森林救火 PPT

dB 0,0 t t 2 dt
从火灾发生到消防队员到达并开始救火这段时 间内，火势是越来越大的，即
d 2B 0,0 t t1 2 dt
开始救火以后，即 t1 t t 2时，如果队员灭火 能力足够强，火势会越来越小，即
d 2B 0, t1 t t 2 2 dt
C( x) c1 B(t 2 ) c2 x(t 2 t1 ) c3 x
dB 由假设3，4，火势蔓延速度 dt 在 0 t t1 内线性地 增加，t1时刻消防队员到达并开始救火，此时火势 用b表示，而后，在 t1 t t 2 内，火势蔓延的速度 线性地减少（如下图）
即：
dB t , dt (x )(t 2 t ), 0 t t1 t1 t t 2 ,
因而有 ：
b b t1 , t2 t1 x
烧毁面积为 B (t2 )

t2
0
dB 1 dt bt2 , dt 2
恰为图中三角形的面积. 由b的定义有 b t1 ( x )(t2 t1 ) ，于是 b b b t 2 t1 , t2 , x x
④ 派出消防队员x名，开始救火以后（t t1 ）， x 火势蔓延速度降为 （线性化），其中 可 视为每个队员的平均灭火速度，且有 ： x 因为要扑灭森林大火，灭火速度必须大于火势 蔓延的速度，否则火势将难以控制；
⑤ 每个消防队员单位时间费用为C2（包括灭火器材 料的消耗及消防队员的薪金等），救火时间为t2-t1， 于是每个队员的救火费用为C2(t2-t1)；每个队员的一 次性支出为C3(运送队员、器材等一次性支出).
பைடு நூலகம் 问题提出
森林失火了！消防站接到火警后，立即决定派消防队 员前去救火.一般情况下，派往的队员越多，火被扑灭的 越快，火灾所造成的损失越小，但是救援的开支就越大； 相反，派往的队员越少，救援开支越少，但灭火时间越 长，而且可能由于不能及时灭火而造成更大的损失，那 末消防站应派出多少队员前去救火呢
问题分析
容易解得
C1b 2C2 b x 2 2C3
2
模型分析与改进
① 应派出的（最优）消防队员人数由两部分组成， 其中 是为了把火扑灭所必须的最低限度,因为β是 火势蔓延速度，而λ是每个队员的平均灭火速度， 同时也说明这个最优解满足约束条件，结果是合理 的.
② 派出的队员数的另一部分，即在最低限度基础 之上的人数，与问题的各个参数有关.当队员灭 火速度λ和救援费用系数C3增大时，队员数减少； 当火势蔓延速度β、开始救火时的火势b及损失 费用系数C1增加时，消防队员人数增加；当救 援费用系数C2增大时，队员人数也增大.
对于假设3可作如下解释：由于森林中树木分 布均匀，且火灾是在无风条件下发生的，因而火 势可看作以失火点为中心，以均匀速度向四周呈 圆形蔓延，因而蔓延半径r与时间t成正比，又因为 2 烧毁面积B与r 成正比，故B与 t 2 成正比，从而 dB 与t成正比
dt
模型建立
总费用由森林损失费和救援费组成.由假设2，森 林损失费等于烧毁面积B（t2）与单位面积损失费C1 的积，即C1B(t2)；由假设5，救援费为 C2x(t2-t1)+C3x，因此，总费用为
设火灾发生时刻为t=0，开始救火时刻为 t=t1，灭火时刻为t=t2，t 时刻森林烧毁面积 为B（t），则造成损失的被烧毁的森林的面
dB 积为B（t2），而 dt 是单位时间烧毁面积，
也表示了火势蔓延的程度.从火灾发生时刻开 始到火被扑灭的过程中，被烧毁的森林的面 积是不断扩大的，因而B（t）应是时间t的单 调递增的函数，即
并且当t=t2时， dB 0
dt
模型假设
在建立数学模型之前，需要对烧毁森林的损失
dB 费、救援费及火势蔓延程度 dt 作出合理的假设
① 森林中树木分布均匀，而且火灾是在无风的条 件下发生的； ② 损失费与森林烧毁面积B（t2）成正比，比例系 数为C1，即烧毁单位面积的损失费为C1；
③ 从失火到开始救火这段时间内，火势蔓延程度 与时间t成正比，比例系数为β，称之为火势蔓延速 度，即
③改进方向：
i 取消树木分布均匀、无风这一假设，考虑更一般情况； ii 灭火速度是常数不尽合理，至少与开始救火时的火势有关； iii 对不同种类的森林发生火 灾，派出的队员数应不同， 虽然β（火势蔓延速度） 能从某种程度上反映森林 类型不同，但对β相同的 两种森林，派出的队员也 未必相同； iv 决定派出队员人数时，人 们必然在森林损失费和救 援费用之间作权衡，可通 过对两部分费用的权重来 体现这一点.
1 b b b C ( x) bC1 ( ) C2 x C3 x 2 x x
所以： 其中只有派出的消防队员的人数是未知的.
问题归结为如下的最优化问题：
C ( x) min x 0 s.t.x 0.
模型求解
dC 0 这是一个函数极值问题. 令 dx
如题中所述，森林救火问题与派出的消防队员的人数密 切相关，应综合考虑森林损失费和救援费，以总费用最小为目 标来确定派出的消防队员的人数使总费用最小. • 救火的总费用由损失费和救援费两部分组成. • 损失费由森林被烧毁的面积大小决定 (通常正比于森林烧 毁的面积），而烧毁面积与失火、灭火（指火被扑灭） 的时间（即火灾持续的时间）有关，灭火时间又取决于 参加灭火的队员的数目，队员越多灭火越快.救援费除与 队员人数有关外，也与灭火时间长短有关. • 救援费可具体分为两部分：一部分是灭火器材的消耗及 消防队员的薪金等，与队员人数及灭火时间均有关；另 一部分是运送队员和器材等一次性支出，只与队员人数 有关.