2019-2020学年人教版高中数学必修5同步单元测试卷全套打包下载含答案
2019-2020学年高中数学人教A版必修5同步作业与测评：第三章 不等式 单元质量测评 (有答案解析)
第三章 单元质量测评=本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知点P (x 0，y 0)和点A (1，2)在直线l ：3x ＋2y －8＝0的异侧，则( ) A ．3x 0＋2y 0＞0 B ．3x 0＋2y 0＜0 C ．3x 0＋2y 0＜8 D ．3x 0＋2y 0＞8 答案 D解析 ∵3×1＋2×2－8＝－1＜0，P 与A 在直线l 异侧，∴3x 0＋2y 0－8＞0． 2．设M ＝2a (a －2)＋7，N ＝(a －2)(a －3)，则有( ) A ．M ＞N B ．M ≥N C ．M ＜N D ．M ≤N 答案 A解析 M －N ＝(2a 2－4a ＋7)－(a 2－5a ＋6)＝a 2＋a ＋1＝a ＋122＋34＞0，∴M ＞N ．3．设a ，b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( ) A ．1≤ab ≤a 2＋b 22 B ．ab ＜1＜a 2＋b 22 C ．ab ＜a 2＋b 22＜1 D ．a 2＋b 22＜ab ＜1 答案 B解析 ∵ab ≤a ＋b 22，a ≠b ，∴ab ＜1． 又∵a 2＋b 22＞a ＋b 2＞0，∴a 2＋b 22＞1，∴ab ＜1＜a 2＋b 22．4．若a >b >0，全集U ＝R ，A ＝{x |ab <x <a }，B ＝{ x | b <x <⎭⎪⎬⎪⎫a ＋b 2，则(∁U A )∩B 为( ) A ．{}x | b <x ≤ab B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ ab <x <a ＋b 2 C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪b <x <a ＋b 2 D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <a ＋b 2或x ≥a答案 A解析 ∁U A ＝{x |x ≤ab 或x ≥a }， 又B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫b <x <a ＋b 2且a >b >0， ∴ab >b ，a ＋b2<a ．∴(∁U A )∩B ＝{x |b <x ≤ab }．故选A ．5．不等式组⎩⎨⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A ．32B ．23C ．43D ．34 答案 C解析 作出平面区域如图所示为△ABC ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －4＝0，3x ＋y －4＝0， 可得A (1，1)， 又B (0，4)，C 0，43，∴S △ABC ＝12·|BC |·|x A |＝12×4－43×1＝43．故选C ．6．若x ∈0，12时总有log a 2－1(1－2x )＞0，则实数a 的取值范围是( )A ．|a |＜1B ．|a |＜2C ．|a |＞ 2D ．1＜|a |＜2 答案 D解析 ∵x ∈0，12，∴0＜1－2x ＜1． 又∵此时总有log a 2－1(1－2x )＞0， ∴0＜a 2－1＜1，∴1＜|a |＜2．7．已知正实数a ，b 满足4a ＋b ＝30，当1a ＋1b 取最小值时，实数对(a ，b )是( ) A ．(5，10) B ．(6，6) C ．(10，5) D ．(7，2) 答案 A解析 1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ·130·30＝130⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (4a ＋b )＝130⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋b a ＋4a b≥130⎝⎛⎭⎪⎫5＋2b a ·4a b ＝310． 当且仅当⎩⎨⎧b a ＝4a b ，4a ＋b ＝30，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝10时取等号．故选A ． 8．已知正数x ，y 满足⎩⎨⎧2x －y ≤0，x －3y ＋5≥0，则z ＝4－x ·12y的最小值为( )A ．1B ．1324C ．116D ．132 答案 C解析 由于z ＝4－x ·12y＝2－2x －y ，又不等式组表示的平面区域如图所示．易知m ＝－2x －y 经过点A 时取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x －3y ＋5＝0，得A (1，2)，所以z min ＝2－2×1－2＝116．故选C ．9．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC→)的最小值是( ) A ．－2 B ．－32 C ．－43 D ．－1 答案 B解析 以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线AD 为y 轴，D 为坐标原点建立坐标系，则A (0，3)，B (－1，0)，C (1，0)．设P (x ，y )，所以P A →＝(－x ，3－y )，P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·P D →＝2x 2－2y (3－y )＝2x 2＋2⎝⎛⎭⎪⎫y －322－32≥－32，当P ⎝⎛⎭⎪⎫0，32时，所求的最小值为－32．故选B ．10．若ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－2<x <4}，那么对于函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 应有( )A ．f (5)<f (－1)<f (2)B ．f (2)<f (－1)<f (5)C ．f (－1)<f (2)<f (5)D ．f (5)<f (2)<f (－1) 答案 A解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2a ，c ＝－8a ，且a <0．∴f (x )＝ax 2－2ax －8a ＝a (x －1)2－9a ， ∴其图象开口向下，对称轴为x ＝1， ∴f (－1)＝f (3)．∴f (5)<f (－1)<f (2)．故选A ．11．以原点为圆心的圆全部都在平面区域 ⎩⎨⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2≥0内，则圆面积的最大值为( ) A ．18π5 B ．9π5 C ．2π D ．π 答案 C解析 作出不等式组表示的平面区域如图所示，由图可知，最大圆的半径为点(0，0)到直线x －y ＋2＝0的距离，即|0－0＋2|12＋(－1)2＝2，所以圆面积的最大值为π×(2)2＝2π．故选C ．12．设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则( ) A ．2x ＜3y ＜5z B ．5z ＜2x ＜3y C ．3y ＜5z ＜2x D ．3y ＜2x ＜5z 答案 D解析 令2x ＝3y ＝5z ＝k (k ＞1)，则x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 5k ， ∴2x 3y ＝2lg k lg 2·lg 33lg k ＝lg 9lg 8＞1，则2x ＞3y ， 2x 5z ＝2lg k lg 2·lg 55lg k ＝lg 25lg 32＜1，则2x ＜5z ．故选D ．第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，则k 的取值范围是________． 答案 (－∞，2]∪[4，＋∞)解析 x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，把x ＝1代入不等式得k 2－6k ＋8≥0，解得k ≥4或k ≤2．14．某校今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名，若a ，b 满足不等式组⎩⎨⎧2a －b ≥5，a －b ≤2，a <7.设这所学校今年计划招聘教师最多x 名，则x ＝________．答案 13解析 由题意得x ＝a ＋b ，如图所示，画出约束条件所表示的可行域，作直线l ：b ＋a ＝0，平移直线l ，再由a ，b ∈N ，可知当a ＝6，b ＝7时，x 取最大值，∴x ＝a ＋b ＝13．15．已知不等式xy ≤ax 2＋2y 2，若对任意x ∈[1，2]，且y ∈[2，3]，该不等式恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 [－1，＋∞)解析 依题意得，当x ∈[1，2]，且y ∈[2，3]时， 不等式xy ≤ax 2＋2y 2，即a ≥xy －2y 2x 2＝y x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x －142＋18．在坐标平面内画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤2，2≤y ≤3表示的平面区域，注意到yx 可视为该区域内的点(x ，y )与原点连线的斜率，结合图形可知，yx 的取值范围是[1，3]，此时－2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x －142＋18的最大值是－1，因此满足题意的实数a 的取值范围是[－1，＋∞)．16．已知函数f (x )＝x ＋1x ＋b (b 为常数)．当x ∈[－1，2]时，f (x )>－1(x ＋b )2恒成立，则b 的取值范围为________．答案 b >1解析 ∵f (x )>－1(x ＋b )2， ∴x ＋1x ＋b >－1(x ＋b )2⇔(x ＋b )(x ＋1)>－1且x ＋b ≠0，(※) 易知当x ＝－1时，不等式(※)显然成立；当－1<x ≤2时， b >－1x ＋1－x ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＋x ＋1， ∵x ＋1>0，∴1x ＋1＋(x ＋1)≥21x ＋1·(x ＋1)＝2，当且仅当x ＝0时，等号成立，故b >－1．而－b ∉[－1，2]，故b <－2或b >1． 综上所述，b >1．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设函数f (x )＝4x 2＋ax ＋2，不等式f (x )＜c 的解集为(－1，2)．(1)求a 的值； (2)解不等式4x ＋mf (x )－4x 2＞0．解 (1)∵函数f (x )＝4x 2＋ax ＋2， 不等式f (x )＜c 的解集为(－1，2)， ∴－1＋2＝－a4，∴a ＝－4．(2)不等式转化为(4x ＋m )(－4x ＋2)＞0， 可得m ＝－2，不等式的解集为∅；m ＜－2，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜x ＜－m 4；m ＞－2，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－m4＜x ＜12．18．(本小题满分12分)设x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－2kx ＋1－k 2＝0的两个实根，求x 21＋x 22的最小值．解 由题意，得x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝1－k 2． Δ＝4k 2－4(1－k 2)≥0， ∴k 2≥12．∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4k 2－2(1－k 2)＝6k 2－2≥6×12－2＝1．∴x 21＋x 22的最小值为1．19．(本小题满分12分)在△ABC 中，A (3，－1)，B (－1，1)，C (1，3)，写出△ABC 区域所表示的二元一次不等式组(包括边界)．解 由两点式，得AB ，BC ，CA 的直线方程并化简为AB ：x ＋2y －1＝0，BC ：x －y ＋2＝0，CA ：2x ＋y －5＝0，如图所示，可得不等式组为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1≥0，x －y ＋2≥0，2x ＋y －5≤0.20．(本小题满分12分)已知函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，解关于x 的不等式x 2－x －a 2＋a ＜0．解 ∵函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立． 当a ＝0时，1≥0，不等式恒成立；当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4a 2－4a ≤0，解得0＜a ≤1．综上，0≤a ≤1．由x 2－x －a 2＋a ＜0，得(x －a )[x －(1－a )]＜0． ∵0≤a ≤1，∴(1)当1－a ＞a ，即0≤a ＜12时，a ＜x ＜1－a ； (2)当1－a ＝a ，即a ＝12时，x －122＜0，不等式无解； (3)当1－a ＜a ，即12＜a ≤1时，1－a ＜x ＜a ．∴原不等式的解集为：当0≤a ＜12时，原不等式的解集为{x |a ＜x ＜1－a }； 当a ＝12时，原不等式的解集为∅；当12＜a ≤1时，原不等式的解集为{x |1－a ＜x ＜a }．21．(本小题满分12分)某客运公司用A ，B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的往返营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天要以不少于900人运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解 设应配备A 型车、B 型车分别为x 辆，y 辆，营运成本为z 元；则由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y －x ≤7，36x ＋60y ≥900，x ∈N ，y ∈N ；z ＝1600x ＋2400y ；作平面区域如图，故联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋7，y ＝15－0.6x ，解得x ＝5，y ＝12； 此时，z ＝1600x ＋2400y 有最小值1600×5＋2400×12＝36800元．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ，g (x )＝f (x )x ．(1)若不等式f (x )<0的解集是{x |a <x <1}，求a 的值；(2)若x <0，a ＝4，求函数g (x )的最大值；(3)若对任意x ∈[1，＋∞)，不等式g (x )>0恒成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)根据题意，方程x 2＋2x ＋a ＝0的两根分别为a 和1，将1代入得a ＝－3．(2)由a ＝4，则g (x )＝f (x )x ＝x 2＋2x ＋4x ＝x ＋4x ＋2， 因为x <0，所以－x ＋4－x ≥2－x ·4－x ＝4， 所以g (x )≤－4＋2＝－2．当且仅当x ＝4x ，即x ＝－2(舍去正值)时，等号成立．所以g (x )的最大值为－2．(3)依题意当x ∈[1，＋∞)时，x 2＋2x ＋a >0恒成立，所以a >－(x 2＋2x )，令t ＝－(x 2＋2x )，x ∈[1，＋∞)，则t ＝－(x 2＋2x )＝1－(x ＋1)2，所以当x ＝1时，t max ＝1－(1＋1)2＝－3，所以a>－3．。
2019-2020学年高中数学人教A版必修5同步作业与测评：2.1.2 数列的递推公式 Word版
姓名，年级：时间：第8课时数列的递推公式知识点一利用数列的递推公式求数列的项1．已知数列{a n}满足a n＝4a n－1＋3，且a1＝0，则此数列第5项是（）A．15 B．255 C．16 D．63答案B解析a2＝3，a3＝15，a4＝63，a5＝255．2．已知a1＝1，a n＋1＝错误!,则数列{a n｝的第4项是（）A．错误! B．错误! C．错误! D．错误!答案C解析a2＝错误!＝错误!＝错误!，a3＝错误!＝错误!＝错误!,a4＝错误!＝错误!＝错误!．3．已知数列｛a n}满足a1＝1,a n＋1＝2a n－1（n∈N*），则a1000＝( )A．1 B．1999 C．1000 D．－1答案A解析a1＝1，a2＝2×1－1＝1,a3＝2×1－1＝1，a4＝2×1－1＝1，…，可知a n＝1（n∈N*)．4．已知数列｛a n｝对任意的p，q∈N＊满足a p＋q＝a p＋a q，且a2＝－6,那么a10等于( ) A．－165 B．－33 C．－30 D．－21答案C解析由已知得a2＝a1＋a1＝2a1＝－6,∴a1＝－3．∴a10＝2a5＝2(a2＋a3）＝2a2＋2(a1＋a2)＝4a2＋2a1＝4×(－6）＋2×(－3)＝－30．5．已知数列{a n},a n＝a n＋m(a＜0，n∈N＊），满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________．答案2解析∵错误!∴错误!∴a n＝(－1)n＋3，∴a3＝（－1)3＋3＝2．6．已知数列{a n}满足：a4n－3＝1,a4n－1＝0,a2n＝a n，n∈N＊,则a2011＝________；a2018＝________．答案0 1解析∵a2011＝a503×4－1＝0，∴a2018＝a2×1009＝a1009＝a4×253－3＝1．知识点二利用数列的递推公式求通项公式7．数列｛a n}满足递推公式a1＝5，a n＝错误!a n－1（n≥2,n∈N*），则数列｛a n｝的前四项依次为________，它的通项公式为________．答案5，错误!，错误!，2 a n＝错误!解析由错误!＝错误!（n≥2,n∈N＊），得a2a1＝23，错误!＝错误!，…，错误!＝错误!(n≥2,n∈N＊),将以上各式两两相乘得错误!＝错误!·错误!·…·错误!＝错误!，所以a n＝错误! (n≥2,n∈N＊)，又a1＝5符合上式，所以其通项为a n＝错误!．所以a1＝5，a2＝错误!，a3＝错误!，a4＝2．8．已知数列{a n｝满足a1＝1，a n－a n－1＝错误!（n≥2），求数列{a n}的通项公式．解累加法：a n－a n－1＝错误!＝错误!－错误!,a2－a1＝1－错误!,a3－a2＝错误!－错误!,a4－a3＝错误!－错误!,…，a n－a n－1＝错误!－错误!,累加可得a n－a1＝1－错误!．又a1＝1，所以a n＝2－错误!．易错点一忽略数列中第1项9．在数列{a n｝中，若a1＝2，且对所有n∈N*满足a n＝a n＋1＋2，则a2016＝________．易错分析本题求通项公式时采用累加法易漏掉a1错解a n＝－2n＋2致a2016＝－4030．答案－4028解析由题意知a n＋1－a n＝－2，所以a n＝（a n－a n－1）＋（a n－1－a n－2)＋(a n－2－a n－3）＋…＋(a2－a1）＋a1＝－2(n－1）＋2＝－2n＋4，所以a2016＝－2×2016＋4＝－4028．易错点二对递推公式变形时忽略n取值的变化而致错10．已知数列{a n}满足a1a2a3…a n＝n2(n∈N*），求a n．易错分析本题易忽略式子a1a2a3…a n－1＝(n－1）2仅适用于n∈N＊且n≥2时的情况,因此两式相除得到a n＝错误!也仅适用于n≥2时的情况,从而错误断定a n＝错误!是数列的通项．解当n＝1时，a1＝1．由条件知a1a2a3…a n＝n2(n∈N*），当n≥2时a1a2a3…a n－1＝(n－1）2，两式相除得a n＝错误!（n≥2，n∈N*)，故a n＝错误!一、选择题1．已知a n＝3n－2,则数列{a n｝的图象是（)A．一条直线 B．一条抛物线C．一个圆 D．一群孤立的点答案D解析∵a n＝3n－2，n∈N＊，∴数列{a n}的图象是一群孤立的点．2．在数列{a n｝中,a1＝错误!，a n＝（－1）n·2a n－1（n≥2），则a5等于( ）A．－错误! B．错误! C．－错误! D．错误!答案B解析∵a1＝错误!,a n＝（－1)n·2a n－1,∴a2＝(－1)2×2×错误!＝错误!,a3＝（－1）3×2×错误!＝－错误!，a4＝（－1)4×2×－错误!＝－错误!，a5＝（－1）5×2×－错误!＝错误!．3．函数f(x）满足f（1）＝1，f（n＋1）＝f(n)＋3（n∈N*），则f（n）是（) A．递增数列 B．递减数列C．常数列 D．不能确定答案A解析∵f（n＋1)－f(n）＝3(n∈N＊），∴f（2）>f(1）,f（3）>f（2），f(4）〉f（3），…，f(n＋1)>f（n)，…．∴f(n)是递增数列．4．数列｛a n}的构成法则如下：a1＝1，如果a n－2为自然数且之前未出现过，则用递推公式a n＋1＝a n－2，否则用递推公式a n＋1＝3a n，则a6＝( ）A．－7 B．3 C．15 D．81答案C解析由a1＝1，a1－2＝－1∉N，得a2＝3a1＝3．又a2－2＝1＝a1，故a3＝3a2＝9．又a3－2＝7∈N，故a4＝a3－2＝7．又a4－2＝5∈N，则a5＝a4－2＝5．又a5－2＝3＝a2,所以a6＝3a5＝15．故选C．5．设数列｛a n｝满足a1＝1，a2＝3，且2na n＝(n－1）a n－1＋(n＋1）a n＋1,则a20的值是（)A．4错误! B．4错误! C．4错误! D．4错误!答案D解析由题知：a n＋1＝错误!,a3＝错误!＝错误!，a4＝错误!＝4，a5＝错误!＝错误!,a6＝错误!＝错误!，故a n＝错误!．所以a20＝错误!＝错误!＝4错误!．故选D．二、填空题6．在数列{a n}中，a n＝2n＋1,对于数列{b n｝，b1＝a1，当n≥2时，b n＝ab n－1，则b4＝________，b5＝________．答案31 63解析由a n＝2n＋1，知b2＝ab1＝a3＝7，b3＝ab2＝a7＝15，b4＝ab3＝a15＝31，b5＝ab4＝a31＝63．7．已知F（x)＝f错误!－1是R上的奇函数．a n＝f(0)＋f错误!＋…＋f错误!＋f(1）(n∈N*）．则数列{a n}的通项公式为________．答案a n＝n＋1解析因为F（x)＋F(－x)＝0，所以f错误!＋f错误!＝2,即若a＋b＝1，则f（a)＋f（b)＝2．于是由a n＝f（0)＋f错误!＋…＋f错误!＋f（1)(n∈N*)，得2a n＝［f（0)＋f(1)]＋错误!＋…＋错误!＋[f(1)＋f（0)］＝2n＋2，所以a n＝n＋1．8．函数f(x)定义如下表，数列{x n｝满足x0＝5，且对任意的自然数均有x n＋1＝f （x n）,则x2019＝________．答案5解析由题意可得x1，x2，x3，x4，x5，…的值分别为2,1，5，2，1,…故数列{x n｝为周期为3的周期数列．∴x2019＝x3×673＝x3＝5．三、解答题9．数列｛a n}中a1＝1，对所有的n≥2,都有a1·a2·a3·…·a n＝n2．(1)求a3，a5；（2）探究错误!是否为此数列中的项；若是，是第多少项?（3)试比较a n与a n＋1(n≥2）的大小．解（1）∵对所有的n≥2,都有a1·a2·a3·…·a n＝n2，∴a1·a2＝22，a1·a2·a3＝32，a1·a2·a3·a4＝42，a1·a2·a3·a4·a5＝52．∴a3＝错误!，a5＝错误!．(2）∵a1·a2·a3·…·a n＝n2,∴n≥3时，a1·a2·a3·…·a n－1＝(n－1)2，∴n≥3时，∴a n＝错误!2，且a1＝1，a2＝4,而错误!＝错误!2，∴错误!是数列中的项，是第16项．（3)∵错误!＝错误!2×错误!2＝错误!2〉1,∴a n〉a n＋1(n≥2)．10．已知数列{a n｝满足a1＝1,a n＋1＝错误!(n∈N*)，试探究数列{a n}的通项公式．解解法一：将n＝1，2，3，4依次代入递推公式得a2＝错误!,a3＝错误!,a4＝错误!,又a1＝错误!,∴可猜想a n＝错误!．应有a n＋1＝错误!,将其代入递推关系式验证成立，∴a n＝错误!．解法二：∵a n＋1＝错误!，∴a n＋1a n＝2a n－2a n＋1．两边同除以2a n＋1a n，得错误!－错误!＝错误!．∴错误!－错误!＝错误!，错误!－错误!＝错误!，…,错误!－错误!＝错误!．把以上各式累加得错误!－错误!＝错误!．又a1＝1，∴a n＝错误!．故数列{a n}的通项公式为a n＝错误!(n∈N*)．。
2019-2020学年高中数学人教A版必修5同步作业与测评：1.2.1 实际应用问题 版含解析
DI YI ZHANG 第一章 解三角形1．2 应用举例 第5课时 实际应用问题知识点一 距离问题1．如图，从气球A 测得济南全运会东荷、西柳个场馆B ，C 的俯角分别为α，β，此时气球的高度为h (A ，B ，C 在同一铅垂面内)，则两个场馆B ，C 间的距离为( )A ．h sin αsin βsin (α－β) B ．h sin (β－α)sin αsin βC ．h sin αsin βsin (α－β)D ．h sin βsin αsin (α－β)答案 B解析 在Rt △ADC 中，AC ＝h sin β，在△ABC 中，由正弦定理，得BC ＝AC sin (β－α)sin α＝h sin (β－α)sin αsin β．2．一船在海面A 处望见两灯塔P ，Q 在北偏西15°的一条直线上，该船沿东北方向航行4海里到达B 处，望见灯塔P 在正西方向，灯塔Q 在西北方向，则两灯塔的距离为________．答案 (12－43) 海里解析如图，在△ABP中，AB＝4，∠ABP＝45°，∠BAP＝60°，∴∠APB＝75°．∴P A＝AB·sin∠PBA sin∠APB＝4sin45°sin75°＝4(3－1)．又在△ABQ中，∠ABQ＝45°＋45°＝90°，∠P AB＝60°，∴AQ＝2AB＝8．于是PQ＝AQ－AP＝12－43，∴两灯塔的距离为(12－43) 海里．3．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________km．答案3 6解析如图，∠CAB＝15°，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠ACB＝180°－105°－15°＝60°，AB＝1 km．由正弦定理得BCsin∠CAB＝ABsin∠ACB，∴BC ＝1sin60°·sin15°＝6－223(km)．设C 到直线AB 的距离为d ，则d ＝BC ·sin75°＝6－223·6＋24＝36(km)．知识点二 测量高度问题4．如图所示，在山底A 处测得山顶B 的仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1000 m 到达S 点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC 为( )A ．500 2 mB ．200 mC ．1000 2 mD ．1000 m 答案 D解析 ∵∠SAB ＝45°－30°＝15°，∠SBA ＝∠ABC －∠SBC ＝45°－(90°－75°)＝30°， 在△ABS 中，AB ＝AS ·sin135°sin30°＝1000×2212＝10002，∴BC ＝AB ·sin45°＝10002×22＝1000(m)．5．甲，乙两楼相距20 m ，从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________．答案 20 3 m ，4033 m解析 如图所示：h 甲＝AB ＝20·tan60°＝203(m)， h 乙＝CD ＝20·tan60°－20·tan30°＝4033(m)．知识点三 测量角度问题6．甲船在A 处发现乙船在北偏东60°的B 处，乙船正以a n mile/h 的速度向北行驶．已知甲船的速度是3a n mile/h ，问甲船应沿着________方向前进，才能最快与乙船相遇？答案 北偏东30°解析 如图，设经过t h 两船在C 点相遇，则在△ABC 中，BC ＝at ，AC ＝3at ，B ＝180°－60°＝120°，由BCsin ∠CAB＝ACsin B ，得sin ∠CAB ＝BC sin B AC ＝at ·sin120°3at＝12．∵0°<∠CAB <90°，∴∠CAB ＝30°，∴∠DAC ＝60°－30°＝30°．即甲船应沿北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．7．如图，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值．解在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800，∴BC＝207．由正弦定理ABsin∠ACB＝BCsin∠BAC，得sin∠ACB＝ABBC sin∠BAC＝217．∵∠BAC＝120°，则∠ACB为锐角，∴cos∠ACB＝27 7．∴cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACB cos30°－sin∠ACB sin30°＝277×32－217×12＝2114．易错点忽略审题环节，看图不准确8．在某次军事演习中红方为了准确分析战场形势，在两个相距为3a2的军事基地C和D，测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC ＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°．如图所示，则蓝方这两支精锐部队的距离为________．易错分析在解含有两个或两个以上三角形的问题时应先根据条件应用正、余弦定理或三角形内角和定理在一个三角形中求解边和角，然后在此基础上求解另一个三角形，以此类推首选哪一个三角形至关重要，原则是首选三角形与其他三角形有一定联系，且方便求解，该题图中三角形较多，若审题不细的话易导致计算复杂或者无从下手．答案 64a解析 解法一：由题意知∠ADC ＝∠ADB ＋∠BDC ＝60°， 又因为∠ACD ＝60°，所以∠DAC ＝60°． 所以AD ＝CD ＝AC ＝32a ．在△BCD 中，∠DBC ＝180°－30°－105°＝45°， 由正弦定理得BD sin ∠BCD＝CD sin ∠DBC，所以BD ＝CD ·sin ∠BCD sin ∠DBC＝32a ·6＋2422＝3＋34a ，在△ADB 中，由余弦定理得AB 2＝AD 2＋BD 2－2·AD ·BD ·cos ∠ADB ＝34a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋34a 2－2·32a ·3＋34a ·32＝38a 2，所以AB ＝64a ．解法二：在△BCD 中，∠CBD ＝180°－30°－105°＝45°， 由正弦定理得BC sin30°＝CD sin45°， 则BC ＝CD sin30°sin45°＝64a ，在△ACD中，∠CAD＝180°－60°－60°＝60°，所以△ACD为等边三角形．因为∠ADB＝∠BDC，所以BD为正△ACD的中垂线，所以AB＝BC＝64a．一、选择题1．某人向正东方向走了x km后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他恰好离出发地 3 km，那么x的值为()A． 3 B．2 3C．3或2 3 D．5答案C解析本题考查余弦定理的应用．由题意得(3)2＝32＋x2－2×3x cos30°，解得x＝3或23，故选C．2．如右图，货轮在海上以40 km/h的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为140°的方向航行．为了确定船的位置，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行12h到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是()A．10 km B．10 2 kmC．15 km D．15 2 km答案B解析在△ABC中，BC＝40×12＝20(km)，∠ABC＝140°－110°＝30°，∠ACB＝(180°－140°)＋65°＝105°，则A＝180°－(30°＋105°)＝45°．由正弦定理，得AC＝BC·sin∠ABCsin A＝20·sin30°sin45°＝102(km)．