利用Eviews主成分分析和因子分析(免费)
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eviews中主成分分析和因子分析详解
灵活的编程接口
eviews提供了灵活的编程接口， 支持多种编程语言和脚本语言， 方便用户进行二次开发和定制。
未来发展趋势预测
大数据分析
随着大数据时代的到来，eviews将更加注重对大数据的处理和 分析能力，提高处理效率和准确性。
人工智能融合
eviews将与人工智能技术相结合，实现智能化数据分析，提高 分析的自动化程度和准确性。
总结在使用eviews进行主成分分析 和因子分析过程中可能遇到的常见问 题，并提供相应的解决方案。
07 总结与展望
CHAPTER
主成分分析和因子分析应用前景
多元统计分析方法
主成分分析和因子分析作为多元统计分析的重要方法，在多个领域 具有广泛的应用前景，如经济、金融、社会学、医学等。
数据降维
主成分分析通过线性变换将原始数据转换为新的变量，实现数据降 维，简化数据结构，提高数据处理的效率。
因子分析步骤
在eviews中导入数据，选择因子分析功能，按照步骤进行 操作，包括数据预处理、选择因子个数、进行因子旋转等 。
结果解读
根据因子分析结果，提取影响消费者行为的公共因子，分 析各因子的含义和重要性，以及各因子对不同消费者群体 的影响程度。
实战演练：eviews操作技巧分享
数据导入与预处理
介绍如何在eviews中导入数据、进 行数据清洗和预处理等操作。
主成分与因子分析功能使用
详细演示如何在eviews中使用主成 分分析和因子分析功能，包括参数设 置、模型选择等。
结果解读与可视化
分享如何解读主成分分析和因子分析 结果，以及如何利用eviews的图形 功能进行结果可视化展示。
常见问题与解决方案
结果解读
根据输出的结果，可以了解各因子对原始变量的解释程度 ，以及各样本在因子上的得分情况。同时，通过载荷矩阵 可以了解各原始变量与因子的关系。
关于使用EVIEWS进行主成分分析与因子分析方法PPT讲义PPT文档70页
的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
关于使用EVIEWS进行主成分分析与 因子分析方法PPT讲义
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
关于使用EVIEWS进行主成分分析与 因子分析方法PPT讲义
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
主成分分析和因子分析在Eviews中的实现共110页文档
60、人民的幸福是至高无个的法。— —西塞 罗
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
主成分分析和因子分析在Eviews中的实 现
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
主成分分析和因子分析在Eviews中的实 现
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底
利用Eviews主成分分析和因子分析(免费)
r (Yk , X i ) eki k cov(Yk , X i ) k eki var(Yk ) var( X i ) k ii ii i , k 1, 2 , , p （13.1.14）
12
3．从相关矩阵出发求解主成分
在实际应用时，为了消除原始变量量纲的影响，通常将 数据标准化。考虑下面的标准化变化，令
20
13.3.1 EViews软件中主成分分析的计算
仅挑选前几个方差较大的主成分，以达到简化系统结构的目
的。
5
13.1.2 总体主成分求解及其性质
13.1.1节中提到主成分分析的基本思想是考虑合成 变量的方差大小及其对原始变量波动(方差)的贡献大小， 而对于原始随机变量X1，X2，…，Xp，其协方差矩阵 或相关矩阵正是对各变量离散程度和相关程度的度量。 在实际求解主成分时，一般从原始变量的协方差矩阵 或相关矩阵的结构分析出发。
p)，则有
Y AX
（13.1.2）
3
且
var(Yi ) α Σαi i cov(Yi , Y j ) αi Σα j
i 1 , 2 ,, p i, j 1 , 2 ,, p
（13.1.3）
