整环里的因子分解
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k
m 故 m 2 p 而 p 是奇素数时 n 是素元，反之亦然， 2
k
3 证（ 1 ） D 的元 是单位，当而且只当 事实上，若 m n 3i 是单位 则 1 但
2
2
1 时，
1
即 1
2 ' 2
2 2
2
2
' 2
，于是
' 2
1
m 3n 是一正整数，同样
, 所以
时,
. . . , 这不可能。 , 则 .
(ii) 如果 (iii) 如果
由此知,
的任一因子都不是真因子, 故
在
中不可约. (2) 证明 由于 不是 , 而 中的素元. , 故 不是素元.
二、相伴元、不可约元、素元的关系 定理 4.1.2 环 K 中不可约元 a 的任意相伴元仍为 K 中的
{a b 5i | a, b Z } 是有单位元的整环。 Z 5 i
若 | | 9 ，则 必是环 Z [ 5i] 的不可约
2
元。 证明 事实上 , 若 a b 5i 是 的任一 因子，则有 Z[ 5i] ，使
, | |2 | |2 | |2 9 ，
(1)证明： 是 D 的单位 | |2 1 1 ； (2)求 Z 的相伴元。
习 题 二 十 六 解 答
1、 证明 先一般地证明满足 a 9 的元 a 是 Z i 的不可约元。 显
2
然 a 0 而 a 也 不 是 单 位 。 现 设 b m ni 是 a 的 因 子 ， 则
一、 相伴元、不可约元、素元的定义
1、整数环中的整除及素数的概念在一般整环里的推广。 定义 1 设 a, b K ， K 。
（1） 若存在元素 c K 使 a bc 则称 b 整除 a ，也称
b 是 a 的因子，记为 b | a 。若 b 不能整除 a ，则记为 b | a。
伴元，即 a 只有平凡因子。因此 a 是不可 约元。
定理 4.1.3
整环中一个不等于零的元 a 有真因子的充分 a=bc
必要条件是：a=bc (b 和 c 都不是单位)。 证明 若 a 有真因子 b ,那么 这里的 b 由真因子的定义不是单位。c 也不是单位，不然 的话 b ac1 ，b 是 a 的相伴元，与 b 是 a 的真因子的假定 不合。 反过来，假定 a=bc b 和 c 都不是单位。这时 b 不会是 a 的相伴元，不然的话
定理 4.1.1 设环 K 的全体单位组成的集合为 G ，则 G 对 K 的乘 法构成一个交换群。 证明 对任意 a, b G ，有 a, b K ，存在 a1 , b1 K ，因
aa 1 1 ， bb1 1 ，
从而有
(ab)(b1a1 ) a(bb1 )a1 1。
不可约元。 证明 设 是 K 中的任意一个单位，则 a 是 a 的任意 一个相伴元。 下证 a 是 K 中的不可约元。 由于 0 ， a 0 ， K 无零因子，所以 a 0 ；又由于 a 是不可约元，所以 a 不是单位，否则，存在 K ，使得
( a) 1 ，从而有 a( ) 1 ，于是 a 为单位，这与 a 是不可
所以 ab 为单位，故 ab G 。 因 K 满足结合律，所以在 G 中亦满足结合律。 由于 K 的单位元 1 是可逆的，所以 1 G 。 G 中的每一个元都有逆元，且逆元在 G 中。 故 G 对于 K 的乘法构成交换群。 推论 两个单位 和 的乘积 也是一个单位，单位 的逆元 1 也是一个单位。
约元矛盾。
设 b | a ，令 a bc ，且 b 不是单位， 则有
a b( 1c) ，即 b | a 。但 a 是不可约
元，故 b 只能是 a 的相伴元。设 （ 是单位） 。 b a ( )( a) ，
1
由于
1
也是单位，从而 b 是 a 的相
In our classes, all the mobile phones should be switched off !
上课啦！
The class is begin!
