北师大版九年级数学上册 第一章 特殊的平行四边形 培优、拔高专题讲义专题训练
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19、如图所示，点 坐标为 藰 ڹ，点 坐标为 藰 ڹ藰 ，动点 从点 开始沿 以每秒 个单位长
度的速度向点 移动，动点 从点 开始沿 以每秒 藰 个单位长度的速度向点 移动．如果 、
分别从 、 同时出发，用 （秒）表示移动的时间 ڹ藰 ，那么，
当 为何值时，四边形
18、已知，正方形 ABCD 中，∠MAN=45°，∠MAN 绕点 A 顺时针旋转，它的两边长分别交 CB、 DC 或它们的延长线）于点 MN，AH⊥MN 于点 H． （1）如图①，当∠MAN 点 A 旋转到 BM=DN 时，请你直接写出 AH 与 AB 的数量关系； （2）如图②，当∠MAN 绕点 A 旋转到 BM≠DN 时，①中发现的 AH 与 AB 的数量关系还成立吗？ 如果不成立请写出理由，如果成立请证明．
。
4、已知每个网格中小正方形的边长都是 1，如图中的阴影图案是由三段以格点为圆心，半径分别为
1 和 2 的圆弧围成．则阴影部分的面积是
．
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5、公元 3 世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾 a=6， 弦 c=10，则小正方形 ABCD 的面积是____.
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(Ⅰ)求证:四边形 PBQD 是平行四边形； (Ⅱ)若 AD=6cm,AB=4cm,点 P 从点 A 出发,以 1cm/s 的速度向点 D 运动(不与点 D 重合),设点 P 运 动的时间为 ts,请用含 t 的代数式表示 PD 的长,并求出当 t 为何值时四边形 PBD 是菱形,并求出此时菱 形的周长.
北师大版九年级数学上册 第一章 特殊的平行四边形 培优、拔高专题讲义及练习 1、已知,R△ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=4,P 为 AB 上任意一点,PF⊥AC 于 F,PE⊥BC 于 E,则 EF 的最 小值是___________.
2、如图,菱形 ABCD 的对角线长分别为 a、b,以菱形 ABCD 各边的中点为顶点作矩形 A1B1C1D1 ,然后再
14、如图，在四边形 ABCD 中,AD∥BC，∠AC=90°，BC=8，DC=6，AD=10，动点 P 从点 D 出发， 沿线段 DA 的方向以每秒 2 个单位长的速度运动，动点 Q 从点 C 出发，在线段 CB 上以每秒 1 个单 位长的速度向点 B 运动，点 P，Q 分别从点 D，C 同时出发，当点 P 运动到点 A 时，点 Q 随之停止 运动，设运动的时间为 t（秒）。 （1）当点 P 运动 t 秒后，AP=____________（用含 t 的代数式表示）； （2）若四边形 ABQP 为平行四边形，求运动时间 t； （3）当 t 为何值时，△BPQ 是以 BQ 或 BP 为底边的等腰三角形；
（1）求直线 BC 的解析式； （2）移动过程中，将△AMN 沿直线 MN 翻折，点 A 恰好落在 BC 边上点 D 处，求此时 t 值及点 D 的坐标； （3）当点 M,N 移动时，记△ABC 在直线 MN 右侧部分的面积为 S，求 S 关于时间 t 的函数关系式。
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且 A 点的坐标是（1，0）。
48 ①直线 y= x - 经过点 C，且与 x 轴交与点 E，求四边形 AECD 的面积；
33
②若直线 l 经过点 E 且将正方形 ABCD 分成面积相等的两部分求直线 l 的解析式，
③若直线
l1
经过点
F
3 2
，0
且与直线
y=3x
平行,将②中直线
l
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11、如图，四边形 ABCD 是长方形． （1） Ｐ为矩形内一点（如图 a ），求证: PA2 PC 2 PB 2 PD 2 ; （2）探索若点 P 在 AD 边上(如图 b）、矩形 ABCD 外(如图 c）时，结论是否仍然成立．
12、正方形 ABCD 的边长为 4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使 AB 边落在 X 轴的正半轴上，
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16、已知如图 1，四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠A＝90°，DB 平分∠ADC，点 E 在 CD 上，∠DBE＝ 45°，EF⊥BC 于 F。 (1) 求证：BA＝BF (2) 如图 2 若点 E 是 DC 中点，AB＝6，求 AD 的长 (3) 如图 3 连 AF 交 BE 于 M，求 的值
