画法几何换面法.
画法几何线面关系
b2 实形
[例5]求K点到直线AB之距及两面投影。
k t a V X H O1 A k b a1 k1 a t O b
距离
K H2
k2
T
t1
b1
B a2(b2) (t2)
H V1 X 1 O2 a2(b2) (t ) 2
V1 X2 H 2 k2
距离
[例6] 求交叉两直线AB和CD间的距离。
N
M
b c n
a m f
e
F
H
g
EFG// ABC
例3
试判断两平面是否平行
a b f
s n
m
r
e
c
d c n m a d r f b s e
结论：两平面平行
例4 已知MN、PQ决定的平面与平面ABC平行，试补全三角 形ABC的正面投影。
n'
q' 1'
b'
做图步骤： 作n1//bc n2//ab
a'
c'
e' d(e)
b c
a
g(f)
第二节 相交关系
直线与平面相交——求交点 平面与平面相交——求交线
并判别可见性
关键：求直线与平面的交点---共有点
求平面与平面的交线---共有线
求解方法：1. 积聚投影法
2. 辅助平面法
3.换面法
一、直线与垂直平面相交
C
A F H a
B K D b k E X
A B D
c d
a
正平线！
b H
水平线 d b1 V1 d1(c1) a1 X1 X a d a c H c
b
b B V
画法几何制图换面法
画法几何制图换面法画法几何制图是建筑、机械和电子等设计领域必备的技能。
它的一个重要部分就是“换面法”，它是通过将一个多面体拆分成多个简单的平面形状，然后再用这些形状来绘制其三维图形的方法。
本文将为你介绍如何运用换面法来画一个简单的多面体。
准备工作在开始绘制之前，需要准备以下工具：•笔和铅•直尺•三角尺•绘画纸步骤一：绘制立方体首先，我们要绘制一个基本的多面体，例如一个立方体。
为了做到这一点，我们可以绘制一个正方形（底面），并且在各个角上画上垂直于底面的线段（高），使这些线段接到正方形相应角点处，最后将所有线段相互连接即可形成一个立方体。
注意，在纵向和横向线段的描绘上，需要保持符合比例。
步骤二：拆分面以上述步骤绘制出来的立方体为例，我们需要将其所有的面分成矩形或正方形。
为此，我们需要通过连接每个相邻的面的棱角，将多面体拆解，并且用铅笔标上每个矩形或正方形的上下左右面，使得它们更加容易被识别。
步骤三：绘制每个面在拆分面后，我们可以将每个面单独绘制出来。
为此，我们需要将每个面放在纸上，并用三角尺和直尺来绘制它们。
对于不同的矩形，我们可以采用不同的绘制方法。
例如，对于一条平行于底面的直线，我们可以在每个与之相交的四边形上绘制这条直线，并保持符合比例。
在绘制完每个面后，我们应该标记好它们的相对位置。
步骤四：组成三维图形通过绘制每个面，我们可以将它们组合起来形成多面体的三维图形。
为此，我们应该将每个面按照它的相对位置粘贴到一张透明的塑料纸上，并对其进行调整，使得它们适当地重叠在一起。
这将帮助我们清晰地了解多面体的整体形状。
在这篇文章中，我们介绍了一个基本的画法几何制图技巧——换面法，以及如何使用这个技巧来画一个简单的多面体。
换面法可以帮助我们将多面体拆分成更简单的形状，并在绘制每个形状后重新组装它们来形成三维图形。
这个技巧在建筑、机械和电子等领域的设计工作中都得到了广泛应用。
画法几何换面法
换面法的投影面转换过程如图所示。
点击演示动画
三、点的投影变换 1、点的一次变换 V、H两投影面体系中有一A点，现在适当位置设一V1面，
V1和H面构成新的两投影面体系。
A点在V1面上的正投影记做 a1'。a1'与a的连线和O1X1轴的 交点记做ax1。
§5 - 4 换面法
一、换面法的基本概念 变换投影面即“换面法”。根据正投影的“真实性” ，
当空间的直线或平面与投影面平行时，其投影能够反映 直线的实长和平面的真实的形状。根据正投影的“积聚 性” ，当空间的直线或平面与投影面垂直时，其投影积 聚成点或直线。
变换投影面的基本原理是：设置新的投影面来代替原 来的某一投影面，并使新投影面与空间几何元素处于平 行或垂直的特殊位置。且使新投影面与原未被替换的投 影面垂直。
