解析“函数的应用”中“函数关系式”的建立

解析“函数的应用”中“函数关系式”的建立
“探索具体问题中的数量关系和变化规律，并能运用函数进行描述和解决问题”，这是《新课标》关于函数目标的一段描述。

因此，“函数建模及其应用”类试题，在全国各地中考试卷中备受青睐。

而建模的首要是建立函数关系式。

但在不同类型题目面前,不少同学往往感到手足无措,不能迅速找到解题思路.本文就近几年各地中考精典试题为例，着重系统解析“函数关系式”的建立方法
I. 待定系数法
所谓待定系数法，就是先设出函数解析式的一般形式，通过给定的函数图象上的点的坐标，将其代入函数解析式，求出待定系数的值，最后写出函数的解析式。

一般包括四个步骤：一设二代三解四写，这种方法适用于已知了函数类型（或函数图象）的一类函数建模问题，(2011江苏南京，22，7分)小颖和小亮上山游玩，小颖乘坐缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会合．已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍，小颖在小亮出发后
50 min才乘上缆车，缆车的平均速度为180 m/min．设小亮出发
x min后行走的路程为y m．图中的折线表示小亮在整个行走过程中y与x的函数关系．
⑴小亮行走的总路程是____________㎝，他途中休息了________min．
⑵①当50≤x≤80时，求y与x的函数关系式；
②当小颖到达缆车终点为时，小亮离缆车终点的路程是多少？
【答案】解：⑴3600，20．
⑵①当时，设y与x的函数关系式为．
根据题意，当时，；当，．
所以，y与x的函数关系式为．
②缆车到山顶的路线长为3600÷2=1800（），
缆车到达终点所需时间为1800÷180＝１0（）．
小颖到达缆车终点时，小亮行走的时间为10＋50＝60（）．把代入，得y=55×60—800=2500．
所以，当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是3600-2500=1100（）．
点评：根据函数图象，确定函数的类型为一次函数，通过图象上的两点坐标，（50,1950）和（80,3600），代入函数关系式求出待定系数，从而求解出本题。

(2011重庆，25 截选，)某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件，受美元走低的影响，从去年1至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y1（元）与月份x（1≤x≤9，且x取整数）之间的函数关系如下表：
y（元
随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y与x之间的函数关系式，
答案：y=540+20x(1≤X≤9且x取正数)
点评：本题可以将已知的各组对应值分别作为点的坐标，在平面直角坐标系中，描出相应的点，观察点的分布情况，猜想函数类型，求出其关系式，并将其余对应值代入验证。

我们称之为描点画图法。

也可以分析所给数据的变化特征，直接猜想函数类型，求出关系式，并将其余对应值代入验证。

我们称之为数据特征法。

II. 直接列式法
所谓直接列式法，就是根据题目中所给出的有关计算公式，或我们平时经常运用的公式，比如总价=单价×数量利润=售价－成
本路程=速度×时间等等，直接列出有关代数式，进而求解函数关系式。

(2010河北，26，12分)某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y =x＋150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w内（元）（利润= 销售额－成本－广告费）．若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a 元/件（a为常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳x2元的附加费，设月利润为w外（元）（利润= 销售额－成本－附加费）．
（1）当x = 1000时，y = 元/件，w内= 元；
（2）分别求出w内，w外与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）；
（3）当x为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值；
（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？
参考公式：抛物线的顶点坐标是．
解：（1）140 57500；
（2）w 内 = x（y -20）- 62500 = x2＋130 x，
w外= x2＋（150）x．
（3）当x = = 6500时，w内最大；分
由题意得，
解得a1 = 30，a2 = 270（不合题意，舍去）．所以a = 30．
（4）当x = 5000时，w内= 337500，w外=．若w内＜w外，则a＜32.5；
若w内= w外，则a = 32.5；
若w内＞w外，则a＞32.5．
所以，当10≤a ＜32.5时，选择在国外销售；
当a = 32.5时，在国外和国内销售都一样；
当32.5＜a ≤40时，选择在国内销售．
点评：本题的关键是第2问，如何求解w内，w外与x间的函数关系式。

根据题目中给出的计算公式（w内= 销售额－成本－广告费w外= 销售额－成本－附加费）．我们可分别用代数
式表示出国内销售额=每件销售价格×月销售量=yx, 成本=每件成本×月销售量=20x；国外销售额=150x, 成本=ax, 然后代入计算公式，进而列出函数关系式求解。

III.等式（方程）导出法
这种方法适用于“已知了关于变量之间的等量关系”类函数建模题。

(2009河北，25，12分)某公司装修需用A型板材240块、B型板材180块，A型板材规格是60 cm×30 cm，B型板材规格是40 cm×30 cm．现只能购得规格是150 cm×30 cm的标准板材．一张标准板材尽可能多地裁出A型、B型板材，共有下列三种裁法：（图15是裁法一的裁剪示意图）
设所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁x张、按裁法二裁y
张、按裁法三裁z张，且所裁出的A、B两种型号的板材刚好够用．
（1）上表中，m = ，n = ；
（2）分别求出y与x和z与x的函数关系式；
（3）若用Q表示所购标准板材的张数，求Q与x的函数关系式，并指出当x取何值时Q最小，此时按三种裁法各裁标准板材
多少张？
解：（1）0 ，3．
（2）由题意，得
，∴．
，∴．
（3）由题意，得．
整理，得．
由题意，得
解得x≤90．
【注：事实上，0≤x≤90 且x是6的整数倍】
由一次函数的性质可知，当x=90时，Q最小．
此时按三种裁法分别裁90张、75张、0张．
点评：要求解y与x和z与x的函数关系式，根据题目中所隐含的等量关系：按裁法一所截A型板材块数x＋按裁法二所截A型板材块数2y=A型板材总块数240；按裁法一所截B型板材块数2x＋按裁法三所截B型板材块数3z=B型板材总块数180；列出等量关系式（方程）。

进而导出函数关系式。

通过以上几例不难看出，在函数建模及其应用类问题中，关键是要审清题意，依据题目所给的条件，合理选择适当的方法，从而列出函数解析式求解问题。

因此，教师和学生在平时的教学学习和复习中，要经常结合此类题型，教给学生解决此类问题的方法。

唯有如此，学生在中考中遇到此类问题时才会有思路，有方法，才能在中考中立于不败之地。