第 26 讲
第四章 整环里的因子分解
§1 相伴元、不可约元、素元
在整数环 Z 里，每一个非零的不等于 1 的数，都可以分 解成若干素数（包括负素数）的乘积，而且除了因数次序和
这 只 有 | |2 1,3 或 9 。 但 易 知 | |2 a2 5b2 3 ， 故 只 有
| |2 1 或 9 。
当 | |2 1 时， 是可逆元；当 | |2 9 时， | |2 1 ，即 是单位，于是 与 相伴。因此， 只有平凡因子，即 是 不可约元。 由此可知，环 Z [ 5i] 中的元素 3 及 2 5i 都是不可约元。 由于 3 2 5i 2 5i ， 但 3 不能整除 2 5i 与 2 5i
1；
又 25 。若 25 ，则 1 。即 是单位， 与 5 相伴。这与 是 5 的真因子矛盾。故只有
2 2 2
2
a 2 b2 5 。
解此方程得
2
a 1 a 2 ， 。 b 2 b 1
于是，5 的全部真因子共有 8 个，它们是 1 2i ， 2 i 。 实际上，5 的不相伴的真因子只有两个，1 2i ，而其余的 真因子都与这两个中的某一个相伴。
例2 求出高斯整环 Z i 中的所有单位以及整数 5 在 Z i 中的所有真因子。 解 （1）设 a bi 是 Z i 的任一单位，则有 Z i
2 2
使 1 ， 1 。这只有 即 1 和 i 是环 Z i 的全部单位。
2
2
也是
正整数，因此，只有
1 。由 m 2 3n 2 1 ，
则只能 m 1, 且n 0,即 1. 反之，若
m 1, 且n 0,即 1.
则 显然显然是 D 的单位。
(2)由相伴元的定义可得 2 的相伴元只有 2 与-2。
The class is over. Goodbye!
中任何一个，即 3 不是环 Z 5i 的素元。
习 题 二 十 六
1、证明：在高斯整环 D Z i 中，3 是不可约元，5 是可 约元。
m n Z n 0 2、证明： D n m Z ， ， 是整环，并指 2
出 D 的哪些元素是单位，哪些是素元。 3、设 D z 3i m n 3i | m, n Z
K 的素元。
例 3 在 例 4 在 证明
中, 任一素数 既是素元又是不可约元. 中, 证明: 是不可约元, 但不是素元.
(1) 首先证明 设
在 , 则
中不可约. . 所以 .
即
. 由此得
(i)
,
; (ii) , 则 , 则
,
; (iii)
,
. . .
(i) 如果 如果 当 因为 当 , 时, , , ,
容易证明通常整除的一些基本性质在这里均成立。 在整数环 Z 中，只有±1 才是单位，因此在整数 环 Z 中两个整数相伴当且仅当这两数相等或只相差一 个符号；数域 P 上的一元多项式环 P x 中的单位是全 体零次多项式， P x 中两个多项式相伴当且仅当这两 个多项式只相差一个非零常数因子。 显然，环 K 中元素间的相伴关系是一个等价关系。 因此，若 a 与 b 相伴，则 b 与 a 相伴。 容易证明 a 与 b 相互整除当且仅当 a 与 b 相伴。 2、整环的单位的性质：
a 2 b 2 1 ，从而有
2
a 1 ， b 0 或 a 0 ， b 1 。
（2）设 a bi 是 5 在 Z i 中的任一真因子，则存在
Z i ，使得 5 ， 25
2
2
。这只有
2
1 、5 或 25。
由于 是 5 的真因子，而环 Z i 的单位只有 1 ， i ，故
证明：设 p K ， a 是 p 的任一因子，且
p ab
（1）
由于环 K 有单位元， 故 p | p ， p ab 。 但 p 是素元， 故有 p a 或 p b。
若 p a ，令 a pc ，代入（1）得 p pcb ， 则 cb 1 ，即 b 是单位，从而 a 与 p 相伴。 若 p b ，同理可得 a 是单位， b 与 p 相伴。 因此 p 只有平凡因子，从而 p 是不可约元。 应注意，这个定理的逆命题不成立，即不可约元不 一定是素元。 例5
（2）若 是一个有逆元的元，则称 为 K 的单位。
（3）若 a b ，其中 是 K 的一个单位，则称 a 与 b 相伴，并称 a 是 b 的相伴元。 （4）单位和相伴元称为 a 的平凡因子；别的 因子， 如果有的话， 称为 a 的非平凡因子或真因子。 例 1 在 中, 6 有因子: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6. 其中 1 与-1 为单位, 6 和-6 与 6 相伴, 2, -2, 3, -3 为 6 的 真因子.
