抽象代数基础2.6整环的因子分解教案
抽象代数基础 教学大纲
抽象代数基础一、课程说明课程编号：130215Z10课程名称：抽象代数基础/Fundamental of Abstract Algebra课程类别：专业教育课程学时/学分：48/3先修课程：高等代数适用专业：信息与计算科学、数学与应用数学、统计学教材、教学参考书：1. 张禾瑞编,《近世代数基础》，高等教育出版社, 2010年;2. 丘维声编，《抽象代数基础》，高等教育出版社，2003年；3. 聂灵沼，丁石孙编，《代数学引论》，高等教育出版社，2000年。
二、课程设置的目的意义《抽象代数》是数学专业的专业选修课之一，它为现代数学、现代物理学、计算机科学、现代通信以及密码学等提供了语言、重要结论和研究方法。
该课程主要讲授群、环、域的基本理论和初步知识，培养学生的抽象思维和逻辑推理的能力、为后继课程学习奠定基础。
该课程的目的在于使学生初步掌握基本的抽象代数知识和抽象、严格的代数方法，培养学生的抽象思维和逻辑推理的能力；进一步理解具体与抽象、特殊与一般等辨证关系。
锻炼学生认识问题和研究问题的能力，提高学生的数学素质。
三、课程的基本要求知识：掌握群的定义,群的同态,变换群,置换群,循环群,子群,子群的陪集,不变子群、商群等; 掌握环的定义, 整环, 子环, 环同态, 剩余类环, 理想, 唯一分解整环, 主理想环, 欧式环,多项式环与因子分解等; 掌握域的定义, 域扩张, 分裂域、有限域的结构等。
进一步融合高等代数和抽象代数课程的内容，使之成为一个有机整体。
能力：通过对抽象代数基础知识的学习和基本技巧的训练，培养学生的理解能力和抽象思维能力；重视理论和具体实例之间的相互联系，培养运用抽象代数的方法分析问题和解决问题的能力。
素质：使学生初步掌握抽象代数基础理论知识，提高数学素养，为进一步学习现代数学与计算机科学等奠定基础素质；同时启发学生的科学思维方式，培养从事代数学、密码与编码等相关方向研究的科研素质。
四、教学内容、重点难点及教学设计注：实践包括实验、上机等五、实践教学内容和基本要求无六、考核方式及成绩评定教学过程中采取课前导学、讲授、分析、随堂提问的方式进行，注重过程考核，考核方式包括：笔试、作业、随堂小测、课程考勤等。
高等代数第四章整环里的因子分解
第四章整环里的因子分解§1、素元、唯一分解一、整除、单位、相伴元定义在整环I中，若a=bc，则称a能被b整除，也说b整除a，记为b|a。
b不能整除a记作b|a。
定义整环I的一个元ε叫做I的一个单位，假如ε是一个有逆元的元。
元b叫做元a的相伴元（a与b相伴），假若b是a 和一个单位ε的乘积：b=εa。
单位元必是单位，反之不然。
例1在整数环Z中，单位即是1和-1，b是a的相伴元⇔b=±a。
在数域F的多项式环F[x]中，单位即是零次多项式c∈F*，g（x）是f（x）的相伴元⇔g（x）=cf（x）。
定理1 两个单位ε1和ε2的乘积ε1ε2也是单位。
单位ε的逆元ε-1也是一个单位。
推论整环I中全体单位的集U关于乘法作成群。
二、素元定义单位以及元a的相伴元叫做a平凡因子。
其余的a的因子，假如还有的话，叫做a的真因子。
定义整环I的一个元p叫做一个素元（注：应是不可约元），假如p0≠，p不是单位，并且p只有平凡因子。
例2 在例1的Z中，素元就是素数。
在F[x]中，素元就是不可约多项式。
定理2 单位ε同素元p的乘积εp也是一个素元。
定理3整环I的一个非零元a有真因子⇔a=bc，b和c都不是单位。
推论假定a≠0，并且a有真因子b:a=bc。
那么c也是a的真因子。
三、唯一分解定义一个整环I的一个元a说是在I 里有唯一分解，假如以下条件能被满足：（i）a=p1p2…p r（p i是I的素元）（ii）若同时a=q1q2…q s（q i是I的素元）那么r=s并且我们可以把q i的次序掉换一下，使得q i=εi p i (εi是 I的单位)零元和单位都不能唯一分解。
例3 在整环I={}Z+,3中：a∈-bab（1）ε是单位1=⇔。
⇔ε=1ε2±（2）若4α2=，则α是素元。
（3）4∈I有两种不同的分解（不相伴分解）：()()3+-=-⋅=113224-§2、唯一分解环一、唯一分解环定义一个整环I叫做一个唯一分解环，假如I的每一个既不等于零又不是单位的元都有唯一分解。
