第一章随机事件与概率

第一章 随机事件与概率

在第一章我们将从随机试验开始，介绍研究随机现象的基本方法。我们将讲述随机试验，随即事件及其运算，概率测度等基本概念。然后给出概率论的公理化结构和概率空间的概念。接着讲解条件概率和事件的独立性。最后步介绍全概率公式和贝叶斯公式。

1.1 随机事件及其关系

1.1.1 随机试验和随机事件

自然界和人类社会存在两种现象，一是在一定条件下必然产生的现象，如在一个标准大气压下，水加热到C o 100，就一定沸腾。这样的现象称为确定性现象；还有一种现象，在一定的条件下，可能发生或可能不发生，或有多种可能的结果，如明天股市走向，明天是否一定下雨。这种现象称之为随机现象。

研究随机现象的第一步就是研究试验，这是最简单的随机现象。一个试验，如果满足一下三点：

（1） 可以在同样条件下重复进行；

（2） 试验的结果多于一个；

（3） 在试验前其结果是不可知的，一般只知道是几个结果中的一个或在某个范围内， 或只知道有某种可能性，而试验进行之后，结果是明确的。

那么我们就称这种试验为随机试验。如抛硬币，其结果可能是正面朝上，也可能是反面朝上，在抛之前我们无法断言是出现正面还是出现反面，但抛了之后就知道是正面还是反面了。所以这是一个随机试验。还有从袋里摸球，假设袋中有三个球，两个红球和一个白球。球的大小，形状和重量都是相同的。在摸球之前，摸出的是红球还是白球是不知道的，但摸出之后，结果是明确的。所以这也是一个随机试验。

随机试验的结果称为样本点，常用ω表示。所有可能的结果，即所有可能的样本点构成的集合被称为样本空间，常用Ω表示。如在抛硬币的试验中，样本点是“正面”和“反

面”，样本空间是集合{}反面正面，。结果记“正面”=

1ω、“反面”=2ω则{}21,ωω=Ω。在摸球的试验中，样本点是“红球”和“白球”，样本空间是{}

白球红球，

。 现在再考察复杂一些的随机试验。连续抛三次硬币，观察每次出现正面还是反面。这显然是个随机试验，为试验结果是未知的，试验进行之后，结果是确定的。这个试验共有8个结果，即8个样本点：

“正正正”，“正反正”，“正正反”，“正反反”，

“反正正”，“反反正”，“反正反”，“反反反”

记

“正反反”“正正反”，“正反正”，“正正正”，====4321ωωωω

“反反反”“反正反”，“反反正”，“反正正”，====8765ωωωω

则样本空间为

},,,{821ωωω =Ω

如果我们关心的是“恰好出现两次正面”这个结果，则满足这样条件的样本点是

“反正正”“正正反”，“正反正”，===532ωωω

显然},,{532ωωω是样本空间Ω的一个子集。如果样本点},,{532ωωωω∈，则结果“恰好出现两次正面”发生，反之，若结果“恰好出现两次正面”发生，则必有},,{532ωωωω∈。

在随机试验中，如果我们所关心的结果可以表示为样本点的集合，这个结果就被称为随机事件，简称为事件。事件常用大写的字母C B A ,,等表示。一个事件A 可以看成是样本空间Ω的一个子集。事件A 发生，当且仅当A ∈ω。但需要说明的是，样本空间的子集未必都能看作是一个事件，这将在后面的讨论中看到。样本点也可以看成是事件，这时可以把样本点看作是单点集，称为基本事件。另外，不管随机实验的结果是什么，都有Ω∈ω，所以样本空间Ω表示必然事件。又因为对任意Φ∉Ω∈ωω,，所以空集表示不可能事件。这样，样本空间和空集也被看作是事件。这是两个特殊的事件。一个为必然事件，一个为不可能事件。

在上面的随机试验中，样本空间的样本点的个数是有限的。现在我们考虑样本点的数目是无限的情形。我们考察这样的随机试验，测量在某一时刻内穿过大气层中单位面积上的放射性粒子的数目，这是一个随机试验。因为粒子的数目为整数，所以样本空间为{} ,2,1,0=Ω。这样的样本空间是无穷可数的，或称为是可列的。又如测量每天的最高气温，这也是一个随机试验。最高气温可以取实数，所以样本点可以是{}∞+∞-,上的点，样本空间为{}∞+∞-=Ω,，这个样本空间是无穷不可数的。

1.1.2 随机事件的运算

我们从随机现象出发提出了随机试验的概念，进而引进了样本点和样本空间的概念，又由样本点的集合出发定义了随机事件。现在我们将考察随机事件的运算和它们之间的关系。在以后的讨论中，我们用同一个符号，如A 同时表示一个随机事件和它所对应的样本空间的子集。常见的随即事件的关系和运算有如下几种。

（1）随机事件的包含关系

如果事件A 的样本点都是事件B 的样本点，则称事件B 包含事件A ，记作B A ⊂。若A ∈ω，则B ∈ω，所以B A ⊂的概率论意义是，A 发生必然导致B 发生。考察前面连续抛三次硬币的例子。记面”“恰好连续出现两次正=A ，“恰好出现两次正面”

=B ，则{}正正反，反正正=A ，{}正正反，反正正正反正，

=B ，所以B A ⊂。如果事件“恰好连续出现两次正面”发生，那么事件“恰好出现两次正面”也发生。特别地，如果B A ⊂，又有B A ⊃，则称事件A 等于事件B ，记为B A =。

（2）随机事件的对立事件

设A 为一个事件，样本空间Ω中的所有不包含在A 中的样本点组成的事件称为A 的逆事件或对立事件，记作A ，即{}A A ∈=ωω;。这时，若A ∈ω，必有A ∉ω，若A ∈ω，必有A ∉ω，所以，若A 发生，则必然A 不发生，若A 发生，则必然A 不发生。在抛三次

硬币的试验中，记“恰好出现两次正面”=A ，则

{}正正反正，正正反，反正=A

{}反，反反正，反反反正正正，反正反，正反=A

（3）随机事件的交

同时属于事件A 和B 的样本点构成的事件称为A 和B 的交，记为B A ，即{}B A B A ∈∈=ωωω,; 。若B A ∈ω，则B A ∈∈ωω,，故若B A 发生，则A 和B 都发生。换言之，B A 表示A 和B 同时发生。

（4）随机时间的并

所有属于事件A 和B 的样本点的全体构成的事件称为A 和B 的并，记为B A ，即};{B A B A ∈∈=ωωω或 。若B A ∈ω，则A ∈ω，或B ∈ω，所以事件B A 发生，则有A 发生或B 发生或A 和B 都发生。换言之，事件B A 表示A 和B 中至少有一个发生。