( 数学建模)排队论模型
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Prx(t ) k
E x (t ) t
k!
e
(k 0,1,2,)
故参数λ表示单位时间内事件发生次数的平均数。
2.Poisson流的发生时间间隔分布
当流(过程) x(t ) : t 0 构成Poisson过程时，就称 为Poisson流。设流发生的时刻依次为 t1 , t2 , , tn ,…， 发生的时间间隔记为 n tn tn1 (n 1,2,) ，其中t0 0 。
导出 pn (t ) 满足的微分方程组
p0 (t t ) p0 (t )(1 t ) p1 (t ) t (1 t ) o(t ) p0 (t t ) p0 (t ) p0 (t ) t p1 (t ) t o( t )
于是12分钟内进入15名顾客的概率
5 12 1 5 15 Prx(12) 15 ( 12) e 3 0.0516 15! 3
(2)由于输入时间间隔τ服从参数为λ的指数分布
1 e t Pr n t 0 t0 t0
则所求概率为
Pr n 1 e 0.1888
2.排队系统的稳态解
记时刻t系统处于状态n的概率 Pn (t ) Prx(t ) n 利用M／M／1／≦对输入与服务时间分布的假设，在时 间区间 (t , t t内，新进入或离开顾客个数有以下结果： ) 内没有顾客进入 e t 1 t o(t ) Pr(t , t t ) 内新进入一名顾客 te t t o( t ) Pr(t , t t ) 内多于一名顾客进入 o( t ) Pr(t , t t ) Pr(t , t t )内没有顾客离开 e t 1 t o( t ) Pr(t , t t )内有一名顾客离开 te t t o( t ) Pr(t , t t )内多于一名顾客离开 o( t )
排队论模型
朱建青 （苏州科技学院信息与计算科学系）
排队论模型
一、排队论的基本概念 二、单通道等待制排队问题 （M／M／1排队系统） 三、多通道等待制排队问题 （M／M／c排队系统）
一、排队论的基本概念
（一）排队过程 1.排队系统
“排队”是指在服务机构处要求服务对象的一个 等待队列，而“排队论”则是研究各种排队现象的理 论。
例1
设某一服务系统的输入流是Poisson流，平均
每3分钟进入5名顾客，试计算： (1)12分钟内进入15名顾客的概率； (2)输入时间间隔大于1分钟的概率。 解(1)由于
(k ) k t Prx(t ) k e k!
5 3
，在［0，t］内进入k名顾客的概率
(k 0,1,2,)
(2)排队规则
排队规则是指到达的顾客以怎样的规则接受服务。 1）损失制：顾客到达，服务台不空立即离去， 另求服务。 2）等待制：顾客到达，排队等待。对等待制服 务可分为：先到先服务，后到先服务，优先服务，随 机服务，成批服务等。 3）混合制：在现实生活中，很多服务系统介于 损失制和等待制之间，当顾客到达时，服务台不空就 排队，若排队的位置已满就离去。
到来 顾客源 排队机构 服务规则 服 务 机 构 离去
排队系统
在排队论中，我们把要求服务的对象称为
“顾客”，而将从事服务的机构或人称为“服务
台”。 在顾客到达服务台时，可能立即得到服 务，也可能要等待到可以利用服务台的时候为止。
排队系统中的“顾客”与“服务台”这两个名 词可以从不同的角度去理解。
Prx(tn ) in x(tn1 ) in1
直观地说，如果知道现在时刻 tn1 时系统的顾客 数状况，那么从概率意义上来说，将来时刻 t n 时系 统的顾客数状况，与过去时刻 t1 , t 2 ,, t n2 时顾客 数的状况无关。这个特性就是随机过程 x(t ) : t 0 的Markov特性。 我们把系统在某一时刻的顾客数看做系统在这 个时刻的状态。根据系统状态 x(t )的Markov特性，容 易研究在时间区间 (t , t t )内系统状态的转移概率， 为研究系统在任一时刻的状态分布提供工具。
Pr t1 T t0 PrT t1 t0 T
上式可改写为：对任何 t0 0 ，都有
Pr t0 x T t0 Pr x T T
如果把T解释为寿命，上式表明：如果已知年龄 大于 t 0 岁，则再活x年的概率与以前的 t 0 (年)无关， 所以有时又风趣地称指数分布是“永远年轻”。 上面两式表明连续型随机变量T的Markov特性当 且仅当非负随机变量服从负指数分布时才具有。