3．如图，飞机的航线和山顶C在同一个铅垂面内，若飞机的海拔为18 km，速度为1000 km/h，飞行员到达A点处看到山顶的俯角为30°，经过1 min后到达B 点处看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔为(精确到0．1 km，参考数据：3≈1．732)()A．11．4 km B．6．6 km C．6．5 km D．5．6 km答案B解析本题考查正弦定理的实际应用．∵AB＝1000×160＝503(km)，∴BC＝ABsin45°·sin30°＝5032(km)．∴航线离山顶的距离为5032×sin75°＝5032×sin(45°＋30°)≈11．4(km)．∴山顶的海拔为18－11．4＝6．6(km)．故选B．4．某工程中要将一长为100 m倾斜角为75°的斜坡，改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长()A．100 2 m B．100 3 mC ．50(2＋6) mD ．200 m 答案 A解析 如图，由条件知，AD ＝100sin75°＝100sin(45°＋30°)＝100(sin45°·cos30°＋cos45°·sin30°) ＝25(6＋2)，CD ＝100cos75°＝25(6－2)，BD ＝AD tan30°＝25(6＋2)33＝25(32＋6)．∴BC ＝BD －CD ＝25(32＋6)－25(6－2)＝1002(m)．5．如图所示，在地面上共线的三点A ，B ，C 处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB ＝BC ＝60 m ，则建筑物的高度为( )A ．15 6 mB ．20 6 mC ．25 6 mD ．30 6 m 答案 D解析 设建筑物的高度为h ，由题图知， P A ＝2h ，PB ＝2h ，PC ＝233h ，∴在△PBA 和△PBC 中，分别由余弦定理，得cos ∠PBA ＝602＋2h 2－4h 22×60×2h ，①cos ∠PBC ＝602＋2h 2－43h 22×60×2h．②∵∠PBA ＋∠PBC ＝180°，∴cos ∠PBA ＋cos ∠PBC ＝0．③ 由①②③，解得h ＝306或h ＝－306(舍去)， 即建筑物的高度为30 6 m ． 二、填空题6．作用在同一点的三个力F 1，F 2，F 3平衡，已知F 1＝30 N ，F 2＝50 N ，F 1与F 2之间的夹角是60°，则F 3与F 1之间的夹角的正弦值为________．答案 5314解析本题以物理中的力的分解知识为背景，主要考查正弦定理及余弦定理．由题意，知F 3应和F 1，F 2的合力F 平衡．设F 3与F 1之间的夹角为θ，作图(如图)，可知当三力平衡时，由余弦定理得F 3＝302＋502－2×30×50×cos (180°－60°)＝70 N ，再由正弦定理得50sin (180°－θ)＝70sin (180°－60°)，即sin θ＝50sin120°70＝5314． 7．某舰艇在A 处测得遇险渔船在北偏东45°，距离为10 n mile 的C 处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9 n mile 的速度向一小岛靠近，舰艇时速21 n mile ，则舰艇到达渔船的最短时间是________小时．答案 23解析 设舰艇和渔船在B 处相遇，则在△ABC 中，由已知可得：∠ACB ＝120°，设舰艇到达渔船的最短时间为t ，则AB ＝21t ，BC ＝9t ，AC ＝10，则(21t )2＝(9t )2＋100－2×10×9t cos120°，解得t ＝23或t ＝－512(舍去)．8．一蜘蛛沿东北方向爬行x cm 捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm 捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x ＝________．答案 1063 cm解析 如图所示，设蜘蛛原来在O 点，先爬行到A 点，再爬行到B 点，易知在△AOB 中，AB ＝10 cm ，∠OAB ＝75°，∠ABO ＝45°，则∠AOB ＝60°． 由正弦定理知，x ＝AB ·sin ∠ABO sin ∠AOB ＝10×sin45°sin60°＝1063(cm)．三、解答题9． 某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环保标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC ，△ABD ，经测量AD ＝BD ＝7米，BC ＝5米，AC ＝8米，∠C ＝∠D ．求AB 的长度．解 在△ABC 中，由余弦定理得：cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝82＋52－AB 22×8×5， 在△ABD 中，由余弦定理得：cos D＝AD2＋BD2－AB22AD·BD＝72＋72－AB22×7×7．由∠C＝∠D，得cos C＝cos D，解得AB＝7，所以AB的长度为7米．10．如右图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12 n mile，渔船乙以10 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sinα的值．解(1)依题意可得，在△ABC中，∠BAC＝180°－60°＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20．由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784，解得BC＝28．所以渔船甲的速度为BC2＝14 n mile/h．(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得ABsinα＝BCsin120°．即sinα＝AB sin120°BC＝12×3228＝3314．。
【2019-2020学年人教A版高中数学必修五测试卷(三)
【2019-2020学年人教A版高中数学必修五测试卷(三)【2019-2020学年人教A版高中数学必修五测试卷(一)第5页】(时间:90分钟满分:120分)【选题明细表】知识点、方法题号通项公式与递推公式 1a n与S n的关系12,19等差数列基本运算2,4,5,13,17,18等差数列的性质3,7,8,11,14,20前n项和的性质6,9,10,15,16一、选择题(每小题5分,共60分)1.数列{a n}:-,3,-3,9,…的一个通项公式是( B )(A)a n=(-1)n(n∈N*)(B)a n=(-1)n(n∈N*)(C)a n=(-1)n+1(n∈N*)(D)a n=(-1)n+1(n∈N*)解析:因为数列{a n}的奇数项为负数,偶数项为正数,所以符号为(-1)n.每一项的绝对值为,其通项公式为a n=(-1)n(n∈N*).2.(2018·南平期末)在公差为3的等差数列{a n}中,a5+a6=7,则a6+a8【2019-2020学年人教A版高中数学必修五测试卷 (三)第1页】的值为( B )(A)13 (B)16 (C)19 (D)22解析:等差数列{a n}中,公差为d=3,且a5+a6=7,所以a6+a8=a5+d+a6+2d=a5+a6+3d=7+3×3=16.故选B.3.(2018·攀枝花期中)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a1+a2+a3= a4+a5,S5=60,则a5等于( A )(A)16 (B)20 (C)24 (D)26解析:因为a1+a2+a3=a4+a5,S5=60,所以解得a1=8,d=2,所以a5=8+4×2=16,故选A. 4.(2018·孝感期中)在等差数列{a n}中,a7a11=6,a4+a14=5,则该数列公差d等于( D )(A) (B)或-(C)- (D)或-解析:因为在等差数列{a n}中,a7a11=6,a4+a14=5,所以a7+a11=a4+a14=5,所以a7和a11是方程x2-5x+6=0的两个根,解方程得a7=2,a11=3,或a7=3,a11=2,所以d==或d==-.【2019-2020学年人教A版高中数学必修五测试卷(三)第2页】即该数列公差d等于或-.故选D.5.(2018·张家界期末)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著,书中有如下问题:今有女子善织,日增等尺,七日织28尺,第二日,第五日,第八日所织之和为15尺,则第九日所织尺数为( B )(A)8 (B)9 (C)10 (D)11解析:由题意可知,每日所织数量构成等差数列,且a2+a5+a8=15,S7=28,设公差为d,由a2+a5+a8=15,得3a5=15,所以a5=5,由S7=28,得7a4=28,所以a4=4,则d=a5-a4=1,所以a9=a5+4d=5+4×1=9.故选B.6.(2018·福州期中)已知等差数列{a n}中,S n是它的前n项和,若S16>0,且S17<0,则当S n取最大值时的n值为( B )(A)7 (B)8 (C)9 (D)16解析:由S16>0,知>0,即a1+a16>0,又a1+a16=a8+a9,【2019-2020学年人教A版高中数学必修五测试卷(三)第3页】。
2019-2020学年高中数学人教A版必修5同步作业与测评：第二章 数列 单元质量测评 Word版含解析
第二章 单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．数列3，5，9，17，33，…的通项公式a n 等于( ) A ．2n B ．2n ＋1 C ．2n －1 D ．2n ＋1 答案 B解析 由于3＝2＋1，5＝22＋1，9＝23＋1，…，所以通项公式是a n ＝2n ＋1．(或特值法，当n ＝1时只有B 项符合．)2．记等差数列的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d ＝( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．7 答案 B解析 S 4－S 2＝a 3＋a 4＝20－4＝16，∴a 3＋a 4－S 2＝(a 3－a 1)＋(a 4－a 2)＝4d ＝16－4＝12，∴d ＝3． 3．在数列{a n }中，a 1＝2，2a n ＋1－2a n ＝1，则a 101的值为( ) A ．49 B ．50 C ．51 D ．52 答案 D解析 ∵2a n ＋1－2a n ＝1，∴a n ＋1－a n ＝12． ∴数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝12的等差数列． ∴a 101＝2＋12×(101－1)＝52．4．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＝32，a 11＋a 12＋a 13＝118，则a 4＋a 10＝( )A ．45B ．50C ．75D ．60 答案 B解析 ∵a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝32，a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝118，∴3(a 2＋a 12)＝150，即a 2＋a 12＝50，∴a 4＋a 10＝a 2＋a 12＝50．5．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32，则S 10等于( )A ．18B ．24C ．60D ．90 答案 C解析 由a 24＝a 3a 7得(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋6d )，即2a 1＋3d ＝0． ①又S 8＝8a 1＋562d ＝32，则2a 1＋7d ＝8． ②由①②，得d ＝2，a 1＝－3． 所以S 10＝10a 1＋902d ＝60．故选C ．6．等比数列{a n }的通项为a n ＝2·3n －1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列{b n }，那么162是新数列{b n }的( )A ．第5项B ．第12项C ．第13项D ．第6项 答案 C解析 162是数列{a n }的第5项，则它是新数列{b n }的第5＋(5－1)×2＝13项． 7．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)．这个问题中，甲所得为( )A ．54钱B ．43钱C ．32钱D ．53钱 答案 B解析 依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为 a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ， 则由题意可知，a －2d ＋a －d ＝a ＋a ＋d ＋a ＋2d ，即a ＝－6d ， 又a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝5a ＝5，∴a ＝1， 则a －2d ＝a －2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 6＝43a ＝43．故选B ．8．已知{a n }是等差数列，a 3＝5，a 9＝17，数列{b n }的前n 项和S n ＝3n ，若a m ＝b 1＋b 4，则正整数m 等于( )A ．29B ．28C ．27D ．26 答案 A解析 因为{a n }是等差数列，a 9＝17，a 3＝5，所以6d ＝17－5，得d ＝2，a n ＝2n －1．又因为S n ＝3n ，所以当n ＝1时，b 1＝3，当n ≥2时，S n －1＝3n －1，b n ＝3n －3n －1＝2·3n －1，由a m ＝b 1＋b 4，得2m －1＝3＋54，得m ＝29，故选A ．9．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝2且a 2，a 4＋2，a 5成等差数列，记S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 5＝( )A ．32B ．62C ．27D ．81 答案 B解析 设各项均为正数的等比数列{a n }的公比为q ， 又a 1＝2，则a 2＝2q ，a 4＋2＝2q 3＋2，a 5＝2q 4， ∵a 2，a 4＋2，a 5成等差数列，∴4q 3＋4＝2q ＋2q 4， ∴2(q 3＋1)＝q (q 3＋1)，由q ＞0，解得q ＝2， ∴S 5＝2(1－25)1－2＝62．故选B ．10．已知数列{a n }前n 项和为S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n －1(4n －3)，则S 15＋S 22－S 31的值是( )A ．13B ．－76C ．46D ．76 答案 B解析 ∵S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋ (－1)n －1(4n －3)， ∴S 14＝7×(1－5)＝－28， a 15＝60－3＝57， S 22＝11×(1－5)＝－44，S 30＝15×(1－5)＝－60， a 31＝124－3＝121，∴S 15＝S 14＋a 15＝29，S 31＝S 30＋a 31＝61． ∴S 15＋S 22－S 31＝29－44－61＝－76．故选B ．11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ≤0，f (x －1)＋1，x >0，把方程f (x )＝x 的根按从小到大的顺序排列成一个数列{a n }，则该数列的通项公式为( )A ．a n ＝n (n －1)2(n ∈N *)B ．a n ＝n (n －1)(n ∈N *)C ．a n ＝n －1(n ∈N *)D ．a n ＝n －2(n ∈N *) 答案 C解析 令2x －1＝x (x ≤0)，易得x ＝0． 当0<x ≤1时，由已知得f (x －1)＋1＝x ， 即2x －1－1＋1＝2x －1＝x ，则x ＝1． 当1<x ≤2时，由已知得f (x )＝x ， 即f (x －1)＋1＝x ，即f (x －2)＋1＋1＝x ， 故2x －2＋1＝x ，则x ＝2． 因此，a 1＝0，a 2＝1，a 3＝2， 结合各选项可知该数列的通项公式为 a n ＝n －1(n ∈N *)．故选C ．12．已知数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，S n 为其前n 项和，则S 60＝( ) A ．3690 B ．1830 C ．1845 D ．3660 答案 B解析 ①当n 为奇数时，a n ＋1－a n ＝2n －1， a n ＋2＋a n ＋1＝2n ＋1，两式相减得 a n ＋2＋a n ＝2；②当n 为偶数时，a n ＋1＋a n ＝2n －1， a n ＋2－a n ＋1＝2n ＋1，两式相加得a n ＋2＋a n ＝4n ，故S 60＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 59＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 60) ＝2×15＋(4×2＋4×6＋…＋4×58) ＝30＋4×450＝1830．故选B ．第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知数列{a n }中，a 1＝10，a n ＋1＝a n －12，则它的前n 项和S n 的最大值为________．答案 105解析 ∵a n ＋1－a n ＝－12，∴d ＝－12， 又a 1＝10，∴a n ＝－n 2＋212(n ∈N *)． ∵a 1＝10>0，d ＝－12<0，设从第n 项起为负数，则－n 2＋212<0(n ∈N *)． ∴n >21，于是前21项和最大，最大值为S 21＝105．14．已知等比数列{a n }为递增数列，若a 1＞0，且2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的公比q ＝________．答案 2解析 ∵{a n }是递增的等比数列，且a 1＞0，∴q ＞1． 又∵2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，∴2a n ＋2a n q 2＝5a n q ．∵a n ≠0，∴2q 2－5q ＋2＝0，∴q ＝2或q ＝12(舍去)，∴公比q 为2． 15．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则a 1＋a 2＋…＋a 51＝________．答案 676解析 当n 为正奇数时，a n ＋2－a n ＝0，又a 1＝1，则所有奇数项都是1；当n 为正偶数时，a n ＋2－a n ＝2，又a 2＝2，则所有偶数项是首项和公差都是2的等差数列，所以a 1＋a 2＋…＋a 51＝(a 1＋a 3＋…＋a 51)＋(a 2＋a 4＋…＋a 50)＝26a 1＋25a 2＋25×242×2＝676．16．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加3万元，该设备每年生产的收入均为21万元．设该设备使用了n (n ∈N *)年后，盈利总额达到最大值(盈利总额等于总收入减去总成本)，则n 等于________．答案 7解析 设该设备第n 年的运营费用为a n 万元，则数列{a n }是以2为首项，3为公差的等差数列，则a n ＝3n －1．设该设备使用n 年的运营费用总和为T n ， 则T n ＝n (2＋3n －1)2＝32n 2＋12n ．设n 年的盈利总额为S n ，则S n ＝21n －⎝ ⎛⎭⎪⎫32n 2＋12n －9＝－32n 2＋412n －9．由二次函数的性质可知，当n ＝416时，S n 取得最大值，又n ∈N *， 故当n ＝7时，S n 取得最大值．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设a ，b ，c 是实数，3a ，4b ，5c 成等比数列，且1a ，1b ，1c 成等差数列，求a c ＋c a 的值．解 ∵3a ，4b ，5c 成等比数列，∴16b 2＝15ac ． ① ∵1a ，1b ，1c 成等差数列， ∴2b ＝1a ＋1c ． ②由①，得4b 2·15ac ＝64． ③ 将②代入③，得1a ＋1c 2·15ac ＝64，∴1a 2＋1c 2＋2ac ac ＝6415． ∴c a ＋a c ＝3415．18．(本小题满分12分)数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，若a n ＋S n ＝n ，c n ＝a n －1．(1)求证：数列{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式．解 (1)证明：∵a 1＝S 1，a n ＋S n ＝n ， ① ∴a 1＋S 1＝1，得a 1＝12． 又a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1， ②由①②两式相减得2(a n ＋1－1)＝a n －1， 即a n ＋1－1a n －1＝12，也即c n ＋1c n ＝12， 故数列{c n }是等比数列． (2)∵c 1＝a 1－1＝－12，∴c n ＝－12n ，a n ＝c n ＋1＝1－12n ， a n －1＝1－12n －1．故当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝12n －1－12n ＝12n ．又b 1＝a 1＝12也适合上式，∴b n ＝12n ．19．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n (n ∈N *)．(1)证明：数列{a n ＋1－a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式． 解 (1)证明：∵a n ＋2＝3a n ＋1－2a n ，∴a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )，∴a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝2．∵a 1＝1，a 2＝3，∴{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝2为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)得a n ＋1－a n ＝2n ，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝2n －1．故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1．20．(本小题满分12分)2010年4月14日，冰岛南部艾雅法拉火山喷发，弥漫在欧洲上空多日的火山灰严重影响欧洲多个国家的机场正常运营．由于风向，火山灰主要飘落在该火山口的东北方向与东南方向之间的地区．假设火山喷发停止后，需要了解火山灰的飘散程度，为了测量的需要，现将距离火山喷口中心50米内的扇形面记为第1区、50米至100米的扇环面记为第2区、…、50(n －1)米至50n 米的扇环面记为第n 区，若测得第1区的火山灰每平方米的平均质量为1吨、第2区每平方米的平均质量较第1区减少了2%、第3区较第2区又减少了2%，依此类推，问：(1)离火山口1225米处的火山灰大约为每平方米多少千克？(结果精确到1千克)(2)第几区内的火山灰总质量最大？提示：当n 较大时，可用(1－x )n ≈1－nx 进行近似计算． 解 (1)设第n 区的火山灰为每平方米a n 千克， 依题意，数列{a n }为等比数列，且a 1＝1000(千克)， 公比q ＝1－2%＝0．98， ∴a n ＝a 1×q n －1＝1000×0．98n －1． ∵离火山口1225米处的位置在第25区，∴a 25＝1000×(1－0．02)24≈1000×(1－24×0．02)＝520，即离火山口1225米处的火山灰大约为每平方米520千克．(2)设第n 区的火山灰总质量为b n 千克，且该区的火山灰总质量最大． 依题意，第n 区的面积为14π{(50n )2－[50(n －1)]2}＝625π(2n －1)， ∴b n ＝625π(2n －1)×a n ． 依题意得⎩⎨⎧b n ≥b n －1，b n ≥b n ＋1，解得49．5≤n ≤50．5．∵n ∈N *， ∴n ＝50，即第50区的火山灰总质量最大．21．(本小题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2，数列{b n }为等比数列，且a 1＝b 1，b 2(a 2－a 1)＝b 1．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a nb n，求数列{c n }的前n 项和T n ．解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－2(n －1)2＝4n －2， ∵当n ＝1时，a 1＝4－2＝2也适合上式， ∴{a n }的通项公式为a n ＝4n －2， 即{a n }是a 1＝2，公差d ＝4的等差数列． 设{b n }的公比为q ，则b 1qd ＝b 1， ∴q ＝14．故b n ＝b 1q n －1＝2×14n －1．即{b n }的通项公式为b n ＝24n －1． (2)∵c n ＝a n b n＝4n －224n －1＝(2n －1)4n －1，∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝1＋3×41＋5×42＋…＋(2n －1)4n －1， 4T n ＝1×4＋3×42＋5×43＋…＋(2n －3)4n －1＋(2n －1)4n ．两式相减，得3T n ＝－1－2(41＋42＋43＋…＋4n －1)＋(2n －1)4n ＝13[(6n －5)4n ＋5]，∴T n ＝19[(6n －5)4n ＋5]．22．(本小题满分12分)已知a 1＝2，点(a n ，a n ＋1)在函数f (x )＝x 2＋2x 的图象上，其中n ＝1，2，3，…．(1)证明：数列{lg (1＋a n )}是等比数列； (2)设T n ＝(1＋a 1)·(1＋a 2)…(1＋a n )，求T n ；(3)记b n ＝1a n ＋1a n ＋2，求数列{b n }的前n 项和S n ，并证明S n <1．解 (1)证明：由已知a n ＋1＝a 2n ＋2a n ，∴a n ＋1＋1＝(a n ＋1)2， ∴lg (1＋a n ＋1)＝2lg (1＋a n )，∴{lg (1＋a n )}是公比为2的等比数列． (2)由(1)知lg (1＋a n )＝2n －1·lg (1＋a 1) ＝2n －1·lg 3＝lg 32n －1， ∴1＋a n ＝32n －1，∴T n ＝(1＋a 1)(1＋a 2)…(1＋a n )＝320·321·322·…·32n －1＝31＋2＋22＋…＋2n －1＝32n －1． (3)∵点(a n ，a n ＋1)在函数f (x )＝x 2＋2x 的图象上， ∴a n ＋1＝a 2n ＋2a n ，∴a n ＋1＝a n (a n ＋2)． ∴1a n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋2，∴1a n ＋2＝1a n －2a n ＋1，∴b n ＝1a n ＋1a n ＋2＝1a n ＋1a n －2a n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1．∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝2⎝ ⎛1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1a 1－1a n ＋1． ∵a n ＝32n －1－1，a 1＝2，a n ＋1＝32n －1， ∴S n ＝1－232n －1．32n－1>32－1＝8>2，∴0<232n －1<1．∴S n <1．。