由式（13.1.1）和式（13.1.2）可以看出，可以对原始变 量进行任意的线性变换，不同线性变换得到的合成变量Y的 统计特征显然是不一样的。每个Yi 应尽可能多地反映 p 个原 始变量的信息，通常用方差来度量“信息”，Yi 的方差越大 表示它所包含的信息越多。由式（13.1.3）可以看出将系数 向量i 扩大任意倍数会使Yi 的方差无限增大，为了消除这种 不确定性，增加约束条件：
Zi
X i i
ii
,
i 1, 2 , , p
12
3．从相关矩阵出发求解主成分
在实际应用时，为了消除原始变量量纲的影响，通常将 数据标准化。考虑下面的标准化变化，令
20
13.3.1 EViews软件中主成分分析的计算
仅挑选前几个方差较大的主成分，以达到简化系统结构的目
的。
5
13.1.2 总体主成分求解及其性质
13.1.1节中提到主成分分析的基本思想是考虑合成 变量的方差大小及其对原始变量波动(方差)的贡献大小， 而对于原始随机变量X1，X2，…，Xp，其协方差矩阵 或相关矩阵正是对各变量离散程度和相关程度的度量。 在实际求解主成分时，一般从原始变量的协方差矩阵 或相关矩阵的结构分析出发。
p)，则有
Y AX
（13.1.2）
3
且
var(Yi ) α Σαi i cov(Yi , Y j ) αi Σα j
i 1 , 2 ,, p i, j 1 , 2 ,, p
（13.1.3）
由式（13.1.1）和式（13.1.2）可以看出，可以对原始变 量进行任意的线性变换，不同线性变换得到的合成变量Y的 统计特征显然是不一样的。每个Yi 应尽可能多地反映 p 个原 始变量的信息，通常用方差来度量“信息”，Yi 的方差越大 表示它所包含的信息越多。由式（13.1.3）可以看出将系数 向量i 扩大任意倍数会使Yi 的方差无限增大，为了消除这种 不确定性，增加约束条件：
Zi
X i i
ii
,
i 1, 2 , , p
详细的EVIEWS面板数据分析操作39页PPT
谢谢！
详细的EVIEWS面板数据分析操作
•
46、寓形宇内复几时，曷不委心任去 留。
•
47、采菊东篱下，悠然见南山。
•
48、啸傲东轩下，聊复得此生。
•
49、勤学如春起之苗，不见其增，日 有所长 。
•
Байду номын сангаас
50、环堵萧然，不蔽风日；短褐穿结 ，箪瓢 屡空， 晏如也 。
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
主成分分析和因子分析在Eviews中的实现
主成分分析和因子分析的优缺点及 注意事项
主成分分析和因子分析的优缺点
• 主成分分析的优点： (1) 降维：将多个变量降维为少数几个主成分，简化数据结构； (2) 保留主要信息：主成分保留原始数据中的大 部分信息，具有代表性； (3) 客观性：按照方差大小确定主成分的次序，具有客观性。
• (1) 降维：将多个变量降维为少数几个主成分，简化数据结构； • (2) 保留主要信息：主成分保留原始数据中的大部分信息，具有代表性； • (3) 客观性：按照方差大小确定主成分的次序，具有客观性。
和建模。
Eviews软件应 用：Eviews广 泛应用于经济 学、金融学、 统计学等领域， 为科研和实际 应用提供了强
大的支持。
Eviews软件功能
数据分析：Eviews可以用于处理各种类型的数据，包括时间序列、截面数据和面板数据 模型估计：Eviews提供了多种统计模型估计方法，包括最小二乘法、最大似然法等 预测分析：Eviews可以进行预测分析，通过建立模型对未来进行预测 政策模拟：Eviews可以进行政策模拟，通过改变某些变量的值来观察其对系统的影响
添加标题
旋转因子：对提取 的公因子进行旋转， 以便更好地解释其 含义。
添加标题
解释因子：对旋转 后的公因子进行解 释，说明每个因子 的含义和作用。
添加标题
计算因子得分：根 据每个观测值在每 个公因子上的得分 计算因子得分。
添加标题
输出结果：将因子 分析的结果输出到 Eviews的输出窗口 中，以便进一步分 析和解释。
单击此处添加章节标题
Eviews软件介绍
Eviews软件概述
Eviews软件简 介：Eviews是 一款专门用于 时间序列分析 和计量经济学 的统计软件， 由美国QSS公
Eviews多元因子分析案例分析
Eviews多元因子分析案例分析
多元因子分析是一种常用的经济数据分析方法，它能够帮助我
们解释变量之间的关系以及其对观察数据的影响程度。
本文将以一