(3)服务机构
服务机构主要指服务台的数目，多个服务 台进行服务时，服务方式是并联还是串联；服 务时间服从什么分布等。
（二）排队模型的分类及数量指标
1.排队模型的分类
D.G.Kendall引进了排队模型分类符号，现已广 泛采用，这里仅针对并列的服务台。 记X：顾客到达的时间间隔分布；Y：服务时间的 分布；Z：服务台数。则排队模型：X／Y／Z。 常用的记号：M——负指数分布；D——确定型；Ek—— k阶爱尔朗（Erlang）分布；GI——一般相互独立的随 机分布，G——一般随机分布。这里主要讨论M／M／1， M／M／C。
排队系统 上、下班的工人乘公共汽车 病人到医院看病 高炮击退敌机 机器发生故障需要维修 顾客 工人 病人 敌机 机器 服务台 公共汽车 医生 高炮 修理工
排队系统队列除了有形的还有无形的。
在上述顾客-服务台组成的排队系统中，顾客到 来的时刻与服务台进行服务的时间一般来说是随不 同的时机与条件而变化的，往往预先无法确定。因 此，系统的状态是随机的，故而排队论也称随机服 务系统。
故 pn (t ) 满足的微分方程组
pn (t ) pn1 (t ) ( ) pn (t ) pn1 (t ) p0 (t ) p0 (t ) p1 (t ) n 1,2,
p 对于系统的稳定状态情形， n (t ) 与t无关， 故 pn (t ) 0 ，记 pn pn (t ) ，从而有
1.最简单流与Poisson过程
记随机过程｛x（t）：t≥0｝为时间［0，t］内 流(事件)发生的次数，例如对于随机到来某电话交换 台的呼叫，以x（t）表示该交换台在［0，t］这段时 间内收到呼叫的次数；若是服务机构，可以用x（t） 表示该机构在［0，t］时间内来到的顾客数。
最简单流应 x(t ) : t 0 具有以下特征称
(1)流具有平衡性 对任何 a 0和 0 t1 t2 tn , x(a ti ) x(a ) (1 i n) 的分布只取决于 t1 , t2 , , tn 而与 a 无关。 (2)流具有无后效性 对互不交接的时间区间序列 ai , bi (1 i n) ， x (bi ) x ( ai ) 是一组相互独立的随机变量。 (3)流具有普通性 Prx(a t ) x(a) 1
定理2 事件流 x(t ) : t 0 为Poisson流的充要条件是 x(t ) : t 0 的流发生时间间隔 n 相互独立，且服从
1 e t Pr n t 0 t0 t0
相同的负指数分布，即
3.负指数分布的Markov特性
定理3设T为连续型随机变量，且T≥0，那么，T服从 负指数分布的充要条件是：对任何 t1 t0 0 ，都有
2.排队系统的组成和特征
各式各样的排队现象呈现的基本特征：排队系统 由输入过程、排队规则及服务机构三部分组成。
(1)输入过程
输入过程就是顾客按怎样的规律到达，它首先应 包括顾客总体数，是有限的还是无限的；其次应说明 顾客到达的方式，是成批到达(每批数量是随机的还 是确定性的)还是单个到达；最后应说明相继到达的 顾客(或批或单个)之间的时间间隔的分布是什么。
2.排队模型的数量指标
(1)队长
队长是指系统中的顾客数(包括排队等候和正 在接受服务的顾客数)；等待队长是指系统中等待 服务的顾客数。无论是队长还是等待队长，都是顾 客和服务机构最关心的数量指标，特别是对系统设 计者来说，尤为重要，因为它涉及到系统等待空间 的大小。
(2)逗留时间
逗留时间是指一顾客从进入系统起一直到接受 服务后离开系统为止所花费的时间；等待时间是指 一顾客从进入系统起到接受服务时所花费的时间。 显然，一个顾客的逗留时间等于其等待时间与接受 服务的时间之和。逗留时间与等待时间对顾客来说 是最关心的，因为每个顾客都希望自己用于排队等 待的时间愈短愈好。
pn1 ( ) pn pn1 0 p0 p1 0
n 1,2,
对于上述差分方程，利用归纳法不难求得 n pn ( ) p0
5 3
二、单通道等待制排队问题
（M／M／1排队系统）
对于单通道等待制排队问题主要讨论输入过 程为Poisson流，服务时间服从负指数分布，单服 务台的情形，即M／M／1排队系统。
（一）标准模型
