苏科版八年级下册 反比例函数知识点及典型分析 讲义(无答案)

反比例函数

【知识点梳理】 一、反比例函数的定义

函数x

k

y =

（k 为常数，k ≠0）叫做反比例函数，其中k 叫做比例系数，x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数。 二、反比例函数的图形

反比例函数x

k

y =

（k 为常数，k ≠0）的图像由两条曲线组成，每条曲线随着x 的不断增大（或减小）越来越接近坐标轴，反比例函数的图像属于双曲线。 三、反比例函数的性质 反比例函数x

k

y =

（k 为常数，k ≠0）的图像是双曲线； 当k ＞0时，函数图像的两个分支分别位于第一、第三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小；

当k ＜0时，函数图像的两个分支分别位于第二、第四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大。 注意：

（1）反比例函数x

k

y =

（k 为常数，k ≠0）的取值范围是x ≠0，因此， ①图像是断开的两条曲线，画图像时，不要把两个分支连接起来， ②叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”， 如当k ＞0时，双曲线x

k

y =的两支分别在第一、第三象限内，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小，

这是由于x ≠0，即x ＞0或x ＜0的缘故。

如果笼地叙述为k ＜0，y 随x 的增大而增大就是错误的。

（2）由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图像和x 轴、y 轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势。 （3）在画出的图像上要注明函数的解析式。

四、反比例函数解析式的求法 反比例函数的解析式x

k

y =

（k ≠0）中，只有一个系数k ，确定了k 的值，也就确定了反比例函数的解析式，因此，只需给出一组x 、y 的对应值或图像上一点的坐标，利用待定系数法，即可确定反比例函数的解析式。

【典例解析】

考点1：反比例函数的概念 【例1】已知()

1

22

2-++=m m

x m m y

（1）如果y 是x 正比例函数，求m 的值； （2）如果y 是x 反比例函数，求m 的值。

【例2】已知y ＝y1－y2，其中y1与x 成反比例，y2与x ＋2成正比例，且y1、y2所表示的函数图像相交于点P （1,5）。求当x ＝5时，y 的值。

变式训练1：

1. 已知函数m

m x

m y 3123--+=

是反比例函数，则m 的值

是 ； 2. 若y 与

x 1成反比例函数，x 与z

1

成正比例函数，则y 是z 的（ ） A. 正比例函数 B.反比例函数 C.一次函数 D.二次函数 考点2：反比例函数的图像和性质

【例3】若M （21-，y 1）、N （41-，y 2）、P （2

1

，y 3）三点都在函数x k y 12--=的图像

上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ）

A. y 2＞y 3＞y 1

B.y 2＞y 1＞y 3

C.y 3＞y 1＞y 2

D.y 3＞y 2＞y 1

【例4】如图，一次函数y ＝x ＋3的图像与x 轴，y 轴交于A 、B 两点，与反比例函数x

y 4

=

的图像相交于C 、D 两点，分别过C 、D 两点作y 轴、x 轴的垂线，垂足为E 、F ，连接CF 、DE 。有下列四个结论：①△CEF 与△DEF 的面积相等；②△AOB ∽△FOE ；③△DCE ≌△CDF ；④AC ＝BD 。其中正确的结论是 ；

D

B

A

C E

F

O x

y

变式训练2：

1. 如图，过点C （1,2）分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线y ＝﹣x ＋6于A 、B 两点，若反比例函数y ＝

x

k

（x ＞0）的图像与△ABC 有公共点，则k 的取值范围是（ ） A.2≤k ≤9 B.2≤k ≤8 C.2≤k ≤5 D.5≤k ≤8

2. 如图，P 是函数x

y 21

（x ＞0）的图像上的一点，直线y ＝﹣x ＋1,分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，过点P 分别作PM ⊥X 轴于点M ，交AB 于点E ，作PN ⊥y 轴于点N ，交AB 于点F ，则AF ·BE 的值为 ；

x

y

C A

B

O

x

y

N

P

F A

M y

B E

考点3：反比例函数x

k

y =

（k ≠0）中的比例系数k 的几何意义与面积法的综合应用 【例5】如图，正方形OABC 的面积是4，点B 在反比例函数x

k

y =

（k ＞0，x ＜0）的图像上，若点R 是该反比例函数图像上异于点B 的任意一点，过点R 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为M 、N ，从矩形OMRN 的面积中减去其与正方形OABC 重合部分的面积，记剩余部分的面积为S ，则当S ＝m （m 为常数，且0＜m ＜4）时，则点R 的坐标是 ；（用含m 的代数式表示）

变式训练3：

1. 如图，若点M 是x 轴正半轴上的任意一点，过点M 作PQ ∥y 轴，分别交函数x

k y 1

=（x ＞0）和x

k y 2

=

（x ＞0）的图像上点P 和点Q ，连接OP 、OQ ，则下列结论正确的是（ ） A. ∠POQ 不可能等于90° B.

2

1

k k QM PM = B. 这两个函数的图像一定关于x 轴对称 D.△POQ 的面积是

()212

1

k k + x y

A

B

C

O