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第一章 解三角形 测试一 正弦定理和余弦定理Ⅰ 学习目标1．掌握正弦定理和余弦定理及其有关变形.2．会正确运用正弦定理、余弦定理及有关三角形知识解三角形.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．在△ABC 中，若BC ＝2，AC ＝2，B ＝45°，则角A 等于( )(A)60°(B)30°(C)60°或120° (D)30°或150°2．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，cos C ＝－41，则c 等于( ) (A)2(B)3(C)4(D)53．在△ABC 中，已知32sin ,53cos ==C B ，AC ＝2，那么边AB 等于( )(A )45(B)35(C)920(D)5124．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知B ＝30°，c ＝150，b ＝503，那么这个三角形是( )(A)等边三角形 (B)等腰三角形(C)直角三角形(D)等腰三角形或直角三角形5．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，如果A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，那么a ∶b ∶c 等于( ) (A)1∶2∶3 (B)1∶3∶2(C)1∶4∶9 (D)1∶2∶3二、填空题6．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，B ＝45°，C ＝75°，则b ＝________.7．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝2，b＝23，c ＝4，则A＝________.8．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2cos B cos C＝1－cos A，则△ABC形状是________三角形.9．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝3，b＝4，B＝60°，则c＝________.10．在△ABC中，若tan A＝2，B＝45°，BC＝5，则AC＝________.三、解答题11．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝2，b＝4，C ＝60°，试解△ABC.12．在△ABC中，已知AB＝3，BC＝4，AC＝13.(1)求角B的大小；(2)若D是BC的中点，求中线AD的长.13．如图，△OAB的顶点为O(0，0)，A(5，2)和B(－9，8)，求角A的大小.14．在△ABC中，已知BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1.(1)求角C的度数；(2)求AB的长；(3)求△ABC的面积.测试二解三角形全章综合练习Ⅰ 基础训练题一、选择题1．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b 2＋c 2－a 2＝bc ，则角A 等于( ) (A)6π(B)3π(C)32π(D)65π2．在△ABC 中，给出下列关系式：①sin(A ＋B )＝sin C ②cos(A ＋B )＝cos C ③2cos 2sin C B A =+其中正确的个数是( ) (A)0(B)1(C)2(D)33．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a ＝3，sin A ＝32，sin(A ＋C )＝43，则b 等于( ) (A)4(B)38(C)6 (D)8274．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝4，sin C ＝32，则此三角形的面积是( ) (A)8(B)6(C)4(D)35．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，且sin A ＝2sin B cos C ，则此三角形的形状是( )(A)直角三角形(B)正三角形(C)腰和底边不等的等腰三角形 (D)等腰直角三角形二、填空题6．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，B＝45°，则角A ＝________.7．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，c ＝19，则角C ＝________.8．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b ＝3，c ＝4，cos A ＝53，则此三角形的面积为________.9．已知△ABC 的顶点A (1，0)，B (0，2)，C (4，4)，则cos A ＝________. 10．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，那么边BC 上的中线AD 的长为________. 三、解答题11．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且a ＝3，b ＝4，C ＝60°.(1)求c ； (2)求sin B .12．设向量a ，b 满足a ·b ＝3，|a |＝3，|b |＝2.(1)求〈a ，b 〉； (2)求|a －b |.13．设△OAB 的顶点为O (0，0)，A (5，2)和B (－9，8)，若BD ⊥OA 于D .(1)求高线BD 的长； (2)求△OAB 的面积.14．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＞sin 2C ，求证：C 为锐角.(提示：利用正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===，其中R 为△ABC 外接圆半径)Ⅱ 拓展训练题15．如图，两条直路OX 与OY 相交于O 点，且两条路所在直线夹角为60°，甲、乙两人分别在OX 、OY 上的A 、B 两点，| OA |＝3km ，| OB |＝1km ，两人同时都以4km/h 的速度行走，甲沿XO 方向，乙沿OY 方向. 问：(1)经过t 小时后，两人距离是多少(表示为t 的函数)？ (2)何时两人距离最近？16．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且ca bC B +-=2cos cos . (1)求角B 的值； (2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC的面积.第二章 数列 测试三 数列 Ⅰ 学习目标1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊的函数.2．理解数列的通项公式的含义，由通项公式写出数列各项.3．了解递推公式是给出数列的一种方法，能根据递推公式写出数列的前几项.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．数列{a n }的前四项依次是：4，44，444，4444，…则数列{a n }的通项公式可以是( )(A)a n ＝4n(B)a n ＝4n (C)a n ＝94(10n －1)(D)a n ＝4×11n2．在有一定规律的数列0，3，8，15，24，x ，48，63，……中，x 的值是( )(A)30(B)35(C)36(D)423．数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＝a n －1＋3n ，则a 4等于( )(A)4(B)13(C)28(D)434．156是下列哪个数列中的一项( )(A){n 2＋1}(B){n 2－1}(C){n 2＋n }(D){n 2＋n －1}5．若数列{a n }的通项公式为a n ＝5－3n ，则数列{a n }是( )(A)递增数列 (B)递减数列 (C)先减后增数列 (D)以上都不对二、填空题6．数列的前5项如下，请写出各数列的一个通项公式：(1)n a ,,31,52,21,32,1 ＝________；(2)0，1，0，1，0，…，a n ＝________. 7．一个数列的通项公式是a n ＝122+n n .(1)它的前五项依次是________； (2)0.98是其中的第________项.8．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋1，则a 4＝________. 9．数列{a n }的通项公式为)12(3211-++++=n a n (n ∈N *)，则a 3＝________.10．数列{a n }的通项公式为a n ＝2n 2－15n ＋3，则它的最小项是第________项. 三、解答题11．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝14－3n .(1)写出数列{a n }的前6项； (2)当n ≥5时，证明a n ＜0. 12．在数列{a n }中，已知a n ＝312-+n n (n ∈N *).(1)写出a 10，a n ＋1，2n a ；(2)7932是否是此数列中的项？若是，是第几项？ 13．已知函数xx x f 1)(-=，设a n ＝f (n )(n ∈N ＋).(1)写出数列{a n }的前4项；(2)数列{a n }是递增数列还是递减数列？为什么？测试四 等差数列 Ⅰ 学习目标1．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并能解决一些简单问题. 2．掌握等差数列的前n 项和公式，并能应用公式解决一些简单问题.3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能体会等差数列与一次函数的关系.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．数列{a n }满足：a 1＝3，a n ＋1＝a n －2，则a 100等于( )(A)98(B)－195(C)－201(D)－1982．数列{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝3的等差数列，如果a n ＝2008，那么n 等于( )(A)667(B)668(C)669(D)6703．在等差数列{a n }中，若a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( )(A)15(B)30(C)31(D)644．在a 和b (a ≠b )之间插入n 个数，使它们与a ，b 组成等差数列，则该数列的公差为( )(A)na b -(B)1+-n a b(C)1++n a b(D)2+-n a b5．设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－6，a 8＝6，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( )(A)S 4＜S 5 (B)S 4＝S 5(C)S 6＜S 5(D)S 6＝S 5二、填空题6．在等差数列{a n }中，a 2与a 6的等差中项是________.7．在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝5，a 3＋a 4＝9，那么a 5＋a 6＝________. 8．设等差数列{a n }的前n 项和是S n ，若S 17＝102，则a 9＝________. 9．如果一个数列的前n 项和S n ＝3n 2＋2n ，那么它的第n 项a n ＝________. 10．在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，设{a n }的前n项和是S n ，则S 10＝________. 三、解答题11．已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，a 3＝7，S 4＝24．求数列{a n }的通项公式.12．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a10＝30，a20＝50.(1)求通项a n；(2)若S n＝242，求n.13．数列{a n}是等差数列，且a1＝50，d＝－0.6．(1)从第几项开始a n＜0；(2)写出数列的前n项和公式S n，并求S n的最大值.Ⅲ拓展训练题14．记数列{a n}的前n项和为S n，若3a n＋1＝3a n＋2(n∈N*)，a1＋a3＋a5＋…＋a99＝90，求S100．测试五等比数列Ⅰ学习目标1．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能解决一些简单问题. 2．掌握等比数列的前n项和公式，并能应用公式解决一些简单问题.3．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能体会等比数列与指数函数的关系.Ⅱ基础训练题一、选择题1．数列{a n}满足：a1＝3，a n＋1＝2a n，则a4等于( )(A)3(B)24 (C)48 (D)5482．在各项都为正数的等比数列{a n}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3＋a4＋a 5等于( )(A)33(B)72(C)84(D)1893．在等比数列{a n }中，如果a 6＝6，a 9＝9，那么a 3等于( )(A)4(B)23(C)916(D)34．在等比数列{a n }中，若a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前四项和为( )(A)81(B)120(C)168(D)1925．若数列{a n }满足a n ＝a 1q n －1(q ＞1)，给出以下四个结论：①{a n }是等比数列； ②{a n }可能是等差数列也可能是等比数列；③{a n }是递增数列； ④{a n }可能是递减数列.其中正确的结论是( ) (A)①③ (B)①④ (C)②③ (D)②④二、填空题6．在等比数列{a n }中,a 1，a 10是方程3x 2＋7x －9＝0的两根，则a 4a 7＝________. 7．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝3，a 3＋a 4＝6，那么a 5＋a 6＝________. 8．在等比数列{a n }中，若a 5＝9，q ＝21，则{a n }的前5项和为________.9．在38和227之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________.10．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q ＝________. 三、解答题11．已知数列{a n }是等比数列，a 2＝6，a 5＝162.设数列{a n }的前n 项和为S n .(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若S n ＝242，求n .12．在等比数列{a n}中，若a2a6＝36，a3＋a5＝15，求公比q.13．已知实数a，b，c成等差数列，a＋1，b＋1，c＋4成等比数列，且a＋b＋c ＝15，求a，b，c.Ⅲ拓展训练题14．在下列由正数排成的数表中，每行上的数从左到右都成等比数列，并且所有公比都等于q，每列上的数从上到下都成等差数列.a ij表示位于第i行第j列的数，其中a24＝1，a42＝1，a54＝5.(1)求q的值；(2)求a ij的计算公式.测试六数列求和Ⅰ学习目标1．会求等差、等比数列的和，以及求等差、等比数列中的部分项的和. 2．会使用裂项相消法、错位相减法求数列的和.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．已知等比数列的公比为2，且前4项的和为1，那么前8项的和等于( )(A)15(B)17(C)19 (D)212．若数列{a n }是公差为21的等差数列，它的前100项和为145，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99的值为( ) (A)60(B)72.5(C)85(D)1203．数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n －1·2n (n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则S 100等于( )(A)100 (B)－100 (C)200 (D)－2004．数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-)12)(12(1n n 的前n 项和为( )(A)12+n n(B)122+n n(C)24+n n(D)12+n n5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝a n ＋3(n ＝1，2，3，…)，则S 100等于( ) (A)7000 (B)7250 (C)7500 (D)14950二、填空题 6．nn +++++++++11341231121 ＝________.7．数列{n ＋n21}的前n 项和为________.8．数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________.9．设n ∈N *，a ∈R ，则1＋a ＋a 2＋…＋a n ＝________. 10．nn 21813412211⨯++⨯+⨯+⨯ ＝________.三、解答题11．在数列{a n }中，a 1＝－11，a n ＋1＝a n ＋2(n ∈N *)，求数列{|a n |}的前n 项和S n .12．已知函数f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n (n ∈N *，x ∈R )，且对一切正整数n都有f (1)＝n 2成立. (1)求数列{a n }的通项a n ； (2)求13221111++++n n a a a a a a .13．在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝12141211-++++n ，求数列的前n 项和S n .Ⅲ 拓展训练题14．已知数列{a n }是等差数列，且a 1＝2，a 1＋a 2＋a 3＝12.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝a n x n (x ∈R )，求数列{b n }的前n 项和公式.测试七 数列综合问题Ⅰ 基础训练题一、选择题1．等差数列{a n }中，a 1＝1，公差d ≠0，如果a 1，a 2，a 5成等比数列，那么d 等于( )(A)3(B)2(C)－2(D)2或－22．等比数列{a n }中，a n ＞0，且a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，则a 3＋a 5等于( )(A)5(B)10(C)15(D)203．如果a 1，a 2，a 3，…，a 8为各项都是正数的等差数列，公差d ≠0，则( )(A)a1a8＞a4a5 (B)a1a8＜a4a5(C)a1＋a8＞a4＋a5(D)a1a8＝a4a54．一给定函数y＝f(x)的图象在下列图中，并且对任意a1∈(0，1)，由关系式a n＋1＝f(a n)得到的数列{a n}满足a n＋1＞a n(n∈N*)，则该函数的图象是( )5．已知数列{a n}满足a1＝0，1331+-=+nnn aaa(n∈N*)，则a20等于( )(A)0 (B)－3(C)3(D)23二、填空题6．设数列{a n}的首项a1＝41，且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+.,,41,211为奇数为偶数nanaannn则a2＝________，a3＝________. 7．已知等差数列{a n}的公差为2，前20项和等于150，那么a2＋a4＋a6＋…＋a20＝________.8．某种细菌的培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)，经过3个小时，这种细菌可以由1个繁殖成________个.9．在数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝a n＋3n(n∈N*)，则a n＝________.10．在数列{a n}和{b n}中，a1＝2，且对任意正整数n等式3a n＋1－a n＝0成立，若b n是a n与a n＋1的等差中项，则{b n}的前n项和为________.三、解答题11．数列{a n}的前n项和记为S n，已知a n＝5S n－3(n∈N*).(1)求a1，a2，a3；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)求a 1＋a 3＋…＋a 2n －1的和.12．已知函数f (x )＝422+x (x ＞0)，设a 1＝1，a 21+n ·f (a n )＝2(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式.13．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，S 12＞0，S 13＜0.(1)求公差d 的范围；(2)指出S 1，S 2，…，S 12中哪个值最大，并说明理由.Ⅲ 拓展训练题14．甲、乙两物体分别从相距70m 的两地同时相向运动.甲第1分钟走2m ，以后每分钟比前1分钟多走1m ，乙每分钟走5m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？15．在数列{a n }中，若a 1，a 2是正整数，且a n ＝|a n －1－a n －2|，n ＝3，4，5，…则称{a n }为“绝对差数列”.(1)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项)； (2)若“绝对差数列”{a n }中，a 1＝3，a 2＝0，试求出通项a n ； (3)*证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.测试八 数列全章综合练习Ⅰ 基础训练题一、选择题1．在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝4，a 3＋a 4＝12，那么a 5＋a 6等于( )(A)16(B)20(C)24(D)362．在50和350间所有末位数是1的整数和( )(A)5880(B)5539(C)5208(D)48773．若a ，b ，c 成等比数列，则函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数为( )(A)0(B)1(C)2(D)不能确定4．在等差数列{a n }中，如果前5项的和为S 5＝20，那么a 3等于( )(A)－2(B)2(C)－4(D)45．若{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2007＋a 2008＞0，a 2007·a 2008＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( ) (A)4012 (B)4013(C)4014(D)4015二、填空题6．已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则该数列的通项a n ＝________. 7．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项和S 20＝________.8．数列{a n }的前n 项和记为S n ，若S n ＝n 2－3n ＋1，则a n ＝________.9．等差数列{a n }中，公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则1074963a a a a a a ++++＝________.10．设数列{a n }是首项为1的正数数列，且(n ＋1)a 21+n －na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *)，则它的通项公式a n ＝________. 三、解答题11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 7－a 10＝8，a 11－a 4＝4，求S 13.12．已知数列{a n }中，a 1＝1，点(a n ，a n ＋1＋1)(n ∈N *)在函数f (x )＝2x ＋1的图象上.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n ；(3)设c n ＝S n ，求数列{c n }的前n 项和T n .13．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足条件S n ＝3a n ＋2.(1)求证：数列{a n }成等比数列； (2)求通项公式a n .14．某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船，用于捕捞，第一年需各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50万元.(1)写出该渔船前四年每年所需的费用(不包括购买费用)；(2)该渔船捕捞几年开始盈利(即总收入减去成本及所有费用为正值)？(3)若当盈利总额达到最大值时，渔船以8万元卖出，那么该船为渔业公司带来的收益是多少万元？Ⅱ 拓展训练题15．已知函数f (x )＝412-x (x ＜－2)，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝f (－11+n a )(n ∈N *).(1)求a n ；(2)设b n ＝a 21+n ＋a 22+n ＋…＋a 212+n ，是否存在最小正整数m ，使对任意n ∈N *有b n ＜25m成立？若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.16．已知f是直角坐标系平面xOy到自身的一个映射，点P在映射f下的象为点Q，记作Q＝f(P).设P1(x1，y1)，P2＝f(P1)，P3＝f(P2)，…，P n＝f(P n－1)，….如果存在一个圆，使所有的点P n(x n，y n)(n∈N*)都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点P n(x n，y n)的一个收敛圆.特别地，当P1＝f(P1)时，则称点P1为映射f下的不动点.1y).若点P(x，y)在映射f下的象为点Q(－x＋1，2(1)求映射f下不动点的坐标；(2)若P1的坐标为(2，2)，求证：点P n(x n，y n)(n∈N*)存在一个半径为2的收敛圆.第三章 不等式 测试九 不等式的概念与性质Ⅰ 学习目标1．了解日常生活中的不等关系和不等式(组)的实际背景，掌握用作差的方法比较两个代数式的大小.2．理解不等式的基本性质及其证明.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．设a ，b ，c ∈R ，则下列命题为真命题的是( )(A)a ＞b ⇒a －c ＞b －c (B)a ＞b ⇒ac ＞bc (C)a ＞b ⇒a 2＞b 2(D)a ＞b ⇒ac 2＞bc 22．若－1＜＜＜1，则－的取值范围是( )(A)(－2，2) (B)(－2，－1) (C)(－1，0) (D)(－2，0)3．设a ＞2，b ＞2，则ab 与a ＋b 的大小关系是( )(A)ab ＞a ＋b (B)ab ＜a ＋b (C)ab ＝a ＋b (D)不能确定 4．使不等式a ＞b 和ba11>同时成立的条件是( )(A)a ＞b ＞0 (B)a ＞0＞b (C)b ＞a ＞0 (D)b ＞0＞a5．设1＜x ＜10，则下列不等关系正确的是( )(A)lg 2x ＞lg x 2＞lg(lg x ) (B)lg 2x ＞lg(lg x )＞lg x 2 (C)lg x 2＞lg 2x ＞1g (lg x )(D)lg x 2＞lg(lg x )＞lg 2x二、填空题6．已知a ＜b ＜0，c ＜0，在下列空白处填上适当不等号或等号：(1)(a －2)c ________(b －2)c ； (2)ac ________bc ； (3)b －a ________|a |－|b |. 7．已知a ＜0，－1＜b ＜0，那么a 、ab 、ab 2按从小到大排列为________.8．已知60＜a ＜84，28＜b ＜33，则a －b 的取值范围是________；ba 的取值范围是________.9．已知a ，b ，c ∈R ，给出四个论断：①a ＞b ；②ac 2＞bc 2；③cb ca >；④a －c ＞b－c .以其中一个论断作条件，另一个论断作结论，写出你认为正确的两个命题是________⇒________；________⇒________.(在“⇒”的两侧填上论断序号). 10．设a ＞0，0＜b ＜1，则P ＝23+a b 与)2)(1(++=a a bQ 的大小关系是________.三、解答题11．若a ＞b ＞0，m ＞0，判断ab 与ma mb ++的大小关系并加以证明.12．设a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，b a q a b b a p +=+=,22.证明：p ＞q .注：解题时可参考公式x 3＋y 3＝(x ＋y )(x 2－xy ＋y 2).Ⅲ 拓展训练题13．已知a ＞0，且a ≠1，设M ＝log a (a 3－a ＋1)，N ＝log a (a 2－a ＋1).求证：M ＞N .14．在等比数列{a n }和等差数列{b n }中,a 1＝b 1＞0，a 3＝b 3＞0，a 1≠a 3，试比较a 5和b 5的大小.测试十 均值不等式 Ⅰ 学习目标1．了解基本不等式的证明过程.2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．已知正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则ab ( )(A)有最小值41 (B)有最小值21 (C)有最大值41 (D)有最大值212．若a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，则( )(A)2222b a ab ba +<<+ (B)2222b a b a ab +<+<(C)2222ba b a ab +<+<(D)2222ba ab b a +<<+ 3．若矩形的面积为a 2(a ＞0)，则其周长的最小值为( )(A)a(B)2a(C)3a(D)4a4．设a ，b ∈R ，且2a ＋b －2＝0，则4a ＋2b 的最小值是( )(A)22(B)4 (C)24(D)85．如果正数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝cd ＝4，那么( )(A)ab ≤c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值唯一 (B)ab ≥c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值唯一 (C)ab ≤c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值不唯一 (D)ab ≥c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值不唯一 二、填空题6．若x ＞0，则变量xx 9+的最小值是________；取到最小值时，x ＝________.7．函数y ＝142+x x(x ＞0)的最大值是________；取到最大值时，x ＝________. 8．已知a ＜0，则316-+a a 的最大值是________. 9．函数f (x )＝2log 2(x ＋2)－log 2x 的最小值是________.10．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝3，且a ，b ，c 成等比数列，则b 的取值范围是________.三、解答题11．四个互不相等的正数a ，b ，c ，d 成等比数列，判断2d a +和bc的大小关系并加以证明.12．已知a ＞0，a ≠1，t ＞0，试比较21log a t 与21log +t a的大小.Ⅲ 拓展训练题13．若正数x ，y 满足x ＋y ＝1，且不等式a y x ≤+恒成立，求a 的取值范围. 14．(1)用函数单调性的定义讨论函数f (x )＝x ＋xa (a ＞0)在(0，＋∞)上的单调性；(2)设函数f (x )＝x ＋xa (a ＞0)在(0，2]上的最小值为g (a )，求g (a )的解析式.测试十一 一元二次不等式及其解法Ⅰ 学习目标1．通过函数图象理解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. 2．会解简单的一元二次不等式.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．不等式5x ＋4＞－x 2的解集是( )(A){x |x ＞－1，或x ＜－4} (B){x |－4＜x ＜－1} (C){x |x ＞4，或x ＜1}(D){x |1＜x ＜4}2．不等式－x 2＋x －2＞0的解集是( )(A){x |x ＞1，或x ＜－2} (B){x |－2＜x ＜1}(C)R(D)∅3．不等式x 2＞a 2(a ＜0)的解集为( )(A){x |x ＞±a } (B){x |－a ＜x ＜a } (C){x |x ＞－a ，或x ＜a }(D){x |x ＞a ，或x ＜－a }4．已知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为}231|{<<-x x ，则不等式cx 2＋bx ＋a ＜0的解集是( )(A){x |－3＜x ＜21} (B){x |x ＜－3，或x ＞21} (C){x －2＜x ＜31}(D){x |x ＜－2，或x ＞31}5．若函数y ＝px 2－px －1(p ∈R )的图象永远在x 轴的下方，则p 的取值范围是( )(A)(－∞，0) (B)(－4，0] (C)(－∞，－4) (D)[－4，0)二、填空题6．不等式x 2＋x －12＜0的解集是________. 7．不等式05213≤+-x x 的解集是________.8．不等式|x 2－1|＜1的解集是________. 9．不等式0＜x 2－3x ＜4的解集是________.10．已知关于x 的不等式x 2－(a ＋a1)x ＋1＜0的解集为非空集合｛x |a ＜x ＜a1}，则实数a 的取值范围是________. 三、解答题11．求不等式x 2－2ax －3a 2＜0(a ∈R )的解集. 12．k在什么范围内取值时，方程组⎩⎨⎧=+-=-+0430222k y x x y x 有两组不同的实数解？Ⅲ 拓展训练题13．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －6＜0}，B ＝{x |x 2＋2x －8＞0}，C ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2＜0}.(1)求实数a 的取值范围，使C ⊇(A ∩B )； (2)求实数a 的取值范围，使C ⊇(U A )∩(U B ).14．设a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2－2x ＋1＜0.测试十二 不等式的实际应用Ⅰ 学习目标会使用不等式的相关知识解决简单的实际应用问题.Ⅱ 基础训练题一、选择题 1．函数241xy -=的定义域是( )(A){x |－2＜x ＜2} (B){x |－2≤x ≤2} (C){x |x ＞2，或x ＜－2}(D){x |x ≥2，或x ≤－2}2．某村办服装厂生产某种风衣，月销售量x (件)与售价p (元/件)的关系为p ＝300－2x ，生产x 件的成本r ＝500＋30x (元)，为使月获利不少于8600元，则月产量x 满足( ) (A)55≤x ≤60 (B)60≤x ≤65 (C)65≤x ≤70(D)70≤x ≤753．国家为了加强对烟酒生产管理，实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶70元，不征收附加税时，每年大约产销100万瓶；若政府征收附加税，每销售100元征税r 元，则每年产销量减少10r 万瓶，要使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元，那么r 的取值范围为( ) (A)2≤r ≤10 (B)8≤r ≤10 (C)2≤r ≤8(D)0≤r ≤84．