点的新投影与不变投影的连线垂直于新轴； 点的新投影到新轴的距离等于被替换的投影到
旧轴的距离。
需要注意的是：谁是点的不变投影、被替换的投影。
1、点的一次变换
例：如下图，已 知A点的两面投 影a'、a，试作出 给定位置的A点 新投影。
作图分析：
从 图 中 标 注 可 知 变 换 的 是 V1 投 影 面，a′为被替换的投影，a为不变投 影。按照点的变换规律即可作出A点 的新投影。
3、将一般位置直线变换为投影面垂直线
要将一般位置直线变换为投影面垂直线则需要作两次 换面。从下图可看出，第一次换面将直线变换为投影面 平行线。再将投影面平行线变换成投影面垂直线，使变 换后直线的新投影积聚为一点。
例：试将AB直线变换为一投影面垂直线。 作图分析：
§2-6换面法
X一、换面法的基本概念•从前面已经知道：投影面的平行线在该投影面上的投影能直接反映真长和对另一投影面的倾角；投影面的平行面在该投影面上的投影反映真形。
•由此可以得到启示：当几何形体在两个互相垂直的投影面体系中对某一投影面处于特殊位置时，可直接利用一些投影特性求解画法几何的图示和图解问题，使作图简化。
•当几何形体在两投影面体系中不处于这样的特殊位置，则可以创造新投影面体系使之处于这样的特殊位置。
投影变换的基本作图法•方法是：保留一个投影面，用垂直于被保留的投影面的新投影面更换另一投影面，组成一个新的两投影面体系，使几何形体在新投影面体系中对新投影面处于便利解题的特殊位置，在新投影面体系中作图求解，这种方法称为变换投影面法。
简称换面法。
新投影面的选择原则1.新投影面必须对空间物体处于最有利的解题位置。
2. 新投影面必须垂直于某一保留的原投影面，以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。
二、直线在换面法中的基本情况•投影变换的基本作图法X1。
变换为新投影面的平行线XX2。
投影面的平行线变换为新投影面的垂直线•投影变换的基本作图法3。
两次换面可将一般位置直线变换成投影面垂直线再将投影面平行线变换成投影面垂直线[例2-9]如图所示，过A点作直线BC的垂线AD及其垂足D，并求作点A与直线BC之间的真实距离．Array•从前面已经知道：一边平行于某一投影面的直角，在该投影面上的投影仍是直角。
先将直线BC变换成投影面平行线再将直线BC变换成投影面垂直线亦是垂线AD变换成投影面平行线三、平面在换面法中的基本情况•1。
将一般位置平面变换为新投影面的垂直平面X先在△ABC上作出投影面H的平行线AD1垂直于AD2。
将投影面垂直平面变换为新投影面的平行平面3。
两次换面可将一般位置平面变换为新投影面的平行平面。
X[例2-29]如图所示．过点A作△BCD的垂线AK、垂足K以及点A与CD之间的真实距离．。
《画法几何-投影变换》课件
H1
b
V
a1(b1)
B
a
b
X
A
b
H
a
a
X
换H面
正平线
“铅垂线”
a
b
换V面
水平线
“正垂线”
a1(b1)
将一般位置面变为投影面垂直面
a
X
取水平线
一般位置面
“正垂面”（α）
换V面
a
取正平线
一般位置面
“铅垂面”（β）
换H面
b d c
b d c
b1 a1(d1)
c1
X1
将投影面垂直面变为投影面平行面
c
a
X
换H面
换V面
一般位置线
“水平线”（实长，β）
“铅垂线” “正垂线”
把一般位置面变为投影面平行面
b
a
b1
c
a1
X
b c1
X1
X2
a
c
取水平线
一般位置面
“正垂面”（α）
换V面
换H面
b2
a2
c2
实形
“水平面”（实形）
把一般位置面变为投影面平行面
取水平线
一般位置面
“正垂面”（α）
换V面
换H面
“水平面”（实形）
例 已知平行二直线AB、CD之间的距离为15，完成CD的水平投影。
a1
b1 c1
a
c
d1
b d
c a
d
b
a 2(b 2) c 2(d 2)
