软考复习--校验码

图 2

图3

注意，图8-2的8个码字相互间最少有两bit 的差异。因此，如果任何信息的一个数位被颠倒，就成为一个不用的码字，接收机能检查出来。例如信息是1001，误收为1011，接收机知道发生了一个差错，因为1011不是一个码字（表中没有）。然而，差错不能被纠正。假定只有一个数位是错的，正确码字可以是1001，1111，0011或1010。接收者不能确定原来到底是这4个码字中的那一个。也可看到， 在这个系统中，偶数个（2或4）差错也无法发现。

为了使一个系统能检查和纠正一个差错，码间最小距离必须至少是“3”。最小距离为3时，或能纠正一个错，或能检二个错，但不能同时纠一个错和检二个错。编码信息纠错和检错能力的进一步提高需要进一步增加码字间的最小距离。 图8-3的表概括了最小距离为1至7的码的纠错和检错能力。

码距越大，纠错能力越强，但数据冗余也越大，即编码效率低了。所以，选择码距要取决于特定系统的参数。数字系统的设计者必须考虑

信息发生差错的概率和该系统能容许的最小差错率等因素。要有专门的研究来解决这些问题。

二、奇偶校验

奇偶校验码是一种增加二进制传输系统最小距离的简单和广泛采用的方法。例如，单个的奇偶校验将使码的最小距离由一增加到二。 一个二进制码字，如果它的码元有奇数个1，就称为具有奇性。例如，码字“10110101”有五个1，因此，这个码字具有奇性。同样，偶性

码字具有偶数个1。注意奇性检测等效于所有码元的模二加，并能够由所有码元的异或运算来确定。对于一个n 位字，奇性由下式给出：

奇性=a 0⊕a 1⊕a 2⊕…⊕a n

奇偶校验可描述为：给每一个码字加一个校验位，用它来构成奇性或偶性校验。例如，在图8-2中，就是这样做的。可以看出，附加码元

d2，是简单地用来使每个字成为偶性的。因此，若有一个码元是错的，就可以分辨得出，因为奇偶校验将成为奇性。奇偶校验编码通过增加一位校验位来使编码中1个个数为奇数（奇校验）或者为偶数（偶校验），从而使码距变为2。因为其利用的是编码中1的个数的奇偶性作为依据，所以不能发现偶数位错误。

再以数字0的七位ASCII 码（0110000）为例，如果传送后右边第一位出错，0变成1。接收端还认为是一个合法的代码0110001（数字1

的ASCII 码）。若在最左边加一位奇校验位，编码变为10110000，如果传送后右边第一位出错，则变成10110001，1的个数变成偶数，就不是合法的奇校验码了。但若有两位（假设是第1、2位）出错就变成10110011，1的个数为5，还是奇数。接收端还认为是一个合法的代码（数字3的ASCII 码）。所以奇偶校验不能发现。

奇偶校验位可由硬件电路（异或门）或软件产生：

偶校验位 a n =a 0⊕a 1⊕a 2⊕…⊕a n-1， 奇校验位 a n =NOT （a 0⊕a 1⊕a 2⊕…⊕a n-1）。

在一个典型系统里，在传输以前，由奇偶发生器把奇偶校验位加到每个字中。原有信息中的数字在接收机中被检测， 如果没有出现正确

的奇、偶性，这个信息标定为错误的，这个系统将把错误的字抛掉或者请求重发。

在实际工作中还经常采用纵横都加校验奇偶校验位的编码系统--分组奇偶校验码。

现在考虑一个系统，它传输若干个长度为m位的信息。如果把这些信息都编成每组n个信息的分组，则在这些不同的信息间，也如对单个信息一样，能够作奇偶校验。图4中n个信息的一个分组排列成矩形式样，并以横向奇偶（HP）及纵向奇偶（VP）的形式编出奇偶校验位。

m位数字横向奇偶位

个

码

字

纵向奇偶位

图 4 用综横奇偶校验的分组奇偶校验码

研究图4可知：分组奇偶校验码不仅能检测许多形式的错误。并且在给定的行或列中产生孤立的错误时，还可对该错误进行纠正。

在初级程序员试题中（早期也出现在程序员试题中），经常有综横奇偶校验的题目。一般解法应该是这样：先找一行或一列已知数据完整的，确定出该行（或列）是奇校验还是偶校验。并假设行与列都采用同一种校验（这个假设是否正确，在全部做完后可以得到验证）。然后找只有一个未知数的行或列，根据校验性质确定该未知数，这样不断做下去，就能求出所有未知数。

【例】2001年初级程序员试题

由 6 个字符的7 位ASCII 编码排列，再加上水平垂直奇偶校验位构成下列矩阵（最后一列为水平奇偶校验位，最后一行为垂直奇偶校验位）:

字符7 位ASCII 码HP

3 0 X1 X2 0 0 1 1 0

Y1 1 0 0 1 0 0 X3 1

+ X4 1 0 1 0 1 1 0

Y2 0 1 X5 X6 1 1 1 1

D 1 0 0 X7 1 0 X8 0

= 0 X9 1 1 1 X10 1 1

VP 0 0 1 1 1 X11 1 X12

则X1 X2 X3 X4 处的比特分别为 __(36)__ ；

X5 X6 X7 X8处的比特分别为____ ；

X9 X10 XI1 X12处的比特分别为__(38)__ ；Y1 和 Y2处的字符分别为__(39)__ 和 __(40)__ 。

[解]

从ASCII码左起第5列可知垂直为偶校验。则：

从第1列可知X4=0；从第3行可知水平也是偶校验。

从第2行可知X3=1；从第7列可知X8=0；从第8列可知X12=1；

从第7行可知X11=1；从第6列可知X10=0；从第6行可知X9=1；从第2列可知X1=1；

从第1行可知X2=1；从第3列可知X5=1；从第4行可知X6=0；

从第4列（或第5行）可知X7=0；整理一下：

(36) X1X2X3X4 = 1110

(37) X5X6X7X8 = 1000

(38) X9X10X11X12 = 1011

(39) 由字符Y1的ASCII码1001001=49H知道，Y1即是“I”（由“D”的ASCII码是1000100=44H推得）

(40) 由字符Y2的ASCII码0110111=37H知道，Y2即是“7”（由“3”的ASCII码是0110011=33H推得）

假如你能记住“0”的ASCII码是0110000=30H；“A”的ASCII码是1000001=41H，则解起来就更方便了。

三、海明校验

我们在前面指出过要能纠正信息字中的单个错误，所需的最小距离为3。实现这种纠正的方法之一是海明码。