若关于x 的不等式(1＋k 2)x ≤k 4＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有( )(A)2∈M ，0∈M (B)2∉M ，0∉M (C)2∈M ，0∉M(D)2∉M ，0∈M二、填空题5．已知矩形的周长为36cm ，则其面积的最大值为________.6．不等式2x2＋ax＋2＞0的解集是R，则实数a的取值范围是________.7．已知函数f(x)＝x|x－2|，则不等式f(x)＜3的解集为________.8．若不等式|x＋1|≥kx对任意x∈R均成立，则k的取值范围是________.三、解答题9．若直角三角形的周长为2，求它的面积的最大值，并判断此时三角形形状.10．汽车在行驶过程中，由于惯性作用，刹车后还要继续滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个主要因素，在一个限速为40km/h的弯道上，甲乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相撞了，事后现场测得甲车刹车的距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m.已知甲乙两种车型的刹车距离s(km)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2．问交通事故的主要责任方是谁？Ⅲ拓展训练题11．当x∈[－1，3]时，不等式－x2＋2x＋a＞0恒成立，求实数a的取值范围.12．某大学印一份招生广告，所用纸张(矩形)的左右两边留有宽为4cm的空白，上下留有都为6cm的空白，中间排版面积为2400cm2.如何选择纸张的尺寸，才能使纸的用量最小？测试十三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题Ⅰ 学习目标1．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组. 2．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．已知点A (2，0)，B (－1，3)及直线l ：x －2y ＝0，那么( )(A)A ，B 都在l 上方(B)A ，B 都在l 下方(C)A 在l 上方，B 在l 下方(D)A 在l 下方，B 在l 上方2．在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥2,0,0y x y x 所表示的平面区域的面积为()(A)1 (B)2 (C)3 (D)43．三条直线y ＝x ，y ＝－x ，y ＝2围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是( )(A)⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥.2,,y x y x y (B)⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≤.2,,y x y x y (C)⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤.2,,y x y x y (D)⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥.2,,y x y x y4．若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-,3,0,05x y x y x 则z ＝2x ＋4y 的最小值是( )(A)－6(B)－10 (C)5(D)105．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元，70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( ) (A)5种(B)6种(C)7种(D)8种二、填空题6．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎨⎧<>00y x 所表示的平面区域内的点位于第________象限.7．若不等式|2x ＋y ＋m |＜3表示的平面区域包含原点和点(－1，1)，则m 的取值范围是________. 8．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤,033,3,1y x y x 那么z ＝x －y 的取值范围是________.9．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤,022,2,1y x y x 那么x y 的取值范围是________.10．方程|x |＋|y |≤1所确定的曲线围成封闭图形的面积是________. 三、解答题11．画出下列不等式(组)表示的平面区域：(1)3x ＋2y ＋6＞0 (2)⎪⎩⎪⎨⎧≥+--≥≤.01,2,1y x y x12．某实验室需购某种化工原料106kg ，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35kg ，价格为140元；另一种是每袋24kg ，价格为120元.在满足需要的前提下，最少需要花费多少元？Ⅲ 拓展训练题13．商店现有75公斤奶糖和120公斤硬糖，准备混合在一起装成每袋1公斤出售，有两种混合办法：第一种每袋装250克奶糖和750克硬糖，每袋可盈利0.5元；第二种每袋装500克奶糖和500克硬糖，每袋可盈利0.9元.问每一种应装多少袋，使所获利润最大？最大利润是多少？14．甲、乙两个粮库要向A ，B 两镇运送大米，已知甲库可调出100吨，乙库可调出80吨，而A 镇需大米70吨，B 镇需大米110吨，两个粮库到两镇的路程和运费如下表：问：(1)这两个粮库各运往A 、B 两镇多少吨大米，才能使总运费最省？此时总运费是多少？(2)最不合理的调运方案是什么？它给国家造成不该有的损失是多少？测试十四 不等式全章综合练习Ⅰ基础训练题一、选择题1．设a ，b ，c ∈R ，a ＞b ，则下列不等式中一定正确的是( )(A)ac 2＞bc 2(B)ba11(C)a －c ＞b －c (D)|a |＞|b |2．在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-+2,042,04y y x y x 表示的平面区域的面积是( )(A)23(B)3 (C)4 (D)63．某房地产公司要在一块圆形的土地上，设计一个矩形的停车场.若圆的半径为10m ，则这个矩形的面积最大值是( ) (A)50m 2 (B)100m 2 (C)200m 2 (D)250m 24．设函数f (x )＝222xx x +-，若对x ＞0恒有xf (x )＋a ＞0成立，则实数a 的取值范围是( )(A)a ＜1－22(B)a ＜22－1 (C)a ＞22－1 (D)a ＞1－225．设a ，b ∈R ，且b (a ＋b ＋1)＜0，b (a ＋b －1)＜0，则( )(A)a ＞1 (B)a ＜－1 (C)－1＜a ＜1 (D)|a |＞1二、填空题6．已知1＜a ＜3，2＜b ＜4，那么2a －b 的取值范围是________，ba的取值范围是________.7．若不等式x 2－ax －b ＜0的解集为{x |2＜x ＜3}，则a ＋b ＝________. 8．已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________. 9．若函数f (x )＝1222--⋅+a ax x 的定义域为R ，则a 的取值范围为________.10．三个同学对问题“关于x 的不等式x 2＋25＋|x 3－5x 2|≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路.甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值.”乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值.” 丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图象.”参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是________.三、解答题11．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x | |x －1|＜6}，B ＝{x |128--x x ＞0}. (1)求A ∩B ； (2)求(U A )∪B .12．某工厂用两种不同原料生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本1500元，运费400元，可得产品100千克.今预算每日原料总成本不得超过6000元，运费不得超过2000元，问此工厂每日采用甲、乙两种原料各多少千克，才能使产品的日产量最大？Ⅱ 拓展训练题13．已知数集A ＝{a 1，a 2，…，a n }(1≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n ≥2)具有性质P ：对任意的i ，j (1≤i ≤j ≤n )，a i a j 与ij a a 两数中至少有一个属于A .(1)分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P ，并说明理由； (2)证明：a 1＝1，且n nna a a a a a a =++++++---1121121 .测试十五 必修5模块自我检测题一、选择题 1．函数42-=x y 的定义域是( )(A)(－2，2) (B)(－∞，－2)∪(2，＋∞) (C)[－2，2](D)(－∞，－2]∪[2，＋∞)2．设a ＞b ＞0，则下列不等式中一定成立的是( )(A)a －b ＜0 (B)0＜ba ＜1(C)ab ＜2ba +(D)ab ＞a ＋b3．设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥≤0,0,1y x y x 所表示的平面区域是W ，则下列各点中，在区域W 内的点是( ) (A))31,21((B))31,21(-(C))31,21(--(D))31,21(-4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列不等式中一定成立的是( )(A)a 1＋a 3＞0 (B)a 1a 3＞0(C)S 1＋S 3＜0 (D)S 1S 3＜05．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c 等于( ) (A)1∶3∶2(B)1∶2∶3 (C)2∶3∶1 (D)3∶2∶16．已知等差数列{a n }的前20项和S 20＝340，则a 6＋a 9＋a 11＋a 16等于( )(A)31(B)34(C)68(D)707．已知正数x 、y 满足x ＋y ＝4，则log 2x ＋log 2y 的最大值是( )(A)－4(B)4(C)－2(D)28．如图，在限速为90km/h 的公路AB 旁有一测速站P ，已知点P 距测速区起点A 的距离为0.08 km ，距测速区终点B 的距离为0.05 km ，且∠APB ＝60°.现测得某辆汽车从A点行驶到B点所用的时间为3s，则此车的速度介于( )(A)60～70km/h (B)70～80km/h(C)80～90km/h (D)90～100km/h二、填空题9．不等式x(x－1)＜2的解集为________.10．在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则cos(A＋C)的值为________. 11．已知{a n}是公差为－2的等差数列，其前5项的和S5＝0，那么a1等于________.12．在△ABC中，BC＝1，角C＝120°，cos A＝32，则AB＝________.13．在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-+≥≥342,0yxyxyx，所表示的平面区域的面积是________；变量z＝x＋3y的最大值是________.14．如图，n2(n≥4)个正数排成n行n列方阵，符号a ij(1≤i≤n，1≤j≤n，i，j∈N)表示位于第i行第j列的正数.已知每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，且各列数的公比都等于q.若a11＝21，a24＝1，a32＝41，则q＝________；a ij＝________.三、解答题15．已知函数f(x)＝x2＋ax＋6.(1)当a＝5时，解不等式f(x)＜0；(2)若不等式f(x)＞0的解集为R，求实数a的取值范围.16．已知{a n }是等差数列，a 2＝5，a 5＝14.(1)求{a n }的通项公式；(2)设{a n }的前n 项和S n ＝155，求n 的值.17．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，A ，B 是锐角，c ＝10，且34cos cos ==ab BA .(1)证明角C ＝90°； (2)求△ABC 的面积.18．某厂生产甲、乙两种产品，生产这两种产品每吨所需要的煤、电以及每吨产品的产值如下表所示.若每天配给该厂的煤至多56吨，供电至多45千瓦，问该厂如何安排生产，使得该厂日产值最大？19．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos A ＝31.(1)求A C B 2cos 2sin 2++的值；(2)若a ＝3，求bc 的最大值.20．数列{a n }的前n 项和是S n ，a 1＝5，且a n ＝S n －1(n ＝2，3，4，…).(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：⋅<++++531111321n a a a a参考答案 第一章 解三角形 测试一 正弦定理和余弦定理一、选择题1．B 2．C 3．B 4．D 5．B 提示：4．由正弦定理，得sin C ＝23，所以C ＝60°或C ＝120°，当C ＝60°时，∵B ＝30°，∴A ＝90°，△ABC 是直角三角形； 当C ＝120°时，∵B ＝30°，∴A ＝30°，△ABC 是等腰三角形. 5．因为A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，所以A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°， 由正弦定理CcB b A a sin sin sin ==＝k ，得a ＝k ·sin30°＝21k ，b ＝k ·sin60°＝23k ，c ＝k ·sin90°＝k ，所以a ∶b ∶c ＝1∶3∶2.二、填空题6．362 7．30° 8．等腰三角形 9．2373+ 10．425 提示：8．∵A ＋B ＋C ＝π，∴－cos A ＝cos(B ＋C ).∴2cos B cos C ＝1－cos A ＝cos(B ＋C )＋1，∴2cos B cos C ＝cos B cos C －sin B sin C ＋1，∴cos(B －C )＝1，∴B －C ＝0，即B ＝C .9．利用余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 10．由tan A ＝2，得52sin =A ，根据正弦定理，得ABCB AC sin sin =，得AC ＝425.三、解答题 11．c ＝23，A ＝30°，B ＝90°.12．(1)60°；(2)AD ＝7.13．如右图，由两点间距离公式，得OA ＝29)02()05(22=-+-，同理得232,145==AB OB .由余弦定理，得cos A ＝222222=⨯⨯-+AB OA OB AB OA ，∴A ＝45°.14．(1)因为2cos(A ＋B )＝1，所以A ＋B ＝60°，故C ＝120°. (2)由题意，得a ＋b ＝23，ab ＝2，又AB 2＝c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab －2ab cos C＝12－4－4×(21-)＝10.所以AB ＝10.(3)S △ABC ＝21ab sin C ＝21·2·23＝23.测试二 解三角形全章综合练习1．B 2．C 3．D 4．C 5．B 提示：5．化简(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，得b 2＋c 2－a 2＝bc ， 由余弦定理，得cos A ＝212222=-+bc a c b ，所以∠A ＝60°.因为sin A ＝2sin B cos C ，A ＋B ＋C ＝180°， 所以sin(B ＋C )＝2sin B cos C ， 即sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C . 所以sin(B －C )＝0，故B ＝C .故△ABC 是正三角形. 二、填空题6．30° 7．120° 8．524 9．55 10．3三、解答题11．(1)由余弦定理，得c ＝13；(2)由正弦定理，得sin B ＝13392.12．(1)由a ·b ＝|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉，得〈a ，b 〉＝60°； (2)由向量减法几何意义，知|a |，|b |，|a －b |可以组成三角形，所以|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉＝7， 故|a －b |＝7.13．(1)如右图，由两点间距离公式，得29)02()05(22=-+-=OA ，同理得232,145==AB OB .由余弦定理，得,222cos 222=⨯⨯-+=AB OA OB AB OA A 所以A ＝45°. 故BD ＝AB ×sin A ＝229.(2)S △OAB ＝21·OA ·BD ＝21·29·229＝29.14．由正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===， 得C RcB R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===.因为sin 2A ＋sin 2B ＞sin 2C ， 所以222)2()2()2(RcR b R a >+， 即a 2＋b 2＞c 2. 所以cos C ＝abc b a 2222-+＞0，由C ∈(0，π)，得角C 为锐角.15．(1)设t 小时后甲、乙分别到达P 、Q 点，如图，则|AP |＝4t ，|BQ |＝4t ，因为|OA |＝3，所以t ＝43h 时，P 与O 重合.故当t ∈[0，43]时，|PQ |2＝(3－4t )2＋(1＋4t )2－2×(3－4t )×(1＋4t )×cos60°；当t ＞43h 时，|PQ |2＝(4t －3)2＋(1＋4t )2－2×(4t －3)×(1＋4t )×cos120°.故得|PQ |＝724482+-t t (t ≥0).(2)当t ＝h 4148224=⨯--时，两人距离最近，最近距离为2km.16．(1)由正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===， 得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sinC . 所以等式c a b CB +-=2cos cos 可化为CR A R BR C B sin 2sin 22sin 2cos cos +⋅-=， 即CA BC B sin sin 2sin cos cos +-=，2sin A cos B ＋sin C cos B ＝－cos C ·sin B ，故2sin A cos B ＝－cos C sin B －sin C cos B ＝－sin(B ＋C )， 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin A ＝sin(B ＋C )， 故cos B ＝－21， 所以B ＝120°.(2)由余弦定理，得b 2＝13＝a 2＋c 2－2ac ×cos120°，即a 2＋c 2＋ac ＝13 又a ＋c ＝4， 解得⎩⎨⎧==31c a ，或⎩⎨⎧==13c a .所以S △ABC ＝21ac sin B ＝21×1×3×23＝433.第二章 数列 测试三 数列一、选择题1．C 2．B 3．C 4．C 5．B 二、填空题6．(1)12+=n a n (或其他符合要求的答案) (2)2)1(1n n a -+=(或其他符合要求的答案)7．(1)2625,1716,109,54,21 (2)7 8．67 9．15110．4 提示：9．注意a n 的分母是1＋2＋3＋4＋5＝15.10．将数列{a n }的通项a n 看成函数f (n )＝2n 2－15n ＋3，利用二次函数图象可得答案. 三、解答题11．(1)数列{a n }的前6项依次是11，8，5，2，－1，－4；(2)证明：∵n ≥5，∴－3n ＜－15，∴14－3n ＜－1， 故当n ≥5时，a n ＝14－3n ＜0.12．(1)31,313,31092421102-+=++==+n n a n n a a n n ； (2)7932是该数列的第15项.13．(1)因为a n ＝n －n1，所以a 1＝0，a 2＝23，a 3＝38，a 4＝415；(2)因为a n ＋1－a n ＝[(n ＋1)11+-n ]－(n －n1)＝1＋)1(1+n n又因为n ∈N ＋，所以a n ＋1－a n ＞0，即a n ＋1＞a n . 所以数列{a n }是递增数列.测试四 等差数列一、选择题1．B 2．D 3．A 4．B 5．B 二、填空题6．a 4 7．13 8．6 9．6n －1 10．35 提示：10．方法一：求出前10项，再求和即可；方法二：当n 为奇数时，由题意，得a n ＋2－a n ＝0，所以a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 2m－1＝1(m ∈N *).当n 为偶数时，由题意，得a n ＋2－a n ＝2， 即a 4－a 2＝a 6－a 4＝…＝a 2m ＋2－a 2m ＝2(m ∈N *). 所以数列{a 2m }是等差数列. 故S 10＝5a 1＋5a 2＋2)15(5-⨯×2＝35.三、解答题11．设等差数列{a n }的公差是d ，依题意得⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+=+.242344,7211d a d a 解得⎩⎨⎧==.2,31d a ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋1. 12．(1)设等差数列{a n }的公差是d ，依题意得⎩⎨⎧=+=+.5019,30911d a d a 解得⎩⎨⎧==.2,121d a ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋10.。
2019-2020学年高中数学人教版必修5模块综合检测(二) Word版含解析
模块综合检测（二）(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，a ＝2，b ＝2，A ＝45°，则B 等于( )A ．45°B ．30°C ．60°D ．30°或150°解析：选B 由正弦定理得2sin 45°＝2sin B，解得sin B ＝12.∵a >b ，∴A >B ， ∴B ＝30°.2．若0<x <32，则y ＝x (3－2x )的最大值是( )A.916B.94 C ．2D.98解析：选D ∵0<x <32，∴32－x >0.∴y ＝x (3－2x )＝2·x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32－x 22＝98，当且仅当x ＝32－x ，即x ＝34时取“＝”， ∴函数y ＝x (3－2x )的最大值为98.3．在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为( ) A ．37 B ．36 C ．20D ．19解析：选A a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 1＋9×82d ＝36d ＝a 37，故选A.4．已知不等式x 2－2x －3<0的整数解构成等差数列{a n }的前三项，则数列{a n }的第4项为( ) A ．3B ．－1C ．2D ．3或－1解析：选D ∵x 2－2x －3<0， ∴－1<x <3.∴a 1＝0，a 2＝1，a 3＝2，a 4＝3或a 1＝2，a 2＝1，a 3＝0，a 4＝－1. 5．下列命题正确的是( ) A ．若ac >bc ，则a >b B ．若a 2>b 2，则a >b C ．若1a >1b ，则a <bD ．若a <b ，则a <b解析：选D 对于A ，不清楚c 的正负情况，所以不能确定a >b ；对于B ，a 2>b 2⇒|a |>|b |，a ，b 大小不确定；对于C ，不清楚ab 的正负，不能随意将不等式两边同时乘ab 且不等式不变号； 对于D ，由于a ≥0，b ≥0，由平方法可知将a <b 两边平方，得a <b .故选D.6．已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－x 2(x <0)，则m ，n 之间的大小关系是( )A ．m >nB ．m <nC ．m ＝nD ．m ≤n解析：选A ∵a >2，x <0，∴m ＝(a －2)＋1a －2＋2≥2错误!＋2＝4，n ＝22－x 2<22＝4， ∴m >n ，故选A.7．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，3x ＋y －6≥0，y≤3，则z ＝－2x ＋y 的最小值为( )A ．－7B ．－6C ．－1D ．2解析：选A 可行域如图，平移直线y ＝2x ＋z 过点(5,3)时，z 取得最小值－7，故选A.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x≤0，－x ＋2，x>0，则不等式f (x )≥x 2的解集为( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2]解析：选A 当x >0时，f (x )≥x 2可化为－x ＋2≥x 2， 解得0<x ≤1；当x ≤0时，f (x )≥x 2可化为x ＋2≥x 2， 解得－1≤x ≤0，故不等式f (x )≥x 2的解集为{x |－1≤x ≤1}， 即x ∈[－1,1]，故选A.9．已知三角形的两边长分别为4,5，它们夹角的余弦值是方程2x 2＋3x －2＝0的根，则第三边长是( ) A.20 B.21 C.22D.61解析：选B 设长为4,5的两边的夹角为θ， 由2x 2＋3x －2＝0得x ＝12或x ＝－2(舍)，所以cos θ＝12，所以第三边长为 42＋52－2×4×5×12＝21.10．已知不等式ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)的解集为∅，则( ) A ．a <0，Δ>0 B ．a <0，Δ≤0 C ．a >0，Δ≤0D ．a >0，Δ>0解析：选C 由二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象知， 当a >0，Δ≤0时，对任意实数x ，都有y ≥0， 由此知a >0，Δ≤0时，ax 2＋bx ＋c <0的解集为∅.11．已知关于x 的不等式x ＋1x ＋a<2的解集为P .若1∉P ，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0]∪[1，＋∞)B ．[－1,0]C ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)D ．(－1,0]解析：选B 1∉P 有两种情形，一种是1＋11＋a ≥2，另一种是x ＝1使分母为0，即1＋a ＝0，解得－1≤a ≤0.12．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列一定成立的是( ) A ．若a 3>0，则a 2 015<0 B ．若a 4>0，则a 2 014<0 C ．若a 3>0，则S 2 015>0 D ．若a 4>0，则S 2 014>0解析：选C 设等比数列{a n }的公比为q ， 对于A ，若a 3>0，则a 1q 2>0， 所以a 1>0，所以a 2 015＝a 1q 2 014>0，所以A 不正确； 对于B ，若a 4>0，则a 1q 3>0， 所以a 1q >0，所以a 2 014＝a 1q 2 013>0， 所以B 不正确；对于C ，若a 3>0，则a 1q 2>0， 所以a 1>0，所以当q ＝1时，S 2 015>0， 当q ≠1时，S 2 015＝错误!，又1－q 与1－q 2 015同号，所以C 正确．故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中的横线上) 13．在△ABC 中，cos A ＝513，sin B ＝35，a ＝20，则b 的值为________．解析：由题意，得sin A ＝1213，所以b ＝asin A ·sin B ＝201213×35＝13.答案：1314．已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，且S 3＝8，S 6＝7，则a 4＋a 5＋…＋a 9＝________.解析：根据等比数列的性质，知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，即8,7－8，S 9－7成等比数列， 所以(－1)2＝8(S 9－7)，解得S 9＝718.所以a 4＋a 5＋…＋a 9＝S 9－S 3＝718－8＝－78.答案：－7815．某校今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名，若a ，b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2a －b≥5，a －b≤2，a<7，设这所学校今年计划招聘教师最多x 名，则x ＝________.解析：画出线性目标函数所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线l ：b ＋a ＝0，平移直线l ，再由a ，b ∈N ，可知当a ＝6，b ＝7时，x ＝a ＋b ＝13.答案：1316．如图，四边形ABCD 中，B ＝C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于________．解析：连接BD .∵BC ＝CD ＝2，∠C ＝120°， ∴∠CBD ＝∠BDC ＝30°.∵∠ABC ＝120°，∠CBD ＝30°， ∴∠ABD ＝90°，∴AB ⊥BD .在△BCD 中，由正弦定理得 BD ＝BCsin 30°·sin 120°＝23.∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12·AB ·BD ＋12BC ·CD ·sin 120°＝12×4×23＋12×2×2×32＝53.答案：53三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知函数y ＝x ＋2x2＋x ＋1(x >－2)．(1)求1y的取值范围．(2)当x 为何值时，y 取得最大值？解：(1)设x ＋2＝t ，则x ＝t －2，t >0(x >－2)，故1y ＝x2＋x ＋1x ＋2＝错误!＝错误!＝t ＋错误!－3≥2错误!－3， ∴1y的取值范围为[23－3，＋∞)．(2)由题意知y >0，故欲使y 最大，必有1y 最小，此时t ＝3t，t ＝3，x ＝3－2，y ＝23＋33，∴当x ＝3－2时，y 最大，最大值为23＋33.18．(本小题满分12分)已知△ABC 的周长为2＋1，且sin B ＋sin C ＝2sin A .(1)求边BC 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin A ，求角A 的大小．解：(1)由正弦定理，得AC ＋AB ＝2BC .∵AB ＋BC ＋AC ＝2＋1， ∴2BC ＋BC ＝2＋1，BC ＝1.(2)∵S △ABC ＝12AC ·AB ·sin A ＝16sin A ，∴AC ·AB ＝13. 又AC ＋AB ＝2，由余弦定理，得cos A ＝AC2＋AB2－BC22AC·AB＝错误! ＝2－23－123＝12，∴A ＝60°.19．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的所有项均为正数，首项a 1＝1，且a 4,3a 3，a 5成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n ＋1－λa n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2n －1(n ∈N *)，求实数λ的值． 解：(1)设数列{a n }的公比为q ， 由条件可知q 3,3q 2，q 4成等差数列， ∴6q 2＝q 3＋q 4，解得q ＝－3或q ＝2. ∵q >0，∴q ＝2.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)记b n ＝a n ＋1－λa n ，则b n ＝2n －λ·2n －1＝(2－λ)2n －1，若λ＝2，则b n ＝0，S n ＝0，不符合条件；若λ≠2，则bn ＋1bn ＝2，数列{b n }为首项为2－λ，公比为2的等比数列，此时S n ＝错误!(1－2n )＝(2－λ)(2n －1)， ∵S n ＝2n －1(n ∈N *)，∴λ＝1.20．(本小题满分12分)航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10 000 m ，速度为180km/h ，飞机在A 处先看到山顶的俯角为15°，经过420s 的水平飞行后到达B 处，又看到山顶的俯角为45°，如图，求山顶的海拔高度．(取2≈1.4，3≈1.7)解：如图，过C 作CD ⊥AB 的延长线于D .∵A ＝15°，∠DBC ＝45°，∴∠ACB ＝30°，AB ＝180 000×4203 600＝21 000(m)．∵在△ABC 中，BCsin A ＝ABsin∠ACB ，∴BC ＝21 00012×sin 15°＝10 500(6－2)．∵CD ⊥AD ，∴CD ＝BC sin ∠CBD ＝BC ×sin 45° ＝10 500(6－2)×22＝10 500(3－1)≈10 500(1.7－1)＝7 350(m)．因此，山顶的海拔高度约为10 000－7 350＝2 650(m)．21．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝－log3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1bnbn ＋1的前n 项和T n . 解：(1)设数列{a n }的公比为q ， 由a 23＝9a 2a 6得a 23＝9a 24， ∴q 2＝19.由条件可知q >0，故q ＝13.由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1， ∴a 1＝13.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n.(2)∵a n ＝13n， ∴b n ＝－log313n＝2n ， 从而1bnbn ＋1＝错误!＝错误!错误!，∴T n ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1 ＝错误!.22．(本小题满分12分)某商场经过市场调查分析后得知：预计2015年从开始的前n 个月内对某种商品需求的累计数f (n )＝190n (n ＋2)(18－n )，n ＝1,2,3，…，12(单位：万件)．(1)在这一年内，哪几个月需求量将超过1.3万件？(2)若在全年销售中，将该产品都在每月初等量投放市场，为了保证该商品全年不脱销(即供大于求)，每月初至少要投放多少件商品？(精确到件)解：(1)设第n 个月的月需求量为a n ， 则a n ＝错误! 因为f (n )＝190n (n ＋2)(18－n )， 所以a 1＝f (1)＝1730<1.3，当n ≥2时，a n ＝f (n )－f (n －1) ＝190(－3n 2＋35n ＋19)， 令a n >1.3，即－3n 2＋35n ＋19>117， 解得143<n <7，因为n ∈N ，所以n ＝5,6，即这一年的5,6两个月的需求量超过1.3万件．(2)设每月初等量投放商品a 万件，要使商品不脱销，对于第n 个月来说，不仅有本月投放市场的a 万件商品，还有前几个月未销售完的商品．所以，na －f (n )≥0对n ＝1,2，…，12恒成立， 则a ≥错误!＝错误!， 又因为错误!≤错误!错误!2， 所以a ≥109，即每月初至少要投放11 112件商品，才能保证全年不脱销.。