抽象代数基本教程第七版教学设计
抽象代数基本教程第七版教学设计介绍抽象代数是一门基础数学课程，也是数学专业的重要课程之一。
在本教学设计中，将介绍如何教授抽象代数基本教程第七版。
该教材是经典的代数教材，内容丰富，适合初学者学习。
教学目标本教学设计旨在让学生掌握以下知识和技能：1.理解群、环、域等基本概念；2.熟悉代数运算规律，并能够进行相关计算；3.掌握代数结构的分类和特征；4.能够解决基本的抽象代数问题。
教学内容本教学设计中将涵盖以下教学内容：1.群的概念及相关性质；2.群的子群和商群；3.群同构和同态；4.环的概念及相关性质；5.等价关系和商环；6.域的概念及相关性质；7.扩域和代数闭包。
在教学过程中，将使用丰富的例题和练习题来巩固学习内容。
在本教学设计中，将采用以下教学方法：1.讲授和解释教材内容；2.举例说明概念和定理；3.引导学生自主思考和解决问题；4.课堂互动和讨论。
教学评估在本教学设计中，将采用以下教学评估方式：1.作业评分；2.小组讨论和展示；3.期中和期末考试；4.口头问答和课堂练习。
教师将根据学生的表现和绩效来评估教学效果。
教学资源在本教学设计中，将使用以下教学资源：1.教材《抽象代数基本教程第七版》；2.丰富的例题和练习题；3.PPT演示；4.手写板；5.教师编写的课堂讲义；6.学生笔记和教学演示视频。
本教学设计将分为以下五个模块进行：1.群的概念和相关性质；2.群的子群和商群；3.群同构和同态；4.环的概念和相关性质；5.域的概念和相关性质。
在每个模块中，将涵盖该模块内教材的所有内容，并加入相关例题和练习题。
总结抽象代数基本教程第七版是一本优秀的代数教材，内容丰富、系统完整，适合初学者和进阶者学习。
在本教学设计中，采用了多种教学方法和评估方式，旨在帮助学生掌握代数基本知识和技能，提高其求解代数问题的能力。
第四章-整环里的因子分解
第四章 整环里的因子分解§4.1 不可约、素元、最大公因子1. 证明:0不是任何元的真因子.注 这里的0是指整环I 的零元,“任何元”是指整环I 中的任何元.证明 由于0不能整除整环I 中的非零元,因此0不是整环I 中的非零元的真因子.虽然0整除0,但0与0相伴,因此0不是0的真因子.所以0不是整环I 中任何元的真因子.2.找出Gauss 整数环},|{][Z Z ∈+==n m ni m i I 的所有单位.解 假设Z ∈b a ,,使得bi a +是I 中的单位,则存在Z ∈d c ,,使得1))((=++di c bi a ,从而,1))((2222=++d c b a .由此可见,i bi a ±±=+,1.所以i ±±,1就是I 中的所有单位.3.证明:在Gauss 整数环][i I Z =中,3是不可约元,5是可约元.证明 显然,3和5既不是零元,也不是单位.设Z ∈d c b a ,,,,使得3))((=++di c bi a .于是9))((2222=++d c b a .显然322≠+b a .因此122=+b a 或122=+d c ,从而,bi a +是单位或di c +是单位.所以3是不可约元.由5)2)(2(=-+i i 可知,i +2和i -2都是5的真因子.所以5是可约元.4.设I 是整环,I b a ∈,,直接证明:a b a ⇔=)()(～b .证明 由于I 是有单位元的交换环,根据定理3.16的推论1(3),aI a =)(,bI b =)(. 因此⇔=)()(b a 存在R s r ∈,,使得rb a =,sa b =a ⇔～b .5.设p 是整环I 的素元,m a a a p 21|(2≥m ),证明:至少存在一个i a (m i ≤≤1),使i a p |.证明 我们用数学归纳法来证明.当2=m 时,根据素元的定义,我们的断言成立.假设当n m =(2≥n )时,结论成立.当1+=n m 时,根据素元的定义,n a a a p 21|或1|+n a p .若p 不整除1+n a ,则n a a a p 21|.于是,根据归纳假设,至少存在一个i a (n i ≤≤1),使i a p |.所以当1+=n m 时,我们的断言成立.6.