个案例为例，演示如何使用Eviews进行多元因子分析。
案例背景
在这个案例中，我们有一组经济数据，包括GDP增长率、通
货膨胀率、利率、失业率和投资增长率。
我们希望通过多元因子分析，找出这些变量之间的主要关系，并解释它们对经济发展的影响。
数据准备
在进行多元因子分析之前，我们首先需要准备好数据。
将数据
导入Eviews软件，并确保数据格式正确。
模型建立
在Eviews中，我们可以使用多元线性回归模型来进行因子分析。
通过选择适当的解释变量和因变量，我们可以建立一个能够解
释经济数据变动的模型。
数据分析
在模型建立完成后，我们可以进行数据分析。
通过观察回归结果，我们可以得出变量之间的关系以及各自的影响程度。
同时，我
们还可以进行统计检验，以评估模型的拟合程度和变量的显著性。
结论
通过Eviews多元因子分析，我们可以得出经济数据变量之间
的关系和影响程度。
这些结果可以帮助我们更好地理解经济的运行
规律，为决策提供参考。
以上就是Eviews多元因子分析的案例分析。
通过这个案例，
我们可以更好地掌握使用Eviews进行多元因子分析的方法和步骤。
希望本文对您有所帮助！。
第13章 主成分分析和因子分析
1 var( Y ) Λ 0 0 p
（13.1.10）
性质2 设=(ij)p×p是随机变量向量 X 的协方差矩阵， 可得
p p i
var( X
i 1
)
var(Y )
i i 1
p
即
p
i 1
ii
i 1
i
2．样本主成份及其性质
由于采用相关矩阵和协方差矩阵求解主成分的过程基本 一致，因此本节仅介绍基于样本相关矩阵求解主成分的过程。 ˆ ˆ ˆ ˆ 设样本相关矩阵 R 的特征值为1 , 2 ,, p ，且
ˆ ˆ ˆ 1 2 p 0
与特征值相对应的标准正交特征向量为 e1 , e 2 ,, e p ，根据式 ˆ ˆ ˆ
假如对某一问题的研究涉及 p 个指标，记为X1，X2, …, Xp，由这 p 个随机变量构成的随机向量为X=(X1, X2, …, Xp)， 设 X 的均值向量为，协方差矩阵为。设Y=(Y1, Y2 , … , Yp) 为对 X 进行线性变换得到的合成随机向量，即
Y1 Y2 Y p 11 21 p1
k eki k ii
eki
k ii
i , k 1, 2 , , p
（13.1.14）
12
3．从相关矩阵出发求解主成分
在实际应用时，为了消除原始变量量纲的影响，通常将 数据标准化。考虑下面的标准化变化，令
Zi X i i i 1, 2 , , p
ii
,
（13.1.15）
12 22
p2
2 p X 2 pp X p
（13.1.10）
性质2 设=(ij)p×p是随机变量向量 X 的协方差矩阵， 可得
p p i
var( X
i 1
)
var(Y )
i i 1
p
即
p
i 1
ii
i 1
i
2．样本主成份及其性质
由于采用相关矩阵和协方差矩阵求解主成分的过程基本 一致，因此本节仅介绍基于样本相关矩阵求解主成分的过程。 ˆ ˆ ˆ ˆ 设样本相关矩阵 R 的特征值为1 , 2 ,, p ，且
ˆ ˆ ˆ 1 2 p 0
与特征值相对应的标准正交特征向量为 e1 , e 2 ,, e p ，根据式 ˆ ˆ ˆ
假如对某一问题的研究涉及 p 个指标，记为X1，X2, …, Xp，由这 p 个随机变量构成的随机向量为X=(X1, X2, …, Xp)， 设 X 的均值向量为，协方差矩阵为。设Y=(Y1, Y2 , … , Yp) 为对 X 进行线性变换得到的合成随机向量，即
Y1 Y2 Y p 11 21 p1
k eki k ii
eki
k ii
i , k 1, 2 , , p
（13.1.14）
12
3．从相关矩阵出发求解主成分
在实际应用时，为了消除原始变量量纲的影响，通常将 数据标准化。考虑下面的标准化变化，令
Zi X i i i 1, 2 , , p
ii
,
（13.1.15）
12 22
p2
2 p X 2 pp X p
利用Eviews主成分分析和因子分析(免费)(精选)PPT文档共110页
利用Eviews主成分分析和因子分析 (免费)（精选）
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 等的。 ——波 洛克
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。。——孔子
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 等的。 ——波 洛克