2019-2020学年高中人教B版数学必修五同步课时跟踪检测：综合测评 Word版含解析【KS5U 高考】
必修5综合测评(时间：120分钟 满分：150分)第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如果a ＜0，b ＞0，那么，下列不等式中正确的是( ) A.1a ＜1b B.－a ＜b C ．a 2＜b 2D ．|a |＞|b |2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝4，C ＝120°，则△ABC 的面积是( )A ．3B ．3 3C ．6D ．6 33．(2018·吉林延边月考)在△ABC 中，a ＝2，b ＝2，A ＝45°，则B 等于( ) A ．45° B ．30° C ．60°D ．30°或150°4．(2019·广西陆川月考)等比数列{a n }的前n 项和S n ＝12·3n ＋1＋c (c 为常数)，若λa n ≤3＋S 2n 恒成立，则实数λ的最大值是( )A ．3B ．4C ．5D ．65．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )A ．4 2B ．30 C.29D ．2 56．(2018·黑龙江大庆月考)目标函数z ＝2x ＋y ，变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y ＜25，x ≥1，则有( )A ．z max ＝12，z min ＝3B ．z min ＝3，z 无最大值C ．z max ＝12，z 无最小值D ．z 既无最大值，也无最小值7．(2018·临川二中月考)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 的前n 项和为( )A.n 2＋5n 2B ．n 2＋5n 4C.n 2＋3n 2D.n 2＋3n 48．数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝( )A ．2n －1B ．2n －1－1 C ．2n ＋1D ．4n －19．(2018·广东佛山高明月考)在数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋a n ＋1，则a 7等于( ) A ．7 B ．20 C ．12D ．2310．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤6，2x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0，则z ＝max{2x ＋3y －1，x ＋2y ＋2}的取值范围是( )A ．[2,5]B ．[2,9]C ．[5,9]D ．[－1,9]11．若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3D ．7＋4 312．(2019·黑龙江月考)若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称{a n }为“调和数列”，已知正项数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为“调和数列”，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则1x 3＋1x 18的最小值为( )A.110 B ．10 C.15D ．5第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．(2018·江苏启东月考)若正实数x ，y 满足x 2＋2xy －1＝0，则2x ＋y 的最小值为________．14．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －7(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________. 15．(2019·吉林延边月考)已知a ∈[－1,1]，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a >0恒成立，则x 的取值范围为________．16．(2018·浙江卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝________，c ＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)(2018·安徽池州月考)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，A ，B 是锐角，c ＝10，且cos A cos B ＝b a ＝43.(1)证明角C ＝90°； (2)求△ABC 的面积．18．(12分)(2018·福建华安月考)设数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1－2，数列{b n }满足b n＝1(2n ＋1)log 2a 2n －1＋22n －1.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和T n .19．(12分)(2018·甘肃武威月考)某小型餐厅馆一天中要购买A ，B 两种蔬菜，A ，B 蔬菜每公斤的单价分别为2元和3元．根据需要A 蔬菜至少要买6公斤，B 蔬菜至少要买4公斤，而且一天中购买这两种蔬菜的总费用不能超过60元．如果这两种蔬菜加工后全部卖出，A ，B 两种蔬菜加工后每公斤的利润分别为2元和1元，餐馆如何采购这两种蔬菜使得利润最大，利润最大为多少元？20．(12分)(2018·北京卷)在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17.(1)求A ；(2)求AC 边上的高．21．(12分)(2018·天津卷)设{a n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是等差数列. 已知a 1＝1，a 3＝a 2＋2，a 4＝b 3＋b 5，a 5＝b 4＋2b 6.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列{S n }的前n 项和为T n (n ∈N *)，求T n . 22．(12分)已知ƒ(x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋b . (1)解关于a 的不等式ƒ(1)>0；(2)若不等式ƒ(x )>0的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值． 解析：如果a ＜0，b ＞0，那么1a ＜0，1b ＞0，∴1a ＜1b .答案：A解析：S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×4×32＝3 3.故选B.答案：B解析：由正弦定理，得sin B ＝b sin A a ＝2×222＝12， 又a >b ，∴B ＝30°，故选B. 答案：B解析：当n ＝1时，S 1＝92＋c ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12·3n ＋1－12·3n ＝3n，∴当n ＝1时，92＋c ＝3，∴c ＝－32，∴S n ＝12·3n ＋1－32，不等式λa n ≤3＋S 2n 可化为 λ·3n ≤3＋12·32n ＋1－32，∴λ≤32⎝⎛⎭⎫13n ＋3n 恒成立， ∴λ≤⎣⎡⎦⎤32⎝⎛⎭⎫13n ＋3n min ，∵y ＝32⎝⎛⎭⎫13n ＋3n ，当n ≥1时，为递增数列， ∴λ≤32⎝⎛⎭⎫13＋3，即λ≤5，故选C. 答案：C解析：因为cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×⎝⎛⎭⎫552－1＝－35，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋25－2×1×5×⎝⎛⎭⎫－35＝32.所以c ＝42，故选A. 答案：A解析：不等式组所表示的平面区域如图所示．∴z ＝2x ＋y 过点B (1,1)点时，有最小值， ∴z min ＝3，当z ＝2x ＋y 过点C (5,2)时，有最大值，∴z max ＝12，故选A. 答案：A解析：解法一：当n ＝1时，a nn ＝1，代入验证知D 正确．解法二：由a n ＋1＝a n ＋n ＋1， 得a 2－a 1＝2， a 3－a 2＝3， …a n －a n －1＝n ，∴a n －a 1＝2＋3＋…＋n ， ∴a n ＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2，∴a n n ＝n ＋12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 的前n 项和S n ＝n ⎝⎛⎭⎫1＋n ＋122＝n 2＋3n 4.故选D. 答案：D解析：a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝1－2n 1－2＝2n－1故选A.答案：A解析：由题可知a 3＝a 1＋a 2＝4，a 4＝a 3＋a 2＝5，a 5＝9，a 6＝14，a 7＝23，故选D. 答案：D解析：作出可行域如图，当平行直线系2x ＋3y －1＝z 在直线BC 与点A 间运动时，2x ＋3y －1≥x ＋2y ＋2，此时z ＝2x ＋3y －1∈[5,9]，平行直线系x ＋2y ＋2＝z 在点O 与BC 之间运动时，2x ＋3y －1≤x ＋2y ＋2，此时，z ＝x ＋2y ＋2∈[2,8]，∴z ∈[2,9]．选B.答案：B解析：由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，得3a ＋4b ＝ab ，则4a ＋3b＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫4a ＋3b＝7＋4b a ＋3ab ≥7＋24b a ·3a b ＝7＋43，当且仅当4b a ＝3ab，即a ＝4＋23，b ＝23＋3时等号成立，故其最小值是7＋4 3.答案：D解析：由题可知，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列，则x n ＋1－x n ＝d ， 即{x n }是等差数列，由x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，得x 1＋x 20＝20， ∴x 3＋x 18＝20.∴1x 3＋1x 18＝⎝⎛⎭⎫1x 3＋1x 18⎝⎛⎭⎫x 3＋x 1820＝120⎝⎛⎭⎫2＋x 18x 3＋x 3x 18 ≥120(2＋2)＝15. 当且仅当x 18x 3＝x 3x 18，即x 3＝x 18时，等号成立，故1x 3＋1x 18的最小值为15. 答案：C 解析：由x 2＋2xy －1＝0，得y ＝1－x 22x>0，∴0<x <1，∴2x ＋y ＝2x ＋1－x 22x ＝3x 2＋12x ＝12⎝⎛⎭⎫3x ＋1x ≥3x ·1x＝ 3. 当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时，等号成立．答案： 3解析：∵a n ＝2n －7，∴a 1＝－5，a 2＝－3，a 3＝－1，a 4＝1，a 5＝3，…，a 15＝23.∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝(5＋3＋1)＋(1＋3＋5＋…＋23)＝9＋12×(1＋23)2＝153.答案：153解析：由题可知⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2>0，x 2－5x ＋6>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >2或x <1，x >3或x <2， ∴x <1或x >3.答案：(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：由正弦定理得a b ＝sin A sin B ，∴sin B ＝27×sin π3＝217，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴7＝4＋c 2－2c ，∴c ＝3(负值舍去)．答案：2173 解：(1)证明：根据正弦定理得cos A cos B ＝sin Bsin A ，整理为sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin2A ＝sin2B . ∵0°<2A,2B <180°，∴2A ＝2B ，或2A ＋2B ＝180°. ∵b a ＝43，∴A ＋B ＝90°，即∠C ＝90°. (2)因为△ABC 是以角C 为直角的直角三角形，且c ＝10，易求得a ＝6，b ＝8. ∴△ABC 的面积S ＝12ab ＝24.解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，由S n ＝2n ＋1－2， 得S n －1＝2n －2(n ≥2)，∴a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝2n (n ≥2)，又a 1也符合， ∴a n ＝2n (n ∈N *)．(2)b n ＝1(2n ＋1)log 222n －1＋22n －1＝1(2n ＋1)(2n －1)＋22n －1＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＋22n －1， T n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＋(2＋23＋25＋…＋22n －1)＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＋2(1－4n )1－4＝22n ＋13－14n ＋2－16.解：设餐馆一天购买A 蔬菜x 公斤，购买B 蔬菜y 公斤，获得的利润为z 元． 依题意可知x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤60，x ≥6，y ≥4，目标函数为z ＝2x ＋y ，画出的平面区域如图．∵y ＝－2x ＋z ，∴z 表示过可行域内点斜率为－2的一组平行线在y 轴上的截距．联立⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＝60，y ＝4解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝24，y ＝4.即B (24,4)， ∴当直线过点B (24,4)时，在y 轴上的截距最大， 即z max ＝2×24＋4＝52.故餐馆应够买A 蔬菜24公斤，B 蔬菜4公斤，加工后利润最大为52元．解：(1)在△ABC 中，∵cos B ＝－17，∴B ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin B ＝1－cos 2B ＝437.由正弦定理得a sin A ＝b sin B ⇒7sin A ＝8437，∴sin A ＝32.∵B ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴A ＝π3. (2)在△ABC 中，∵sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋sin B cos A ＝32×⎝⎛⎭⎫－17＋12×437＝3314. 如图所示，在△ABC 中，∵sin C ＝h BC ，∴h ＝BC ·sin C ＝7×3314＝332，∴AC 边上的高为332.解：(1)设等比数列{a n }的公比为q .由a 1＝1，a 3＝a 2＋2，可得q 2－q －2＝0. 因为q >0，可得q ＝2，故a n ＝2n －1.设等差数列{b n }的公差为d ，由a 4＝b 3＋b 5，可得b 1＋3d ＝4.由a 5＝b 4＋2b 6， 可得3b 1＋13d ＝16，从而b 1＝1，d ＝1，故b n ＝n .所以，数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，数列{b n }的通项公式为b n ＝n . (2)由(1)，有S n ＝1－2n 1－2＝2n－1，故T n ＝∑k ＝1n(2k－1)＝∑k ＝1n2k－n ＝2×(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－n －2.解：(1)因为ƒ(1)>0，所以－3＋a (6－a )＋b >0， 即a 2－6a ＋3－b <0.Δ＝(－6)2－4(3－b )＝24＋4b .①当Δ≤0，即b ≤－6时，原不等式的解集为∅； ②当Δ>0，即b >－6时，方程a 2－6a ＋3－b ＝0有两根a 1＝3－6＋b ，a 2＝3＋6＋b ，所以不等式的解集为(3－6＋b ，3＋6＋b )． 综上所述，当b ≤－6时，原不等式的解集为∅；当b >－6时，原不等式的解集为(3－6＋b ，3＋6＋b )． (2)由ƒ(x )>0，得－3x 2＋a (6－a )x ＋b >0， 即3x 2－a (6－a )x －b <0. 因为它的解集为(－1,3)，所以－1与3是方程3x 2－a (6－a )x －b ＝0的两根， 所以⎩⎨⎧－1＋3＝a (6－a )3，－1×3＝－b3，解得⎩⎨⎧ a ＝3－3，b ＝9或⎩⎨⎧a ＝3＋3，b ＝9.。
2019-2020学年人教A版数学必修五同步作业：单元卷3
第二章 章末测试卷(A)[时间：120分钟 满分：150分]一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等差数列－2，0，2，…的第15项为( ) A ．112 B ．12 2 C ．13 2 D ．14 2答案 C解+析 ∵a 1＝－2，d ＝2， ∴a n ＝－2＋(n －1)×2＝2n －2 2. ∴a 15＝152－22＝13 2.2．已知{a n }为等差数列，a 2＋a 8＝12，则a 5等于( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 答案 C解+析 由等差数列的性质可知a 2，a 5，a 8也成等差数列，故a 5＝ a 2＋a 82＝6.故选C.3．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则a 5＝( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 答案 A解+析 因为a 3a 11＝a 72，又数列{a n }的各项都是正数，所以解得a 7＝4，由a 7＝a 5·22＝4a 5，得a 5＝1.故选A.4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝2，S 4＝10，则S 6等于( ) A ．12 B ．18 C ．24 D ．42 答案 C解+析 方法一：设公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝2，4a 1＋6d ＝10，解得a 1＝14，d ＝32.则S 6＝6a 1＋15d＝24.方法二：S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也成等差数列，则2(S 4－S 2)＝S 6－S 4＋S 2，所以S 6＝3S 4－3S 2＝24.5．数列{a n }中，a 1＝1，对所有n ≥2，都有a 1a 2a 3…a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝( ) A.6116 B.259 C.2516 D.3115答案 A6．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2n ＝4(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)，a 1·a 2·a 3＝27，则a 6＝( ) A ．27 B ．81 C ．243 D ．729答案 C解+析 ∵数列{a n }为等比数列，∴a 1a 2a 3＝a 23＝27，∴a 2＝3. 又∵S 2＝4a 1，∴a 1＋a 2＝4a 1，∴3a 1＝a 2，∴a 1＝1， 即公比q ＝3，首项a 1＝1，∴a 6＝a 1·q 6－1＝1×35＝35＝243.故选C.7．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99.以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( ) A ．21 B ．20 C ．19 D ．18答案 B解+析 ∵a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99， ∴3a 3＝105，3a 4＝99，即a 3＝35，a 4＝33. ∴a 1＝39，d ＝－2，得a n ＝41－2n.令a n ≥0且a n ＋1<0，n ∈N *，则有n ＝20.故选B.8．某工厂去年产值为a ，计划今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为( ) A ．1.14aB ．1.15aC ．11×(1.15－1)aD ．10(1.16－1)a答案 C解+析 设从去年开始，每年产值构成数列为{a n }，则a 1＝a ，a n ＝a(1＋10%)n ＋1(1≤n ≤6)，从今年起到第5年是求该数列a 2到a 6的和，应为S 6－a 1＝a （1.16－1）1.1－1－a ＝11×(1.15－1)a.9．已知{a n }是首项为1的等差数列，S n 是{a n }的前n 项和，且S 5＝a 13，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前五项和为( ) A.1011 B.511 C.45 D.25答案 B解+析 ∵a 1＝1，S 5＝a 13＝5a 3，∴5(1＋2d)＝1＋12d ， ∴d ＝2.∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴1a n a n ＋1＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， 故所求和为12⎝⎛⎭⎫1－13＋12⎝⎛⎭⎫13－15＋12⎝⎛⎭⎫15－17＋12⎝⎛⎭⎫17－19＋12⎝⎛⎭⎫19－111＝12⎝⎛⎭⎫1－111＝511. 10．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n ·S n ＋1，则S n ＝( ) A ．－1nB.1n C ．－n D ．n 答案 A解+析 当n ＝1时，S 1＝a 1＝－1，∴1S 1＝－1.∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝S n ＋1·S n ，∴1S n －1S n ＋1＝1.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以－1为首项，－1为公差的等差数列，∴1S n ＝(－1)＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n.故选A.11．含2n ＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为( ) A.2n ＋1nB.n ＋1nC.n －1nD.n ＋12n 答案 B12．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n ·a n －1a n －1－a n ＝a n ·a n ＋1a n －a n ＋1，那么此数列的第10项为( )A.1210B.129C.110D.15答案 D解+析 ∵a n ·a n －1a n －1－a n ＝a n ·a n ＋1a n －a n ＋1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ·a n －1a n －1－a n 为常数列．∴a n ·a n －1a n －1－a n ＝a 2·a 1a 1－a 2＝2，∴a n ·a n －1＝2a n －1－2a n .∴1a n －1a n －1＝12，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，1a 1＝12，d ＝12. ∴1a n ＝12＋(n －1)·12＝n 2.∴a n ＝2n ，∴a 10＝15. 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上) 13．已知数列{a n }为等比数列，若a 1＋a 3＝5，a 2＋a 4＝10，则公比q ＝________． 答案 2解+析 因为数列{a n }为等比数列，且a 1＋a 3＝5，a 2＋a 4＝10，所以，由等比数列的通项公式，可得a 2＋a 4＝(a 1＋a 3)q ，即10＝5q ，∴q ＝2.14．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项之和为S n ，若S 10＝2，S 30＝14，则S 40等于________． 答案 30解+析 依题意有S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，则2(14－S 20)＝(S 20－2)2，得S 20＝6(S 20＝－4舍去)，∴S 20－S 10＝4，S 30－S 20＝8，则S 40－S 30＝16，∴S 40＝S 30＋16＝30. 15．(2019·江苏)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 5＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________． 答案 16解+析 方法一：设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2a 5＋a 8＝(a 1＋d)(a 1＋4d)＋a 1＋7d ＝a 12＋4d 2＋5a 1d ＋a 1＋7d ＝0，S 9＝9a 1＋36d ＝27，解得a 1＝－5，d ＝2，则S 8＝8a 1＋28d ＝－40＋56＝16.方法二：设等差数列{a n }的公差为d.S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5＝27，a 5＝3，又a 2a 5＋a 8＝0，则3(3－3d)＋3＋3d ＝0，得d ＝2，则S 8＝8（a 1＋a 8）2＝4(a 4＋a 5)＝4(1＋3)＝16.16．已知数列{a n }对于任意p ，q ∈N *，有a p ＋a q ＝a p ＋q ，若a 1＝19，则a 36＝________．答案 4解+析 ∵a 1＝19，∴a 2＝a 1＋a 1＝29，a 4＝a 2＋a 2＝49，a 8＝a 4＋a 4＝89.∴a 36＝a 18＋a 18＝2a 18＝2(a 9＋a 9)＝4a 9＝4(a 1＋a 8)＝4⎝⎛⎭⎫19＋89＝4.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)等差数列{a n }中，a 4＝10，且a 3，a 6，a 10成等比数列，求数列{a n }前20项的和S 20.解+析 设数列{a n }的公差为d ，则a 3＝a 4－d ＝10－d ， a 6＝a 4＋2d ＝10＋2d ，a 10＝a 4＋6d ＝10＋6d. 由a 3，a 6，a 10成等比数列，得a 3a 10＝a 62， 即(10－d)(10＋6d)＝(10＋2d)2，整理得10d 2－10d ＝0，解得d ＝0或d ＝1. 