二次函数求最值(动轴定区间、动区间定轴)

2 2
2 –2x – 3 例1、已知函数 f(x)= x y = x 2∙x 3
2 2
（1）若x∈ –22， y[ =x ∙x 0] 3 ，求函数f(x)的最值； （2）若x∈[ 2，4 ]，求函数f(x)的最值；
10
1 5 （3）若x∈[ , ]，求函数f(x)的最值； 2 2
8
1 3 , ]，求函数f(x)的最值； （4）若x∈[ 2 2
y =x2+ax+3的最小值：
y
-1
O
1
x
x 1 x 1 ，求函数 练习：若x∈
y =x2+ax+3的最小值：
y
-1
O
1
x
x 1 x 1 ，求函数 练习：若x∈
y =x2+ax+3的最小值：
y
-1
O
1
x
x 1 x 1 ，求函数 练习：若x∈
y =x2+ax+3的最小值：
3 2
10
0 -2
10 5
5
10 15
5
10
4
15 5
10
2
2
2
2
4
4
4
4
6
思考：通过以上几题，你发现二次函数在区间[m，n] 上的最值通常在哪里取到？
6
6
6
8
8
8
8
10
10
10
10
总结：求二次函数f(x)=ax2+bx+c在[m，n]上 上的最值或值域的一般方法是：
b （1）检查x0= 是否属于 [ m，n]； 2a
[解 ] (1)当 a＝－1 时， f(x)＝x2－2x＋2，其对称轴为 x＝1， 所以 f(x)min＝ f(1)＝1， f(x)max＝ f(－ 5)＝ 37. (2)对称轴为 x＝－a，当－ a≤－ 5 或－a≥5 时， f(x)在[－ 5,5]上单调．所以 a≥ 5 或 a≤－5. 故满足条件的实数 a 的取值范围是 (－∞，－5]∪ [5，＋∞)．
5 10 15
k
10
k+2
8 2
即k2-2k-3 > k2+2k-3 即-1<k<0时
6
4
f(x)max=f(k)=k2-2k-3
x=1
4
6
当f(k) ≤f(k+2)时，
k+2
5
2
8
k
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2
即k2-2k-3 ≤ k2+2k-3 即0≤ k<1时
f(x)max=f(k+2)=（k+2)2-2(k+2)-3 =k2+2k-3
-1 O
2
x
课堂小结
1.闭区间上的二次函数的最值问题求 法 2. 含参数的二次函数最值问题： 轴动区间定 轴定区间动 核心 ： 区间与对称轴的相对位置
注意数形结合和分类讨论
练一练
1.已知y=－x2+ax+3 ，x∈[－1,1]， 求y的最大值
2、 已知函数
f ( x) = x - 2ax+ a + 2 当 x 1,3 时，求函数的最大值.
二次函数在闭区间上的最值问题
练习：已知函数f(x)= x2 –2x – 3
（1）若x∈[–2，0]，求函数f(x)的最值； （2）若x∈[ 2，4 ]，求函数f(x)的最值；
1 5 （3）若x∈[ , ]，求函数f(x)的最值； 2 2
1 3 , ]，求函数f(x)的最值； （4）若x∈[ 2 2
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k
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10
k+2
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5
x=1
15
15
k
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15
5
15
5
k
10
k+2
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5
2
2
4
4
4
4
当k ≤-1时 f(x)max=f(k)=k2-2k-3
6
6
6
f(x)min=f(k+2)=k2+2k-3
6
当-1<k <0时 f(x)max=f(k)=k2-2k-3
8
8
8
f(x)min=f(1)=- 4
8
当0≤ k<1时 f(x)max=f(k+2)=k2+2k-3
y y y
-1
O
1
x
-1
O 1
x
-1
O
1
x
评注：此题属于“轴动区间定”的问题，看作对 称轴沿x轴移动的过程中,函数最值的变化,即对 称轴在定区间的左、右两侧及对称轴在定区间上 变化情况,要注意开口方向及端点情况。
练习:已知x2+2x+a≥4在x∈ [0，2]上 y 恒成立，求a的值。 解:令f(x)=x2+2x+a 它的对称轴为x=－1， ∴f(x)在[0，2]上单 调递增， ∴f(x)的最小值为 f(0)=a，即a≥ 4
8
6
由图知，y=f(x)在[ 2，4 ]上为增函数
故x=4时有最大值f(4)=5 x=2时有最小值f(2)=-3
10 5
4
2
x=1 2 4
5
2
4
y = x2 y = x2
2∙x 2∙x
3 3
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例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3.