即为M／M／1／≦排队系统。所谓标准模型， 就是顾客的输入流是参数为λ的Poisson流，每个 顾客的服务时间是相互独立的且服从参数为μ的 负指数分布，单个服务台且系统的容量无限(排队 模型分类第四个表示系统中允许的最大顾客数)。
lim
t
t
0来自百度文库
即在t 时间内，事件发生多于1次的概率为 o( t ) 。
定理1设 x(t ) : t 0 是最简单流，则对任何a 0 和t 0 (k ) k t 都有
Prx(a t ) x(a) k k! e (k 0,1,2,)
我们把满足这一分布规律的随机过程 x(t ) : t 0 称为Poisson过程，最简单流亦称Poisson流，特别取 a0 得 (k ) k t
1.系统的Markov特性
考虑随机过程 x(t ) : t 0 ，其中 x(t ) 为时刻 t 时 排队系统中的顾客数。 对于任何 0 t1 t2 tn 条件概率
Prx(tn ) in x(t1 ) i1 , x(t2 ) i2 ,, x(tn1 ) in1 由于输入为Poisson流，服务时间服从负指数分布， 则无论 x(t ) 在 t1 , t2 , , tn 处取何值，上式条件概率仅依 赖于 x (tn1 )的值和区间 (tn1 , tn ) 的长度 tn tn1 ，即 Prx(tn ) in x(t1 ) i1 , x(t2 ) i2 ,, x(tn1 ) in1
当 t 0 时有
p0 (t ) p0 (t ) p1 (t )
对 n 1
pn (t t ) pn1 (t )t pn (t )(1 t )(1 t ) pn1 (t ) t o(t ) pn (t ) pn1 (t ) ( ) pn (t ) pn1 (t )
(3)忙期
忙期是指从顾客到达空闲服务机构起到服务机构 再次为空闲为止的这段时间，即服务机构连续繁忙的 时间长度。这是服务机构最关心的数量指标，因为它 直接关系到服务员的工作强度，与忙期相对应的是闲 期，即为服务机构连续保持空闲的时间长度。显然， 在排队系统中，忙期与闲期是交错出现的。
（三）Poisson流与指数分布
E x (t ) t
k!
e
(k 0,1,2,)
故参数λ表示单位时间内事件发生次数的平均数。
2.Poisson流的发生时间间隔分布
当流(过程) x(t ) : t 0 构成Poisson过程时，就称 为Poisson流。设流发生的时刻依次为 t1 , t2 , , tn ,…， 发生的时间间隔记为 n tn tn1 (n 1,2,) ，其中t0 0 。
导出 pn (t ) 满足的微分方程组
p0 (t t ) p0 (t )(1 t ) p1 (t ) t (1 t ) o(t ) p0 (t t ) p0 (t ) p0 (t ) t p1 (t ) t o( t )
于是12分钟内进入15名顾客的概率
5 12 1 5 15 Prx(12) 15 ( 12) e 3 0.0516 15! 3
(2)由于输入时间间隔τ服从参数为λ的指数分布
1 e t Pr n t 0 t0 t0
则所求概率为
Pr n 1 e 0.1888
2.排队系统的稳态解
记时刻t系统处于状态n的概率 Pn (t ) Prx(t ) n 利用M／M／1／≦对输入与服务时间分布的假设，在时 间区间 (t , t t内，新进入或离开顾客个数有以下结果： ) 内没有顾客进入 e t 1 t o(t ) Pr(t , t t ) 内新进入一名顾客 te t t o( t ) Pr(t , t t ) 内多于一名顾客进入 o( t ) Pr(t , t t ) Pr(t , t t )内没有顾客离开 e t 1 t o( t ) Pr(t , t t )内有一名顾客离开 te t t o( t ) Pr(t , t t )内多于一名顾客离开 o( t )
排队论模型
朱建青 （苏州科技学院信息与计算科学系）
排队论模型
一、排队论的基本概念 二、单通道等待制排队问题 （M／M／1排队系统） 三、多通道等待制排队问题 （M／M／c排队系统）
一、排队论的基本概念
（一）排队过程 1.排队系统
“排队”是指在服务机构处要求服务对象的一个 等待队列，而“排队论”则是研究各种排队现象的理 论。
例1
设某一服务系统的输入流是Poisson流，平均
每3分钟进入5名顾客，试计算： (1)12分钟内进入15名顾客的概率； (2)输入时间间隔大于1分钟的概率。 解(1)由于
(k ) k t Prx(t ) k e k!
