同济大学 高等数学(本科少学时)第三版第一章

(A B)C A(B C) （2）结合律：( A B) C A (B C ) （3）分配律：( A B) C ( A C ) (B C )
(A B)C (AC) (B C) （4）摩根律： ( A B)' A' B'
( A B)' A' B'
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 .
U (a) {x a x a }.


a
a
a x
点a的去心的邻域, 记作U0 (a).
U (a) { x 0 x a }.
4.常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 而数值变化的量称为变量. 注意 常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法： 通常用字母a, b, c等表示常量, 用字母x, y, t等表示变量.
I
（3）函数的奇偶性:
设D关于原点对称, 对于x D, 有 f ( x) f ( x) 称 f ( x)为偶函数;
y y f (x)
f (x)
f (x)
-x o x
x
偶函数
设D关于原点对称, 对于x D, 有 f ( x) f ( x) 称 f ( x)为奇函数;
规定 空集为任何集合的子集.
集合的运算
（1）集合的并
设有集合A和B，由A和B的所有元素构成的集合， 称为A与B的并，记为A B,即
A B { x | x A或x B} （2）集合的交
设有集合A和B，由A和B的所有公共元素构成的 集合，称为A与B的交，记为A B,即
A B { x | x A且x B}
注意：只有单射才存在逆映射.
复合映射：设有两个映射 g : X Y1, f :Y2 Z
其中Y1 Y2 .则有映射 g和f 可以定义一个从 X到Z 的对应法则，它将每个x X 映成 f [g( x)] Z. 显然， 这个对应法则确定了一个从 X到Z的映射，这个映射 称为映射 g和f 构成的复合映射，记作 f g ，即
f g : X Z,
注意：g 的值域 Rg 必须包含在 f 的定义域内，即 Rg D f
三、函数
定义 设数集D R，则称映射 f : D R为定义
在 D上的函数.
即对于每个数 x D, 变量 y按照一定法则总有
确定的数值和它对应，则称 y是 x的函数，记作
y f (x)
因变量
函数y f ( x)的图形.
几个特殊的函数举例
(1) 符号函数
y
1 当x 0
y

sgn x


0
当x 0
1 当x 0
1
o
x
-1
x sgn x x
(2) 取整函数 y=[x]
y
[x]表示不超过 x 的最大整数 4
3
2
-4 -3 -2 -1 1o -11 2 3 4 5 x -2 -3 -4
（2）对每个 x X，元素 x 的像 y 是唯一的；而对 于每个 y Rf ，元素 y 的原像不一定是唯一的；映射 f 的值域 Rf 是 Y 的一个子集，即Rf Y，不一定 Rf Y .
满射、单射与双射
设 f 是从集合X到集合Y的映射，若Rf Y ，即Y中 任一元素 y都是 X 中某元素的像，则称 f为X到 Y上的 映射或满射；若对 X 中任意两个不同元素 x1 x2 ， 它们的像 f ( x1) f ( x2 )，则称 f 为 X到 Y 的单射；若 映射 f 既是单射又是满射，则称 f 为一一映射（或双射）
阶梯曲线
(3) 狄利克雷函数
y

D(
x)

1 0
当x是有理数时 当x是无理数时
y
1
• 无理数点
o
有理数点
x
(4) 取最值函数
y max{ f ( x), g( x)}
y
f (x)
g( x)
o
x
y min{ f ( x), g( x)}
y
f (x)
g( x)
o
x
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数.
x
D
y 反函数y ( x)
Q(b, a)
直接函数y f ( x)
o
P(a, b)
x
直接函数与反函数的图形关于直线 y x对称.
（2）、复合函数
设 y u, u 1 x2,
y 1 x2
定义: 设函数 y f (u)的定义域 D f , 而函数 u ( x)的值域为 Z, 若 D f Z , 则称 函数 y f [( x)]为 x的复合函数.
-x f (x)
y
y f (x)
f (x)
o
xx
奇函数
（4）函数的周期性:
设函数f ( x)的定义域为D, 如果存在一个不为零的 数l, 使得对于任一x D, ( x l) D.且 f ( x l) f ( x) 恒成立. 则称f ( x)为周 期函数, l称为f ( x)的周期.
例如， y 1 x2 例如， y 1
1 x2
D :[1,1] D : (1,1)
如果自变量在定 y
义域内任取一个数值
时，对应的函数值总
是只有一个，这种函 W
数叫做单值函数，否
y
则叫与多值函数．
o
例如，x2 y2 a2．
(x, y)
x
x
D
定义: 点集C {( x, y) y f ( x), x D} 称为
o
X
x 无界
-M
-M
（2）函数的单调性:
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D, 如果对于区间 I 上任意两点 x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有 (1) f ( x1 ) f ( x2 ),
则称函数 f ( x)在区间I上是单调增加的 ;
y
y f (x)
f (x2 )
1
偶函数, 不是单调函数,
周期函数(无最小正周期)
o
x
3、反函数与复合函数
(1) 反函数
设函数 f : D f (D)是单射，则它存在逆映射
f 1 : f (D) D,则称此映射f 1为函数f的逆映射
y
函数 y f ( x)
y 反函数 x ( y)
y0
W
o
y0
W
x0
xo
D
x0
f (x1)
o
x
I
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D, 如果对于区间 I 上任意两点 x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有 (2) f ( x1 ) f ( x2 ), 则称函数 f ( x)在区间 I上是单调减少的;
y
y f (x)
f (x1)
f (x2 )
o
x
x 自变量, u 中间变量, y 因变量,
注意: 1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的;
例如 y arcsin u, u 2 x2; y arcsin(2 x2 )
2.复合函数可以由两个以上的函数经过复 合构成.
5.绝对值:
a