设整环I 中任意两个元的最大公因子都存在,m a a a ,,,21 是I 中m 个不全为零的元,若m m db a db a db a ===,,,2211 ,证明:d 是m a a a ,,,21 的最大公因子m b b b ,,,21 ⇔互素.证明 假定m m db a db a db a ===,,,2211 .m b b b ,,,21 不互素⇔I 中存在元素',,','21m b b b 和非零、非单位的元素c ,使得',,','2211m m cb b cb b cb b ===⇔I 中存在元素',,','21m b b b 和非零、非单位的元素c ,使得',,','2211m m dcb a dcb a dcb a ===d ⇔不是m a a a ,,,21 的最大公因子.所以d 是m a a a ,,,21 的最大公因子m b b b ,,,21 ⇔互素.§4.2 惟一分解环1.证明:整环},|10{]10[Z Z ∈+==n m n m I 不是惟一分解环.证明 显然,I ∈10,10,5,2,10,5,2都不是单位,也都不是零元,2和5都不是10的相伴元,但是10105210⋅=⋅=.所以I 不是惟一分解环.2.证明:Gauss 整数环][i I Z =中,5是唯一分解元.证明 首先,由§1习题第2题知,在I 中只有1±和i ±是单位.其次,显然i ±2都不是零元和单位元.事实上,i ±2是I 中的不可约元.为了阐明这一事实,考察任意的Z ∈d c b a ,,,.若i di c bi a ±=++2))((,则5))((2222=++d c b a ,由此可见,122=+b a 或122=+d c ,从而,bi a +是单位或di c +是单位.因此i ±2没有非平凡的因子.所以i ±2是I 中的不可约元.当然,它们的相伴元)2(i ±-,)2(i i ±,)2(i i ±-也都是不可约元.现在设Z ∈d c b a ,,,,使得5))((=++di c bi a . (*)于是,25))((2222=++d c b a .由此可见,122=+b a 或522=+b a .当122=+b a ,i bi a ±±=+,1是I 中的单位,从而,di c +是5的相伴元.这时(*)式不是5的不可约元分解式.当522=+b a 时,bi a +的值只能是如下八个数之一:i ±2,)2(i ±-,)2(i i ±,)2(i i ±-.显然,这八个数都是5的真因子.这样一来,根据(*)式可以断言,)2)(2(5i i -+=是5的不可约元分解式,并且:对于5的任意一个不可约元分解式n p p p 215=,必有2=n ;必要时,交换1p 和2p 的下标和次序后,1p 与i +2相伴且2p 与i -2相伴.所以5是唯一分解元.2.按惟一分解环定义直接证明定理4.11.注 定理4.11的内容如下:在一个惟一分解环I 中,每一个不可约元都是素元.证明 设I p ∈是一个不可约元.任意给定I b a ∈,,并假设ab p |.于是,存在I c ∈,使得pc ab =.当0=a 或0=b 时,显然a p |或b p |.当a 为单位时,有pc a b 1-=,从而,b p |.同理,当b 为单位时,有a p |.现在假定a 和b 都不是零元和单位.显然,c 不是零元,也不是单位.由于I 是惟一分解环,不妨设m p p p a 21=,n q q q b 21=,u r r r c 21=.其中,j p (m j ≤≤1),k q (n k ≤≤1)和l r (u l ≤≤1)都是不可约元.于是,n m u q q q p p p r r pr 212121=. (*)由于I 是惟一分解环,可以断言:或者存在j (m j ≤≤1),使得p 与j p 相伴,从而,a p |; 或者存在k (n k ≤≤1),使得p 与k q 相伴,从而,b p |.总而言之,a p |或b p |.这样一来,由于I b a ∈,的任意性,我们断言p 是素元.4.设I 是惟一分解环,m a a a ,,,21 是I 中m (2≥m )个元,证明:在I 中m a a a ,,,21 的最大公因子存在,且任意两个最大公因子互为相伴元.证明 首先,我们用数学归纳法来证明m a a a ,,,21 有最大公因子.