3、不可约元、素元的定义：
定义 2 设 a K , a 0
且 a 不是单
位。若 a 只有平凡因子，则称 a 为环 K 的一 个不可约元。否则，称 a 为环 K 的一个可约 元。
定义 3
设 p K ，p 0 且 p 不是单
位。 若当 p ab 时， 必有 p a 或 p b ， 则称 p 为
b a, a ac 1 c
c 是单位，与 假定不合。这样，b 既不是单位，也不是 a 的 相伴元，b 是 a 的真因子。证毕。
显然，整数环 Z 中的不可约元和素元都是正负素数，数 域 P 上的一元多项式环 P x 中的不可约元和素元都是不可 约多项式。但对一般的整环 K 不可约元和素元是有区别的。 定理 4.1.4 环 K 中素元一定是不可约元。
a bc ,c Z i ， 于 是 9 a b c
2 2 2 2 2 2 2
2
， 而 对 m, n Z
2
b m n 3， 因而有 b 1 或 9， 当 b 1 时， b 为单位。 当 b 9
源自文库
时，有 c 1 ，即 c 是单位，于是 b 与 a 相伴，从而 b 不是 a 的真因 子，因此 a 是 Z i 的不可约元。由于 3 9 ，所以 3 是 Z i 的不可约
2
2
元。 因为 5 2 i 2 i ，所以 5 是 Z i 的可约元。
2. 证
D 是整环，显然。
１） D 的单位。可以把 m 表为
m 2k p( p 是０或奇数， k 非负整数）我们说
p 1时，即 m 2k 是单位，反之亦然
２） D 的素元。依然是 m 2k p( p, k 的限制同上） 我们要求 ⅰ） p 0 ⅱ） p 1 ⅲ） 2 p 只有平凡因子 满足ⅰ）—— ⅲ）的 p 是奇素数
1 的因数差别以外，分解是唯一的。
在数域 P 上的一元多项式环 P x 中，每一个次数大于等于 1 的多项式，都能分解成若干不可约多项式的乘积，而且除了因 子次序和零次因式的差别以外，分解是唯一的。 在一般的整环上，元素的唯一分解性结论怎么样？由于整 数环 Z 和数域 P 上的一元多项式环 P x 都是有单位元的整环， 因此，以下所说的环 K ，均假定为有单位元的整环且 K 1 。
m 故 m 2 p 而 p 是奇素数时 n 是素元，反之亦然， 2
k
3 证（ 1 ） D 的元 是单位，当而且只当 事实上，若 m n 3i 是单位 则 1 但
2
2
1 时，
1
即 1
2 ' 2
2 2
2
2
' 2
，于是
' 2
1
m 3n 是一正整数，同样
, 所以
时,
. . . , 这不可能。 , 则 .
(ii) 如果 (iii) 如果
由此知,
的任一因子都不是真因子, 故
在
中不可约. (2) 证明 由于 不是 , 而 中的素元. , 故 不是素元.
二、相伴元、不可约元、素元的关系 定理 4.1.2 环 K 中不可约元 a 的任意相伴元仍为 K 中的
{a b 5i | a, b Z } 是有单位元的整环。 Z 5 i
若 | | 9 ，则 必是环 Z [ 5i] 的不可约
2
元。 证明 事实上 , 若 a b 5i 是 的任一 因子，则有 Z[ 5i] ，使
, | |2 | |2 | |2 9 ，
(1)证明： 是 D 的单位 | |2 1 1 ； (2)求 Z 的相伴元。
习 题 二 十 六 解 答
1、 证明 先一般地证明满足 a 9 的元 a 是 Z i 的不可约元。 显
2
然 a 0 而 a 也 不 是 单 位 。 现 设 b m ni 是 a 的 因 子 ， 则
一、 相伴元、不可约元、素元的定义
1、整数环中的整除及素数的概念在一般整环里的推广。 定义 1 设 a, b K ， K 。
（1） 若存在元素 c K 使 a bc 则称 b 整除 a ，也称
b 是 a 的因子，记为 b | a 。若 b 不能整除 a ，则记为 b | a。
伴元，即 a 只有平凡因子。因此 a 是不可 约元。
定理 4.1.3
整环中一个不等于零的元 a 有真因子的充分 a=bc
