北师大版九年级数学上册：4.3 相似多边形 教案

相似多边形

【教学目标】

一、教学知识点

经历探究图形的形状、大小，图形的边、角之间的关系，掌握相似多边形的定义以及相似比，并能根据定义判断两个多边形是否是相似多边形。

二、能力训练要求

经历探索图形的边、角关系，培养学生的观察能力，分析判断能力。

三、情感与价值观要求

通过观察、推断可以获得教学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性。

【教学重难点】

1．探索相似多边形的定义，以及用定义去判断两个多边形是否相似。

2．探索相似多边形的定义的过程。

【教学方法】

指导探索法。

【教学准备】

投影片两张

第一张（记作§4．4 A）

第二张（记作§4．4 B）

【教学过程】

一、创设问题情境，引入新课

［师］大家从语文的角度来分析一下“相似”一词的意思。

［生］“相似”就是差不多，但也不是完全相同，既有相同部分也有不同部分。

［师］很好，那“相似多边形”应怎么理解呢？

［生］“相似多边形”即为两个边数相同的多边形，并且形状一样、大小可能不同。

［师］大家的分析能力非常棒，究竟“两个相似多边形”需满足什么条件呢？本节课我们将进行探索。

二、新课讲解

1．探究相似多边形的定义

投影片（§4．4 A）

下图中的两个多边形分别是幻灯片上的多边形ABCDEF 和银幕上的多边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1，它们的形状相同吗？

图4－14

（1）在上图的两个多边形中，是否有相等的内角？设法验证你的猜测。 （2）在上图的两个多边形中，相等内角的两边是否成比例？ ［师］请大家动手验证一下。

［生］在上图中，六边形ABCDEF 与六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1是形状相同的图形，其中∠A 与∠A 1，∠B 与∠B 1，∠C 与∠C 1，∠D 与∠D 1，∠E 与∠E 1，∠F 与∠F 1分别对应相等，AB 与A 1B 1，BC 与B 1C 1，CD 与C 1D 1，DE 与D 1E 1，EF 与E 1F 1，FA 与F 1A 1的比都相等。

［师］从上可知，幻灯片上的六边形与银幕上的六边形形状相同，只是大小不同，它们的对应角相等、对应边成比例。那么，形状相同的多边形是都有这种关系呢，还是只有六边形才有呢？下面我们继续进行探讨。

［例题］

下列每组图形形状相同，它们的对应角有怎样的关系呢？对应边呢？ （1）正三角形ABC 与正三角形DEF ； （2）正方形ABCD 与正方形EFGH 。 ［师］请大家互相交流。

［生］解：（1）由于正三角形每个角都等于60°，所以 ∠A=∠D=60°，∠B=∠E=60°，∠C=∠F=60° 由于正三角形三边相等，所以

FD CA

EF BC DE AB =

=。

（2）由于正方形的每个角都是直角，所以 ∠A=∠E=90°，∠B=∠F=90°， ∠C=∠G=90°，∠D=∠H=90°。 由于正方形四边相等，所以

HE DA

GH CD FG BC EF AB =

==

［师］从上面的讨论结果来看，大家能否猜测出相似多边形的定义呢？ ［生］可以。

对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形（similar polygons ）。 相似多边形对应边的比叫做相似比（similarity ratio ）。 ［师］相似应该怎样表示呢？请认真看书。

［生］六边形ABCDEF 与六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1相似。记作六边形ABCDEF ∽六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1，其中AB ∶A 1B 1等于相似比。

［师］在记两个多边形相似时，要注意什么？

［生］要注意把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上。 2．想一想（1）

如果两个多边形相似，那么它们的对应角有什么关系？对应边呢？ 若两个多边形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例。 3．议一议

投影片（§4．4 B ）

（1）观察下面两组图形，（1）中的两个图形相似吗？为什么？（2）中的两个图形呢？与同伴交流。

图4－15

（2）如果两个多边形不相似，那么它们的各角可能对应相等吗？它们的各边可能对应成比例吗？

［生］图（1）中的两个图形不相似。

因为相似形需要满足两个条件，一个是对应角相等，一个是对应边成比例，虽然（1）中的两个图形对应边成比例，但对应角不相等，所以两个图形不相似。

图（2）中的两个图形也不相似。

因为它们的对应边不成比例，所以两个图形不相似。

如果两个多边形不相似，那么它们的对应角也可能都相等，如（2）中的两个图形； 如果两个多边形不相似，那么它们的对应边也可能成比例，如（1）中的两个图形对应边成比例，但对应角不相等。

4．做一做

一块长3 m ，宽1.5 m 的矩形黑板如图所示，镶在其外围的木质边框宽7.5 cm 。边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？请大家交流后回答。

图4－16

［生］答：不相似。

内边缘的矩形长为300 cm ，宽为150 cm ，外边缘的矩形长为315 cm ，宽为165 cm ，因

为315300≠165150

，所以内外边缘所成的矩形不相似。

5．想一想（2）

所有的边数相同的正多边形都相似吗？

［师］正多边形是指各边都相等，各角都相等的多边形，请大家根据定义进行判断。 ［生］相似，因为各角都相等，各边都相等，所以在两个图形中满足对应角相等、对应边成比例，因此这两个正多边形肯定相似。比如：两个正三角形相似。 三、课堂练习

判断下列每组中的两个图形是相似多边形吗？并说明理由。 （1）两个大小不等的矩形； （2）两个大小不等的正五边形； （3）一个正方形与一个平行四边形； （4）两个大小不等的菱形。

解：（1）两个大小不等的矩形不一定相似，虽然它们的对应角相等，都是直角，但它们的对应边不一定成比例。