当d ＝0时，S 20＝20a 4＝200； 当d ＝1时，a 1＝a 4－3d ＝10－3×1＝7. 于是S 20＝20a 1＋20×192d ＝20×7＋190＝330.18．(12分)设{a n }为等比数列，{b n }为等差数列，且b 1＝0，c n ＝a n ＋b n ，若{c n }是1，1，2，…，求数列{c n }的前10项的和．解+析 ∵c 1＝a 1＋b 1，即1＝a 1＋0，∴a 1＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝c 2，a 3＋b 3＝c 3，即⎩⎪⎨⎪⎧ q ＋d ＝1， ①q 2＋2d ＝2. ②②－2×①，得q 2－2q ＝0. 又∵q ≠0，∴q ＝2，d ＝－1. c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 10＝(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10)＋(b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10)＝a 1（1－q 10）1－q ＋10b 1＋10×92d＝210－1＋45×(－1)＝978.19．(12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *.(1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式．解+析 (1)证明：b 1＝a 2－a 1＝1， 当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n 2－a n ＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1， ∴{b n }是以1为首项，－12为公比的等比数列．(2)由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝⎝⎛⎭⎫－12n －1，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋1＋⎝⎛⎭⎫－12＋…＋⎝⎛⎭⎫－12n －2＝1＋1－⎝⎛⎭⎫－12n －11－⎝⎛⎭⎫－12＝1＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n －1＝53－23⎝⎛⎭⎫－12n －1， 当n ＝1时，53－23⎝⎛⎭⎫－121－1＝1＝a 1.∴a n ＝53－23⎝⎛⎭⎫－12n －1(n ∈N *)．20．(12分)等比数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3中的任何两个数不在下表的同一列．(1)求数列{a n }(2)若数列{b n }满足：b n ＝a n ＋(－1)n lna n ，求数列{b n }的前2n 项和S 2n . 解+析 (1)当a 1＝3时，不合题意；当a 1＝2时，当且仅当a 2＝6，a 3＝18时，符合题意； 当a 1＝10时，不合题意；∴a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18，公比q ＝3， 故a n ＝2·3n －1. (2)∵b n ＝a n ＋(－1)n lna n ＝2·3n －1＋(－1)n ln(2·3n －1) ＝2·3n －1＋(－1)n [ln2＋(n －1)ln3] ＝2·3n －1＋(－1)n (ln2－ln3)＋(－1)n nln3. ∴S 2n ＝b 1＋b 2＋…＋b 2n＝2(1＋3＋…＋32n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)2n ]·(ln2－ln3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)2n 2n]ln3 ＝2×1－32n 1－3＋nln3＝32n ＋nln3－1.21．(12分)已知等差数列{a n }(n ∈N *)为递增数列，且满足a 1＋a 5＝18，a 32＝a 2a 4＋4. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＋1－b n ＝a n (n ∈N *)，且b 1＝3，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和T n .解+析 (1)由a 1＋a 5＝18，得a 3＝9.设数列的公差为d ，则由a 32＝a 2a 4＋4得81＝(9＋d)(9－d)＋4， 所以d ＝±2(－2舍去)，所以a n ＝2n ＋3(n ∈N *)．(2)由(1)知b n ＋1－b n ＝2n ＋3，得b n －b n －1＝2n ＋1(n ≥2)且b 1＝3.所以b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1＝(2n ＋1)＋(2n －1)＋…＋7＋5＋3＝n(n ＋2)，所以1b n ＝1n （n ＋2）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，∴T n ＝12[⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫12－14＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋(1n －1－1n ＋1)＋⎝⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－2n ＋32（n ＋1）（n ＋2）. 22．(12分)设正项等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0.(1)求{a n }的通项公式； (2)求{nS n }的前n 项和T n . 解+析 (1)a n ＝12n ，n ＝1，2，…(2)∵{a n }是首项a 1＝12，公比q ＝12的等比数列，∴S n ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝1－12n ，nS n ＝n －n2n .则数列{nS n }的前n 项和T n ＝(1＋2＋…＋n)－⎝⎛⎭⎫12＋222＋…＋n2n ， ① T n 2＝12(1＋2＋…＋n)－⎝⎛⎭⎪⎫122＋223＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1，② ①－②，得T n 2＝12(1＋2＋…＋n)－⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n ＋n2n ＋1 ＝n （n ＋1）4－12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＋n2n ＋1，即T n ＝n （n ＋1）2＋12n －1＋n2n －2.。
2019-2020学年高中数学人教A版必修5同步作业与测评：综合质量测评(二) Word版含解析
姓名，年级：时间：综合质量测评（二）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知a,b,c分别是△ABC中内角A，B，C的对边,且a＝1，b＝5，c＝2错误!，则△ABC的面积S＝( )A．错误!B．2 C．3 D．4答案B解析因为cos C＝错误!＝错误!，所以sin C＝错误!，所以S＝错误!ab sin C＝2．故选B．2．若a＜0，b＜0，则p＝错误!＋错误!与q＝a＋b的大小关系为( )A．p＜q B．p≤q C．p＞q D．p≥q答案B解析因为p－q＝错误!＋错误!－a－b＝错误!≤0，所以p≤q．故选B．3．已知a，b，c成等比数列，a，x,b成等差数列，b，y,c成等差数列，则错误!＋错误!的值等于( ）A．错误!B．错误!C．2 D．1答案C解析用特殊值法，令a＝b＝c．4．若数列{a n｝满足a1＝2，a n＋1＝3a n＋2，则｛a n}的通项公式为( ）A．a n＝2n－1 B．a n＝3n－1C．a n＝22n－1D．a n＝6n－4答案B解析∵数列｛a n}满足a1＝2，a n＋1＝3a n＋2，∴a2＝6＋2＝8＝32－1，a3＝24＋2＝26＝33－1，a4＝78＋2＝80＝34－1，…，a n＝3n－1，故数列{a n｝的通项公式为a n＝3n－1．故选B．5．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(错误!，－1），n ＝(cos A，sin A)．若m⊥n,且a cos B＋b cos A＝c sin C，则角A，B的大小分别为( )A．π6，错误! B．错误!，错误! C．错误!，错误! D．错误!，错误!答案C解析∵错误!cos A－sin A＝0，∴A＝错误!．∵sin A cos B＋sin B cos A＝sin2C,即sin A cos B＋sin B cos A＝sin（A＋B）＝sin C＝sin2C,∴C＝π2,∴B＝错误!．6．在△ABC中,内角A，B,C的对边分别为a，b，c,且b2＋c2＋bc－a2＝0,则错误!＝( )A．－错误! B．错误! C．－错误! D．错误!答案B解析∵b2＋c2＋bc－a2＝0，∴cos A＝错误!＝－错误!，∴A＝120°．由正弦定理可得错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!．故选B．7．已知实数m，n满足不等式组错误!则关于x的方程x2－(3m＋2n)x＋6mn＝0的两根之和的最大值和最小值分别是（）A．7，－4 B．8，－8C．4，－7 D．6,－6答案A解析两根之和z＝3m＋2n，画出可行域，当m＝1，n＝2时，z max＝7；当m＝0,n ＝－2时,z min＝－4．8．已知a>b>0,c<0，下列不等关系中正确的是（)A．ac〉bcB．a c〉b cC．log a(a－c)>log b(b－c)D．aa－c>bb－c答案D解析当a＝2,b＝1，c＝－1时，A，B不成立；设a＝错误!，b＝错误!,c＝－2，则log错误!错误!〈log错误!错误!<log错误!错误!，即log a（a－c）<log b(b－c)，C不成立；∵a〉b>0，c〈0,∴ac<bc,∴－ac>－bc，ab－ac>ab－bc,a(b－c）>b（a－c），又（a－c)（b－c)>0，∴aa－c>错误!，D成立，故选D．9．在△ABC中，若A＜B＜C，A＋C＝2B，且最大边为最小边的2倍，则A∶B∶C ＝（）A．1∶2∶3 B．2∶3∶4 C．3∶4∶5 D．4∶5∶6答案A解析∵A＋C＝2B,∴A＋B＋C＝3B＝180°,即B＝60°．∵A＜B＜C,且最大边为最小边的2倍,∴c＝2a，根据正弦定理得sin C＝2sin A，将C＝120°－A代入上式得sin(120°－A）＝2sin A,整理得错误!cos A＝错误!sin A，即tan A＝错误!,∴A＝30°，C ＝90°，∴A∶B∶C＝1∶2∶3．10．当实数x,y满足错误!时，1≤ax＋y≤4恒成立,则实数a的取值范围是（) A．1，错误! B．1，错误!C．1，错误! D．1,错误!答案D解析画可行域如下图所示,设目标函数z＝ax＋y,即y＝－ax＋z，要使1≤z≤4恒成立，则a〉0，数形结合知，满足错误!即可，解得1≤a≤错误!．所以a的取值范围是1，错误!．11．下表给出一个“直角三角形数阵”：错误!满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为a ij（i≥j，i,j∈N*），则a83等于( ）A．错误! B．错误! C．错误! D．1答案C解析第1列为错误!，错误!＝错误!，错误!,…，所以第8行第1个数为错误!，又每一行都成等比数列且公比为错误!，所以a83＝错误!×错误!×错误!＝错误!．12．已知等差数列｛a n｝中,a8＝错误!，若函数f(x)＝sin2x－2cos2错误!，c n＝f（a n),则数列｛c n}的前15项的和为( ）A．0 B．1 C．15 D．－15答案D解析本题考查等差数列、三角函数性质的综合应用．f(x）＝sin2x－2cos2错误!＝sin2x－2×错误!＝sin2x－1－cos x．因为a1＋a15＝a2＋a14＝…＝2a8＝π，所以cos a1＋cos a15＝cos a2＋cos a14＝…＝cos a8＝0．又2a1＋2a15＝2a2＋2a14＝…＝4a8＝2π，所以sin2a1＋sin2a15＝sin2a2＋sin2a14＝…＝sin2a8＝0，于是数列｛c n｝的前15项和为0－15－0＝－15．故选D．第Ⅱ卷（非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于________．解析∵B＝45°，C＝60°,∴A＝180°－B－C＝75°．∴最短边为b．由正弦定理，得b＝错误!＝错误!＝错误!．14．一批货物随17列货车从A市以v千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全,两列货车的间距不得小于错误!2千米，那么这批货物全部运到B市，最快需要________小时．答案8解析这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则t＝错误!＝错误!＋错误!≥2错误!＝8（小时)，当且仅当错误!＝错误!，即v＝100时等号成立，此时t＝8小时．15．已知x，y满足约束条件错误!(k为常数且k＜0),若目标函数z＝x＋3y的最大值为8，则k＝________．答案－6解析本题考查简单的线性规划．画出可行域如图所示．联立方程错误!解得错误!即点C错误!．由目标函数z＝x＋3y，得y＝－错误!x＋错误!，平移直线y＝－错误!x，可知当直线经过点C时，z最大，则8＝－错误!＋3×错误!,解得k＝－6．16．设数列{a n｝的前n项和为S n，关于数列{a n｝有下列四个结论:①若数列｛a n}既是等差数列又是等比数列，则S n＝na1；②若S n＝2n－1，则数列{a n}是等比数列；③若S n＝an2＋bn（a，b∈R)，则数列｛a n｝是等差数列；④若S n＝an（a∈R)，则数列｛a n}既是等差数列又是等比数列．其中正确结论的序号是________．解析本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质．①若数列｛a n｝既是等差数列又是等比数列,则对数列中任意相邻三项有2a m＋1＝a m＋a m＋2,a2，m＋1＝a m a m＋2，则(a m＋a m＋2)2＝4a m a m＋2，得a m＝a m＋2＝a m＋1，故a n＝a1，S n＝na1，①正确；②a1＝S1＝21－1＝1,S2＝22－1＝2,∴a2＝S2－S1＝1，a3＝S3－S2＝22－2＝2,11≠错误!，∴数列{a n｝不是等比数列，②错误;③∵a1＝S1＝a＋b，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝an2＋bn－a（n－1)2－b（n－1)＝2an－a＋b，∴数列｛a n}是等差数列,③正确;④当a＝0时,数列{a n}不是等比数列，④错误．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分)在△ABC中,内角A，B，C的对边分别为a，b,c，且b sin A ＝错误!a cos B．(1）求角B的大小；(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．解（1)由b sin A＝错误!a cos B及正弦定理错误!＝错误!，得sin B＝错误!cos B，所以tan B＝3，所以B＝错误!．(2）由sin C＝2sin A及错误!＝错误!，得c＝2a．由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得9＝a2＋c2－ac．所以a＝错误!，c＝2错误!．18．（本小题满分12分)（1)已知S n为等差数列｛a n}的前n项和,S2＝S6，a4＝1，求a5；(2）在等比数列{b n｝中，若b4－b2＝24，b2＋b3＝6,求首项b1和公比q．解(1）设等差数列｛a n｝的公差为d．由题意得错误!即错误!解得错误!所以a5＝a1＋4d＝7＋4×(－2）＝－1．（2)由题意得错误!解得错误!19．(本小题满分12分)制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30％和10％，若投资人计划投资的金额不超过10万元，并要求确保可能的资金亏损不超过1．8万元，则投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元才能使可能的盈利最大？解设投资人分别对甲、乙两个项目投资x万元,y万元，由题意得错误!目标函数为z＝x＋0．5y．上述不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界）所示．作直线l0：x＋0．5y＝0,并在可行域内平移l0，由图可知,当直线经过可行域上的点M时,z最大，这里点M是直线x＋y＝10与直线0．3x＋0．1y＝1．8的交点．解方程组｛x＋y＝10得错误!，0.3x＋0。
2019-2020学年高中数学人教A版必修5同步作业与测评：综合质量测评(一) Word版含解析
姓名，年级：时间：综合质量测评(一）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．不等式错误!〈错误!的解集是( )A．（－∞，2）B．（2，＋∞）C．（0，2）D．（－∞，0）∪(2，＋∞）答案D解析错误!<错误!⇔错误!－错误!<0⇔错误!<0⇔错误!〉0⇔x〈0或x〉2．2．在△ABC中，若sin2A＋sin2B＝2sin2C，则角C为( )A．钝角B．直角C．锐角D．60°答案C解析由sin2A＋sin2B＝2sin2C，得a2＋b2＝2c2，即a2＋b2－c2＝c2〉0，cos C>0．故角C为锐角．3．在△ABC中，a＝20,b＝10,B＝29°,则此三角形解的情况是（）A．无解B．有一解C．有两解D．有无数个解答案C解析a sin B＝a sin29°〈a sin30°＝20×错误!＝10＝b<a，所以有两解．故选C．4．设变量x，y满足约束条件错误!则目标函数z＝2x＋5y的最小值为（)A．－4 B．6 C．10 D．17答案B解析 由题意知，约束条件错误!所表示的三角形区域的顶点分别为A(0，2），B(3，0），C （1，3)．将A ，B ，C 三点的坐标分别代入z ＝2x ＋5y ，得z ＝10,6，17，故z 的最小值为6．5．已知△ABC 的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为错误!，则这个三角形的周长为( )A ．15B ．18C ．21D ．24答案 A解析 根据题意，设△ABC 的三边长为a,a ＋2，a ＋4，且a ＋4所对的角为最大角α，∵sin α＝错误!，∴cos α＝错误!或－错误!，当cos α＝错误!时,α＝60°，不符合题意，舍去； 当cos α＝－12时,α＝120°，由余弦定理得:cos α＝cos 120°＝错误!＝－错误!，解得a ＝3或a ＝－2(不符合题意，舍去），则这个三角形周长为a ＋a ＋2＋a ＋4＝3a ＋6＝9＋6＝15．故选A ．6．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若内角A ，B,C 依次成等差数列,且不等式－x 2＋6x －8＞0的解集为｛x ｜a ＜x ＜c}，则S △ABC ＝（ )A ． 3B ．2错误!C ．3错误!D ．4错误!答案 B解析 不等式－x 2＋6x －8＞0的解集为｛x ｜2＜x ＜4｝，由此可知a ＝2,c ＝4．又由A ，B ，C 依次成等差数列，知2B ＝A ＋C ，而A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝错误!．于是S △ABC ＝错误!ac sin B ＝错误!×2×4×错误!＝2错误!．故选B ．7．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝200，则4a 5－2a 3的值为( )A ．80B ．60C ．40D ．20答案 A解析 ∵a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝200，∴5a7＝200，a7＝40．又4a5＝2(a3＋a7)＝2a3＋2a7，∴4a5－2a3＝2a7＝80．故选A．8．已知S n和T n分别为数列｛a n｝与数列{b n｝的前n项和，且a1＝e4，S n＝e S n＋1－e5，a n＝e b n，则当T n取得最大值时n的值为（）A．4 B．5 C．4或5 D．5或6答案C解析由S n＝e S n＋1－e5，得S n－1＝e S n－e5(n≥2），两式相减，得a n＝e a n＋1（n≥2），易知a2＝e3，错误!＝错误!＝错误!，所以｛a n｝是首项为e4，公比为错误!的等比数列，所以a n＝e5－n．因为a n＝e b n,所以b n＝5－n．由错误!即错误!解得4≤n≤5,所以当n＝4或n＝5时，T n取得最大值．故选C．9．已知△ABC的周长为2，角A，B，C的对边分别为a,b，c,且满足错误!＝3c,则c等于（)A．错误!B．1 C．1或错误!D．错误!答案D解析由正弦定理得:错误!＝错误!＝3c，即3c2＝b＋a，又∵a＋b＋c＝2，∴3c2＋c＝2．解得c＝错误!．故选D．10．某种生产设备购买时费用为10万元,每年的设备管理费用为9千元,这种生产设备的维护费用：第一年2千元,第二年4千元,第三年6千元，依每年2千元的增量逐年递增，则这套生产设备最多使用________年报废最划算( )A．3 B．5 C．7 D．10答案D解析设使用x年，年平均费用为y万元，则y＝错误!＝错误!＝1＋x10＋错误!≥3，当且仅当x＝10时等号成立．故选D．11．设{a n｝是正数等差数列，｛b n}是正数等比数列，且a1＝b1，a2n＋1＝b2n＋1，则（）A．a n＋1〉b n＋1B．a n＋1≥b n＋1C．a n＋1<b n＋1D．a n＋1＝b n＋1答案B解析a n＋1＝错误!≥错误!＝错误!＝b n＋1．12．如图,一轮船从A点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B，又从B沿北偏东10°的方向行驶10海里至海岛C，若此轮船从A点直接沿直线行驶至海岛C，则此船沿________方向行驶________海里至海岛C（)A．北偏东60°；10错误!B．北偏东40°；10错误!C．北偏东30°;10错误!D．北偏东20°;10错误!答案B解析由已知得在△ABC中，∠ABC＝180°－70°＋10°＝120°,AB＝BC＝10，故∠BAC＝30°．所以从A到C的航向为北偏东70°－30°＝40°．由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos∠ABC＝102＋102－2×10×10×－错误!＝300，所以AC＝10 3．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分）13．在△ABC中,内角A,B，C所对的边分别为a，b，c,已知a＝3，b＝4,c＝6，则bc cos A＋ca cos B＋ab cos C＝________．答案61 2解析由余弦定理得bc cos A＋ca cos B＋ab cos C＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!＝错误!．14．已知数列｛a n}是各项为正数，首项为1的等差数列，S n为其前n项和,若数列｛错误!｝也为等差数列，则错误!的最小值是________．答案错误!解析设数列{a n}的公差为d（d＞0），即有a n＝1＋（n－1)d，S n＝n＋错误!n(n－1)d，错误!＝错误!，由于数列{错误!｝也为等差数列,可得d＝2，即有a n＝2n－1，S n＝n2，则错误!＝错误!＝错误!错误!≥错误!·2错误!＝2错误!，当且仅当n＝2错误!取得等号，由于n为正整数,即有n＝2或3取得最小值．当n＝2时，取得3；n＝3时，取得错误!,故最小值为错误!．15．某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元，另一种是每袋24千克，价格为120元，在满足需要的条件下,最少要花费________元．答案500解析设购买35 kg的x袋，24 kg的y袋,则35x＋24y≥106，x∈N＊，y∈N*，共花费z＝140x＋120y．作出由35x＋24y≥106，x∈N*，y∈N＊对应的平面区域，再作出目标函数z＝140x＋120y对应的一组平行线，观察在点（1，3）处z最小,为500元．16．如果a〉b，给出下列不等式：①1a〈错误!；②a3>b3；③错误!〉错误!;④2ac2〉2bc2；⑤错误!>1；⑥a2＋b2＋1>ab＋a＋b．其中一定成立的不等式的序号是________．答案②⑥解析①若a>0，b〈0，则错误!>错误!，故①不成立；②∵y＝x3在x∈R上单调递增，且a〉b．∴a3〉b3，故②成立；③取a＝0，b＝－1,知③不成立；④当c＝0时,ac2＝bc2＝0，2ac2＝2bc2，故④不成立；⑤取a＝1，b＝－1,知⑤不成立;⑥∵a2＋b2＋1－(ab＋a＋b）＝错误!［（a－b)2＋（a－1）2＋(b－1）2］〉0，∴a2＋b2＋1〉ab＋a＋b，故⑥成立．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分）在△ABC中,角A，B,C的对边分别为a，b,c，已知b cos2错误!＋a cos2错误!＝错误!c．(1）求证：a，c，b成等差数列；(2)若C＝π3，△ABC的面积为2错误!,求c．解(1)证明:由正弦定理得：sin B cos2A2＋sin A cos2错误!＝错误!sin C，即sin B·错误!＋sin A·错误!＝错误!sin C,∴sin B＋sin A＋sin B cos A＋cos B sin A＝3sin C，∴sin B＋sin A＋sin(A＋B)＝3sin C，∴sin B＋sin A＋sin C＝3sin C，∴sin B＋sin A＝2sin C，∴a＋b＝2c，∴a，c，b成等差数列．(2）S＝错误!ab sin C＝错误!ab＝2错误!，∴ab＝8，c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab＝（a＋b）2－3ab＝4c2－24．∴c2＝8，得c＝2错误!．18．（本小题满分12分)已知｛a n｝是公差不为零的等差数列，｛b n}是各项都是正数的等比数列．(1）若a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列，求数列{a n}的通项公式；(2)若b1＝1，且b2,错误!b3，2b1成等差数列，求数列{b n｝的通项公式．解（1)由题意可设公差为d,则d≠0．由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列,得错误!＝错误!，解得d＝1或d＝0（舍去)．故数列｛a n｝的通项公式为a n＝1＋(n－1）×1＝n．(2）由题意可设公比为q，则q＞0．由b1＝1，且b2,错误!b3，2b1成等差数列，得b3＝b2＋2b1，∴q2＝2＋q，解得q＝2或q＝－1(舍去）．故数列｛b n｝的通项公式为b n＝1×2n－1＝2n－1．19．(本小题满分12分）已知函数f(x)＝ax2－bx＋1．(1)是否存在实数a,b使不等式f(x)〉0的解集是｛x|3<x<4},若存在，求实数a，b的值，若不存在，请说明理由；(2)若a为整数,b＝a＋2，且函数f（x)在(－2,－1)上恰有一个零点,求a的值．解（1）∵不等式ax2－bx＋1>0的解集是｛x｜3<x〈4}，∴方程ax2－bx＋1＝0的两根是3和4，∴错误!解得a＝错误!，b＝错误!．而当a＝错误!>0时,不等式ax2－bx＋1〉0的解集不可能是{x｜3<x〈4｝，故不存在实数a，b使不等式f（x)〉0的解集是｛x|3<x<4}．（2）∵b＝a＋2，∴f(x）＝ax2－(a＋2）x＋1．∵Δ＝（a＋2）2－4a＝a2＋4>0，∴函数f(x）＝ax2－(a＋2)x＋1必有两个零点．又函数f(x）在(－2,－1）上恰有一个零点，∴f（－2)·f(－1）〈0，∴（6a＋5）(2a＋3）<0，解得－错误!<a〈－错误!．∵a∈Z，∴a＝－1．20．（本小题满分12分）△ABC的内角A，B,C的对边分别为a，b，c,已知2c－a ＝2b cos A．（1)求角B的大小；（2)若b＝2错误!，求a＋c的最大值．解（1)∵2c－a＝2b cos A,∴根据正弦定理，得2sin C－sin A＝2sin B cos A，∵A＋B＝π－C,可得sin C＝sin（A＋B）＝sin B cos A＋cos B sin A，∴代入上式，得2sin B cos A＝2sin B cos A＋2cos B sin A－sin A，化简得(2cos B－1)sin A＝0，∵A是三角形的内角，可得sin A＞0,∴2cos B－1＝0，解得cos B＝错误!，∵B∈(0，π)，∴B＝错误!．(2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得12＝a2＋c2－ac．∴(a＋c)2－3ac＝12，∴12≥（a＋c）2－3错误!2,即（a＋c）2≤48(当且仅当a＝c＝2错误!时等号成立），∵a＋c>0，∴a＋c≤43，∴a＋c的最大值为43．21．（本小题满分12分）因发生交通事故，一辆货车上的某种液体泄漏到一池塘中,为了治污,根据环保部门的建议,现决定在池塘中投放一种与污染液体发生化学反应的药剂，已知每投放a（1≤a≤4，a∈R)个单位的药剂，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天)变化的函数关系式近似为y＝a·f(x）,其中f(x)＝错误!若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为各次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4(克/升）时,它才能起到有效治污的作用．(1)若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？（2)若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放a个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求a的最小值．(精确到0．1，参考数据：错误!取1．4)解（1）因为a＝4，所以y＝错误!①当0≤x≤4时，由648－x－4≥4,解得x≥0，所以此时0≤x≤4．②当4＜x≤10时，由20－2x≥4,解得x≤8，所以此时4＜x≤8．综合得0≤x≤8，即若一次投放4个单位的药剂,则有效治污时间可达8天．（2）当6≤x≤10时，y＝2·错误!＋a错误!－1＝10－x＋错误!－a＝（14－x）＋错误!－a－4，由题意知,y≥4对于x∈[6，10］恒成立．因为14－x∈[4，8]，而1≤a≤4，所以4错误!∈[4,8]，故当且仅当14－x＝4错误!时，y有最小值为8错误!－a－4，令8错误!－a－4≥4，解得24－162≤a≤4,所以a的最小值为24－16错误!．又24－16错误!≈1．6，所以a的最小值约为1．6．22．（本小题满分12分）已知f（x)＝错误!sin x·cos x＋cos2x，锐角△ABC的三个角A，B,C所对的边分别为a，b，c．(1）求函数f(x）的最小正周期和单调递增区间；(2）若f（C)＝1，求m＝a2＋b2＋c2ab的取值范围．解（1)f(x）＝错误!sin x·cos x＋cos2x＝错误!sin2x＋错误!cos2x＋错误!＝sin错误!＋错误!．∴函数f（x）的最小正周期T＝错误!＝π．由2kπ－错误!≤2x＋错误!≤2kπ＋错误!，解得kπ－错误!≤x≤kπ＋错误!．∴函数f(x）的单调递增区间错误!,k∈Z，最小正周期为π．(2)由(1)可得,f(C)＝sin错误!＋错误!＝1，∴sin错误!＝错误!，2019-2020学年高中数学人教A版必修5同步作业与测评：综合质量测评（一） Word版含解析∵△ABC是锐角三角形，∴错误!〈2C＋错误!<错误!,∴2C＋错误!＝错误!，即C＝错误!．由余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C，可得c2＝a2＋b2－ab,∴m＝错误!＝错误!－1＝2错误!－1．①∵△ABC为锐角三角形，∴错误!∴错误!＜A＜错误!．由正弦正理得错误!＝错误!＝错误!＝错误!＋错误!∈错误!．②由②式设t＝错误!,则t∈错误!,那么①式化简为m＝2错误!－1．由y＝t＋错误!≥2,t＝1时取等号．∴m≥3．根据对勾函数的性质可得错误!是单调递减，（1，2)是单调递增,∴m＜4，故得m＝错误!∈［3，4）．。
