画法几何换面法
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§5 - 4 换面法
一、换面法的基本概念 变换投影面即“换面法”。根据正投影的“真实性” ，
当空间的直线或平面与投影面平行时，其投影能够反映 直线的实长和平面的真实的形状。根据正投影的“积聚 性” ，当空间的直线或平面与投影面垂直时，其投影积 聚成点或直线。
变换投影面的基本原理是：设置新的投影面来代替原 来的某一投影面，并使新投影面与空间几何元素处于平 行或垂直的特殊位置。且使新投影面与原未被替换的投 影面垂直。
3、将一般位置直线变换为投影面垂直线
要将一般位置直线变换为投影面垂直线则需要作两次 换面。从下图可看出，第一次换面将直线变换为投影面 平行线。再将投影面平行线变换成投影面垂直线，使变 换后直线的新投影积聚为一点。
例：试将AB直线变换为一投影面垂直线。 作图分析：
第一次设置一与 AB平行 的V1面，将AB直线变换为投 影面平行线。再设置垂直于 AB线的H1面，则AB的新投影 积聚为一点。
的原则和变换的规律与一次变换方法完全相同。 不过在作二次变换时要正确判断出不变投影、被替换的
投影、新轴和旧轴，准确定出点的新投影的位置。
图中先变换的是V1面，接着作第 二次变换。此时的H1面与V1面垂直， 被 替 换 是 H 面 ， 而 V1 面 为 不 变 投 影 面。O2X2为新的投影轴，O1X1则成 了旧投影轴。
将V1与H面展开。 点击演示动画
1、点的一次变换
问题1：点的新投影a1′与不变投影a的连线—？
垂直于新轴O1X1。（点的变换规律ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ）
问题2：点的新投影a1′到新轴O1X1（ax1)的距离—？
等于被替换的投影a′到旧轴（ax）的距离。（点的变 换规律2）
根据上述分析，便可得出点的变换投影：（变 换H1面与变换V1面的规律是一样的）
点的新投影与不变投影的连线垂直于新轴； 点的新投影到新轴的距离等于被替换的投影到
旧轴的距离。
需要注意的是：谁是点的不变投影、被替换的投影。
1、点的一次变换
例：如下图，已 知A点的两面投 影a'、a，试作出 给定位置的A点 新投影。
作图分析：
从 图 中 标 注 可 知 变 换 的 是 V1 投 影 面，a′为被替换的投影，a为不变投 影。按照点的变换规律即可作出A点 的新投影。
3、将一般位置直线变换为投影面垂直线 作图过程如图示： 1）作新轴O1平行于ab(a′b′也
可)，作出第一次变换的新投影 a1′b1′； 2）作新轴O2垂直于a1′b1′，按 投影规律作出第二次变换的新 投影a2b2。
五、平面的投影变换 通过平面的变换主要解决两方面的问题：
O1X1，然后按照点的变换规律作出AB线的新投影。 作图步骤如图示：
2、将投影面的平行线变换为投影面垂直线 通过一次变换使得直线在新投影面
上的投影积聚为一点。因此所设置的 新投影面应与直线成垂直。
注意：应在反映直线实长的投影图中进行变换。
例：将AB直线变换为一投影面垂直线。 作图分析： 所设的新投影面应 垂直于AB线的正面 投影。体现新面位 置的新轴O1X1应垂 直于a′b′。
图 中 △ ABC 平 面 为 一 铅垂面，其水平投影积 聚为一直线，正面投影 为缩小的类似形。
为 求 得 △ ABC 平 面 的 真实形状，可设一新投 影 面 V1 ， V1 面 与 ABC 平 面平行并垂直于H投影 面。
二、换面法的术语：
1、旧投影面：指图中的V、 H面；
2、旧投影：指几何元素在 V、H面上的投影；
§5 - 4 换面法
换面法应用一：
在V、H两投影面体系中，
AB为一般位置直线，其两面 投影均不能反映实长。
1、为求AB实长可设一 V1投影面，V1面与AB平行
并垂直于H投影面。将AB
线向V1面作正投影，则AB
线在V1面上的投影便可反
映实长。
2、直线的新投影还可 反映α角的实际大小。
换面法应用二：
换面法的投影规律： V、H面上的投影； 在对几何要素进行投影变换 时，仍旧遵循着正投影的基本 规律以及投影面的展开方法。