以矩形 A1B1C1D1 的中点为顶点作菱形 A2B2C2D2 ,……，如此下去,得到四边形 A2019B C D 2019 2019 2019 的面积用
含 a,b 的代数式表示为
。
3、如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，△ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角
线 AC 上有一点 P，使 PD＋PE 的和最小，则这个最小值为
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15、如图，四边形 OABC 是菱形，点 C 在 x 轴上，AB 交 y 轴于点 H，AC 交 y 轴于点 M。已知点 A （－3，4）。
（1）求 AO 的长；． （2）求直线 AC 的解析式和点 M 的坐标； （3）点 P 从点 A 出发，以每秒 2 个单位的速度沿折线 A 一 B－C 运动，到达点 C 终止。设点 P 的 运动时间为 t 秒，△PMB 的面积为 S。①求 S 与 t 的函数关系式； ②求 S 的最大值。
6、在数学拓展课《折叠矩形纸片》上，小林折叠矩形纸片 ABCD 进行如下操作：①把△ABF 翻折， 点 B 落在 CD 边上的点 E 处，折痕 AF 交 BC 边于点 F；②把△ADH 翻折，点 D 落在 AE 边长的点 G 处，折痕 AH 交 CD 边于点 H．若 AD＝6，AB＝10，则 的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
7、如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，过点 O 作 BD 的垂线分别交 AD，BC 于 E，F 两点．若 AC=2 ，∠AEO=120°，则 FC 的长度为（ ）
A．1 B．2 C． D． 8、如图,在矩形 ABCD 中,P 是 AD 上一动点,O 为 BD 的中点,连结 PO 并延长,交 BC 于点 Q.
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17、如图①，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，过点 D 作 DP∥OC，且 DP=OC，连接 CP． （1）判断四边形 CODP 的形状并说明理由； （2）如图②，如果题目中的矩形变为菱形，判断四边形 CODP 的形状并说明理由； （3）如图③，如果题目中的矩形变为正方形，判断四边形 CODP 的形状并说明理由．
9、如图，两个全等的 Rt△AOB、Rt△OCD 分别位于第二、第一象限，∠ABO=∠ODC=90°,OB、OD 在 x 轴上,且∠AOB=30°,AB=1.
(1)如图 1 中 Rt△OCD 可以看作由 Rt△AOB 先绕点 O 顺时针旋转______度,再绕斜边中点旋转_________ 度得到的,C 点的坐标是______________； (2)是否存在点 E,使得以 C、O、D、E 为顶点的四边形是平行四边形,若存在,写出 E 点的坐标；若不 存在请说明理由。 (3)如图 2 将△AOC 沿 AC 翻折,O 点的对应点落在 P 点处,求 P 点的坐标。
是梯形，此时梯形
的面积是多少？
藰 当 为何值时，以点 、 、 为顶点的三角形与△ 相似？
藰 若设四边形
的面积为 ，试写出 与 的函数关系式，并求出 取何值时，四边形
的面积最小？
蕐 在 轴上是否存在点 ，使点 、 在移动过程中，以 、 、 、 为顶点的四边形的面积是一
个常数？若存在请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
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20、如图，已知△ABC 的顶点坐标分别为 A（3，0），B（0，4），C（-3，0）。动点 M，N 同时从 A 点出发，M 沿 A→C,N 沿折线 A→B→C，均以每秒 1 个单位长度的速度移动，当一个动点到达 终点 C 时，另一个动点也随之停止移动，移动时间记为 t 秒。连接 MN。
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10、综合与实践：
问题情境：在综合实践课上，杨老师让同学们对一张长 AB 为 12，宽 BC 为 9 的长方形纸片 ABCD 进行剪拼操作，如图（1），某数学兴 趣小组将其沿对角线 AC 剪开，得到两张三角形纸片分别是△ ABC 和△A′DC′． 操作发现：（1）若将这两张三角形纸片按图（2）摆放，连接 BD，他们发现 AC⊥BD，请你证明这 个结论． 操作探究（2）在图（2）中，将△A′C′D 纸片沿射线 AC 的方向平移，连接 BC′，BA'，在平移的过程 中： ①如图（3），当 BA′与 C′D 平行时，四边形 A′BC′D 是平行四边形吗？请说明理由，并求出此时△A′ C′D 平移的距离； ②当 BD 经过点 C 时，画出图形，并求出△A′C′D 平移的距离．
沿着
y
轴向上平移
2 3
个单位交
x
轴于点Baidu Nhomakorabea
M ,交直线 l1 于点 N ,求 NMF 的面积.
