全国高中数学联赛与各省市预赛历届(2009-2019)试题汇编 集合(解析版)

全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编
专题18集合真题汇编与预赛典型例题
1．【2019年全国联赛】若实数集合的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x 的值为.
【答案】
【解析】由题意知，x为负值，.
2．【2018年全国联赛】设集合A={1，2，3…，99}，B={2x|x∈A}，C={x|2x∈A}，则B∩C的元素个数为【答案】24
【解析】由条件知，.
故B∩C的元素个数为24.
3．【2013年全国联赛】设集合.则集合中所有元素的和为______. 【答案】-5
【解析】
易知，.
当时，；
当时，.
因此，集合.
从而，集合中所有元素的和为.
4．【2011年全国联赛】设集合.若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为，则集合______.
【答案】
【解析】
显然，在集合的所有三元子集中每个元素均出现了3次.于是，
.
从而，集合的四个元素分别为.
因此，集合.
故答案为:
5．【2019年全国联赛】设V是空间中2019个点构成的集合，其中任意四点不共面.某些点之间连有线段，记E为这些线段构成的集合.试求最小的正整数n，满足条件：若E至少有n个元素，则E一定含有908个二元子集.其中每个二元子集中的两条线段有公共端点，且任意两个二元子集的交为空集.
【答案】
【解析】我们来证明一个更为一般的引理：简单连通图H有n个顶点，m条边，则一定可以将其边集划分为个二元子集，二元子集之间不交且每个二元子集内的边有公共端点。

证明：归纳对m，m=1，2，3，显然成立.
设结论对m≤k成立，k≥3，
则m=k+1时，考虑所有叶子顶点，若有两片叶子连在同一顶点B上，则将A i B与A j B分为二元子集，对其余m-2条边由归纳假设，可分为个二元子集且两两不相交，结论成立，
否则设分别接在顶点上，若存在度为2，设B i与A i，C相连，将与B i C取下，同理由归纳假设结论成立，
否则对任意，将去掉，得图，则在中没有叶子结点，连通，则为一个环，此时设B1在环上与C，D相连，在H中把与B1C去掉，图依然连通，由归纳假设同理可证，引理证毕.故原命题成立.
6．【2015年全国联赛】设为四个有理数，使得.求的值.
【答案】
【解析】
由条件知为六个互不相同的数，且其中没有两个为相反数.
于是的绝对值互不相等. 不妨设.
则中最小的、次小的两个数分别为.
故
.
结合，只可能.
由此易知
.
经检验，两组解均满足条件.
从而，.
7．【2015年全国联赛】设，其中，个互不相同的有限集合，满足对任意，均有.若表示有限集合的元素个数），证明：存在，使得属于中的至少个集合.
【答案】见解析
【解析】
不妨设.
设在中与不相交的集合有个，重新记为；
设包含的集合有个，重新记为.
由已知条件，得，即.
于是，得到一个映射.
显然，为单射.从而，.
设.
在中除去后，在剩下的个集合中，设包含的集合有个，由于剩下的个集合中，设包含的集合有个，由于剩下的个集合中每个集合与的交非空，即包含某个，从而，
. ①
不妨设.
则由式①知，即在剩下的个集合中，包含的集合至少有个.
又由于，故均包含.
因此，包含的集合个数至少为。