5 3
，在［0，t］内进入k名顾客的概率
(k 0,1,2,)
(2)排队规则
排队规则是指到达的顾客以怎样的规则接受服务。 1）损失制：顾客到达，服务台不空立即离去， 另求服务。 2）等待制：顾客到达，排队等待。对等待制服 务可分为：先到先服务，后到先服务，优先服务，随 机服务，成批服务等。 3）混合制：在现实生活中，很多服务系统介于 损失制和等待制之间，当顾客到达时，服务台不空就 排队，若排队的位置已满就离去。
到来 顾客源 排队机构 服务规则 服 务 机 构 离去
排队系统
在排队论中，我们把要求服务的对象称为
“顾客”，而将从事服务的机构或人称为“服务
台”。 在顾客到达服务台时，可能立即得到服 务，也可能要等待到可以利用服务台的时候为止。
排队系统中的“顾客”与“服务台”这两个名 词可以从不同的角度去理解。
Prx(tn ) in x(tn1 ) in1
直观地说，如果知道现在时刻 tn1 时系统的顾客 数状况，那么从概率意义上来说，将来时刻 t n 时系 统的顾客数状况，与过去时刻 t1 , t 2 ,, t n2 时顾客 数的状况无关。这个特性就是随机过程 x(t ) : t 0 的Markov特性。 我们把系统在某一时刻的顾客数看做系统在这 个时刻的状态。根据系统状态 x(t )的Markov特性，容 易研究在时间区间 (t , t t )内系统状态的转移概率， 为研究系统在任一时刻的状态分布提供工具。
Pr t1 T t0 PrT t1 t0 T
上式可改写为：对任何 t0 0 ，都有
Pr t0 x T t0 Pr x T T
如果把T解释为寿命，上式表明：如果已知年龄 大于 t 0 岁，则再活x年的概率与以前的 t 0 (年)无关， 所以有时又风趣地称指数分布是“永远年轻”。 上面两式表明连续型随机变量T的Markov特性当 且仅当非负随机变量服从负指数分布时才具有。
(3)服务机构
服务机构主要指服务台的数目，多个服务 台进行服务时，服务方式是并联还是串联；服 务时间服从什么分布等。
（二）排队模型的分类及数量指标
1.排队模型的分类
D.G.Kendall引进了排队模型分类符号，现已广 泛采用，这里仅针对并列的服务台。 记X：顾客到达的时间间隔分布；Y：服务时间的 分布；Z：服务台数。则排队模型：X／Y／Z。 常用的记号：M——负指数分布；D——确定型；Ek—— k阶爱尔朗（Erlang）分布；GI——一般相互独立的随 机分布，G——一般随机分布。这里主要讨论M／M／1， M／M／C。
排队系统 上、下班的工人乘公共汽车 病人到医院看病 高炮击退敌机 机器发生故障需要维修 顾客 工人 病人 敌机 机器 服务台 公共汽车 医生 高炮 修理工
排队系统队列除了有形的还有无形的。
在上述顾客-服务台组成的排队系统中，顾客到 来的时刻与服务台进行服务的时间一般来说是随不 同的时机与条件而变化的，往往预先无法确定。因 此，系统的状态是随机的，故而排队论也称随机服 务系统。
故 pn (t ) 满足的微分方程组
pn (t ) pn1 (t ) ( ) pn (t ) pn1 (t ) p0 (t ) p0 (t ) p1 (t ) n 1,2,
p 对于系统的稳定状态情形， n (t ) 与t无关， 故 pn (t ) 0 ，记 pn pn (t ) ，从而有
1.最简单流与Poisson过程
记随机过程｛x（t）：t≥0｝为时间［0，t］内 流(事件)发生的次数，例如对于随机到来某电话交换 台的呼叫，以x（t）表示该交换台在［0，t］这段时 间内收到呼叫的次数；若是服务机构，可以用x（t） 表示该机构在［0，t］时间内来到的顾客数。
最简单流应 x(t ) : t 0 具有以下特征称
(1)流具有平衡性 对任何 a 0和 0 t1 t2 tn , x(a ti ) x(a ) (1 i n) 的分布只取决于 t1 , t2 , , tn 而与 a 无关。 (2)流具有无后效性 对互不交接的时间区间序列 ai , bi (1 i n) ， x (bi ) x ( ai ) 是一组相互独立的随机变量。 (3)流具有普通性 Prx(a t ) x(a) 1