例：等腰三角形ABC，底边AB，平面的α角为30°，高 的实长为L，补全其投影 。有几解？
c
a
画法几何_换面法
a
b X
B A
X
a1
a H
H1 ● X1 P1 a1 X1
●
b1 a2b2
X2轴的位置？
与a1b1垂直
a2 b2
b1 V1 a1
X1
把一般位置直线变为投影面垂直线
a2 b2
把一般位置直线变为投影面垂直线
3. 把一般位置平面变换成投影面垂直面
空间分析： 两平面垂直需满足什么条件？ 如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂 直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。 作图方法：
新投影面 的选择原则
新投影面的选择必须符合以下两个基本条件：
1．新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。 2．新投影面必须垂直于一个不变投影面。
二、点的投影变换规律
⒈ 更换一次投影面 ⑴ 新投影体系的建立
V
a
a1 .
a
A
a 1
V
V1
X
ax ax1
H v1 X1
H
ax
第6章
6-1 6-2
投影变换
概 述 换 面 法
6-1 概 述
c b a b a
c b d d c a
c
d
b b
a
a b a
c 三角形实形
a b a b c
d
两点之间距离
两平面夹角
直线与平面的交点
求点到直线距离
e'f'
f
e
求两平面夹角
θ
P
φ P H Q θ
Q
6-2 换面法
●
b a1 d1
● ●
画法几何：第六周 投影变换
V X
H a
X1 H P1
a1
空 间：P1∥直线 投 影：O1X1轴∥直线的某投影
L
b1
新投影：反映直线的实长及某倾角
b' O
b O1
结论：一般位置直线变换成投影面平行线—变换一次即可
《画法几何》
第6讲 投影变换
6
• 一般位置直线变换成投影面 垂直线
a' b'
空 间：P1∥直线，且P1⊥H 投 影：O1X1轴∥直线的某投影
《画法几何》
第6讲 投影变换
21
6.2 旋转法
6.2.1 旋转法的概念
旋转法—投影面保持不动，而使空间几何元素
绕某一轴线旋转，使得几何元素对投影面处于有利
解题的位置。
6.2.2 旋转的五要素
旋转轴
L
• 旋转对象 • 旋转轴 • 旋转平面 • 旋转中心 • 旋转半径
旋转平面
旋转半径 旋转对象
旋转平面 ⊥旋转轴
l2' a1'≡a2'
选择旋转轴L1过点B並垂直于H面 —将AB旋转成正平线A1B1 选择旋转轴L2过点A1並垂直于V面 a —将正平线A1B1旋转成铅垂线A2B2
l1 b ≡b1
a1≡a2 ≡b2
l2 a2一般位置直线旋转成投影面垂直线—旋转两次，即： 一般位置直线→投影面平行线→投影面垂直线
《画法几何》
第6讲 投影变换
7
• 一般位置平面变换成投影面垂直面
b'
面的投影变换，应以 面上的某一条线为主。
当该线⊥某投影面时， 则此面在该投影面上的投 影积聚为一直线。
为简化作图，此线应
a'
V XH
画法几何 投影变换法换面
四、解题时一般要注意下面几个问题：
⒈ 分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中物体 与原投影面的相对位置，并把这些条件抽象成几 何元素（点、线、面等）。
⒉ 根据要求得到的结果，确定出有关几何元素对新 投影面应处于什么样的特殊位置（垂直或平行）， 据此选择正确的解题思路与方法。
⒊ 在具体作图过程中，要注意新投影与原投影在变 换前后的关系， 既要在新投影体系中正确无误地 求得结果，又能将结果返回到原投影体系中去。
垂直面。
思考：
X
若变换H面，需在面
内取什么位置直线？
正平线！
d b
A
a
c
D B
d b H
P1 C c1
a1 d1
c
b1
X1
例：把三角形ABC变换成投影面垂直面。
b
a
d
作 图 过 程：
★ 在平面内取一条水平
c
XV H
线AD。
a
b
★ 将AD变换成新投影
d.