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。。——孔子
主成分分析和因子分析在Eviews中的实现PPT文档共110页
主成分分析和因子分析在Eviews中的
实现
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
110
▪
Hale Waihona Puke 26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
实现
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
110
▪
Hale Waihona Puke 26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
主成分分析与因子分析法ppt课件
9
事实上，以上问题在平时的研究中，也会经 常遇到。它所涉及的问题可以推广到对企业、 对学校、对区域进行分析、评价、排序和分 类等。
比如对n个样本进行综合评价，可选的描述样 本特征的指标很多，而这些指标往往存在一 定的相关性（既不完全独立，又不完全相 关），这就给研究带来很大不便。若选指标 太多，会增加分析问题的难度与复杂性，选 指标太少，有可能会漏掉对样本影响较大的 指标，影响结果的可靠性。
在各种线性组合中方差达到最大者。
满足上述约束得到的合成变量Y1, Y2, …, Yp分别称为 原始变量的第一主成分、第二主成分、…、第 p 主成分，
而且各成分方差在总方差中占的比重依次递减。在实际研究
工作中，仅挑选前几个方差较大的主成分，以达到简化系统
结构的目的。
24
24
三、主成分分析的计算步骤
25
21
(二) 主成分分析的基本思想
假如对某一问题的研究涉及 p 个指标，记为X1，X2, …,
Xp，由这 p 个随机变量构成的随机向量为X=(X1, X2, …,
Xp)，设 X 的均值向量为，协方差矩阵为。设Y=(Y1, Y2 ,
… , Yp)为对 X 进行线性变换得到的合成随机向量，即
Y1 11
主成分分析法与因子分析法
1
主要内容
➢ 主成分分析法 ➢ 因子分析法 ➢ 附：主成分分析法与因子分析法的区别
2
主成分分析法
（Principal Components Analysis,PCA） ➢ 主成分分析法概述 ➢ 主成分分析的基本原理 ➢ 主成分分析的计算步骤
3
一、主成分分析概述
4
引子
假定你是一个公司的财务经理，掌握了公 司的所有数据，这包括众多的变量，比如 固定资产、流动资金、每一笔借贷的数额 和期限、各种税费、工资支出、原料消耗、 产值、利润、折旧、职工人数、职工的分 工和教育程度等等。
事实上，以上问题在平时的研究中，也会经 常遇到。它所涉及的问题可以推广到对企业、 对学校、对区域进行分析、评价、排序和分 类等。
比如对n个样本进行综合评价，可选的描述样 本特征的指标很多，而这些指标往往存在一 定的相关性（既不完全独立，又不完全相 关），这就给研究带来很大不便。若选指标 太多，会增加分析问题的难度与复杂性，选 指标太少，有可能会漏掉对样本影响较大的 指标，影响结果的可靠性。
在各种线性组合中方差达到最大者。
满足上述约束得到的合成变量Y1, Y2, …, Yp分别称为 原始变量的第一主成分、第二主成分、…、第 p 主成分，
而且各成分方差在总方差中占的比重依次递减。在实际研究
工作中，仅挑选前几个方差较大的主成分，以达到简化系统
结构的目的。
24
24
三、主成分分析的计算步骤
25
21
(二) 主成分分析的基本思想
假如对某一问题的研究涉及 p 个指标，记为X1，X2, …,
Xp，由这 p 个随机变量构成的随机向量为X=(X1, X2, …,
Xp)，设 X 的均值向量为，协方差矩阵为。设Y=(Y1, Y2 ,
… , Yp)为对 X 进行线性变换得到的合成随机向量，即
Y1 11
主成分分析法与因子分析法
1
主要内容
➢ 主成分分析法 ➢ 因子分析法 ➢ 附：主成分分析法与因子分析法的区别
2
主成分分析法
（Principal Components Analysis,PCA） ➢ 主成分分析法概述 ➢ 主成分分析的基本原理 ➢ 主成分分析的计算步骤
3
一、主成分分析概述
4
引子
