工程制图(换面法)

Hc
e
a
a1'
b
e1´
b1'
c1'
例10：已知点E在平面ABC上，距离A、B为15，求E点的投影。
15 b2
a2 e2
b
e1
d2
c2
a
V X
H a
e d c
b ed
c
题10： 已知两直线AB//CD且相间距离为10
d
c
b
b
a
a
X c
XV H d b
c
b
a
R=10
a2 (b2)
X2
V
a2b2 b H2
a
BA
ax 2b’1 V1
a’1
作图：
b
a
X
V H
b
b X
a
a
H1
X1 V1a’●1
●b’1. a2b2
H
X1 X2轴的位置？
与a’1b’1垂直
把一般位置直线变为投影面垂直线
b a
X
V H
b
a
a2 b2
4.把一般位置平面变换成投影面的垂直面
空间分析： 如果两把平平面面垂内直的需一满足条什直么线条变件换？成新投影面
求K点到直线AB之 距及两面投影。
距离 K
H2 k2
A T
B a2(b2) (t2)
k
t
b
a
V X
H
O1
k
a1
k1
t1
b1
V1
X2 H2
k2
距离
a
O
t
b
H V1 X1 O2
a2(b2) (t2)
例题2：
d a
求具有公共边BC的△ABC
c
和△BCD的夹角。
C
b
X
V H
a
b
O
来一个投影面。 （2）新投影面要处于
最有利解题位置。
讲解：点 线 面
三、基本原理
V
V1
1. 点的一次变换： H
H
a
V X
a
A O aV11
ax a H O1 ax1 X1
V
XH
ax
O
a
O1
ax1
H
变换规律：
X1 V1 a1
1). 点的新投影到新轴之距=旧投影到原轴之距；
2). 点的新投影与被保留投影的连线⊥新轴O1X1。
的垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面
。 作图方法：
在平面内取 一条投影一面般平位行置线直，线 V 变经换一成次投换影面面后垂变直换线成， 需新则能经投该否几影平只次面面进变的变行换垂成一？直新次线投变，影换？ a
面的垂直面。
思考：
X
若变换H面，需在面内
取什么位置直线？
正平线！
d b
A
a
四、解题时一般要注意下面几个问题：
⒈ 分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中 物体与原投影面的相对位置，并把这些条件 抽象成几何元素（点、线、面等）。
⒉ 根据要求得到的结果，确定出有关几何元 素对新投影面应处于什么样的特殊位置（垂 直或平行），据此选择正确的解题思路与方 法。
⒊ 在具体作图过程中，要注意新投影与原投影 在变换前后的关系， 既要在新投影体系中正 确无误地求得结果，又能将结果返回到原投 影体系中去。
c
D B
d b H
V1 C c’1
a’1d’1
c
b’1
X1
把一般位置平面变换成投影面的垂直面
水平线
b B
V d
c D
OC
a A b dc
b1 V1
d1(c1) a1
a X
H
X1
b
d
a
c
V
X
H
d
a
b
O O1
c
H

X1V1 a1 d1(c1) b1
把一般位置平面变换成投影面的垂直面
V H
a2
a
a1
a
A
a2
a1
X1 a
四、基本作图
1、把一般位置直线变换成投影面的平行线
b
b a
X
b1 V1
O O1
B


a1
bA
X1
aH
V a
X
O
H
b O1
a
H

b1
X1 V1 a1
实长
2.把投影面的平行线变换成投影面的垂直线
V b a
V1
O a1 (b1) O1
. a’1≡b●’1≡m’1
面，这时它的投影
m’1n’1=MN,且m’1n’1⊥c’1d’1
。
A
M CN
D
d’1 ●
aB1m1b1
cP1 1 n1
d1
HX1V1
.
●n’1 c●’1
圆半径=MN
例7：已知直线AB与CDE平面平行，且相距20mm，求直
线AB的水平投影。 b1 a1
c1
c'
e1 d1
a'
e'
X
V H
d' c
b'
e
da b
例8: 过C点作直线CD与AB相交成60º角。
空间及投影分析：AB与CD都平行于投影面时，其投影的
夹角才反映实角（60°），因此需将AB与C点所确定的平面
变换成投影面平行面。
作图：
c●
几个解？
a
d b
两个解！
●a2
X
V H
a
●
c
d ●
b
b2●d●2 60°
XV
H
XV
d
b
b
a
c
a2 b2
a
例6：已知两交叉直线AB和CD的公垂线的长度 为MN，
且AB为水平线，求CD及MN的投影。 M N
作图：
n● c●
a ● m
X
V H
a
●m
●
n
c
请注意各点的投 影如何返回？ 求m点是难点。
●d
空间及投影分析：
当直线AB垂直于
投影面时，MN平行于投影
b
d b
a
V X
H a
a X
b
H
X1
b
b H X1V1
O O1
a1 (b1)
3. 把一般位置直线变换成投影面垂直线
b a
a2 b2 B
A b
a H
b1
V1
a1
X1
3. 把一般位置直线变换成投影面垂直线
空间分析： 一次换面把直线变成投影面平行线； 二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。
⒉点的两次变换
新投影体系的建立
X2
V a

ax X
H2
a2

ax2 V1
A


a1


a ax1
H
X1
按次序更换
先把V面换成平面V1， V1H，得到中间新投影体系: X1 —VH1 再把H面换成平面H2， H2 V1，得到新投影体系: X2 VH—12
点的两次变换
a
V1
X
点在V/H1体系中的投影
a1
V
a
X A a
a
a1 XV H
H
a
求新投影的作图方法
更换V面
a

V XH
ax
a
ax1
.
H P1 X1
更换H面
X1 H
P1
a1
● a’1
. ax1 a
XV
ax
H
a
作图规律：
由点的不变投影向新投影轴作垂线，并在垂 线上量取一段距离，使这段距离等于被代替的投 影到原投影轴的距离。
c2((d2)
a
例题11： 求点S到平面ABC的距离
a
s'
s a
b d c
b d c
k1 s1
例12：已知E到平面ABC的距离为N，求E点的正面投影e。
b
k
d
a
e
c
b
a
k
d
c
n n
例13： 求点到平面ABC的距离
a c
X b b
k c
k
a
d O
c 1
k 1 d b 1 d 1
.
. a’1●b’1
D点的投影 如何返回？ ●c2
如何解？
思考：
H X1
V1
●c1
H2 V1 X1
解法相同！
已知点C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线AB上，
求等边三角形的投影。
例题9：
已知等腰 三角形ABC的 底边为AB，试 用换面法求出 等腰三角形 ABC的正面投 影。
c'
b'
X V a'
X1
a 1
小结
本章主要介绍了投影变换的一种常用方法 ——换面法。
一、 换面法就是改变投影面的位置，使它与所给物 体或其几何元素处于解题所需的特殊位置。
二、 换面法的关键是要注意新投影面的选择条件， 即必须使新投影面与某一原投面保持垂直关系， 同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规 律继续有效。
b
a XV
H b
a H X1 V1 a1
c
O c
O1
a A
V c C
b a
c1 X
实形 b1