径所对的圆周角是直角. 8. 试用向量证明直径所对的圆周角是直角. 证明设AB 是圆O 的直径, C 点在圆周上, 则.

9. 设已知向量a =2i −3j +k , b =i −j +3k 和c =i −2j , 计算: (1)(a ⋅b )c −(a ⋅c )b ; (2)(a +b )×(b +c ); (3)(a ×b )⋅c .

解 (1)a ⋅b =2×1+(−3)×(−1)+1×3=8, a ⋅c =2×1+(−3)×(−2)=8,