【2019-2020学年人教A版高中数学必修五测试卷(二)
【2019-2020学年人教A版高中数学必修五测试卷(二)【2019-2020学年人教A版高中数学必修五测试卷(一)第5页】(时间:90满分120分)【选题明细表】知识点、方法题号正、余弦定理及其应用1,4,5,6,13三角形形状判定3,7三角形的面积8,10,14,17与其他知识综合9,12,18,19 正、余弦定理的实际应用2,11,15,16,20一、选择题(每小题5分,共60分)1.在钝角△ABC中,a=1,b=2,则最大边c的取值范围是( C )(A)(1,3) (B)(2,3)(C)(,3) (D)(2,3)解析:在钝角△ABC中,由于最大边为c,所以角C为钝角.所以c2> a2+b2=1+4=5,即c>,又因c<a+b=1+2=3,所以<c<3.2.如图,为了测量A,B两点间的距离,在地面上选择适当的点C,测得AC=100 m,BC=120 m,∠ACB=60°,那么A,B的距离为( B )(A)20 m (B)20 m(C)500 m (D)60 m【2019-2020学年人教A版高中数学必修五测试卷(一)第1页】解析:由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos 60°=1002+1202-2×100×120×=12 400,所以AB=20(m),故选B.3.在△ABC中,若c=2acos B,则△ABC的形状一定是( C )(A)等腰直角三角形 (B)直角三角形(C)等腰三角形 (D)等边三角形解析:因为c=2acos B,由正弦定理得2cos Bsin A=sin C=sin(A+B),所以sin Acos B-cos Asin B=0,即sin(A-B)=0,又因为-π<A-B<π,所以A-B=0,所以A=B.所以△ABC是等腰三角形.4.在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=3∶2∶4,则cos C的值为( D )(A)(B)-(C)(D)-解析:因为sin A∶sin B∶sin C=3∶2∶4,所以a∶b∶c=3∶2∶4,设a=3k,则b=2k,c=4k,【2019-2020学年人教A版高中数学必修五测试卷(一)第2页】所以cos C==-.5.在△ABC中,b=8,c=3,A=60°,则此三角形外接圆面积为( D )(A)(B)(C) (D)解析:a2=b2+c2-2bccos A=82+32-2×8×3×=49,所以a=7,所以2R===,所以R=,所以S=π()2=π.6.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=60°,b=4,为使此三角形只有一个,则a满足的条件是( C )(A)0<a<4 (B)a=6(C)a≥4或a=6 (D)0<a≤4或a=6解析:bsin A=4×sin 60°=6,只有a=6或a≥4时有一解.故选C.7.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2=,则△ABC是( C )(A)等腰三角形(B)等边三角形【2019-2020学年人教A版高中数学必修五测试卷(一)第3页】。
2019-2020学年人教A版高中数学必修五同步课时分层训练：模块综合检测卷 Word版含解析
模块综合检测卷(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)2．设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A <BD ．A >B3．不等式6x 2＋x －2≤0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23≤x ≤12B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－23或x ≥12C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥12D ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－23 4．已知在各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1a 15的值为( )A ．100B ．－100C ．10 000D ．－10 0005．(2018·太原一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则c 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．46．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2A的值为( )A ．－19B ．13C ．1D ．729．(2019·河南百校联盟模拟)等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1＝－9，S 99－S 77＝2，则S 10＝( )A ．0B ．－9C ．10D ．－1010．(2019·河南信阳模拟)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”(“钱”是古代一种质量单位)，在这个问题中，甲得 钱( )A.53 B ．32 C.43D ．5411．(2018·武昌调研)如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600 km 处的热带风暴中心正以20 km/h 的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km 以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为( )A ．14 hB ．15 hC ．16 hD ．17 h12．若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,4)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4,1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．不等式x 2－2x ＋3≤a 2－2a －1在R 上的解集是∅，则实数a 的取值范围是 ．14．已知等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 1＝1,3a 3＝2a 2＋a 4，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前4项和为 ．16.如图，在△ABC 中，已知B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB ＝ .三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)若不等式ax 2＋5x －2>0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <2， (1)求a 的值；(2)求不等式1－ax x ＋1>a ＋5的解集．18．(12分)(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m .19．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin B ＝3b cos A .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．20．(12分)(2019·沈阳质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 6＝4，S 5＝－5.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若T n ＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |，求T 5的值和T n 的表达式．21．(12分)(2018·陕西四校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝13.(1)求cos 2B ＋C2＋cos 2A 的值； (2)若a ＝3，求△ABC 面积的最大值．22．(12分)某厂家拟在2018年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x (单位：万件)与年促销费用m (m ≥0)(单位：万元)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销售量为1万件．已知2018年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．(1)将2018年该产品的利润y (单位：万元)表示为年促销费用m 的函数； (2)该厂家2018年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？ 1．不等式组⎩⎨⎧2x ＋y －2≥0，x ＋3y －3≤0表示的平面区域为( )解析：选C 取满足不等式组的一个点(2,0)，由图易知此点在选项C 表示的阴影中，故选C.解析：选B 由题意得，B 2－A 2＝－2ab ≤0，且A ≥0，B ≥0，可得A ≥B .故选B.解析：选A 因为6x 2＋x －2≤0⇔(2x －1)(3x ＋2)≤0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23≤x ≤12.故选A.解析：选C ∵a 3a 8a 13＝a 38，∴lg(a 3a 8a 13)＝lg a 38＝3lg a 8＝6. ∴a 8＝100.又a 1a 15＝a 28＝10 000，故选C.解析：选D ∵S △ABC ＝12bc sin A ，∴3＝12×1×c ×32，∴c ＝4.故选D. 解析：选B 依据题设条件，由正弦定理，得sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin 2A ，有sin(B ＋C )＝sin 2A ， 从而sin(B ＋C )＝sin A ＝sin 2A ，解得sin A ＝1或sin A ＝0(舍去)， ∴A ＝π2，∴△ABC 是直角三角形．故选B.7．已知z ＝2x ＋y ，x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥m ，且z 的最大值是最小值的4倍，则m 的值是( )A.14 B ．15 C.16 D ．17解析：选A根据题中所给约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥m所得的可行域如图．根据y ＝－2x ＋z 可知z 的几何含义为直线在y 轴上的截距．显然y ＝－2x ＋z 在点(1,1)和(m ，m )处直线的截距分别取得最大值3和最小值3m ，故3＝4·3m ，解得m ＝14. 故选A.解析：选D ∵3a ＝2b ，∴b ＝32a ， 由正弦定理，得2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2b 2－a 2a 2＝2×94a 2－a 2a 2＝72.故选D.解析：选A∵数列{a n }是等差数列，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，由题意知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的首项为－9，公差为1，∴S n n ＝n －10，∴S 1010＝0，∴S 10＝0.故选A.解析：选C 甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数依次设为等差数列的a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，设公差为d ，由题意知a 1＋a 2＝a 3＋a 4＋a 5＝52，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝52，3a 1＋9d ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝43，d ＝－16，故甲得43钱，故选C.解析：选B 记现在热带风暴中心的位置为点A ，t 小时后热带风暴中心到达B 点位置，在△OAB 中，OA ＝600，AB ＝20t ，∠OAB ＝45°，根据余弦定理得OB 2＝6002＋400t 2－2×20t ×600×22，令OB 2≤4502，即4t 2－1202t ＋1 575≤0，解得302－152≤t ≤302＋152，所以该码头将受到热带风暴影响的时间为302＋152－302－152＝15(h)．故选B. 解析：选B ∵不等式x ＋y4<m 2－3m 有解，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4min <m 2－3m ，∵x >0，y >0，且1x ＋4y ＝1，∴x ＋y 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝4x y ＋y 4x ＋2≥24x y ·y 4x ＋2＝4，当且仅当4x y ＝y 4x ，即x ＝2，y ＝8时取等号，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4min ＝4，∴m 2－3m >4，即(m ＋1)(m －4)>0，解得m <－1或m >4，故实数m 的取值范围是(－∞，－1)∪(4，＋∞)．故选B.解析：原不等式变形为x 2－2x －a 2＋2a ＋4≤0，其在R 上解集为∅， ∴Δ＝4－4(－a 2＋2a ＋4)<0， 即a 2－2a －3<0，解得－1<a <3. 答案：(－1,3)解析：∵等比数列{a n }中，a 1＝1,3a 3＝2a 2＋a 4，∴3q 2＝2q ＋q 3.又∵q ≠1，∴q ＝2，∴a n ＝2n －1，∴1a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －1，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1是首项为12，公比为14的等比数列，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前4项和为12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1441－14＝85128. 答案：8512815．若实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，x ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最小值是 ．解析：不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，设t ＝x ＋2y ，则y ＝－12x ＋t2， 当x ＝0，y ＝0时，t 最小＝0. z ＝3x ＋2y 的最小值为1. 答案：1解析：在△ADC 中，cos C ＝AC 2＋DC 2－AD 22·AC ·DC ＝72＋32－522×7×3＝1114.又0°<C <180°，∴sin C ＝5314.在△ABC 中，AC sin B ＝ABsin C ，∴AB ＝sin C sin B AC ＝5314×2×7＝562. 答案：562解：(1)依题意可得，ax 2＋5x －2＝0的两个实数根为12和2， 由根与系数的关系得，12＋2＝－5a ，解得a ＝－2. (2)将a ＝－2代入不等式得，1＋2x x ＋1>3，即1＋2xx ＋1－3>0， 整理得，－(x ＋2)x ＋1>0，即(x ＋1)(x ＋2)<0，解得－2<x <－1， 则不等式的解集为{x |－2<x <－1}．解：(1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －1. 由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)或q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1. (2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－(－2)n3.由S m ＝63得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解； 若a n ＝2n －1，则S n ＝2n －1. 由S m ＝63得2m ＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.解：(1)因为a sin B ＝3b cos A ， 由正弦定理得sin A sin B ＝3sin B cos A . 又sin B ≠0，从而tan A ＝ 3. 由于0<A <π，所以A ＝π3.(2)解法一：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，及a ＝7，b ＝2，A ＝π3， 得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0. 因为c >0，所以c ＝3.故△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝332. 解法二：由正弦定理，得7sin π3＝2sin B ， 从而sin B ＝217，又由a >b ，知A >B ，所以cos B ＝277.故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114.所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝332. 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ， 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝4，5a 1＋5×42d ＝－5，解得⎩⎨⎧a 1＝－5，d ＝2，故a n ＝2n －7(n ∈N *)．(2)由a n ＝2n －7<0，得n <72，即n ≤3， 所以当n ≤3时，a n ＝2n －7<0， 当n ≥4时，a n ＝2n －7>0. 由(1)知S n ＝n 2－6n ，所以当n ≤3时，T n ＝－S n ＝6n －n 2；当n ≥4时，T n ＝－S 3＋(S n －S 3)＝S n －2S 3＝n 2－6n ＋18. 故T 5＝13，T n ＝⎩⎨⎧6n －n 2，n ≤3，n 2－6n ＋18，n ≥4.解：(1)cos 2B ＋C2＋cos 2A＝1＋cos (B ＋C )2＋2cos 2A －1＝12－cos A2＋2cos 2A －1 ＝12－12×13＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－49.(2)由余弦定理可得(3)2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－23bc ≥2bc －23bc ＝43bc ， 所以bc ≤94，当且仅当b ＝c ＝32时，bc 有最大值94. 又cos A ＝13，A ∈(0，π)， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223， 于是△ABC 面积的最大值为12×94×223＝324. 解：(1)由题意，可知当m ＝0时，x ＝1， ∴1＝3－k ，解得k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1， 又每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx 元，∴y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1.5×8＋16x x －(8＋16x ＋m )＝4＋8x －m ＝4＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋(m ＋1)＋29(m ≥0)．(2)∵m ≥0，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8，当且仅当16m ＋1＝m ＋1，即m ＝3时等号成立，∴y ≤－8＋29＝21，∴y max ＝21.故该厂家2018年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．。
【2019-2020学年人教A版高中数学必修五测试卷(一)
2019-2020学年人教A版高中数学必修五测试卷(一)2019-2020学年人教A版高中数学必修五测试卷(时间:90分钟满分:120分) 【选题明细表】知识点、方法题号正弦定理及其应用6,9,12,15,16余弦定理及其应用2,3,4,7,10,11,14正、余弦定理的综合应用13,17,18,19,20三角形的形状判定1,5,8一、选择题(每小题5分,共60分)1.在△ABC中,若==,则△ABC是( B )(A)直角三角形(B)等边三角形(C)钝角三角形(D)等腰直角三角形解析:由正弦定理==知,tan A=tan B=tan C,所以A=B=C.2.在△ABC中,已知a=2,则bcos C+ccos B等于( C )(A)1 (B)(C)2 (D)4解析:bcos C+ccos B=b·+c·==a=2.【2019-2020学年人教A版高中数学必修五测试卷(一)第1页】3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=3,b=2,cos(A+B)=,则c等于( D )(A)3 (B)(C)4 (D)解析:cos C=-cos(A+B)=-,所以c2=a2+b2-2abcos C=32+22-2×3×2×(-)=17,所以c=,故选D.4.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且b2=ac,则B的取值范围是( A )(A)(0,] (B)[,π)(C)(0,] (D)[,π)解析:由余弦定理得cos B===+≥,因为B∈(0,π),所以B∈(0,].5.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B= asin A,则△ABC的形状为( B )(A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)不确定解析:由正弦定理,得sin Bcos C+cos Bsin C=sin2A,有sin(B+C)=sin2A,从而sin(B+C)=sin A=sin2A,解得sin A=1,所以A=,故选B.6.(2018·河北衡水枣强中学期中)在锐角三角形ABC中,BC=1,B=2A,则的值等于( B )(A)3 (B)2(C)-2 (D)0解析:由BC=1,B=2A,应用正弦定理得=,即==,所以=2.故选B.7.已知△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c且tanB=,·=,则tan B等于( D )(A) (B)-1(C)2 (D)2-解析:由余弦定理得a2+c2-b2=2accos B,【2019-2020学年人教A版高中数学必修五测试卷(一)第3页】。
2019-2020学年高中数学人教A版必修5同步作业与测评：第二章 数列 单元质量测评 Word版
姓名，年级：时间：第二章 单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题)两部分,满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 （选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．数列3，5，9，17，33,…的通项公式a n 等于( ） A ．2n B ．2n ＋1 C ．2n －1 D ．2n ＋1 答案 B解析 由于3＝2＋1，5＝22＋1，9＝23＋1，…,所以通项公式是a n ＝2n ＋1．（或特值法,当n ＝1时只有B 项符合．)2．记等差数列的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20,则该数列的公差d ＝（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．7 答案 B解析 S 4－S 2＝a 3＋a 4＝20－4＝16,∴a 3＋a 4－S 2＝(a 3－a 1）＋(a 4－a 2）＝4d ＝16－4＝12,∴d ＝3． 3．在数列｛a n ｝中,a 1＝2，2a n ＋1－2a n ＝1，则a 101的值为( ) A ．49 B ．50 C ．51 D ．52 答案 D解析 ∵2a n ＋1－2a n ＝1，∴a n ＋1－a n ＝错误!．∴数列｛a n ｝是首项a 1＝2,公差d ＝错误!的等差数列． ∴a 101＝2＋12×（101－1）＝52．4．在等差数列｛a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＝32，a 11＋a 12＋a 13＝118，则a 4＋a 10＝( )A．45 B．50 C．75 D．60答案B解析∵a1＋a2＋a3＝3a2＝32，a11＋a12＋a13＝3a12＝118，∴3(a2＋a12)＝150，即a2＋a12＝50，∴a4＋a10＝a2＋a12＝50．5．公差不为零的等差数列{a n｝的前n项和为S n．若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10等于（)A．18 B．24 C．60 D．90答案C解析由a错误!＝a3a7得(a1＋3d）2＝（a1＋2d）（a1＋6d）,即2a1＋3d＝0．①又S8＝8a1＋错误!d＝32,则2a1＋7d＝8．②由①②，得d＝2，a1＝－3．所以S10＝10a1＋错误!d＝60．故选C．6．等比数列｛a n}的通项为a n＝2·3n－1,现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列{b n}，那么162是新数列｛b n｝的（）A．第5项 B．第12项 C．第13项 D．第6项答案C解析162是数列{a n｝的第5项，则它是新数列｛b n｝的第5＋（5－1)×2＝13项．7．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等．问各得几何?”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位)．这个问题中，甲所得为( )A．错误!钱 B．错误!钱 C．错误!钱 D．错误!钱答案B解析依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，则由题意可知，a－2d＋a－d＝a＋a＋d＋a＋2d，即a＝－6d，又a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5a＝5，∴a＝1,则a－2d＝a－2×错误!＝错误!a＝错误!．故选B．8．已知{a n｝是等差数列，a3＝5，a9＝17,数列{b n｝的前n项和S n＝3n，若a m＝b1＋b4,则正整数m等于（)A．29 B．28 C．27 D．26答案A解析因为{a n｝是等差数列，a9＝17，a3＝5，所以6d＝17－5，得d＝2，a n＝2n －1．又因为S n＝3n，所以当n＝1时，b1＝3,当n≥2时，S n－1＝3n－1，b n＝3n－3n－1＝2·3n －1，由a＝b1＋b4，得2m－1＝3＋54,得m＝29,故选A．m9．在各项均为正数的等比数列｛a n｝中，a1＝2且a2，a4＋2，a5成等差数列，记S n是数列{a n｝的前n项和，则S5＝( ）A．32 B．62 C．27 D．81答案B解析设各项均为正数的等比数列{a n}的公比为q，又a1＝2,则a2＝2q，a4＋2＝2q3＋2，a5＝2q4，∵a2，a4＋2,a5成等差数列，∴4q3＋4＝2q＋2q4,∴2（q3＋1）＝q（q3＋1)，由q＞0,解得q＝2，∴S5＝错误!＝62．故选B．10．已知数列｛a n｝前n项和为S n＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋（－1）n－1(4n－3），则S15＋S22－S31的值是（)A．13 B．－76 C．46 D．76答案B解析∵S n＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋（－1）n－1(4n－3)，∴S14＝7×（1－5)＝－28，a15＝60－3＝57，S22＝11×(1－5）＝－44，S30＝15×(1－5)＝－60，a31＝124－3＝121，∴S15＝S14＋a15＝29，S31＝S30＋a31＝61．∴S15＋S22－S31＝29－44－61＝－76．故选B．11．已知函数f(x）＝错误!把方程f(x）＝x的根按从小到大的顺序排列成一个数列｛a n}，则该数列的通项公式为（）A．a n＝错误!（n∈N*）B．a n＝n(n－1)(n∈N＊）C．a n＝n－1(n∈N*）D．a n＝n－2（n∈N＊）答案C解析令2x－1＝x(x≤0)，易得x＝0．当0〈x≤1时，由已知得f(x－1)＋1＝x，即2x－1－1＋1＝2x－1＝x,则x＝1．当1〈x≤2时，由已知得f(x)＝x,即f(x－1）＋1＝x，即f（x－2)＋1＋1＝x，故2x－2＋1＝x，则x＝2．因此，a1＝0，a2＝1,a3＝2,结合各选项可知该数列的通项公式为a n＝n－1（n∈N*)．故选C．12．已知数列｛a n｝满足a n＋1＋(－1）n a n＝2n－1,S n为其前n项和，则S60＝（) A．3690 B．1830 C．1845 D．3660答案B解析①当n为奇数时，a n＋1－a n＝2n－1，a n＋2＋a n＋1＝2n＋1，两式相减得a n＋2＋a n＝2；②当n为偶数时,a n＋1＋a n＝2n－1,a n＋2－a n＋1＝2n＋1,两式相加得a n＋2＋a n＝4n，故S60＝a1＋a3＋a5＋…＋a59＋(a2＋a4＋a6＋…＋a60）＝2×15＋（4×2＋4×6＋…＋4×58）＝30＋4×450＝1830．故选B．第Ⅱ卷（非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分）13．已知数列｛a n}中，a1＝10,a n＋1＝a n－错误!，则它的前n项和S n的最大值为________．答案105解析∵a n＋1－a n＝－错误!,∴d＝－错误!,又a1＝10,∴a n＝－错误!＋错误!(n∈N*)．∵a1＝10>0，d＝－错误!<0，设从第n项起为负数，则－错误!＋错误!<0(n∈N*)．∴n〉21，于是前21项和最大,最大值为S21＝105．14．已知等比数列{a n}为递增数列，若a1＞0，且2(a n＋a n＋2)＝5a n＋1,则数列{a n}的公比q＝________．答案2解析∵{a n｝是递增的等比数列,且a1＞0，∴q＞1．又∵2（a n＋a n＋2)＝5a n＋1，∴2a n＋2a n q2＝5a n q．∵a n≠0，∴2q2－5q＋2＝0,∴q＝2或q＝错误!（舍去），∴公比q为2．15．在数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，且a n＋2－a n＝1＋（－1）n（n∈N＊），则a1＋a2＋…＋a51＝________．答案676解析当n为正奇数时，a n＋2－a n＝0，又a1＝1，则所有奇数项都是1；当n为正偶数时,a n＋2－a n＝2,又a2＝2，则所有偶数项是首项和公差都是2的等差数列，所以a1＋a2＋…＋a51＝(a1＋a3＋…＋a51)＋(a2＋a4＋…＋a50）＝26a1＋25a2＋错误!×2＝676．16．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元,从第二年起，每年运营费用均比上一年增加3万元，该设备每年生产的收入均为21万元．设该设备使用了n(n∈N*）年后，盈利总额达到最大值（盈利总额等于总收入减去总成本)，则n等于________．