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13、如图，已知△ ABC 的面积为 3，且 AB=AC，现将△ ABC 沿 CA 方向平移 CA 长度得到△ EFA ． ①求四边形 CEFB 的面积； ②试判断 AF 与 BE 的位置关系，并说明理由； ③若 BEC 15 ，求 AC 的长．
19、如图所示，点 坐标为 藰 ڹ，点 坐标为 藰 ڹ藰 ，动点 从点 开始沿 以每秒 个单位长
度的速度向点 移动，动点 从点 开始沿 以每秒 藰 个单位长度的速度向点 移动．如果 、
分别从 、 同时出发，用 （秒）表示移动的时间 ڹ藰 ，那么，
当 为何值时，四边形
18、已知，正方形 ABCD 中，∠MAN=45°，∠MAN 绕点 A 顺时针旋转，它的两边长分别交 CB、 DC 或它们的延长线）于点 MN，AH⊥MN 于点 H． （1）如图①，当∠MAN 点 A 旋转到 BM=DN 时，请你直接写出 AH 与 AB 的数量关系； （2）如图②，当∠MAN 绕点 A 旋转到 BM≠DN 时，①中发现的 AH 与 AB 的数量关系还成立吗？ 如果不成立请写出理由，如果成立请证明．
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4、已知每个网格中小正方形的边长都是 1，如图中的阴影图案是由三段以格点为圆心，半径分别为
1 和 2 的圆弧围成．则阴影部分的面积是
．
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5、公元 3 世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾 a=6， 弦 c=10，则小正方形 ABCD 的面积是____.
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(Ⅰ)求证:四边形 PBQD 是平行四边形； (Ⅱ)若 AD=6cm,AB=4cm,点 P 从点 A 出发,以 1cm/s 的速度向点 D 运动(不与点 D 重合),设点 P 运 动的时间为 ts,请用含 t 的代数式表示 PD 的长,并求出当 t 为何值时四边形 PBD 是菱形,并求出此时菱 形的周长.
北师大版九年级数学上册 第一章 特殊的平行四边形 培优、拔高专题讲义及练习 1、已知,R△ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=4,P 为 AB 上任意一点,PF⊥AC 于 F,PE⊥BC 于 E,则 EF 的最 小值是___________.
2、如图,菱形 ABCD 的对角线长分别为 a、b,以菱形 ABCD 各边的中点为顶点作矩形 A1B1C1D1 ,然后再
14、如图，在四边形 ABCD 中,AD∥BC，∠AC=90°，BC=8，DC=6，AD=10，动点 P 从点 D 出发， 沿线段 DA 的方向以每秒 2 个单位长的速度运动，动点 Q 从点 C 出发，在线段 CB 上以每秒 1 个单 位长的速度向点 B 运动，点 P，Q 分别从点 D，C 同时出发，当点 P 运动到点 A 时，点 Q 随之停止 运动，设运动的时间为 t（秒）。 （1）当点 P 运动 t 秒后，AP=____________（用含 t 的代数式表示）； （2）若四边形 ABQP 为平行四边形，求运动时间 t； （3）当 t 为何值时，△BPQ 是以 BQ 或 BP 为底边的等腰三角形；
（1）求直线 BC 的解析式； （2）移动过程中，将△AMN 沿直线 MN 翻折，点 A 恰好落在 BC 边上点 D 处，求此时 t 值及点 D 的坐标； （3）当点 M,N 移动时，记△ABC 在直线 MN 右侧部分的面积为 S，求 S 关于时间 t 的函数关系式。
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且 A 点的坐标是（1，0）。
48 ①直线 y= x - 经过点 C，且与 x 轴交与点 E，求四边形 AECD 的面积；
33
②若直线 l 经过点 E 且将正方形 ABCD 分成面积相等的两部分求直线 l 的解析式，
③若直线
l1
经过点
F
3 2
，0
且与直线
y=3x
平行,将②中直线
l
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11、如图，四边形 ABCD 是长方形． （1） Ｐ为矩形内一点（如图 a ），求证: PA2 PC 2 PB 2 PD 2 ; （2）探索若点 P 在 AD 边上(如图 b）、矩形 ABCD 外(如图 c）时，结论是否仍然成立．
12、正方形 ABCD 的边长为 4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使 AB 边落在 X 轴的正半轴上，
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16、已知如图 1，四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠A＝90°，DB 平分∠ADC，点 E 在 CD 上，∠DBE＝ 45°，EF⊥BC 于 F。 (1) 求证：BA＝BF (2) 如图 2 若点 E 是 DC 中点，AB＝6，求 AD 的长 (3) 如图 3 连 AF 交 BE 于 M，求 的值
以矩形 A1B1C1D1 的中点为顶点作菱形 A2B2C2D2 ,……，如此下去,得到四边形 A2019B C D 2019 2019 2019 的面积用