必要条件是：a=bc (b 和 c 都不是单位)。 证明 若 a 有真因子 b ,那么 这里的 b 由真因子的定义不是单位。c 也不是单位，不然 的话 b ac1 ，b 是 a 的相伴元，与 b 是 a 的真因子的假定 不合。 反过来，假定 a=bc b 和 c 都不是单位。这时 b 不会是 a 的相伴元，不然的话
定理 4.1.1 设环 K 的全体单位组成的集合为 G ，则 G 对 K 的乘 法构成一个交换群。 证明 对任意 a, b G ，有 a, b K ，存在 a1 , b1 K ，因
aa 1 1 ， bb1 1 ，
从而有
(ab)(b1a1 ) a(bb1 )a1 1。
不可约元。 证明 设 是 K 中的任意一个单位，则 a 是 a 的任意 一个相伴元。 下证 a 是 K 中的不可约元。 由于 0 ， a 0 ， K 无零因子，所以 a 0 ；又由于 a 是不可约元，所以 a 不是单位，否则，存在 K ，使得
( a) 1 ，从而有 a( ) 1 ，于是 a 为单位，这与 a 是不可
所以 ab 为单位，故 ab G 。 因 K 满足结合律，所以在 G 中亦满足结合律。 由于 K 的单位元 1 是可逆的，所以 1 G 。 G 中的每一个元都有逆元，且逆元在 G 中。 故 G 对于 K 的乘法构成交换群。 推论 两个单位 和 的乘积 也是一个单位，单位 的逆元 1 也是一个单位。
约元矛盾。
设 b | a ，令 a bc ，且 b 不是单位， 则有
a b( 1c) ，即 b | a 。但 a 是不可约
元，故 b 只能是 a 的相伴元。设 （ 是单位） 。 b a ( )( a) ，
1
由于
1
也是单位，从而 b 是 a 的相
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第四章 整环里的因子分解
§1 相伴元、不可约元、素元
在整数环 Z 里，每一个非零的不等于 1 的数，都可以分 解成若干素数（包括负素数）的乘积，而且除了因数次序和
这 只 有 | |2 1,3 或 9 。 但 易 知 | |2 a2 5b2 3 ， 故 只 有
| |2 1 或 9 。
当 | |2 1 时， 是可逆元；当 | |2 9 时， | |2 1 ，即 是单位，于是 与 相伴。因此， 只有平凡因子，即 是 不可约元。 由此可知，环 Z [ 5i] 中的元素 3 及 2 5i 都是不可约元。 由于 3 2 5i 2 5i ， 但 3 不能整除 2 5i 与 2 5i
1；
又 25 。若 25 ，则 1 。即 是单位， 与 5 相伴。这与 是 5 的真因子矛盾。故只有
2 2 2
2
a 2 b2 5 。
解此方程得
2
a 1 a 2 ， 。 b 2 b 1
于是，5 的全部真因子共有 8 个，它们是 1 2i ， 2 i 。 实际上，5 的不相伴的真因子只有两个，1 2i ，而其余的 真因子都与这两个中的某一个相伴。
例2 求出高斯整环 Z i 中的所有单位以及整数 5 在 Z i 中的所有真因子。 解 （1）设 a bi 是 Z i 的任一单位，则有 Z i
2 2
使 1 ， 1 。这只有 即 1 和 i 是环 Z i 的全部单位。
2
2
也是
正整数，因此，只有
1 。由 m 2 3n 2 1 ，
则只能 m 1, 且n 0,即 1. 反之，若
m 1, 且n 0,即 1.
则 显然显然是 D 的单位。
(2)由相伴元的定义可得 2 的相伴元只有 2 与-2。
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中任何一个，即 3 不是环 Z 5i 的素元。
习 题 二 十 六
1、证明：在高斯整环 D Z i 中，3 是不可约元，5 是可 约元。
m n Z n 0 2、证明： D n m Z ， ， 是整环，并指 2
出 D 的哪些元素是单位，哪些是素元。 3、设 D z 3i m n 3i | m, n Z
K 的素元。
例 3 在 例 4 在 证明
中, 任一素数 既是素元又是不可约元. 中, 证明: 是不可约元, 但不是素元.
(1) 首先证明 设
在 , 则
中不可约. . 所以 .
即
. 由此得
(i)
,
; (ii) , 则 , 则
,
; (iii)
,
. . .