假定你是一个公司的财务经理，掌握了公 司的所有数据，这包括众多的变量，比如 固定资产、流动资金、每一笔借贷的数额 和期限、各种税费、工资支出、原料消耗、 产值、利润、折旧、职工人数、职工的分 工和教育程度等等。
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i k, i, k 1 , 2 ,, p
cov( y i , y k ) 0 ,
且由式（13.1.16）和性质2可得
ˆ i p sii
i 1 i 1
p
p
（13.1.26）
ˆ 则第i个样本主成分的贡献度为 i p ，前m个样本主成份的累 计贡献度为 m ˆ / p
1
13.1 主成分分析
主成分分析（principal components analysis，简称
PCA）是由霍特林（Hotelling）于1933年首先提出的。
它通过投影的方法，实现数据的降维，在损失较少数 据信息的基础上把多个指标转化为几个有代表意义的 综合指标。
2
13.1.1 主成分分析的基本思想
（13.1.7）
此时 var(Y1 ) a1 Σa1 达到最大值为1。同理有 var( ei X ) i 并且
cov( ei X , e j X ) ei Σe j j eie j 0,
i j 1, 2,, p
（13.1.8）
8
由上述推导得
Y1 e1 X , Y2 e X ,, Y p e p X 2
（13.1.19）
15
则样本协方差矩阵为：
1 n S ( x k x )( x k x ) (sij ) p p n 1 k 1
其中:
x ( x1 , x 2 , x p ) 1 n xi x ki n k 1
（13.1.20）
i 1, 2 , , p
Xp)的协方差矩阵。设1 ≥ 2 ≥ … ≥ p ≥ 0 为 的特征值，e1 ,
意的ei 和 ej，有
e2 ,…, ep为 矩阵各特征值对应的标准正交特征向量，则对于任
且
1, e ie j 0,
i j i j
（13.1.4）
Σ i e i e i ,
i 1
仅挑选前几个方差较大的主成分，以达到简化系统结构的目
的。
5
13.1.2 总体主成分求解及其性质
13.1.1节中提到主成分分析的基本思想是考虑合成 变量的方差大小及其对原始变量波动(方差)的贡献大小， 而对于原始随机变量X1，X2，…，Xp，其协方差矩阵 或相关矩阵正是对各变量离散程度和相关程度的度量。 在实际求解主成分时，一般从原始变量的协方差矩阵 或相关矩阵的结构分析出发。
16
2．样本主成份及其性质
由于采用相关矩阵和协方差矩阵求解主成分的过程基本 一致，因此本节仅介绍基于样本相关矩阵求解主成分的过程。 ˆ ˆ ˆ ˆ 设样本相关矩阵 R 的特征值为1 , 2 ,, p ，且
ˆ ˆ ˆ 1 2 p 0
与特征值相对应的标准正交特征向量为 e1 , e 2 ,, e p ，根据式 ˆ ˆ ˆ
6
1．从协方差矩阵出发求解主成分 设1是任意 p1向量，求解主成份就是在约束条件 a a i 下， 1 i 求 X 的线性函数 即达到最大，且 使其方差 达到最大， var(Y1 ) a1 Σa1 Y1 a1 X a a i，其中 是随机变量向量X =(X1, X2, …, 1 i
（13.1.9）
可见Y1, Y2, …, Yp 即为原始变量的 p 个主成份。因此，主
成分的求解转变为求 X1, X2, …, Xp 协方差矩阵 的特征值和特 征向量的问题。
9
２．主成份的性质
性质1 Y的协方差矩阵为对角阵，即
1 0 var(Y ) Λ 0 p
i 1 2 p
称为第 i 个主成分的贡献度。定义
（13.1.12）
j 1 j i 1
m
p
i
m p
（13.1.13）
称为前 m 个主成分的累积贡献度，衡量了前 m 个主成份对原
始变量的解释程度。
11
性质3
记第k个主成分 Yk 与原始变量 Xi 的相关系数为
r(Yk，Xi)，称为因子载荷，或者因子负荷量，则有
第十三章 主成分分析和因子分析
在建立多元回归模型时，为了更准确地反映事物的特 征，人们经常会在模型中包含较多相关解释变量，这不仅 使得问题分析变得复杂，而且变量之间可能存在多重共线
性，使得数据提供的信息发生重叠，甚至会抹杀事物的真
正特征。为了解决这些问题，需要采用降维的思想，将所 有指标的信息通过少数几个指标来反映，在低维空间将信 息分解为互不相关的部分以获得更有意义的解释。本章介 绍的主成分分析和因子分析可用于解决这类问题。