含 a,b 的代数式表示为
。
3、如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，△ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角
线 AC 上有一点 P，使 PD＋PE 的和最小，则这个最小值为
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15、如图，四边形 OABC 是菱形，点 C 在 x 轴上，AB 交 y 轴于点 H，AC 交 y 轴于点 M。已知点 A （－3，4）。
（1）求 AO 的长；． （2）求直线 AC 的解析式和点 M 的坐标； （3）点 P 从点 A 出发，以每秒 2 个单位的速度沿折线 A 一 B－C 运动，到达点 C 终止。设点 P 的 运动时间为 t 秒，△PMB 的面积为 S。①求 S 与 t 的函数关系式； ②求 S 的最大值。
6、在数学拓展课《折叠矩形纸片》上，小林折叠矩形纸片 ABCD 进行如下操作：①把△ABF 翻折， 点 B 落在 CD 边上的点 E 处，折痕 AF 交 BC 边于点 F；②把△ADH 翻折，点 D 落在 AE 边长的点 G 处，折痕 AH 交 CD 边于点 H．若 AD＝6，AB＝10，则 的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
7、如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，过点 O 作 BD 的垂线分别交 AD，BC 于 E，F 两点．若 AC=2 ，∠AEO=120°，则 FC 的长度为（ ）
A．1 B．2 C． D． 8、如图,在矩形 ABCD 中,P 是 AD 上一动点,O 为 BD 的中点,连结 PO 并延长,交 BC 于点 Q.
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17、如图①，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，过点 D 作 DP∥OC，且 DP=OC，连接 CP． （1）判断四边形 CODP 的形状并说明理由； （2）如图②，如果题目中的矩形变为菱形，判断四边形 CODP 的形状并说明理由； （3）如图③，如果题目中的矩形变为正方形，判断四边形 CODP 的形状并说明理由．
9、如图，两个全等的 Rt△AOB、Rt△OCD 分别位于第二、第一象限，∠ABO=∠ODC=90°,OB、OD 在 x 轴上,且∠AOB=30°,AB=1.
(1)如图 1 中 Rt△OCD 可以看作由 Rt△AOB 先绕点 O 顺时针旋转______度,再绕斜边中点旋转_________ 度得到的,C 点的坐标是______________； (2)是否存在点 E,使得以 C、O、D、E 为顶点的四边形是平行四边形,若存在,写出 E 点的坐标；若不 存在请说明理由。 (3)如图 2 将△AOC 沿 AC 翻折,O 点的对应点落在 P 点处,求 P 点的坐标。
是梯形，此时梯形
的面积是多少？
藰 当 为何值时，以点 、 、 为顶点的三角形与△ 相似？
藰 若设四边形
的面积为 ，试写出 与 的函数关系式，并求出 取何值时，四边形
的面积最小？
蕐 在 轴上是否存在点 ，使点 、 在移动过程中，以 、 、 、 为顶点的四边形的面积是一
个常数？若存在请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
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20、如图，已知△ABC 的顶点坐标分别为 A（3，0），B（0，4），C（-3，0）。动点 M，N 同时从 A 点出发，M 沿 A→C,N 沿折线 A→B→C，均以每秒 1 个单位长度的速度移动，当一个动点到达 终点 C 时，另一个动点也随之停止移动，移动时间记为 t 秒。连接 MN。
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10、综合与实践：
问题情境：在综合实践课上，杨老师让同学们对一张长 AB 为 12，宽 BC 为 9 的长方形纸片 ABCD 进行剪拼操作，如图（1），某数学兴 趣小组将其沿对角线 AC 剪开，得到两张三角形纸片分别是△ ABC 和△A′DC′． 操作发现：（1）若将这两张三角形纸片按图（2）摆放，连接 BD，他们发现 AC⊥BD，请你证明这 个结论． 操作探究（2）在图（2）中，将△A′C′D 纸片沿射线 AC 的方向平移，连接 BC′，BA'，在平移的过程 中： ①如图（3），当 BA′与 C′D 平行时，四边形 A′BC′D 是平行四边形吗？请说明理由，并求出此时△A′ C′D 平移的距离； ②当 BD 经过点 C 时，画出图形，并求出△A′C′D 平移的距离．
沿着
y
轴向上平移
2 3
个单位交
x
轴于点Baidu Nhomakorabea
M ,交直线 l1 于点 N ,求 NMF 的面积.
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13、如图，已知△ ABC 的面积为 3，且 AB=AC，现将△ ABC 沿 CA 方向平移 CA 长度得到△ EFA ． ①求四边形 CEFB 的面积； ②试判断 AF 与 BE 的位置关系，并说明理由； ③若 BEC 15 ，求 AC 的长．