面的垂直线。
c
H
●α
●
●
反映平面对哪
X1 P1 c1 a1 d1 b1 个投影面的夹角？
15 b2
a2 e2
e1
d2
c2
e d
ed
小结
本章主要介绍了投影变换的一种常用方法 ——换面法。
一、 换面法就是改变投影面的位置，使它与所给物 体或其几何元素处于解题所需的特殊位置。
二、 换面法的关键是要注意新投影面的选择条件， 即必须使新投影面与某一原投面保持垂直关系， 同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规 律继续有效。
换面法—空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面 来代替旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利 解题的位置，然后找出其在新投影面上的投影。
画法几何及土建制图--投影变换
c′ c1′ b1′ X a1′ X1 a' a b' X bc bc V c' a′ b′
a
H
返回
一般位置平面变换为投影面平行面
a2'
b2'
d2' b' d' a'
V X H
c2'
c'
b
d
a
返回
【例题1】求点C到直线AB的距离,并作出垂线的投影。
d′ b′
a′
c′ X c d a b c2 反映点C到直 线AB的距离
返回
2、新投影面的设置原则
⑴ 新投影面必须处于对解题有利的位置。
⑵ 新投影面必须垂直原投影体系中的某一投影面。
V c1’ V1 a1’ C a’ Nhomakorabeac’
b1’
A B
b’ X
X1
H
返回
3、点的投影变换规律
点的一次变换 点的投影变换规律 点的两次变换
返回
点的一次变换
V V1
a´ a’ A X a1’ XV H
2.5 投 影 变 换
一、概 述
二、换 面 法
三、旋 转 法 例 题
一、概
述
在画法几何中，对点、线、面的定位和度量问题， 若所给空间元素位特殊位置时，则它们的投影能反映一 些度量关系，若所给元素为一般位置时，它们的投影则 不能反映度量关系，需通过一些基本作图才能求得。 能否将所给的处于一般位置的空间几何元素，通过 投影变换使其在投影体系中处于特殊位置或者对解题有 利的位置。在画法几何中，常用的方法有：换面法和旋 转法。
θ
f
上一题 下一题 返回
【例题8】已知△ABC底边BC的两面投影和BC边上高线的H 投影方向，∠A=60°，求ABC的两面投影。
浅谈“画法几何”中的换面法
,
由于
新投 影 面 与不 变投 影 面 仍 保 持垂 直 关 系 而 且 点 到
不变投 影面的距 离也保持 不 变 所 以 得到 点的换 面 法的基本规律
:
,
须 经两 次 换 面
1 | 1 一ō 奋
影 面 的 二次 换 乏
( l ) 点 的 新 投 影 与不 变 投 影 的 连 线 垂 直 于 新 的
、
袱分问 题
: :
:
通 过 应 用 换面 法 将 会变 得
工 如 何确 定 及 两 次 换面 时 的 顺序 在 直 线 与平 面 的 换 面 法 中 新 投 影 轴 的 位 置 是 有 要 求 的 而 不 是 任愈 放置 的
、 , . ,
械 冲 曹
份 从
厂下简单易行
掌 握好换 面 法 对 学 好
疚
一
、 ,
_
V
l 了
「 1 ,
_
_
入,Βιβλιοθήκη 的 投 影 上 述 内容 概 括 如下 不 能直 接 换 成
,
,
:
若用V
_
:
投 影 面代 替 V 投 影 面 则
_
须经 两 次 换 面 面的
…玫 份 体 杀 构成执的
,
_
_
.