假如对某一问题的研究涉及 p 个指标，记为X1，X2, …, Xp，由这 p 个随机变量构成的随机向量为X=(X1, X2, …, Xp)， 设 X 的均值向量为，协方差矩阵为。设Y=(Y1, Y2 , … , Yp) 为对 X 进行线性变换得到的合成随机向量，即
Y1 11 Y2 21 Y p1 p
Yi e Z e (V 1 / 2 ) 1 ( X μ) i i
i 1 , 2 , , p
（13.1.17）
由相关矩阵求得的主成分仍然满足性质1～3。性质3可
以进一步表示为：
r (Yk , Z i ) eki k
,
i , k 1, 2 ,, p
（13.1.18）
14
13.1.3 样本的主成分
1．样本统计量 在实际工作中，我们通常无法获得总体的协方差矩阵 和相关矩阵R。因此，需要采用样本数据来估计。设从均值
向量为，协方差矩阵为 的 p 维总体中得到的 n 个样本，
且样本数据矩阵为
x11 x 21 x ( x1 , x 2 , , x n ) x n1 x1 p x 22 x 2 p x n 2 x np x12
1 n sij ( xki xi )(xkj x j n 1 k 1
（13.1.21）
样本相关矩阵为：
ˆ R (rij ) p p
,
rij
sij sii s jj
（13.1.22）
样本协方差矩阵 S 是总体协方差矩阵 的无偏估计量，样
ˆ 本相关矩阵 R 是总体相关矩阵 R 的估计量。
a a i 1 i
4
为了有效地反映原始变量的信息，Y的不同分量包含的
信息不应重叠。综上所述，式（13.1.1）的线性变换需要满 足下面的约束：
2 2 2 (1) a a i 1，即 ai1 ai 2 aip 1 ，i =1, 2, …, p。 i
(2) Y1在满足约束 (1) 即的情况下，方差最大；Y2是在满 足约束(1) ，且与Y1不相关的条件下，其方差达到最大；……； Yp是在满足约束(1) ，且与Y1，Y2，…，Y p-1不相关的条件下， 在各种线性组合中方差达到最大者。 满足上述约束得到的合成变量Y1, Y2, …, Yp分别称为原始 变量的第一主成分、第二主成分、…、第 p 主成分，而且各 成分方差在总方差中占的比重依次递减。在实际研究工作中，
（13.1.17）第 i 个样本主成分可表示为：
ˆi ˆ ˆ ˆ y i e x ei1 x1 ei 2 x 2 eip x p
而且
i 1 , 2 , , p
（13.1.23） （13.1.24） （13.1.25）
17ˆ Biblioteka ar( y i ) i,
i 1 , 2 ,, p
（13.1.10）
性质2 设=(ij)p×p是随机变量向量 X 的协方差矩阵， 可得
var( X ) var(Y )
i 1 i i 1 i
p
p
即
i 1
p
ii
i
i 1
p
10
由此可见，主成分分析是把 p 个随机变量的总方差分解为
p 个不相关随机变量的方差之和1 ＋ 2 ＋…＋ P，则总方差 中属于第 i 个主成分（被第 i 个主成分所解释）的比例为
的主成分。
19
例13.1 宏观经济景气波动的主成分分析 本例从一批对景气变动敏感，有代表的指标中筛选出5个
反应宏观经济波动的一致指标组：工业增加值增速（iva）、工
业行业产品销售收入增速（sr）、固定资产投资增速（if）、发 电量增速（elec）和货币供应量M1增速（m1），样本区间从 1998年1月～2006年12月，为了消除季节性因素和不规则因素， 采用X-12方法进行季节调整。常用的方法是美国商务部采用的 计算合成指数CI的方法。特别的，本例利用主成分分析降维的 思想，提取主成分（PCA），并与合成指数CI的结果进行比较。
Zi
X i i
ii
,
i 1, 2 , , p
（13.1.15）
其中i，ii 分别表示随机变量 Xi 的期望与方差，则
E(Z i ) 0 ,
var( Z i ) 1
13
原始变量的相关矩阵就是原始变量标准化后的协方差 矩阵，因此，由相关矩阵求主成分的过程与由协方差矩阵 求主成分的过程是一致的。如果仍然采用（λi ，ei）表示 相关矩阵R对应的特征值和标准正交特征向量，根据式 （13.1.9）有：
p
e e I
i 1 i i
p
（13.1.5）
7
因此
a1 Σa1 a1 ( i ei ei )a1 1a1 ( ei ei )a1 1a1 Ia1 1
i 1 i 1
p
p
（13.1.6） 当1 = e1 时有
e1 Σe1 e11e1 1e1e1 1
12 22
p2