1 5 （3）若x∈[ , ],求函数f(x)的最值； 2 2
练习求函数y=x2+2x+3 在x[-2,2]时的 最值？
二次函数在闭区间上的最值问题 动轴定区间、动区间定轴
2.(1)若 f(x)＝x2－ x＋ a， f(－m)＜ 0，则 f(m＋ 1)的 值( B ) A．正数 B．负数 C．非负数 D．与 m 有关 19 4 (2)已知 2x2≤ 3x，则函数 f(x)＝x2＋ x＋ 1 的最大值为________ ． (3)已知函数 f(x)＝－x2＋ 2ax＋ 1－ a 在 x∈ [0,1]时有最大值 2， 求 a 的值． (4)已知函数 f(x)＝－4x2＋4ax－4a－ a2 在区间 [0,1]内有一个最 大值－5，求 a 的值．
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6
4
x=1
2
0 -2
2 5Βιβλιοθήκη 462 –2x – 3. 例1、已知函数 f(x)= x y = x 2∙x 3 y =[ x – 22 ∙x ， 3 0 ]，求函数f(x)的最值； （1）若x∈ （2）若x∈[ 2，4 ]，求函数f(x)的最值；
2 2
10
解：画出函数在定义域内的图像如图 对称轴为直线x=1
y = x2 y = x2
8
2∙x 2∙x
3 3
10
10
例: 的最值
6 4 2
求函数y=x2-2x-3在x∈[k,k+2]时
8
8
6
6
6
4
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x=1
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x=1 k+2
5
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2
x=1
2
2
k
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k+2
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k
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10
k+2
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x=1 k
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k
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5
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k+2
2
2
2
2
4
4
4
4
6
6
6
6
8
8
8
8
10
6
4
（2）当x0∈[m，n]时，f(m)、f(n)、f(x0） 中的较大者是最大值,较小者是最小值； （3）当x0 [m，n]时，f(m)、f(n)中的较大 者是最大值，较小者是最小值.
考点二
二次函数的图象与性质(高频考点)
已知函数 f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．
(1)当 a＝－1 时，求函数的最大值和最小值； (2)求实数 a 的取值范围，使 y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．
y = x2 y = x2
2∙x 2∙x
3 3
练习：已知函数f(x)= –3. （1）若x∈[ –2，0 ], 求函数f(x)的最值；
10 8
x2–2x
解：画出函数在定义域内的图像如图 对称轴为直线x=1 由图知，y=f(x)在[ –2，0 ]上为减函数 故x=-2时有最大值f(-2)=5 x=0时有最小值f(0)=-3
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4
8
6
4
2
x=1 k k+2
5
当k ≥1 时 f(x) max=f(k+2)=k2+2k-3
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2
f(x) min=f(k)=k2-2k-3
4
6
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8
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例:
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6 2 求函数y=x -2x-3在x∈[k,k+2]时的最值
6
6
4
4
4
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x=1
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x=1 k+2
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2
x=1
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k
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k+2
解：画出函数在定义域内的图像如图 对称轴为直线x=1,由图知，
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（1）若x∈[ –2，0]，求函数f(x)的最值； （2）若x∈[ 2，4]，求函数f(x)的最值；
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4
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x=1 1 2 5 2
5
5 5 3 x= 时有最大值 f ( ) 1 2 2 4