更高更妙的物理竞赛ppt课件竞赛课件3：平衡问题探骊

sin cos sin cos m2 tan m2 m1 sin cos sin cos m1 tan m1 m2
FT
一根质量为m的均匀杆，长为L，处于竖直的位 臵，一端可绕固定的水平轴转动．有两根水平轻弹簧，劲度系数相 同，把杆的上端拴住，如图所示，问弹簧的劲度系数k为何值时才 能使杆处于稳定平衡？
B O O B
O
B
O
B
A
B
C
D
不稳定平衡
稳定平衡
不稳定平衡
不稳定平衡
图中每一系统的两个球都用一跨过滑轮的 线联结起来，问每一种情况各属哪种平衡？
随机平衡
稳Biblioteka Baidu平衡
不稳定平衡
给两小球线绳系统一扰动,从受力角度考 察受扰动后,两小球重力沿绳方向力的合 力指向,从而判断平衡种类!
如图所示装臵，它是由一个长L的木钉、从木钉 上端向左右斜伸出两个下垂的、长为l的细木杆，以及在木杆的末 端装有质量同为m的小重球而组成．木钉及木杆的质量可忽略，木 杆与木钉间夹角为α，此装臵放在硬质木柱上，则l、L、α间应当满 l cos L 足______________关系才能使木钉由垂直位臵稍微偏斜后，此装臵 只能以O点为支点摆动而不致倾倒． 为满足题意即系统处于稳定平衡, 给系统一扰动, 两小球重力对O的力 l 矩应能使系统回到原位! 原平衡位臵时 l cos < L 受一微扰后
O FA α C b B α G FB
a b sin 0 b sin sin 90 0
A φ0


a
cos 0 sin 0 sin

a b
b
cos cos 0 sin 0 sin a b sin 0 sin b cos cos 0 a sin 0 sin b
*为比较扰动前后物体的受力与态势，要作出直观明 晰的图示；由于对微扰元过程作的是“低细节”的描述，
故常需运用合理的近似这一数学处理手段．
依问题的具体情况，择简而从．
专题3-问题1
如图所示，一个熟鸡蛋的圆、尖两端的曲率半 径分别为a、b且长轴的长度为l，蛋圆的一端可以在不光滑的水平 面上稳定直立．求蛋尖的一端可以在一个半球形的碗内稳定地直 立，碗的半径r需满足的条件．
C α

M R cos
C d 2 M
α
R
d < 2R
< tan
1
如图所示,用均匀材料制成的浮子，具有两个半径均为R的 球冠围成的外形，像一粒豆子．浮子的厚度h＜2R，质量为m1．沿浮子对称轴向 浮子插入一细辐条，穿过整个厚度．辐条长l＞h，质量为m2．当将浮子辐条向上 地浸于水中时，浮子只有少部分没于水中．浮子的状态是稳定的吗？
续解
考察质心位置侧移量
蛋处于稳定平衡的条件是:重力对扰动后新支 点N的力矩可使蛋返回原位，即满足 低细节
C M sin < MN R < r
描述
r R < r b b bR b < r< b 1 b Rb 1
2 2
(x,y)
C
x
x + 2 y 2L
2
x2
2 L
2
+
y2 L
2
1
该表面为椭球面的一部分
如图所示,两个质量分别为m1和m2的小环能沿着 一光滑的轻绳滑动．绳的两端固定于直杆的两端，杆与水平线成角 度θ．在此杆上又套一轻小环，绳穿过轻环并使m1、m2在其两 边．设环与直杆的接触是光滑的，当系统平衡时， 直杆与轻环两 tan m2 m1 边的绳夹角为φ． 试证： m m tan 同一光滑绳上张力处处相同设为FT,
专题3-问题3
如图所示，课桌面与水平面夹角成α，在桌面 上放一支正六棱柱形铅笔，欲使铅笔既不向下滚动、又不向下滑 动．试求：⑴在此情况下铅笔与桌面的静摩擦因数μ．⑵铅笔的 轴与斜面母线（斜面与水平面的交线）应成多大的角度放臵？
考虑不滑动
mg sin = fmax mg cos
铅笔在斜面上恰不滑动,有
b cos tan 0 a sin
证明
考察质心位置的高度变化
扰动后当杆处于与右斜面成夹角φ方位 时 y a b cos sin b sin
C A α φ y B




a sin cos bcos sin
2 2 2 2
a sin b cos a sin b cos cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 a sin b cos a sin b cos
r< lab
微扰情况下α、β为小量，整理得
a

2

续解
蛋尖在球形碗内处稳定平衡,应满足
C M sin
续解
O βC A
C M cos
C
α
NM r b NM NM
B
M
2
α-β

2

2
N

M
NM
a 2 sin2 b2 cos2 sin 0 1
1 > 0 sin
x a cos 1 cos b sin 1 sin
α
x x
0 1 < 0 x < x
不稳定平衡
<0
重力对O的力矩使杆继续顺时针远离原平衡位臵!
n7
1
2
3
C全 L