换面法的投影面转换过程如图所示。
点击演示动画
三、点的投影变换 1、点的一次变换 V、H两投影面体系中有一A点，现在适当位置设一V1面，
V1和H面构成新的两投影面体系。
A点在V1面上的正投影记做 a1'。a1'与a的连线和O1X1轴的 交点记做ax1。
作图步骤：
1、点的一次变换 例：已知A点的两面投影a'、a，试作出给定位置的A点新 投影。又：作出A点在H1面上的投影。 作图分析： 变换H1面与变换V1面的作图分析和作图步骤相同。
本题的投影变换作图为 点A的两个一次变换。
2、点的二次变换 在用投影变换的方法求解一些实际问题时，需要变换两
次投影面，这样的变换方法称为二次变换。 二次变换实际上就是连续作出的两个一次变换。其变换
3、被替换的投影面：图中 的新面V1与H面垂直，替换了 旧投影面V，因此V面为被替换 的投影面,V面上的投影称为被 替换的投影；
4、不变的投影面及不变投影：指图中的H面以及几何要 素在H面上的投影。
二、换面法的术语： 5、新投影面：指图中的V1面，如果需要也可设H1面 6、新投影轴：新投影面与不变投影面的交线，如图中的O1X1 7、新投影：指几何要素在新投影面上的投影,如a1'b1'
1、将一般位置直线变换为投影面平行线 通过一次变换可将一般位置直线变换为投影面平行线， 求得直线的实际长度以及直线对投影面的夹角。 为求得AB线的实长，所设置的新投影面V1应与AB平行。 从直观图上可看出，体现新面位置的新轴就应平行于AB 线的水平投影 ab。
1、将一般位置直线变换为投影面平行线 例：求出AB直线的实长以及对H面倾角α。 作图分析：在水平投影图的适当位置作一平行于ab的新轴
点击演示动画
例：如右图，作出A点的二 次变换投影图。
作图分析：两次变换的规律是 一样的，要注意的是在作第二次 变换时，定准点的新投影的位置。
作图过程如图所示。
四、直线的投影变换 直线的变换主要解决以下两个方面问题：
求直线的实际长度或倾角 求直线的积聚性投影
变换直线可归结于变换 直线上的两端点的作图。只 是要根据解决的实际问题确 定变换的新投影面的位置。
一、换面法的基本概念 变换投影面即“换面法”。根据正投影的“真实性” ，
当空间的直线或平面与投影面平行时，其投影能够反映 直线的实长和平面的真实的形状。根据正投影的“积聚 性” ，当空间的直线或平面与投影面垂直时，其投影积 聚成点或直线。
变换投影面的基本原理是：设置新的投影面来代替原 来的某一投影面，并使新投影面与空间几何元素处于平 行或垂直的特殊位置。且使新投影面与原未被替换的投 影面垂直。
3、将一般位置直线变换为投影面垂直线
要将一般位置直线变换为投影面垂直线则需要作两次 换面。从下图可看出，第一次换面将直线变换为投影面 平行线。再将投影面平行线变换成投影面垂直线，使变 换后直线的新投影积聚为一点。
例：试将AB直线变换为一投影面垂直线。 作图分析：
第一次设置一与 AB平行 的V1面，将AB直线变换为投 影面平行线。再设置垂直于 AB线的H1面，则AB的新投影 积聚为一点。
的原则和变换的规律与一次变换方法完全相同。 不过在作二次变换时要正确判断出不变投影、被替换的
投影、新轴和旧轴，准确定出点的新投影的位置。
图中先变换的是V1面，接着作第 二次变换。此时的H1面与V1面垂直， 被 替 换 是 H 面 ， 而 V1 面 为 不 变 投 影 面。O2X2为新的投影轴，O1X1则成 了旧投影轴。
将V1与H面展开。 点击演示动画
1、点的一次变换
问题1：点的新投影a1′与不变投影a的连线—？
垂直于新轴O1X1。（点的变换规律ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ）
问题2：点的新投影a1′到新轴O1X1（ax1)的距离—？
等于被替换的投影a′到旧轴（ax）的距离。（点的变 换规律2）
根据上述分析，便可得出点的变换投影：（变 换H1面与变换V1面的规律是一样的）
点的新投影与不变投影的连线垂直于新轴； 点的新投影到新轴的距离等于被替换的投影到
旧轴的距离。