事实上,定理4.10告诉我们,当2=m 时,结论成立.假设当n m =2(≥n )时结论成立.现在考察1+=n m 的情形:根据归纳假设,不妨设a 是n a a a ,,,21 的一个最大公因子.根据定理4.10,可设d 是a 与1+n a 的最大公因子.显然,d 是121,,,,+n n a a a a 的一个公因子.假设'd 是121,,,,+n n a a a a 的一个公因子.则'd 是n a a a ,,,21 一个公因子.由于a 是n a a a ,,,21 的一个最大公因子,因此a d |'.由于1|'+n a d ,因此'd 是a 与1+n a 的公因子.这样一来,由于d 是a 与1+n a 的最大公因子,因此d d |'.所以d 是121,,,,+n n a a a a 的一个最大公因子.所以当1+=n m 时m a a a ,,,21 有最大公因子.§4.3 主 理 想 环1.设I 是主理想环,d 是I b a ∈,的一个最大公因子,证明:I t s ∈∃,,使bt as d +=. 证明 根据定理3.16的推论2,),()()(b a b a =+,其中),(b a 表示},{b a 生成的理想.根据定理 4.15,),()(b a d =.因此)()()(d b a =+.由)()(b a d +∈可知,存在I t s ∈,,使bt as d +=.2.设I 是主理想环,I b a ∈,,证明:b a ,互素I t s ∈∃⇔,,使1=+bt as .证明 根据定义4.8、第1题、定理3.16的推论2以及定理4.15,我们有b a ,互素⇔1是a 与b 的一个最大公因子⇒存在I t s ∈,,使1=+bt as)()(1b a +∈⇒),()()()1(b a b a =+=⇒⇒1是a 与b 的一个最大公因子.所以b a ,互素I t s ∈∃⇔,,使1=+bt as .3.设I 是主理想环,I b a ∈,,证明:(1)若b a ,互素,且bc a |,则c a |;(2)若b a ,互素,且c a |,c b |,则c ab |.证明 (1) 当0=a 时,由bc a |可知,0=bc ;由a 与b 互素可知,b 是单位.因此0=c .所以c a |.当a 是单位时,显然c a |.假设a 既不是0,也不是单位.由于bc a |,因此bc 既不是0,也不是单位;从而,b 和c 都不是0.若b 是单位,则由bc a |可知c a |.现在假定b 不是单位.由于I 是主理想环,根据定理4.14,I 是惟一分解整环.不妨设m p p p a 21=,n q q q b 21=,其中m p p p ,,,21 和n q q q ,,,21 都是R 中的既约元.于是存在I k ∈,使得c q q q p p kp n m 2121=.由于a 与b 互素,因此i p (),,2,1m i =与j q (),,2,1n j =不相伴.这样一来,由上式可知,c 可以表示成如下形式:m p p p k c 21'=.所以c a |.(2)显然,当0=a 或0=b 时,0=c ,从而,c ab |;当a 是单位或b 是单位时,c ab |.现在假设a 和b 既不是0,也不是单位.由于I 是主理想环,根据定理4.14,I 是惟一分解整环.不妨设m p p p a 21=,n q q q b 21=,其中m p p p ,,,21 和n q q q ,,,21 都是I 中的既约元.于是,n m q q q p p p ab 2121=,n m q q q k p p kp c 2121'==.如果a 与b 互素,那么,i p (),,2,1m i =与j q (),,2,1n j =不相伴.这样一来,因为I 是唯一分解整环,c 可以表示成如下形式:ab k q q q p p p k c n m ''''2121== .所以c ab |.4.在整数环Z 中,求出包含)6(的所有极大理想.证明 我们知道,整数环Z 是主理想环.设)(a 是包含)6(的一个极大理想.根据定理4.4,a 是6的真因子.因此2±=a 或3±=a .所以)2()2(-=和)3()3(-=就是包含)6(的所有极大理想.5.在有理数域Q 上的一元多项式环][x Q 中,理想)23,1(23+++x x x 等于怎样一个主理想?