a a
a0 a0
运算性质:
ab a b;
பைடு நூலகம்
( a 0)
a a; bb
a b a b a b.
绝对值不等式:
x a (a 0)
a x a;
x a (a 0)
x a 或 x a;
二、映射
1 映射概念
设X、Y 是两个非空集合，如果存在一个法则
记作 Rf 或 f ( X ) ，即 Rf f ( X ) { f ( x) | x X }
从上述映射的定义中，需要注意的是：
（1）构成一个映射必须具备以下三个要素：集 合 X ，即定义域 Df X ；集合 Y ，即值域的范 围：Rf Y；对应法则 f ，使对每个 x X，有唯 一确定的 y f ( x)与之对应.
（3）集合的差
设有集合A和B，属于A而不属于B的所有元素构成 的集合，称为A与B的差，记为A B,即
A B { x | x A且x B}
（4）集合的补
全集U中所有不属于A的元素构成的集合，称为 A的补集，记为A' ,即
A' { x | x U且x A}
集合的运算律 （1）交换律：A B B A A B B A
自变量
数集D叫做这个函数的定义域
当x0 D时, 称f ( x0 )为函数在点x0处的函数值.
函数值全体组成的数集
W { y y f ( x), x D} 称为函数的值域.
函数的两要素: 定义域与对应法则.
( x D x0)
对应法则f
(
W
y f (x0 )
自变量
)
因变量
约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义 的一切实数值.
2.逆映射与复合映射
设 f 是从集合X到集合Y 的映射，则由定义，对每个 y Rf 有唯一的 x X ，适合 f ( x) y .于是，可以定 义一个从 Rf 到 X 的新映射 g ，即
g : Rf X 对每个 y Rf，规定g( y) x，这 x 满足 f ( x) y. 这个 映射g称为 f 的逆映射，记作f 1，其定义域 Df 1 Rf， 值域 Rf 1 X
{x a x b} 称为半开区间, 记作 (a,b]
有限区间
[a,) {x a x} (,b) {x x b}
无限区间
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
3.邻域: 设a与是两个实数 , 且 0.
数集{x x a }称为点a的邻域 ,
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
3l
l
2
2
l 2
3l 2
例2
设
D(
x
)

1 0
xQ ,
xQ
求D( 7), D(1 2).并讨论D(D( x))的性质. 5
解 D( 7) 1, D(1 2) 0, D(D( x)) 1, 5 y
单值函数, 有界函数,
第一节 映射与函数
• 一、集合 • 二、一映、射集合 • 三、二函、数映射 • 四、三小、结函数
一、集合
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
aM, aM,
A {a1 , a2 , , an }
有限集
M { x x所具有的特征} 无限集
若x A,则必x B,就说A是B的子集. 记作 A B.
2.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.
这两个实数叫做区间的端点.
a,b R,且a b.
{x a x b} 称为开区间, 记作 (a, b)
oa
b
x
{x a x b} 称为闭区间, 记作 [a, b]
oa
b
x
{x a x b} 称为半开区间, 记作 [a,b)
数集分类: N----自然数集 Z----整数集 Q----有理数集 R----实数集
数集间的关系: N Z, Z Q, Q R. 若A B,且B A,就称集合A与B相等. ( A B) 例如 A {1,2},
C { x x2 3x 2 0}, 则 A C. 不含任何元素的集合称为空集. (记作 ) 例如, { x x R, x2 1 0}
例如,
2x 1,
f
(
x)


x2

1,
x0 x0
y x2 1
y 2x 1
例1
设f
(
x)

1 2
0

x

1 ,
求函数
f
(
x

3)的定义域.
1 x2
解

f (x)
1 2
0 x1 1 x2

f
(x

3)

1 2
0 x31 1 x32

1 2
3 x 2 2 x 1
故 D f :[3,1]
2、函数的特性
（1）．函数的有界性:
若X D, M 0, x X , 有 f ( x) M 成立,
则称函数f ( x)在X上有界.否则称无界.
y M
y M
y=f(x)
o
x
有界 X
x0
f ,使得对于X中每个元素x，按法则 f 在Y中有唯
一确定的元素 y与之对应，则 f 称为从X到Y 的映射，
记作
f :X Y
其中y称为元素 x（在映射 f 下）的像，并记作f ( x)，
即
y f (x)
而元素 x称为元素 y（在映射 f 下）的一个原像；集
合X称为映射 f 的定义域，记作 D f，即Df X ；X 中所有元素的像所组成的集合称为映射 f 的值域，