_
_
U
I
甘x l
「 l ,
V
,
_ _ ,
其 投
V 投影面为旧
,
投影面
V
:
t
于 不变 的投 影
。 。 , , ,
的 实 长 ( 形 )及 其对投 影 面 的 倾 角
。
、
拼 p 和与 其有 关 的 一 系列空 间 几 : 何问 题 掌握好 换面法的 关键 在
画法几何制图—换面法[1]
![画法几何制图—换面法[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/7e6b6064ddccda38376baf49.png)
三峡大学
19
1.用换面法在直线AB上取一点C，使AC=25。 1.用换面法在直线AB上取一点C AC=25。 用换面法在直线AB上取一点
c′
c
a ′1
c′1 b ′1
三峡大学
20
2.求 ABC与EF的交点 并判别可见性. 的交点， 2.求△ABC与EF的交点，并判别可见性.
e′ ′ a′ ′
k1 V H d′
换面法
一、问题的提出(实物) 实物)
如何求一般位置直线的实长？ 如何求一般位置直线的实长？变成投影面平行线 解决方法：更换投影面V为 解决方法：更换投影面 为V1//AB。 。
反映实长 V1
b′ ′ a′ ′
V H
a′ ′
V
A B a
a1 b1
b′ ′
X
b a
H
H
b
三峡大学
1
换 面 法：
物体本身在空间的位置不动， 物体本身在空间的位置不动，而用某一 新投影面（辅助投影面）代替原有投影面， 新投影面（辅助投影面）代替原有投影面， 使物体相对新的投影面处于解题所需要的特 殊位置，然后将物体向新投影面进行投射。 殊位置，然后将物体向新投影面进行投射。
AD C B a≡b≡d ≡ ≡ H2 X
c′ ′
V H
作图: 作图 d′ ′
b′ ′
a′ ′
c a
.
b
距离
d
a'1 d'1
.
H X1 V 1
b'1. a2b2 d2
c2
如何确定d 如何确定 1点 的位置？ 的位置？
c
c'1
V1 H2 X2
过c1作线平行于x2轴。
5章-换面法
对平面：若求角，则将平面上的水平线换成垂直线 （即换V面，新轴垂直于水平线的H投影）； 若求β角，则将平面上的正平线换成垂直线 （即换H面，新轴垂直于正平线的V投影）。
[例1] 求点A到直线BC的距离和垂足的投影。 §6-3 十换二面五法规的划应教用材 例 1 ： 求 点 到 一 般 线 距 离
a'
O
X
a
绕铅垂轴旋转
b 轴线通过A点 d1
d' 绕正垂轴旋转
轴线通过C点
c' O
c
d
例
旋转法 (绕投影面垂直线旋转）
[例] 求铅垂面ABC的实形。
b1'
b'
十二五规划教材
垂 直 面 转 为 平 行 面
c1'
实形
c'
X
c1
b1
a' a
b
O
绕铅垂轴旋转 轴线通过A点
c
旋转法 (绕投影面垂直线旋转）
[例] 求一般面ABC的实形。
c f (h) n
点）、棱面CDHG的
V投影不可见；
e
m
b h1 (d) (d1)
§6-3 十换二面五法规的划应教用材例 7 ： 作 四 棱 柱 及 表 面 上 的 点 的 V 投 影
g1 (c1)
a
e1
f1 (b1)
(a1)
小结
十二五规划教材
小 结 — 求 线 面 与 投 影 面 的 倾 角
具体解题时,应将某个一般位置的直线或平面变换为特殊状态:
[例] 求线段的实长及倾角 。 （设立平面V1平行于线段AB，则新轴O1X1∥ab）
b1'
V
V1
11换面法的原理和应用换面法解决实际问题
2.6 换面法