答案7解析设该设备第n年的运营费用为a n万元，则数列｛a n}是以2为首项，3为公差的等差数列，则a n＝3n－1．设该设备使用n年的运营费用总和为T n，则T n＝错误!＝错误!n2＋错误!n．设n年的盈利总额为S n，则S n＝21n－错误!－9＝－错误!n2＋错误!n－9．由二次函数的性质可知，当n＝错误!时,S n取得最大值,又n∈N*，故当n＝7时，S n取得最大值．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．（本小题满分10分）设a，b,c是实数，3a,4b，5c成等比数列,且错误!，错误!，错误!成等差数列，求错误!＋错误!的值．解∵3a,4b，5c成等比数列，∴16b2＝15ac．①∵错误!，错误!，错误!成等差数列,∴2b＝错误!＋错误!．②由①，得错误!·15ac＝64．③将②代入③，得错误!＋错误!2·15ac＝64，∴1a2＋错误!＋错误!ac＝错误!．∴错误!＋错误!＝错误!．18．(本小题满分12分）数列{a n｝的前n项和为S n,数列{b n｝中，b1＝a1，b n＝a n －a n－1（n≥2），若a n＋S n＝n，c n＝a n－1．（1）求证：数列｛c n｝是等比数列;（2)求数列{b n｝的通项公式．解(1）证明：∵a1＝S1，a n＋S n＝n，①∴a1＋S1＝1，得a1＝错误!．又a n＋1＋S n＋1＝n＋1，②由①②两式相减得2（a n＋1－1）＝a n－1，即错误!＝错误!，也即错误!＝错误!，故数列{c n}是等比数列．（2)∵c1＝a1－1＝－错误!，∴c n＝－错误!，a n＝c n＋1＝1－错误!，a n－1＝1－错误!．故当n≥2时，b n＝a n－a n－1＝错误!－错误!＝错误!．又b1＝a1＝错误!也适合上式，∴b n＝错误!．19．(本小题满分12分)已知数列｛a n｝满足a1＝1，a2＝3,a n＋2＝3a n＋1－2a n（n∈N*）．(1)证明：数列{a n＋1－a n｝是等比数列；(2)求数列｛a n}的通项公式．解(1）证明:∵a n＋2＝3a n＋1－2a n，∴a n＋2－a n＋1＝2（a n＋1－a n），∴错误!＝2．∵a1＝1,a2＝3,∴{a n＋1－a n}是以a2－a1＝2为首项,2为公比的等比数列．(2）由(1）得a n＋1－a n＝2n，∴a n＝(a n－a n－1)＋（a n－1－a n－2)＋…＋(a2－a1）＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝2n－1．故数列｛a n｝的通项公式为a n＝2n－1．20．(本小题满分12分）2010年4月14日，冰岛南部艾雅法拉火山喷发，弥漫在欧洲上空多日的火山灰严重影响欧洲多个国家的机场正常运营．由于风向，火山灰主要飘落在该火山口的东北方向与东南方向之间的地区．假设火山喷发停止后,需要了解火山灰的飘散程度,为了测量的需要，现将距离火山喷口中心50米内的扇形面记为第1区、50米至100米的扇环面记为第2区、…、50(n－1)米至50n米的扇环面记为第n区，若测得第1区的火山灰每平方米的平均质量为1吨、第2区每平方米的平均质量较第1区减少了2%、第3区较第2区又减少了2%,依此类推，问：(1)离火山口1225米处的火山灰大约为每平方米多少千克？（结果精确到1千克）（2）第几区内的火山灰总质量最大?提示:当n较大时，可用(1－x）n≈1－nx进行近似计算．解（1)设第n区的火山灰为每平方米a n千克，依题意，数列｛a n}为等比数列，且a1＝1000（千克）,公比q＝1－2%＝0．98，∴a n＝a1×q n－1＝1000×0．98n－1．∵离火山口1225米处的位置在第25区，∴a25＝1000×（1－0．02）24≈1000×（1－24×0．02）＝520，即离火山口1225米处的火山灰大约为每平方米520千克．(2）设第n区的火山灰总质量为b n千克,且该区的火山灰总质量最大．依题意,第n区的面积为错误!π｛（50n）2－［50（n－1)］2｝＝625π(2n－1），∴b n＝625π（2n－1)×a n．依题意得错误!解得49．5≤n≤50．5．∵n∈N＊，∴n＝50，即第50区的火山灰总质量最大．21．（本小题满分12分）设数列{a n｝的前n项和为S n＝2n2，数列｛b n}为等比数列，且a1＝b1，b2(a2－a1）＝b1．（1)求数列｛a n｝和{b n｝的通项公式;(2)设c n＝错误!，求数列{c n｝的前n项和T n．解（1）当n＝1时，a1＝S1＝2；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n2－2(n－1)2＝4n－2，∵当n＝1时,a1＝4－2＝2也适合上式,∴{a n｝的通项公式为a n＝4n－2，即｛a n｝是a1＝2，公差d＝4的等差数列．设{b n}的公比为q，则b1qd＝b1，∴q＝错误!．故b n＝b1q n－1＝2×错误!．即{b n}的通项公式为b n＝错误!．(2)∵c n＝错误!＝错误!＝（2n－1）4n－1，∴T n＝c1＋c2＋…＋c n＝1＋3×41＋5×42＋…＋(2n－1）4n－1，4T n＝1×4＋3×42＋5×43＋…＋（2n－3）4n－1＋（2n－1）4n．两式相减,得3T n＝－1－2(41＋42＋43＋…＋4n－1)＋（2n－1)4n＝错误![(6n－5)4n＋5］,∴T n＝错误![(6n－5）4n＋5]．22．（本小题满分12分)已知a1＝2，点(a n，a n＋1)在函数f（x）＝x2＋2x的图象上,其中n＝1，2,3，…．（1）证明:数列{lg (1＋a n）}是等比数列;(2)设T n＝（1＋a1)·(1＋a2)…（1＋a n)，求T n;（3)记b n＝错误!＋错误!，求数列｛b n｝的前n项和S n，并证明S n<1．解(1）证明:由已知a n＋1＝a错误!＋2a n，∴a n＋1＋1＝（a n＋1)2，∴lg (1＋a n＋1)＝2lg (1＋a n),∴{lg (1＋a n)｝是公比为2的等比数列．(2）由(1)知lg (1＋a n）＝2n－1·lg （1＋a1）＝2n－1·lg 3＝lg 32n－1，2019-2020学年高中数学人教A版必修5同步作业与测评：第二章数列单元质量测评 Word版含解析∴1＋a n＝32n－1，∴T n＝(1＋a1)(1＋a2)…（1＋a n)＝320·321·322·…·32n－1＝31＋2＋22＋…＋2n－1＝32n－1．（3)∵点(a n，a n＋1)在函数f（x)＝x2＋2x的图象上，∴a n＋1＝a错误!＋2a n，∴a n＋1＝a n（a n＋2)．∴错误!＝错误!错误!，∴错误!＝错误!－错误!，∴b n＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!－错误!＝2错误!．∴S n＝b1＋b2＋…＋b n＝2错误!－错误!＋错误!－错误!＋…＋错误!＝2错误!．∵a n＝32n－1－1,a1＝2，a n＋1＝32n－1，∴S n＝1－错误!．32n－1>32－1＝8〉2，∴0<错误!〈1．∴S n<1．。
人教A版高中数学必修五5全册测试--含答案.docx
数学5全册测试说明：时间120分钟，满分150分；可以使用计算器．一、选择题（每小题只有一个正确选项；每小题5分，共60分） 1.数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（A ）a n =n 2-(n-1) （B ）a n =n 2-1 （C ）a n =2)1(+n n （D ）a n =2)1(-n n 2.已知数列3,3,15,…,)12(3-n ,那么9是数列的（A ）第12项 （B ）第13项 （C ）第14项 （D ）第15项3.在数列{a n }中，a 1=1,当n ≥2时，n 2=a 1a 2…a n 恒成立，则a 3+a 5等于 （A ）7613111(B)(C)(D)3161544.一个三角形的两内角分别为45°和60°，如果45°角所对的边长是6，那么60°角所对的边长为(A )36 (B )32 (C )33 (D ) 26 5.在△ABC 中，若∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3,则a ∶b ∶c 等于(A )1∶2∶3(B )3∶2∶1 (C )2∶3∶1(D )1∶3∶26.在△ABC 中，∠A =60°,a =6,b =4,满足条件的△ABC(A )无解 (B )有解 (C )有两解 (D )不能确定7、等差数列{n a }的前n 项和记为n S ,若1062a a a ++为一个确定的常数,则下列各数中可以用这个常数表示的是(A ) 6S (B ) 11S (C )12S (D ) 13S8.在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则2 a 10－a 12的值为 (A)20(B)22(C)24 (D)289. 当a <0时，不等式42x 2+ax -a 2<0的解集为 (A){x |-6a <x <7a } (B ){x |7a <x <-6a } (C){x |6a <x <-7a} (D ){x |-7a <x <6a} 10.在∆ABC 中，A B C ,,为三个内角，若cot cot 1A B ⋅>，则∆ABC 是 ( ) (A )直角三角形 (B )钝角三角形(C )锐角三角形 (D )是钝角三角形或锐角三角形11.已知等差数列{a n }满足56a a +=28，则其前10项之和为 （ ） （A ）140 （B ）280 （C ）168 （D ）5612.不等式组 (5)()0,03x y x y x -++≥⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域是( )(A ) 矩形( B ) 三角形(C ) 直角梯形(D ) 等腰梯形二、填空题（把答案写在题中的横线上；每小题4分，共16分）13. 数列{a n }中，已知a n =(-1)n·n +a (a 为常数)且a 1+a 4=3a 2,则a =_________,a 100=_________.14.在△ABC 中，若 0503,30,b c a ===则边长___________.15.若不等式ax 2+bx +2>0的解集为{x |-3121<<x },则a +b =_________. 16．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中有白色地面砖 块.三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 非等边三角形ABC 的外接圆半径为2，最长的边23BC =，求sin sin B C +的取值范围.18. （本小题满分12分）在湖的两岸A 、B 间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A 、B 两点间的距离.请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案. （1）画出测量图案；（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）；（3）计算AB 的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）.19．（本小题满分12分）设{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，,,,134234211a b b b a a b a ==+==分别求出{}n a 及{}n b 的前10项的和1010T S 及.20．（本小题满分12分）已知10<<m ,解关于x 的不等式13>-x mx. 21、（本小题满分12分）东海水晶制品厂去年的年产量为10万件,每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元.从今年起,工厂投入100万元科技成本,并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本.预计产量每年递增1万件,每件水晶产品的固定成本)(n g 与科技成本的投入次数n 的关系是)(n g =180+n .若水晶产品的销售价格不变,第n 次投入后的年利润为)(n f 万元.①求出)(n f 的表达式；②问从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？22．（本小题满分14分）已知等比数列{}n a 的通项公式为13-=n n a ,设数列{}n b 满足对任意自然数n 都有11a b +22a b +33a b +┅+nn a b =n 2+1恒成立. ①求数列{}n b 的通项公式；②求+++321b b b ┅+2005b 的值. 参考答案：一、选择题CCBAD ABCBB AD二、填空题42n +. 三、解答题 17. 解：由正弦定理2BC R SinA= ,得23sin =A . ∵BC 是最长边，且三角形为非等边三角形, ∴π32=A . )3sin(sin sin sin B B c B -+=+π1sin 2B B =+sin()3B π=+. 又30π<<B ,∴2333B πππ<+< ,sin()13B π<+≤.故 c B sin sin +的取值范围为1]18.略.19.解：设等差数列{}n a 的公差为,d 等比数列{}n b 的公比为q . d q q b d a d a 42,,31,122342+=∴=+=+=Θ ①又,,21,,2333342b a d a q b q b =+===ΘΘd q 214+=∴ ② 则由①，②得242q q =-.22,21,02±==∴≠q q q Θ 将212=q 代入①，得855,8310-=∴-=S d当22=q 时，)22(323110+=T ， 当22-=q 时，)22(323110-=T ， 20. 解：原不等式可化为：[x （m -1）+3](x -3)>0Θ 0<m <1, ∴-1<m -1<0, ∴ 31313>-=--m m ; ∴ 不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<m x x 133|.21.解：第n 次投入后，产量为10+n 万件，价格为100元，固定成本为180+n 元，科技成本投入为100n ,所以，年利润为n n n n f 100)180100)(10()(-+-+=（+∈N n ） =)191(801000+++-n n520≤ (万元) 当且仅当191+=+n n 时，即 8=n 时，利润最高，最高利润为520万元.22. 解：（1）Θ对任意正整数n ，有11a b +22a b +33a b +┅+nn a b=n 2+1 ① ∴当n =1时，311=a b ,又11=a ，∴31=b ； 当2≥n 时，11a b +22a b +33a b +┅+11--n n a b =n 2-1 ② ∴②-①得 2=nn a b ； 1322-⨯==n n n a b ；∴n-13 , (1),23 , (2)n n b n =⎧=⎨⨯≥⎩（2）+++321b b b ┅+2005b=)323232(320042⨯++⨯+⨯+Λ=)13(332004-+=20053。
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2019-2020学年必修5第一章训练卷解三角形（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在ABC △中，下列等式中一定成立的等式是（ ） A ．sin sin a A b B = B ．sin sin a B b A = C ．cos cos a B b A = D ．cos cos a A b B =【答案】B【解析】由正弦定理sin sin a bA B=，得sin sin a B b A =． 2．在ABC △中，45B =︒，75A =︒，2c =，则最短的边的长度是（ ）A ．3B ．3C ．3D ．3【答案】C【解析】由三角形内角和定理180()60C A B =︒-+=︒， 根据“大角对大边”以及角B 最小可知最短的边是b ．由正弦定理sin sin b c B C=，解得b =3．在ABC △中，若222sin sin sin B C A +<，则ABC △的形状是（ ） A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不能确定【答案】A【解析】由正弦定理得222b c a +<，所以222cos 02b c a A bc+-=<，所以A 是钝角，故ABC △是钝角三角形． 4．在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC=（ ） A ．13B ．12C ．2D ．1【答案】D【解析】由正弦定理得sin 2sin 3A a C c ==， 又由余弦定理知2222536163cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯，所以sin 22sin cos sin 232cos 21sin sin sin 34A A A A A C C C ==⨯⨯=⨯⨯=．5．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =2b =，sin cos B B +=A 的大小为（ ）A ．π4B ．π6C ．π3D ．π2【答案】B【解析】由sin cos B B +=π4B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 14B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故ππ42B +=，即π4B =，因为a =2b =，由sin sin a b A B =，得2πsin sin 4A =，所以1sin 2A =，又因为a b <，所以A B <，所以π6A =．6．已知a ，b ，c 分别为ABC △的三个内角A 、B 、C 的对边，且满足cos cos sin a B b A c C +=，向量1)=-m ，(cos ,sin )A A =n ，若⊥m n ，则角B 为（ ） A ．π3B ．π4C ．π6D ．π2【答案】C【解析】由cos cos sin a B b A c C +=，由正弦定理可知2sin cos sin cos sin A B B A C +=，即2sin sin()sin C A B C =+=，所以sin 1C =，于是π2C =， 由⊥m nsin 0A A -=，解得tan A =∴π3A =，∴π6B =． 7．在锐角ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若6cos b aC a b+=， 则tan tan tan tan C CA B+为（ ） A ．5 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】由6cos b a C a b +=，得2222262a b a b c ab ab ++-=⋅，即22232a b c +=， ∴2tan tan cos cos sin tan ()tan tan sin sin cos sin sin C C A B CC A B A B C A B +=⋅+= 22222222242c c a b c a b c abab===+-+-⋅． 8．在ABC △中，1a =，45B =︒，2ABC S =△，则ABC △的外接圆直径为（ ） A．B． C．D．【答案】A【解析】∵1sin 45224ABC S ac c ∆=︒==，∴c =∴2222cos451322125b ac ac=+-︒=+-⨯⨯=，∴5b=，∴ABC△的外接圆直径2sinbRB==9．在ABC△中，已知():():()4:5:6b c c a a b+++=，给出下列结论：①由已知条件，这个三角形被唯一确定；②ABC△一定是钝角三角形；③sin:sin:sin7:5:3A B C=；④若8b c+=，则ABC△的面积是2．其中正确结论的序号为（）A．③④B．②③C．①④D．②④【答案】B【解析】由已知可设4b c k+=，5c a k+=，6a b k+=（0k>），则72a k=，52b k=，32c k=，∴::7:5:3a b c=，∴sin:sin:sin7:5:3A B C=，∴③正确；同时由于ABC△边长不确定，故①错；又222222259491444cos05322222k k kb c aAbc k k+-+-===-<⨯⨯，∴ABC△为钝角三角形，∴②正确；若8b c+=，则2k=，∴5b=，3c=，又120A=︒，∴1sin2ABCS bc A==△综上②③正确，故选B．10．如图，一艘船上午9:30在A处测得灯塔S在它的北偏东30︒处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10:00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75︒处，且与它相距，此时船的速度为（）A ．24/nmile hB ．16/nmile hC ．18/nmile hD ．32/nmile h【答案】D【解析】设船的航速为/Vnmile h ，在ABC △中，12AB V =，BS =45BSA ∠=︒，由正弦定理得12sin 30sin 45V=︒︒，∴32V =，∴此船的航速为32/nmile h ． 11．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为2b c -=，1cos 4A =-，则a 为（ ） A ．8 B ．7C ．9D ．10【答案】A【解析】由1cos 4A =-，得sin 4A =，所以ABC △的面积为11sin 22bc A bc ==24bc =． 又2b c -=，所以22222cos ()22cos a b c bc A b c bc bc A =+-=-+-212224224()644=+⨯-⨯⨯-=，故8a =．12．在ABC △中，30A =︒，BC =D 是AD 边上一点，2CD =，BCD △的面积为4，则边AC 的长为（ ） A．3B．或3C．4D．4【答案】C 【答案】如图，设BCD θ∠=，由14sin 2BCD S CD CB θ∆==⋅得sin θ=，∴cos θ=．在BCD △中，由余弦定理，2222cos BD CD CB CD CB θ=+-⋅，解得BD =4．当BD =sin sin AC CD Bθ=，得2sin sin CD B BD θ===， 又由sin sin AC BC B A =，得sin sin 2BC AC B A === 当4BD =时，同理得4AC =．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．在ABC △中，15a =，10b =，60A =︒，则cos B = ．【答案】3【解析】由正弦定理sin sin a b A B =，得10sin 2sin 153b AB a===， 又a b >，∴B为锐角，∴cos B ==14．ABC △的内角A ，B ，C 所对的边的长度分别为a ，b ，c ，设向量(,)a c b =+p，(,)b a c a =--q ，若∥p q ，则C 的大小为 ．【答案】π3【解析】∵∥p q ，∴()()()0a c c a b b a +---=，即222b ac ba +=+，2221cos 222b ac ba C ab ab +-===，又∵(0,π)C ∈，则π3C =．15．在ABC △中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若222()tan a c b B +-=，则角B 的值为 ． 【答案】π3或2π3【解析】由2222cos a c b ac B +-=及已知条件，可得2cos tan ac B B =，即sin B =，则π3B =或2π3． 16．在不等边ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a 为最长的边，如果222sin ()sin sin B C B C +<+，则角A 的取值范围为 ．【答案】ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭【解析】由题意得，222sin sin sin A B C <+，再由正弦定理得222a b c <+，即2220b c a +->，则222cos 02b c a A bc+-=>，∵0πA <<，∴π02A <<， 又a 为最长边，∴π3A >，因此得角A 的取值范围是ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．（10分）在ABC △中，A ，B 为锐角，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3cos 25A =，cos B =（1）求A B +的值；（2）若1a b -=，求a ，b ，c 的值．【答案】（1）π4；（2）a =1b =，c =．【解析】（1）∵A ，B 为锐角，cos 10B =，∴sin 10B ==，又23cos 212sin 5A A =-=，∴sin A =，cos 5A ==，∴cos()cos cos sin sin 2A B A B A B +=-==， ∵0πA B <+<，∴π4A B +=．（2）由（1）知3π4C =，∴sin 2C =，由正弦定理sin sin sin a b cA B C====，即a =，c =，∵1a b -=1b -=，∴1b =，∴a =c =18．（12分）设ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知1a =，2b =，1cos 4C =．（1）求ABC △的周长； （2）求cos()A C -的值．【答案】（1）5；（2）1116． 【解析】（1）∵22212cos 14444c a b ab C =+-=+-⨯=，∴2c =；∴ABC △得周长为1225a b c ++=++=．（2）∵1cos 4C =，∴sin 4C ===，∴sin 4sin 2a C A c ===，∵a c <，∴A C <，故A 为锐角，∴7cos 8A ===，∴7111cos()cos cos sin sin 8416A C A C A C -=+=⨯=． 19．（12分）在ABC △中，已知2AC =，3BC =，60C ∠=︒． （1）求AB 的长； （2）求sin2B 的值． 【答案】（1）AB =；（2）7． 【解析】（1）由余弦定理知，22212cos 4922372AB AC BC AC BC C =+-⋅=+-⨯⨯⨯=，∴AB =（2）由正弦定理知sin sin AC AB B C =，∴sin sin 7AC B C AB =⋅==， ∵AC AB <，所以B为锐角，则cos B ===，因此sin 22sin cos 27B B B ==⨯=． 20．（12分）设函数()f x =⋅m n ，其中向量(2cos ,1)x =m，(cos 2)()x x x =∈R n ． （1）求()f x 的最小正周期与单调递减区间；（2）在ABC △中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边，已知()2f A =，1b =，ABC△的面积为2，求sin sin b c B C++的值．【答案】（1）πT =，π2ππ,π()63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）2． 【解析】（1）2π()2cos 22cos 212sin(2)16f x x x x x x =⋅==++=++m n ，∴函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==． 令ππ3π2π22π()262k x k k +≤+≤+∈Z ，∴π2πππ()63k x k k +≤≤+∈Z ， ∴函数()f x 的单调递减区间为π2ππ,π()63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ． （2）由()2f A =，得π2sin(2)126A ++=，∴π1sin(2)62A +=． ∵0πA <<，∴πππ22π666A <+<+，∴π5π266A +=，∴π3A =．∵11sin 12222ABC S bc A c ==⨯⨯⨯=△，∴2c =． 在ABC △中，由余弦定理，当22212cos 1421232a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，∴a =由2sin sin sin a b cA B C====，得2sin b B =，2sin c C =， ∴2sin sin b cB C+=+．21．（12分）如图，公园内有一块边长为2a 的等边三角形形状的三角地如题ABC △，现将其修成草坪，图中DE 把草坪分成面积相等的两部分，D 在AB 上，E 在AC 上．（1）设()AD x x a =≥，ED y =，试用x 表示y 的函数关系式；（2）如果DE 是灌溉水管，为节约成本希望它最短，DE 的位置应该在哪里？如果DE 是参观线路，则希望它最长，DE 的位置又在哪里？请给予证明．【答案】（1）2)y a x a =≤≤；（2）见解析．【解析】（1）在ABC △中，D 在AB 上，点E 在AC 上，∴2a x a ≤≤． ∵12ADEABC S S =△△，∴211sin 60sin 6024x AE AB ⋅⋅︒=⋅︒，∴22a AE x =．在ADE △中，由余弦定理得42222422cos 60a a y x x x x=+-⋅︒，∴2)y a x a =≤≤．（2）令2x t =，则224a t a ≤≤，则y =令424()2a f t t a t=+-，22[,4]t a a ∈．任取22122a t t a ≤<≤，4121212124()()()t t a f t f t t t t t --=-⋅．∵22122a t t a ≤<≤，∴120t t >，120t t -<，44124a t t a <<，即12()()0f t f t ->，12()()f t f t >．∴()f t 在22[,2]a a 上是减函数；同理()f x 在222,4a a ⎡⎤⎣⎦上是增函数，又22()3f a a =，22(2)2f a a =，22(4)3f a a =，∴22t a =，即x =时，y，此时DE BC ∥，且AD =；当2t a =或24a ，即x a =或2a 时，y，此时DE 为ABC △的AB 边长上的中线或AC 边上的中线．22．（12分）如图①，在ABC △中，2AB AC =，AD 是角A 的角平分线，且AD kAC =．（1）求k 的取值范围；（2）若1ABC S =△，问k 为何值时，BC 最短？ 【答案】（1）40,3k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）k =． 【解析】（1）由AD 是角A 的角平分线可得，2DB ABDC AC==． 在ABC △中，由正弦定理得sin sin AB BCC BAC =∠， 在ACD △中，由正弦定理得sin sin 2AD DCBACC =∠， 两式相除，整理得4cos 32BAC k ∠=，因为cos (0,1)2BAC ∠∈，故40,3k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． （2）如图②，以BC 的中点为原点，BC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，设(,0)B a -，(,0)C a ，(,)A x y ，其中0a >．由2AB AC =，得2222()4()4x a y x a y ++=-+，整理得2221003x y ax a +-+=． 因为112ABC S BC y a y ===△，则1y a =，即221y a=， 又222103y x ax a =-+-，则2221103x ax a a =-+-，即22210103x ax a a -++=． 因为2222221(),()3AD x a y AC x a y =-+=-+，因为AD kAC =，且222103y x ax a =-+-， 整理得2223a k x =-，即()2232a x k =-， 则2222224102109(2)33(2)a a a a k k a -⨯++=--， 整理得2421415169229a k ⎛⎫=--+ ⎪-⎝⎭．故当21522k =-，即k =时，41a 取得最大值169，此时a取得最小值，即BC 最2019-2020学年必修5第一章训练卷解三角形（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。