基于MATLAB的曲柄摇杆机构优化设计

课程作业

曲柄摇杆优化设计

姓名：XX

学号：XXXXX

班级：XXXXX

XX大学机械与动力学院

目录

1摘要

2问题研究

2.1问题重述

2.2问题分析

3数学模型的建立

3.1设计变量的确定

3.2目标函数的建立

3.3约束条件的确定

3.4标准数学模型

4使用MATLAB编程求解

4.1调用功能函数

4.2首先编写目标函数 M 文件

4.3编写非线性约束函数 M 文件

4.4编写非线性约束函数 M 文件

4.5运行结果

5结果分析

6结论推广

7过程反思

8个人小结

9参考文献

1.

1

摘要: 为分析机构能够满足给定的运动规律和运动空间的要求,运用Matlab 优化工具箱进行多约束条件下的连杆机构预定轨迹优化设计的方法,从而得到最接近给定运动规律的杆长条件,使机构的运动分析直观、简单和精确，提高了曲柄摇杆机构的设计精度和效率。

2

问题研究 2.1 问题重述

要求设计一曲柄摇杆机构，当曲柄由0ϕ转到0ϕ+90°时，摇杆的输出角实现如下给定的函数关系：

200)(32

ϕϕπ

ψψ-+=

式中0ϕ和0ψ分别为对应于摇杆在右极限位置时曲柄和摇杆的位置角，它们是机架杆l 4为原线逆时针度量的角度，见图1。

要求在该区间的运动过程中的最小传动角不得小于45°，即：

︒=≥45][min γγ

通常把曲柄的长度当成单位长度，即l 1=1。另外，根据机构在机器中的许可空间，可以适当预选机架杆的长度，现取l 4 =5。

2.2 问题分析

设计时，可在给定最大和最小传动角的前提下，当曲柄从0ϕ转到090ϕ︒+时，要求摇杆的输出角最优地实现一个给定的运动规律()f ϕ。这里假设要求：

()()2

0023E f φϕφϕϕπ

==+

- （1） 图1 曲柄摇杆机构简图

对于这样的设计问题，可以取机构的期望输出角()E f φϕ=和实际输出角

()F φϕ=的平方误差之和作为目标函数，使得它的值达到最小。

在图 1 所示的曲柄摇杆机构中，1l 、2l 、3l 、 4l 分别是曲柄AB 、连杆BC 、摇杆CD 和机架AD 的长度。这里规定0ϕ为摇杆在右极限位置0φ时的曲柄起始位置角，它们由1l 、2l 、3l 和4l 确定。

3

数学模型的建立

3.1 设计变量的确定

决定机构尺寸的各杆长度1l 、2l 、3l 和4l ，以及当摇杆按已知运动规律开始运行时，曲柄所处的位置角0ϕ应列为设计变量，所有设计变量有:

[][]

1

234

512340T T

x x x x x x l l l l ϕ== （2）

考虑到机构的杆长按比例变化时，不会改变其运动规律，通常设定曲柄长度

1l =，在这里可给定4l =，其他杆长则按比例取为1l 的倍数。若取曲柄的初始位置

角为极位角，则ϕ及相应的摇杆l 位置角φ均为杆长的函数，其关系式为:

()()()()2222212432301242125arccos 2101l l l l l l l l l l ϕ⎡⎤⎡⎤++-+-+==⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ （3）

()()222221243230343125arccos 210l l l l l l l l l φ⎡⎤⎡⎤

+--+--==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

（4）

因此，只有2l 、3l 为独立变量，则设计变量为[][]1223T T

x x x l l ==。

3.2 目标函数的建立

目标函数可根据已知-的运动规律与机构实际运动规律之间的偏差最小为指标来建立，即：

()()2

1min m

Ei i i f x φφ==-→∑ （5）

式中，Ei φ-期望输出角； m-输出角的等分数；

i φ-实际输出角，由图 1 可知：

图2 曲柄摇杆机构的运动学关系

()()

02i i i i i i i παβϕπφπαβπϕπ--≤≤⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩ (6) 式中，222222322132arccos arccos 22i i i i i r l l r x x rl r x α⎛⎫⎛⎫+-+-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (7)

222241424arccos arccos 210i i i i i r l l r rl r β⎛⎫⎛⎫

+-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

(8)

i r ==

3.3 约束条件

曲柄存在条件:

12131423;,l l l l l l l l ≤≤+≤+ ()()24133412,l l l l l l l l ≤-+≤-+

曲柄与机架共线位置时的传动角（连杆BC 和摇杆CD 之间的夹角）: 最小传动角min min 45r BCD ︒=∠≥ 最大传动角max max 135r BCD ︒=∠≤ 由上面的分析可以算出：

()222222234112

min

231216arccos 4522l l l l x x r l l x x ︒⎡⎤+--⎡⎤

+-⎢⎥==≥⎢⎥⎢⎥⎣

⎦⎣⎦ （10）

()222222234112

max 231236arccos 13522l l l l x x r l l x x ︒⎡⎤+-+⎡⎤

+-⎢⎥==≤⎢⎥⎢⎥⎣

⎦⎣⎦ （11）

3.4 标准数学模型

通过上面的分析后，将输入角分成 30 等分（m=30），经过转化为标准形式得到曲柄摇杆机构优化设计标准数学模型为:

()()2

1

min m

Ei i i f x φφ==-→∑

[][]231

2T

T

x l l x x ==

()()()()()()()

112231241252122612122271212101060..40

401.41436036 1.4140

g x x g x x g x x x s t g x x x g x x x g x x x x x g x x x x x =-≤⎧

⎪

=-≤⎪

⎪=--≤⎪

=--≤⎨⎪=--≤⎪

=+--≤⎪⎪=---≤⎩ (12) 机械优化设计中的问题，大多数属于约束优化问题，此为非线性约束优化问题，

运用 MATLAB 优化工具箱的命令函数 fmincon 来处理有约束的非线性多元函数最小化优化问题。

4

使用MATLAB 编程求解

4.1 本问题属于一般非线性规划问题，其标准型为：

min ()f x

,,()0

..()0,AX b Aeq X beq C X s t Ceq X vlb X vub ≤•=≤⎧⎨

=≤≤⎩ （13）

调用MATLAB 软件优化工具箱中非线性规划求解函数fmincon 来求解。