【例2-16】 求交叉两直线AB、CD之间的距离及公垂线的投影。 分析 交叉两直线间的距离即是它们之间公垂线的实长。 如图2-63（a）所示，若使两交叉直线之一CD变换成新投影面H1的垂直线 时，AB、CD的公垂线MN 必为该投影面的平行线，MN在H1面上的投影m1n1反映 公垂线的实长;另一条直线AB虽为一般位置直线，但因MN⊥AB，由直角投影定 理得a1b1⊥m1n1，由此可定出公垂线的位置。 由于AB、CD 均为一般位置直线，故本题需两次更换投影面。
图 2 - 5 8
一 般 位 置 平 面 变 V
1
面 的 垂 直
2.6 换面法
作图 在△ABC内取水平线L（l、l′）。作X1⊥l，按点的新投影的作法，作 出△ABC各顶点在V1面上的新投影a1′、b1′、c1′。由于L⊥V1△ABC⊥V1，所以 a1′b1′c1′成一直线。a1′b1′c1′与X1轴的夹角α 为△ABC对H面的倾角。同理， 也可以更换H面把△ABC变换为V/H1体系内的垂直面，如图2-59所示。此时，a1b1c1 与X1轴的夹角β 为△ABC 对V 面的倾角。
2.6 换面法
2.6.1 换面规则 更换投影面时，新投影面的位置并不是任意的。首先，空间几何元素在 新投影面上的投影要有利于解题;此外，新投影面还要垂直于原来的某一个投 影面，构成新的两投影面体系（如图2-49所示）以便运用正投影原理由原来 的投影作出新投影。 由于新投影面的位置选择受到上述限制，解答某些问题时，更换一个投 影面有时不能使空间几何元素与新投影面达到预期的相对位置，从而得不到 有利于解题的新投影。这时需连续进行两次或多次换面，但每次只能更换一 个投影面。如图2-50所示，先换V 面,再换H 面，也可以先换H 面再换V 面。
《画法几何》(杨辉、李小汝)教学课件 第六章~
图6-4 点的一次变换（变换H面）
如果变换H面，则用一个垂直于V面的新投影面H1代替H面，构成V/ H1投影体系。如图6-4所示， 可作出点B在H1面上的新投影，其作图步骤与变换V面时相似，此时点B的Y坐标不变。
9
6.2.2 点的换面规律
2．点的二次换面
画法几何
在工程中，有些问题经过一次换面还不能解决，需要经过两次或两 次以上的连续换面。二次换面是在一次换面的基础上再进行换面，每次 换面都按照点的换面规律。但应注意，在换面时，先换哪一个面应根据 解题需要而定，然后按顺序依次更换各个投影面，V，H面必须交替变 换，即以V/H→V/ H1 → V2/ H1的顺序变换或以V/H→ V1 /H→ V1 / H2的 顺序变换。
画法几何
将一般位置直线变换成铅垂线，作图步骤如下： ① 作新投影轴O1X1// ab ，得到AB在V1 / H体系中的新投影 a1′ b1′ ； ② 再作另一新投影轴O2X2⊥ a1′ b1′ ，得到AB在V1 / H2体系中的新 投影 a2(b2) 。
图6-9 一般位置直线变换成投影面垂直线
15
③ ∠ b2c2 d2 为△ABC与△ACD两平面间的夹角a。
图6-15 两平面间的夹角分析
19
6.2.4 应用实例
【例6-3】 如图6-16所示，在直线BC上取一点E，使AE=20mm 。
画法几何
分析： 直线BC与点A组成一般位置平面△ABC，利用两次换面可求出 △ABC的实形，在实形中可作出AE=20mm 。
画法几何
作图步骤如下： ① 作新投影轴O1X1平行于△ABC的积聚性投影acb； ② 在V1投影面上得到△ABC的新投影△ a1′ b1′ c1′ ，△ a1′ b1′ c1′反映△ABC实形。
2.6 换面法
2.6 换面法
3.把一般位置平面变换成新投影面垂直面 3.把一般位置平面变换成新投影面垂直面 如图2-58（a）所示，平面△ABC在V/H体系内为一般位置平面。若把它变 换成新投影面垂直面，可设新投影面V1 替换原投影面V，并使V1 垂直△ABC 内的一直线L。为保证V1 同时垂直于H面，应取L∥H，即L为△ABC内的水平 线。根据投影性质可知，新轴X1 ⊥l。