(i) 如果 如果 当 因为 当 , 时, , , ,
容易证明通常整除的一些基本性质在这里均成立。 在整数环 Z 中，只有±1 才是单位，因此在整数 环 Z 中两个整数相伴当且仅当这两数相等或只相差一 个符号；数域 P 上的一元多项式环 P x 中的单位是全 体零次多项式， P x 中两个多项式相伴当且仅当这两 个多项式只相差一个非零常数因子。 显然，环 K 中元素间的相伴关系是一个等价关系。 因此，若 a 与 b 相伴，则 b 与 a 相伴。 容易证明 a 与 b 相互整除当且仅当 a 与 b 相伴。 2、整环的单位的性质：
a 2 b 2 1 ，从而有
2
a 1 ， b 0 或 a 0 ， b 1 。
（2）设 a bi 是 5 在 Z i 中的任一真因子，则存在
Z i ，使得 5 ， 25
2
2
。这只有
2
1 、5 或 25。
由于 是 5 的真因子，而环 Z i 的单位只有 1 ， i ，故
证明：设 p K ， a 是 p 的任一因子，且
p ab
（1）
由于环 K 有单位元， 故 p | p ， p ab 。 但 p 是素元， 故有 p a 或 p b。
若 p a ，令 a pc ，代入（1）得 p pcb ， 则 cb 1 ，即 b 是单位，从而 a 与 p 相伴。 若 p b ，同理可得 a 是单位， b 与 p 相伴。 因此 p 只有平凡因子，从而 p 是不可约元。 应注意，这个定理的逆命题不成立，即不可约元不 一定是素元。 例5
（2）若 是一个有逆元的元，则称 为 K 的单位。
（3）若 a b ，其中 是 K 的一个单位，则称 a 与 b 相伴，并称 a 是 b 的相伴元。 （4）单位和相伴元称为 a 的平凡因子；别的 因子， 如果有的话， 称为 a 的非平凡因子或真因子。 例 1 在 中, 6 有因子: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6. 其中 1 与-1 为单位, 6 和-6 与 6 相伴, 2, -2, 3, -3 为 6 的 真因子.
3、不可约元、素元的定义：
定义 2 设 a K , a 0
且 a 不是单
位。若 a 只有平凡因子，则称 a 为环 K 的一 个不可约元。否则，称 a 为环 K 的一个可约 元。
定义 3
设 p K ，p 0 且 p 不是单
位。 若当 p ab 时， 必有 p a 或 p b ， 则称 p 为
b a, a ac 1 c
c 是单位，与 假定不合。这样，b 既不是单位，也不是 a 的 相伴元，b 是 a 的真因子。证毕。
显然，整数环 Z 中的不可约元和素元都是正负素数，数 域 P 上的一元多项式环 P x 中的不可约元和素元都是不可 约多项式。但对一般的整环 K 不可约元和素元是有区别的。 定理 4.1.4 环 K 中素元一定是不可约元。
a bc ,c Z i ， 于 是 9 a b c
2 2 2 2 2 2 2
2
， 而 对 m, n Z
2
b m n 3， 因而有 b 1 或 9， 当 b 1 时， b 为单位。 当 b 9
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时，有 c 1 ，即 c 是单位，于是 b 与 a 相伴，从而 b 不是 a 的真因 子，因此 a 是 Z i 的不可约元。由于 3 9 ，所以 3 是 Z i 的不可约
2
2
元。 因为 5 2 i 2 i ，所以 5 是 Z i 的可约元。
2. 证
D 是整环，显然。
１） D 的单位。可以把 m 表为
m 2k p( p 是０或奇数， k 非负整数）我们说
p 1时，即 m 2k 是单位，反之亦然
２） D 的素元。依然是 m 2k p( p, k 的限制同上） 我们要求 ⅰ） p 0 ⅱ） p 1 ⅲ） 2 p 只有平凡因子 满足ⅰ）—— ⅲ）的 p 是奇素数
1 的因数差别以外，分解是唯一的。
在数域 P 上的一元多项式环 P x 中，每一个次数大于等于 1 的多项式，都能分解成若干不可约多项式的乘积，而且除了因 子次序和零次因式的差别以外，分解是唯一的。 在一般的整环上，元素的唯一分解性结论怎么样？由于整 数环 Z 和数域 P 上的一元多项式环 P x 都是有单位元的整环， 因此，以下所说的环 K ，均假定为有单位元的整环且 K 1 。