解 显然,1+x 是13+x 与232++x x 的一个最大公因子.根据定理3.16的推论2和定理4.15,)1()23,1(23+=+++x x x x .6.证明:)3/(][2+x x Q 是一个域.证明 首先, 由于Q 是域,根据§3.7中的例1,][x Q 是主理想环.其次,显然32+x 是][x Q 中的不可约元.这样一来,根据定理4.16和定理3.23,)3/(][2+x x Q 是一个域.§4.4 欧 氏 环1.证明:域F 是欧氏环.证明 定义}0{\F 到到}0{ N 的映射φ如下:1)(=a φ,}0{\F a ∈∀.显然,对于任意的}0{\F a ∈和F b ∈,存在F q ∈,使得0+=aq b .所以F 是欧氏环.2.证明:整环},|2{]2[Z Z ∈-+=-n m n m 关于*-]2[Z 到}0{ N 的映射222)2(n m n m φ+=-+是一个欧氏环.证明 考察任意的*-∈]2[Z α和]2[-∈Z β:设2-+=b a α,,2-+=d c β其中Z ∈d c b a ,,,.于是,222222)(2(22222222-+-+++=+---+=-+-+=b a bc ad b a bd ac b a b a d c b a d c αβ. 根据带余除法,存在Z ∈v u q q ,,,21,使得u q b a bd ac ++=+122)2(2,)2(21||022b a u +≤≤; v q b a bcd ad ++=-222)2(,)2(21||022b a v +≤≤. 令221-+=q q q .则222222222222b a v u q b a bc ad b a bd ac αβ+-++=-+-+++=, 从而222)2(b a αv u q αβ+-++=.注意到]2[,,-∈Z q βα,由上式可知,]2[2)2(22-∈+-+Z b a αv u .令222)2(ba αv u r +-+=,则]2[-∈Z r ,并且 r q αβ+=.当0≠r 时,222222||)2(|)2(|||)(αb a v u r r φ⋅+-+== )(2||22||222222αφb a v b a u ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛+= )()(2141αφαφ<⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤. 所以整环]2[-Z 关于*-]2[Z 到}0{ N 的映射φ是一个欧氏环.3．证明:整环},|2{]2[Z Z ∈+=n m n m 关于*]2[Z 到}0[ N 的映射|2|)2(22n m n m φ-=+是一个欧氏环.证明 令},|2{]2[Q Q ∈+=b a b a .定义*]2[Q 到Q 的映射ψ如下:|2|)2(22b a b a ψ-=+,*∈+∀]2[2Q b a ,其中Q ∈b a ,.于是,对于任意的*∈++]2[2,2Q d c b a (其中Q ∈d c b a ,,,),我们有)2()2(d c ψb a ψ+⋅+|)2)(2(|2222d c b a --=|)2)(2)(2)(2(|d c d c b a b a -+-+=|)2)(2)(2)(2(|d c b a d c b a --++=|)2)()2)((2)()2((|bc ad bd ac bc ad bd ac +-++++=|)(2)2(|22bc ad bd ac +-+=)2)()2(bc ad bd ac ψ+++=))2)(2((d c b a ψ++=.此外,显然]2[]2[Q Z ⊆,并且ψ在*]2[Z 上的限制就是φ.任意给定]2[2,]2[2Z Z ∈+=∈+=*d c βb a α,其中Z ∈d c b a ,,,.为了证明]2[Z 是欧氏环,现在只需阐明存在]2[,Z ∈r q ,使得r q αβ+=,其中,0=r 或)()(αφr φ<.事实上,我们有222222)()2(2)2)(2(b a bc ad bd ac b a d c b a αβ--+-=-+-=.