需要注意的是：谁是点的不变投影、被替换的投影。
1、点的一次变换
例：如下图，已 知A点的两面投 影a'、a，试作出 给定位置的A点 新投影。
作图分析：
从 图 中 标 注 可 知 变 换 的 是 V1 投 影 面，a′为被替换的投影，a为不变投 影。按照点的变换规律即可作出A点 的新投影。
3、将一般位置直线变换为投影面垂直线 作图过程如图示： 1）作新轴O1平行于ab(a′b′也
可)，作出第一次变换的新投影 a1′b1′； 2）作新轴O2垂直于a1′b1′，按 投影规律作出第二次变换的新 投影a2b2。
五、平面的投影变换 通过平面的变换主要解决两方面的问题：
O1X1，然后按照点的变换规律作出AB线的新投影。 作图步骤如图示：
2、将投影面的平行线变换为投影面垂直线 通过一次变换使得直线在新投影面
上的投影积聚为一点。因此所设置的 新投影面应与直线成垂直。
注意：应在反映直线实长的投影图中进行变换。
例：将AB直线变换为一投影面垂直线。 作图分析： 所设的新投影面应 垂直于AB线的正面 投影。体现新面位 置的新轴O1X1应垂 直于a′b′。
图 中 △ ABC 平 面 为 一 铅垂面，其水平投影积 聚为一直线，正面投影 为缩小的类似形。
为 求 得 △ ABC 平 面 的 真实形状，可设一新投 影 面 V1 ， V1 面 与 ABC 平 面平行并垂直于H投影 面。
二、换面法的术语：
1、旧投影面：指图中的V、 H面；
2、旧投影：指几何元素在 V、H面上的投影；
§5 - 4 换面法
换面法应用一：
在V、H两投影面体系中，
AB为一般位置直线，其两面 投影均不能反映实长。
1、为求AB实长可设一 V1投影面，V1面与AB平行
并垂直于H投影面。将AB
线向V1面作正投影，则AB
线在V1面上的投影便可反
映实长。
2、直线的新投影还可 反映α角的实际大小。
换面法应用二：
换面法的投影规律： V、H面上的投影； 在对几何要素进行投影变换 时，仍旧遵循着正投影的基本 规律以及投影面的展开方法。
换面法的投影面转换过程如图所示。
点击演示动画
三、点的投影变换 1、点的一次变换 V、H两投影面体系中有一A点，现在适当位置设一V1面，
V1和H面构成新的两投影面体系。
A点在V1面上的正投影记做 a1'。a1'与a的连线和O1X1轴的 交点记做ax1。
作图步骤：
1、点的一次变换 例：已知A点的两面投影a'、a，试作出给定位置的A点新 投影。又：作出A点在H1面上的投影。 作图分析： 变换H1面与变换V1面的作图分析和作图步骤相同。
本题的投影变换作图为 点A的两个一次变换。
2、点的二次变换 在用投影变换的方法求解一些实际问题时，需要变换两
次投影面，这样的变换方法称为二次变换。 二次变换实际上就是连续作出的两个一次变换。其变换
3、被替换的投影面：图中 的新面V1与H面垂直，替换了 旧投影面V，因此V面为被替换 的投影面,V面上的投影称为被 替换的投影；
4、不变的投影面及不变投影：指图中的H面以及几何要 素在H面上的投影。
二、换面法的术语： 5、新投影面：指图中的V1面，如果需要也可设H1面 6、新投影轴：新投影面与不变投影面的交线，如图中的O1X1 7、新投影：指几何要素在新投影面上的投影,如a1'b1'
1、将一般位置直线变换为投影面平行线 通过一次变换可将一般位置直线变换为投影面平行线， 求得直线的实际长度以及直线对投影面的夹角。 为求得AB线的实长，所设置的新投影面V1应与AB平行。 从直观图上可看出，体现新面位置的新轴就应平行于AB 线的水平投影 ab。
1、将一般位置直线变换为投影面平行线 例：求出AB直线的实长以及对H面倾角α。 作图分析：在水平投影图的适当位置作一平行于ab的新轴
点击演示动画
例：如右图，作出A点的二 次变换投影图。
作图分析：两次变换的规律是 一样的，要注意的是在作第二次 变换时，定准点的新投影的位置。
作图过程如图所示。
四、直线的投影变换 直线的变换主要解决以下两个方面问题：
求直线的实际长度或倾角 求直线的积聚性投影
变换直线可归结于变换 直线上的两端点的作图。只 是要根据解决的实际问题确 定变换的新投影面的位置。