电磁场2.电磁场中的基本物理量和基本定理

I l v
体电流、面电流、线电流都正比于相应电荷的运动 速度。
2.3 电流连续性方程 电荷守恒定律是自然界的基本定律之一，电荷既 不能产生又不能消灭。其数学表示形式为电流连续性 方程。
积分形式:
dq (r , t ) J (r , t ) dS dt t d S
第2章
电磁场中的基本物理 量和基本实验定理
本章学习基本要求
• 理解电荷和电荷密度、电流与电流密度的概念，理 解并掌握电流连续性方程
• 理解掌握库仑定理，掌握点电荷、 连续分布电荷的电场强度表达式，会 计算典型电荷分布的电场强度。 • 理解掌握安培力定理，掌握线、面、体电流的磁感 应强度的表达式，回计算典型电流分布的磁感应强度。
如图，选择球坐标系使圆环与XOY
平面重合，圆心位于坐标原点。 根据圆环结构的对称性，计算电 流圆环在空间 P(r, , 2) 处产生 的磁场并不失一般性。
P点在Y轴上的投影 y r sin , s 2 来自百度文库 2 a 2 2ya cos ,

2
故 R r r r 2 a 2 2ra sin sin 又有 dl ade a(e x sin e y cos )d
是一个体积很小,电荷密度很大，总电量不变的带电
小球体。当 0 时，电荷密度趋近于无穷大，通
常用冲击函数 表示点电荷的密度分布。
q lim 电荷密度 (r0 ) 0
图 单位点电荷的密度分布
2.2 电流 电流密度
若空间分布的电荷是流动的，该体积空间内就有 电流存在。电流定义为单位时间内通过某一横截面的 电量，简称为电流。即：
F21 F12
真空介电常数
图 两点电荷间的作用力
0 8.854 1012
F
m
适用条件
两个可视为点电荷的带电体之间相互作用力;
无限大真空情况 思考：
当真空中引入第三个点电荷 q3 时，试问 q1与q2 相 互间的作用力改变吗? 为什么？
结论：电场力符合矢量叠加原理
静电场基本物理量——电场强度
引入电矩矢量，则：
1 1 p r E(r ) 3 4 0 r 4 0 1 = 4 0 p 3(p r ) r5 r r3 1 1 (p r ) r 3 r 3 (p r )
所以
0 I a 2 0 I a 2 B(r ) e x 2 sin e 2 sin 4 r r 4
求旋度，得到
0 Ia 2 B(r ) (e r 2 cos e sin ) 3 4r 0 pm = (e r 2 cos e sin ) 3 4r
qk R 2 ek k 1 k
N
V/m
电荷之间相互作用力通过电场传递，电场强度反 应其大小。即：
F qE
电偶极子的场 电偶极子 一对等值异号的电荷相 距一个小的距离 l ，称 为电偶极子。 电偶极矩 采用一个矢量，其大小 等于乘积 ql ，方向由q指向+q，称为偶极子的 电矩，简称电偶极矩，即
J S (n dl ) t dS （时变） l S (恒定） J S (n dl ) 0
l
2.4
电场强度
库仑定律
库仑定律 库仑定律是静电现象的基本实验定律。大量试 验表明: 真空中两个静止的点电荷 q1 与 q2 之间 的相互作用力。 q1q 2 q1q 2 F12 e R (N) 2 R 3 40 R 40 R
0 41017 H m
毕奥——沙伐定律 • 磁感应强度 0 I1 dl1 e R F12 I 2 dl 2 4 R 2 C I2dl 2 B C2 C1 2
定义：
0 Idl e R 0 Idl R I 0 B R 2 4 R 3 4 4 C C
电流之间相互作用力通过磁场传递，B反应了其大下。
注意：
F qv B
分析电场和磁场时，“点源”有十分重要的作用。静电场 的“点源”是点电荷，是标量“点源”，产生的力线是有头有 尾；恒定磁场的“点源”是电流元Idl，是矢性“点源”，其 力线是无头无尾的闭合曲线。
磁偶极子 定义 一个载流的小闭和圆环称为磁偶极子。 磁偶极矩 电流环的面积与电流的乘积，称为磁偶极矩。 p m IS 磁偶极子的磁感应强度
1 q 1 q E(R ) ( ) 2 eR ( ) 3R 40 R 40 R
因为：
1 1 1 R ( ) e R ( ) eR 2 3 R R R R R
代入得
q 1 q 1 E(r, r) ( ) ( ) 40 R 40 r r
表面电流线密度的定义：
I Js l
与面电荷密度的关系：
A
m
J s v
在表面电流场中，任意曲线所穿过的电流为：
I n (dl J S ) J S (n dl )
l l
3.线电流
l 分布的线电荷沿着导线以速度 v 运动形成的电流。
图 磁偶极子附近的场分布
与电偶极子的比较 在远离偶极子处，磁偶极子和电偶极子的场分布是相同的， 但在偶极子附近，二者场分布不同。 引申：磁力线是闭合的，电力线是间断的。
2.6 电场强度的矢量积分公式
连续分布电荷产生的电场强度
dE(r )
体电荷分布
1 r r' dq(r ') 3 4 0 r r '
习题：2.7；2.10
目录
2.1 电荷与电荷分布
2.2 电流与电流密度 2.3 电流连续性方程 2.4 电场强度 库仑定理 2.5 安培力定律 磁感应 2.6 电场强度的矢量积分公式 2.7 磁感应强度的矢量积分公式
2.1
电荷与电荷分布
电子电荷量e＝-1.610-19C,带电体的电量是电子 电量的正或负整数倍。
1 E(r ) 4 0
1 40