根据带余除法,存在Z ∈v u q q ,,,21,使得u b a q bd ac +-=-)2(2221,|2|21||022b a u -≤≤; v b a q bc ad +-=-)2(222,|2|21||022b a v -≤≤. 令221q q q +=.于是,2222222b a v b a u q αβ-+-+=, 从而,αbc v b a u q αβ)222(2222-+-+= 22222222b c bu av b a bv au q α-++-++=. 注意到]2[,,Z ∈q βα,由上式可知,2222b a bv au -+和222b a bu av -+都是整数.令 22222222ba bu avb a bv au r -++-+=. 于是,]2[Z ∈r ,并且r q αβ+=.当0≠r 时,)()(r ψr φ=)()222(2222αψb a v b a u ψ⋅-+-= )(222222222αφb a v b a u ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=)(22222222αφb a v b a u ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤ )()(2141αφαφ<⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤.§4.5 惟一分解环上的一元多项式环1.证明:设)(),(21x f x f 是][x I 中两个本原多项式,若它们在][x Q 中相伴(Q 为I 的商域),则在][x I 中也相伴.证明 假设)(),(21x f x f 在][x Q 中相伴,则存在][x Q 中的单位u ,使得)()(21x uf x f =.由于][x Q 中的单位就是Q 中的非零元,且Q 为I 的商域,因此可设ab u =,其中b a ,是I 中的非零元.于是,)()(21x bf x af =.这样一来,根据引理1可以断言,)(),(21x f x f 在][x I 中相伴.2.设I 是惟一分解环,][)(),(x I x g x f ∈,且)()(1x af x f =,)()(1x bg x g =,I b a ∈,,)(),(11x g x f 是本原多项式,证明:若)(|)(x f x g ,则a b |.证明 不妨设)()()(x q x g x f =.于是,)()()(11x g x bq x af =.由于)(),(11x g x f 是本原多项式,根据上式和引理1可以断言,a ～)(x bq .由此可见,I x q ∈)(,从而,a b |.3.设)(x f 是][x Z 中首项系数为1的多项式,证明:若)(x f 有有理根a ,则a 是整数. 证明 假定)(x f 有有理根a .则))(()(a x x q x f -=,其中][)(x x q Q ∈.根据引理1,存在Q ∈21,r r 和本原多项式)(),(21x f x f ,使得)()(11x f r x q =,)(22x f r a x =-.于是,)()()(2121x f x f r r x f =.根据Gauss 引理,)()(21x f x f 是本原多项式.由于)(x f 的首项系数为1,由上式可知121=r r ,从而,)()()(21x f x f x f =.由此可见,)(2x f 的首项系数为1或1-.这样一来,由)(22x f r a x =-可知,a x x f -=)(2或a x x f +-=)(2.因为)(2x f 是本原多项式,所以a 是整数.4.域F 上的二元多项式环],[y x F 是惟一分解环,但不是主理想环. 证明 ]][[],[y x F y x F =.由于F 是域,根据定理 4.17可以断言,][x F 是欧氏环.根据定理4.18又可以断言,][x F 是惟一分解环.由于]][[],[y x F y x F =,根据定理4.21,可以断言,],[y x F 是惟一分解环.令A 表示],[y x F 中次数大于或等于1的所有多项式和零多项式组成的集合.显而易见,A 是],[y x F 的一个理想.