定理2 事件流 x(t ) : t 0 为Poisson流的充要条件是 x(t ) : t 0 的流发生时间间隔 n 相互独立，且服从
1 e t Pr n t 0 t0 t0
相同的负指数分布，即
3.负指数分布的Markov特性
定理3设T为连续型随机变量，且T≥0，那么，T服从 负指数分布的充要条件是：对任何 t1 t0 0 ，都有
2.排队系统的组成和特征
各式各样的排队现象呈现的基本特征：排队系统 由输入过程、排队规则及服务机构三部分组成。
(1)输入过程
输入过程就是顾客按怎样的规律到达，它首先应 包括顾客总体数，是有限的还是无限的；其次应说明 顾客到达的方式，是成批到达(每批数量是随机的还 是确定性的)还是单个到达；最后应说明相继到达的 顾客(或批或单个)之间的时间间隔的分布是什么。
2.排队模型的数量指标
(1)队长
队长是指系统中的顾客数(包括排队等候和正 在接受服务的顾客数)；等待队长是指系统中等待 服务的顾客数。无论是队长还是等待队长，都是顾 客和服务机构最关心的数量指标，特别是对系统设 计者来说，尤为重要，因为它涉及到系统等待空间 的大小。
(2)逗留时间
逗留时间是指一顾客从进入系统起一直到接受 服务后离开系统为止所花费的时间；等待时间是指 一顾客从进入系统起到接受服务时所花费的时间。 显然，一个顾客的逗留时间等于其等待时间与接受 服务的时间之和。逗留时间与等待时间对顾客来说 是最关心的，因为每个顾客都希望自己用于排队等 待的时间愈短愈好。
pn1 ( ) pn pn1 0 p0 p1 0
n 1,2,
对于上述差分方程，利用归纳法不难求得 n pn ( ) p0
5 3
二、单通道等待制排队问题
（M／M／1排队系统）
对于单通道等待制排队问题主要讨论输入过 程为Poisson流，服务时间服从负指数分布，单服 务台的情形，即M／M／1排队系统。
（一）标准模型
即为M／M／1／≦排队系统。所谓标准模型， 就是顾客的输入流是参数为λ的Poisson流，每个 顾客的服务时间是相互独立的且服从参数为μ的 负指数分布，单个服务台且系统的容量无限(排队 模型分类第四个表示系统中允许的最大顾客数)。
lim
t
t
0来自百度文库
即在t 时间内，事件发生多于1次的概率为 o( t ) 。
定理1设 x(t ) : t 0 是最简单流，则对任何a 0 和t 0 (k ) k t 都有
Prx(a t ) x(a) k k! e (k 0,1,2,)
我们把满足这一分布规律的随机过程 x(t ) : t 0 称为Poisson过程，最简单流亦称Poisson流，特别取 a0 得 (k ) k t
1.系统的Markov特性
考虑随机过程 x(t ) : t 0 ，其中 x(t ) 为时刻 t 时 排队系统中的顾客数。 对于任何 0 t1 t2 tn 条件概率
Prx(tn ) in x(t1 ) i1 , x(t2 ) i2 ,, x(tn1 ) in1 由于输入为Poisson流，服务时间服从负指数分布， 则无论 x(t ) 在 t1 , t2 , , tn 处取何值，上式条件概率仅依 赖于 x (tn1 )的值和区间 (tn1 , tn ) 的长度 tn tn1 ，即 Prx(tn ) in x(t1 ) i1 , x(t2 ) i2 ,, x(tn1 ) in1
当 t 0 时有
p0 (t ) p0 (t ) p1 (t )
对 n 1
pn (t t ) pn1 (t )t pn (t )(1 t )(1 t ) pn1 (t ) t o(t ) pn (t ) pn1 (t ) ( ) pn (t ) pn1 (t )
(3)忙期
忙期是指从顾客到达空闲服务机构起到服务机构 再次为空闲为止的这段时间，即服务机构连续繁忙的 时间长度。这是服务机构最关心的数量指标，因为它 直接关系到服务员的工作强度，与忙期相对应的是闲 期，即为服务机构连续保持空闲的时间长度。显然， 在排队系统中，忙期与闲期是交错出现的。
（三）Poisson流与指数分布