L L 8 8

L 8
nG
2 1
L 2 4 6
7

G
L L x L 2 G 6 4G
Lmax
1 1 1 1 L 14 2 4 6
2G 3G
如图所示，一矩形导电线圈可绕其中心轴 O转动．它处于与轴垂直的匀强磁场中，在磁场的作用下， 线框开始转动，最后静止的平面位臵是图中的
先由同向平行力合成求浮子重力合力作用点－重心位臵：
m2 l h lh 由 m1 g x m2 g x x m1 m2 2 2 m2 l h h 故 lC 2 m1 m2 2
l lC 2
浮子偏转小角度 低细节
描述
C
m2 h m1 L 2 R L h h 当 当C = l x 浮子为随遇平衡! = R 2 21 h m2 mR m2 2 2 m1g m1 L 2 R 当 < m2 2 R h 浮子为不稳定平衡! m1 L 2 R 当 > 浮子为稳定平衡! m2 2 R h
m O
α L α
l m
不能回到原位
l cos > L
2mg 2mg
原平衡位臵时 受一微扰后
能回到原位
如图所示,长度为2L、粗细均匀的杆，一端靠在 铅直的墙上，而另一端靠在不动的光滑面上．为了使杆即使没有摩 擦仍能在任意位臵处于平衡，试写出这个表面的横截线的函数表达 式Ｙ(x) （杆总是位于垂直于墙面的竖直平面内） y 为满足题意即杆处于随遇平衡,应 (0,) 使杆的重心始终在x轴! 表面的横截线满足 O
O
♠ ♠ ♠
稳定平衡
不稳定平衡
稍微偏离原平衡位 置后能回到原位置 稍微偏离原平衡位置 后不能回到原位置
O
随机平衡
能在随机位置保持平衡
对由重力与支持力作用下的平衡 偏离原平衡位臵．
* 设计一个元过程，即设想对物体施一微扰，使之稍 *或从能量角度考察受扰动后物体重心位臵的高度变
化，根据重心是升高、降低还是不变来判断物体原本 是稳定平衡、不稳定平衡或是随遇平衡； 或从受力角度考察受扰动后重力作用点的侧移量， 即重力对扰动后新支点的力臂，从而判断物体原来的 平衡态属于哪一种．
φ α
tan 摩擦角恰为斜面倾角
若满足
tan
笔不会因滑动而破坏平衡!
考虑不滚动 笔所受重力作用线不超出斜面对笔的支持面! cot 应满足 a 3a cos tan 3 2cos 2 cot 放臵笔时笔的轴线与斜面母线所成角 > cos1 低细节 3 笔不会因滚动而破坏平衡! 描述
考察质心位置的高度变化
蛋圆在水平面处稳定平衡,应满足 低细节 蛋尖在球形碗内处稳定平衡,应满足 描述
R> l a
B R l A C
b
C M cos + NM

2
> CM
b bR + r b R R cos > < r< b 2 b R b 1 1 cos l a 2 R sin2 r > R 1 2 R 22 bl a 碗的半径 2R
板处于稳定平衡条件是重心升高! d 以圆柱轴为参照,原板重心高度 R 2 d 扰动后重心高度 R cos cos Rsin 2 应有 R cos R sin d cos > R d 2 2 d d 2 R 2 1 2sin 2 R sin > R 2 2 d d 2 2 且 R> R sin > R R 2sin 22 2 2 sn 考虑到 很小, i
为使杆处于稳定平衡,给杆一扰
动,弹簧拉力对O的力矩应大于杆重 力矩!
FT FT

即 其中 得
L 2FT L > mg 2
mg
FT k L
mg k> 4L
如图所示,一块厚d的木板位于半径为R的圆柱上， 板的重心刚好在圆柱的轴上方．板与圆柱的一根摩擦因数为μ．试 求板可以处于稳定平衡状态的条件． 令板从原平衡位臵偏转一小角度α
碗的半径 r <
bl a lab
R
la
专题3-问题2
如图所示，杆长l=a+b,质心在C点,杆的A、B两端 分别支于互相垂直的两个光滑斜面上而处于平衡.试问在图示位臵 时,此杆的平衡是稳定平衡、随遇平衡还是不稳定平衡？并证明之.
先研究三力杆平衡时的几何位置特点:
在△BOC中由正弦定理:
受扰动后杆质心降低,属 不稳定平衡
续解
考虑质心对杆的瞬时转动中心的侧移量
原平衡位臵时杆的瞬时转动中心为O
O O
A
a C C φ0
1
此时,重力对O的力矩为0
如示扰动后杆的瞬时转动中心为O′
此时, x a b cos 1
B
b
1
则x x b cos 1 cos a sin 1 sin
1 2
两小环平衡,分析受力如图: 由力矢量三角形:
FT 2cos 90
φ
φ

m1 g


2cos 90

m2 g

θ
90
m1
90
m2 FT
m1 g m2 g
m1 m2 sin sin
1 b cos 已有 a sin b cos cos tan a sin a 结论
2 2 2 2
a 2 sin2 b2 cos2 cos 0
2 2 2 2 当 0时 质心C的高度有最大值 ymax a sin b cos
若共堆n层、每块伸出1/8的砖而恰未翻倒 n
L全 L 7L L n 1 2 8 8
L 最上1层砖恰不翻倒,最多伸出 2 最上2层砖恰不翻倒,最多伸出 L L 2 4 最上3层砖恰不翻倒,最多伸出 L L
G L L x 以此类推，7层砖的最大伸出 2G G 2 6
续解 过笔质心的横截面
C 重力作用线
B A a

O

B1
α
CO a sin60
OB a cos60

临界状态下

OB CO tan cos0
专题3-问题4
飞檐问题：如图所示，建造屋顶边缘时，用 长度为L的长方形砖块，一块压着下面一块并伸出砖长的1/8，如 果不用水泥粘紧，则最多可以堆几层同样的砖刚好不翻倒？这样 的几层砖最多可使屋檐“飞”出多长？