2.6 换面法
【例2-15】 求点K到平面P（ABCD）的距离。 分析 如图2-62（a）所示，若过点K向平面P引垂线，则点K到垂足L的距 离就是K到平面P的距离。如果平面P是某投影面垂直面，则垂线KL就是该投影面 的平行线，距离可直接反映在投影图上。
图2-62 求点到属于一般位置平面，故本题需更换一次投影面，将其变换成新 投影面垂直面。 作图 （1）更换V面，把平面P变换成V1面的垂直面。作新轴X1⊥ad（AD、 BC为P内水平线）。 （2）作出P在V1 面上的新投影p1′及点K的新投影k1′。 （3）过k1′向p1′作垂线，垂足为l1′。k1′l1′即为点K到平面P的距离， 见图2-62（b）。 讨论 如果需要作出KL的投影，可按照点的变换规则把l1′返回到V/H体 系。因KL是V 面的平行线，所以过k作kl∥X1 即可求出l。再由l、l1′定l′。
2.6 换面法
在V.H体系中，先用V1 替换V，V1 ⊥H，组成V1/H投影面体系（H为保留 投影面），求出a1′。 再把V1/H当作原投影面体系，用新投影面H1 替换H，H1⊥V1 ，组成新 的V1/H1 投影面体系，求出新投影a1 。此时V1 面为保留投影面，被替换投 影面则指H面。V1 、H1 面的交线为新轴X2 ，而X1 在第二次换面时被称为旧 轴。 二次换面时，点的投影变换规律仍适用，即a1′a1⊥X2;a1 aX2 =aaX1 ， 如图2-53（b）。在换面顺序上可以有两种方案，即V/H→V1/H→V1/H1 或 V/H→V/H1 →V1/H1 ，由需要而定。
关于画法几何中换面法的初步探讨
关于画法几何中换面法的初步探讨摘要：换面法是画法几何中最重要的概念之一，也是很重要的解题工具。
解决一些画法几何问题采用换面法非常简便。
本文对换面法做了简单介绍并，且就学习中常见的换面法问题做了一些初步剖析。
关键词：换面法、夹角、实形、交线。
一般位置的平面或直线，在任何投影面上都不反映平面或直线的实形、实长。
而与投影面平行时，却能真实地反映它们原来的形状和长度。
由此得到启示，只要设法将空间几何元素相对于投影面处于特殊位置，就可方便地求解一般位置几何元素度量或定位问题。
这时我们假设空间几何元素的位置保持不变，用新的投影面代替原来的投影面，使几何元素在新投影面上的投影对于解题最为简便，这种方法称为变换投影面法，简称换面法。
换面法的核心理论就是把空间几何问题转化为平面几何问题，特别是解决复杂的空间几何问题作用尤为突出。
换面法的新投影面选择必须符合两个基本条件：新投影面必须与空间几何元素处于有利于解题的位置和新投影面必须垂直于一个不变的投影面。
只有把握这两个核心来剖析问题才能解决问题。
1、换面法求空间一般位置平面的实形一般教材都使用换面法空间一般位置平面的实形, 如图 1 所示, 求正五棱柱被正垂面P v 切割后的截面的实形1121314151第一步作直线X , 平行于正垂面在主投影面上的投影线P v ; 第二步分别过1′2′3′4′5′作直线x1的垂直线并延长, 在延长线上画出俯视图投影点12 3 4 5 到主视图底边的各自等高线得到11 21 31 41 51 , 即可。
用换面法进行解题不仅需要研究几何元素之间的相对关系和这些元素与投影面之间的相对位置, 更重要的是研究如何选择新投影面以及几何元素在新投影面体系及原投影体系中投影之间的关系, 建立解题的空间几何模型, 拟定解题方法和步骤, 这都需要对空间几何关系以及这些关系在投影中的反映有更深人的分析和理解, 而分析和理解能力的提高建立在学习大量例题和完成大量作业的基础上, 所以需要大量的课时来完成。