cov( y i , y k ) 0 ,
且由式（13.1.16）和性质2可得
ˆ i p sii
i 1 i 1
p
p
（13.1.26）
ˆ 则第i个样本主成分的贡献度为 i p ，前m个样本主成份的累 计贡献度为 m ˆ / p
1
13.1 主成分分析
主成分分析（principal components analysis，简称
PCA）是由霍特林（Hotelling）于1933年首先提出的。
它通过投影的方法，实现数据的降维，在损失较少数 据信息的基础上把多个指标转化为几个有代表意义的 综合指标。
2
13.1.1 主成分分析的基本思想
（13.1.7）
此时 var(Y1 ) a1 Σa1 达到最大值为1。同理有 var( ei X ) i 并且
cov( ei X , e j X ) ei Σe j j eie j 0,
i j 1, 2,, p
（13.1.8）
8
由上述推导得
Y1 e1 X , Y2 e X ,, Y p e p X 2
（13.1.19）
15
则样本协方差矩阵为：
1 n S ( x k x )( x k x ) (sij ) p p n 1 k 1
其中:
x ( x1 , x 2 , x p ) 1 n xi x ki n k 1
（13.1.20）
i 1, 2 , , p
Xp)的协方差矩阵。设1 ≥ 2 ≥ … ≥ p ≥ 0 为 的特征值，e1 ,
意的ei 和 ej，有
e2 ,…, ep为 矩阵各特征值对应的标准正交特征向量，则对于任
且
1, e ie j 0,
i j i j
（13.1.4）
Σ i e i e i ,
i 1
仅挑选前几个方差较大的主成分，以达到简化系统结构的目
的。
5
13.1.2 总体主成分求解及其性质
13.1.1节中提到主成分分析的基本思想是考虑合成 变量的方差大小及其对原始变量波动(方差)的贡献大小， 而对于原始随机变量X1，X2，…，Xp，其协方差矩阵 或相关矩阵正是对各变量离散程度和相关程度的度量。 在实际求解主成分时，一般从原始变量的协方差矩阵 或相关矩阵的结构分析出发。
16
2．样本主成份及其性质
由于采用相关矩阵和协方差矩阵求解主成分的过程基本 一致，因此本节仅介绍基于样本相关矩阵求解主成分的过程。 ˆ ˆ ˆ ˆ 设样本相关矩阵 R 的特征值为1 , 2 ,, p ，且
ˆ ˆ ˆ 1 2 p 0
与特征值相对应的标准正交特征向量为 e1 , e 2 ,, e p ，根据式 ˆ ˆ ˆ
6
1．从协方差矩阵出发求解主成分 设1是任意 p1向量，求解主成份就是在约束条件 a a i 下， 1 i 求 X 的线性函数 即达到最大，且 使其方差 达到最大， var(Y1 ) a1 Σa1 Y1 a1 X a a i，其中 是随机变量向量X =(X1, X2, …, 1 i
（13.1.9）
可见Y1, Y2, …, Yp 即为原始变量的 p 个主成份。因此，主
成分的求解转变为求 X1, X2, …, Xp 协方差矩阵 的特征值和特 征向量的问题。
9
２．主成份的性质
性质1 Y的协方差矩阵为对角阵，即
1 0 var(Y ) Λ 0 p
i 1 2 p
称为第 i 个主成分的贡献度。定义
（13.1.12）
j 1 j i 1
m
p
i
m p
（13.1.13）
称为前 m 个主成分的累积贡献度，衡量了前 m 个主成份对原
始变量的解释程度。
11
性质3
记第k个主成分 Yk 与原始变量 Xi 的相关系数为
r(Yk，Xi)，称为因子载荷，或者因子负荷量，则有
第十三章 主成分分析和因子分析
在建立多元回归模型时，为了更准确地反映事物的特 征，人们经常会在模型中包含较多相关解释变量，这不仅 使得问题分析变得复杂，而且变量之间可能存在多重共线
性，使得数据提供的信息发生重叠，甚至会抹杀事物的真
正特征。为了解决这些问题，需要采用降维的思想，将所 有指标的信息通过少数几个指标来反映，在低维空间将信 息分解为互不相关的部分以获得更有意义的解释。本章介 绍的主成分分析和因子分析可用于解决这类问题。
假如对某一问题的研究涉及 p 个指标，记为X1，X2, …, Xp，由这 p 个随机变量构成的随机向量为X=(X1, X2, …, Xp)， 设 X 的均值向量为，协方差矩阵为。设Y=(Y1, Y2 , … , Yp) 为对 X 进行线性变换得到的合成随机向量，即
Y1 11 Y2 21 Y p1 p
Yi e Z e (V 1 / 2 ) 1 ( X μ) i i