r r' r r'
3

dq
图 体电荷的电场
(r ')d ' 1 ' R 2 eR 40
1 ) d ' (r R
面电荷分布
dq (r)dS
1 (r)dS 1 1 ) dS E(r ) R 3 R 40 (r R 40 S S
I J lim s 0 s
体积空间某点的电流密度同该点的电荷密度、 电荷运动速度的关系：
J v
体电流为通量，即：
A
m2
i(t) J (r, t) ds
S
2.表面电流线密度（即面电流密度）
分布的面电荷在曲面上以速度v 运动形成的面电流。
图 面电流线密度及其通量
图 媒质的磁化电流
图 电偶极子
p ql
电偶极子的场(例 2.4.1） 图表示一个电偶极子。采用球坐标系，将原点放 在负电荷处,z 轴与 l 相合，远处一点P (r , , ) 的 电场强度等于两点电荷电场强度的叠加。
电偶极子的电场为：
q 1 1 E(r ) [( ) ] 40 R1 r
q 体电荷分布，体电荷密度 (r) lim C/m3 0 q C/m2 面电荷分布, 面电荷密度 (r) lim S0 S
线电荷分布，线电荷密度
q l (r) lim l0 l C/m
点电荷q 点电荷的数学模型 点电荷是电荷体分布的极限情况,可以把它看成
单位时间内流出任意闭合面的电荷量等于同一时 间内该闭和面内总电荷量的减少率。 微分形式:
(r , t ) J (r , t ) t
恒定电场中的电流连续性方程:
J dS 0 , J 0
S
对应电路理论中的基尔霍夫电流定律，即在任一 时刻，流入一个节点的电流代数和为零。 对于表面电流场,有:
R 1 (r 2 l2 2rl cos )1 2 ，在l << r的情况下， 其中
1 1 不计高阶项得 R 2 l cos r r
1
电场为：
q qlsin l cos ql cos E(r ) 2 e e 3 r 3 40 r 20 r 40 r
2.5 安培力定律 磁感应
安培力定律 1820年, 法国物理学家安培 从实验中总结出电流回路之
间的相互作用力的规律,称为
安培力定律 (Ampere’s force Law )。
图 两载流回路间的相互 作用力 式中真空中的磁导率
电流 I1的回路对电流I2回 路的作用力 F12为 0 I 2 dl 2 (I1dl1 eR ) F12 C 4 R2 C1 2
磁感应强度,单位 T。 式中 R r r 写成一般表达式，即
1 dl R C
0 Idl (r r) B 4 l r r 3
上式为毕奥——沙伐定律（Biot — Savart Law )
适用条件：无限大均匀媒质，且电流分布在有限区域内。
(e x sin e y cos )ad 0 I dl 0 I 得到 B(r ) R 4 [ (r 2 a 2 2ra sin sin )1 2 ] 4 C C
求
r a
区域的磁场，则 R
1
1 a 1 sin sin r r
(p r) p
电偶极子的等位面和电力线
等位面方程 电力线方程
r C cos
r C sin
2
结论： 电场强度与 r 3 成反比。 电场强度具有轴对称性。 电力线与等位面垂直。但在实际中，在偶极子 附近，实际等位线和电力线的分布如上图所示。实 际电力线起始于正电荷，终止于负电荷。
线电荷分布
dq l (r)dl
l (r)dl 1 1 1 ) dl E(r ) R 3 R 40 l (r R 40 S S
例2.6.1:自由空间中一长度为 l 的均匀带电直线段，电荷 密度为 l ，求直线外任一点处的电场强度。
图 点电荷的电场
=
q 40 r r
3
(r r)
式中：R r r
观察点为“场点”，源电荷所在点为“源点”。场 r 点的位置用 表示，源点位置用 表示。 r n个点电荷产生的电场强度 (注意:矢量叠加)
1 E( r ) 4 0

k 1
N
r rk ' 1 2 r rk ' r rk ' 4 0 qk
定义： 单位静止点电荷所受到的电场力，称为电 场强度。 数学表达式:
F E lim q 0 q
V/m
电场强度（Electric Field Intensity ) E 表
示单位正电荷在电场中所受到的力(F ), 它是空间坐
标的矢量函数, 定义式给出了E 的大小、方向与单位。
离源电荷q，距离为R的点处 点电荷产生的电场强度： 的电场强度为
i (t ) lim
t 0
q dq t dt
I 是通量,并不反映电流在每一点的流动情况。 电流密度
电流密度是一个矢量，在各向同性线性导电媒质 中，它与电场强度方向一致。
1.电流密度
分布的体电荷以速度v 作运动形成的体电流。
图 电流密度矢量
图 电流密度
体电流面密度（即体电流密度） 大小为单位时间垂直穿过单位面积的电荷量，方向 为正电荷运动的方向。