i 1 , 2 , , p
（13.1.17）
由相关矩阵求得的主成分仍然满足性质1～3。性质3可
以进一步表示为：
r (Yk , Z i ) eki k
,
i , k 1, 2 ,, p
（13.1.18）
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13.1.3 样本的主成分
1．样本统计量 在实际工作中，我们通常无法获得总体的协方差矩阵 和相关矩阵R。因此，需要采用样本数据来估计。设从均值
向量为，协方差矩阵为 的 p 维总体中得到的 n 个样本，
且样本数据矩阵为
x11 x 21 x ( x1 , x 2 , , x n ) x n1 x1 p x 22 x 2 p x n 2 x np x12
1 n sij ( xki xi )(xkj x j n 1 k 1
（13.1.21）
样本相关矩阵为：
ˆ R (rij ) p p
,
rij
sij sii s jj
（13.1.22）
样本协方差矩阵 S 是总体协方差矩阵 的无偏估计量，样
ˆ 本相关矩阵 R 是总体相关矩阵 R 的估计量。
a a i 1 i
4
为了有效地反映原始变量的信息，Y的不同分量包含的
信息不应重叠。综上所述，式（13.1.1）的线性变换需要满 足下面的约束：
2 2 2 (1) a a i 1，即 ai1 ai 2 aip 1 ，i =1, 2, …, p。 i
(2) Y1在满足约束 (1) 即的情况下，方差最大；Y2是在满 足约束(1) ，且与Y1不相关的条件下，其方差达到最大；……； Yp是在满足约束(1) ，且与Y1，Y2，…，Y p-1不相关的条件下， 在各种线性组合中方差达到最大者。 满足上述约束得到的合成变量Y1, Y2, …, Yp分别称为原始 变量的第一主成分、第二主成分、…、第 p 主成分，而且各 成分方差在总方差中占的比重依次递减。在实际研究工作中，
（13.1.17）第 i 个样本主成分可表示为：
ˆi ˆ ˆ ˆ y i e x ei1 x1 ei 2 x 2 eip x p
而且
i 1 , 2 , , p
（13.1.23） （13.1.24） （13.1.25）
17ˆ Biblioteka ar( y i ) i,
i 1 , 2 ,, p
（13.1.10）
性质2 设=(ij)p×p是随机变量向量 X 的协方差矩阵， 可得
var( X ) var(Y )
i 1 i i 1 i
p
p
即
i 1
p
ii
i
i 1
p
10
由此可见，主成分分析是把 p 个随机变量的总方差分解为
p 个不相关随机变量的方差之和1 ＋ 2 ＋…＋ P，则总方差 中属于第 i 个主成分（被第 i 个主成分所解释）的比例为
的主成分。
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例13.1 宏观经济景气波动的主成分分析 本例从一批对景气变动敏感，有代表的指标中筛选出5个
反应宏观经济波动的一致指标组：工业增加值增速（iva）、工
业行业产品销售收入增速（sr）、固定资产投资增速（if）、发 电量增速（elec）和货币供应量M1增速（m1），样本区间从 1998年1月～2006年12月，为了消除季节性因素和不规则因素， 采用X-12方法进行季节调整。常用的方法是美国商务部采用的 计算合成指数CI的方法。特别的，本例利用主成分分析降维的 思想，提取主成分（PCA），并与合成指数CI的结果进行比较。
Zi
X i i
ii
,
i 1, 2 , , p
（13.1.15）
其中i，ii 分别表示随机变量 Xi 的期望与方差，则
E(Z i ) 0 ,
var( Z i ) 1
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原始变量的相关矩阵就是原始变量标准化后的协方差 矩阵，因此，由相关矩阵求主成分的过程与由协方差矩阵 求主成分的过程是一致的。如果仍然采用（λi ，ei）表示 相关矩阵R对应的特征值和标准正交特征向量，根据式 （13.1.9）有：
p
e e I
i 1 i i
p
（13.1.5）
7
因此
a1 Σa1 a1 ( i ei ei )a1 1a1 ( ei ei )a1 1a1 Ia1 1
i 1 i 1
p
p
（13.1.6） 当1 = e1 时有
e1 Σe1 e11e1 1e1e1 1
12 22
p2