考察任意的A y x f ∈),(:显然,或者)),((y x f x ∉,或者)),((y x f y ∉,但是A y x ∈,.因此)),((y x f A ≠.由此可见,A 不是],[y x F 的主理想.所以],[y x F 不是主理想环.5.证明:1053532),(22---+-=y x y xy x y x f 是],[y x Z 中不可约多项式. 证明 令][x I Z =.则][],[y I y x =Z .由于整数环Z 是惟一分解整环(参看§4.2),根据定理4.22,],[][y x y I Z =也是惟一分解整环.由于][5)53()1032(),(22y I y y x x x y x f ∈++---=,53+x 是I 中的不可约元,53+x ł5,)53(|53+-+x x ,53+x ł10322--x x ,根据定理4.23(Eisenstein 判别法),),(y x f 是],[y x Z 中不可约多项式.§4.6 因子分解与多项式的根1.问:][16x Z 中多项式2)(x x f =在16Z 中有多少个根?答 由直接演算知,][16x Z 中2)(x x f =在16Z 中有如下四个根:]0[,]4[,]8[,]12[.2.证明:][6x Z 中多项式x x x f -=3)(在6Z 中有6个根.证明 由直接演算知,6Z 中的]4[],3[],2[],1[],0[和]5[都是][6x Z 中多项式x x x f -=3)(的根.所以][6x Z 中多项式x x x f -=3)(在6Z 中有6个根.3.试求][5x Z 中多项式1)(5-=x x f 在5Z 中的根.解 由于5Z 是特征为5的域,因此55)1(1)(-=-=x x x f .由于5Z 无零因子,因此只有当]1[=x 时)(x f 的值为]0[,从而,)(x f 只有]0[=x 这个根.显然它是5重根.4.判断:(1)][3x Z 中多项式1)(2+=x x f 是否可约?(2)][5x Z 中多项式1)(2+=x x f 是否可约?解 (1)显然1)(2+=x x f 在3Z 中没有根,所以)(x f 是][3x Z 中的不可约多项式.(2)显然,5Z 中的]2[是)(x f 的根,所以)(x f 是][5x Z 中的可约多项式.5.设0ch =I ,][)(x I x f ∈,I a ∈，1≥k ,证明:a 是)(x f 的k 重根⇔a 是)(x f 的根,且a 是)('x f 的1-k 重根.证明 我们有a 是)(x f 的k 重根⇔存在][)(x I x g ∈,使k a x x g x f ))(()(-=,且a 不是)(x g 的根⇔存在][)(x I x g ∈,使1)))()((')(()('---+=k a x a x x g x kg x f .由于0ch =I ,0)(≠a g ,因此0)())((')(≠=-+a kg a a a g a kg ,从而,a 是)('x f 的1-k 重根.所以a 是)(x f 的k 重根⇔a 是)(x f 的根,且a 是)('x f 的1-k 重根.复 习 题 四1.设整环⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈=}0{,2 N Z n m m I n ,找出I 中的所有单位与不可约元. 解 假设n m 2(其中Z ∈m ,}0{ N ∈n )是单位.于是,存在Z ∈k 和}0{ N ∈s ,使得122=⋅s n k m .由此可见,存在Z ∈j ,使得j n m 22±=.反过来,显然,对于任意的Z ∈j ,有I j ∈±2.显然I j ∈±21并且是j 2±的逆元.所以I 中的所有单位为:j 2±,Z ∈j . 假设n m 2(其中Z ∈m ,}0{ N ∈n )是不可约元.于是,0≠m 且s m 2±≠,Z ∈∀s .不妨设r s p p p m 212±=,其中1≥r ,Z ∈s ,r p p p ,,,21 为奇素数.若1>r ,则0212222r n s n p p p m ⋅±=.由于n j p 221和022r p p 都不是单位,这与n m 2是不可约元矛盾.所以1=r ,从而,n s n p m 2221±=,即存在Z ∈j 和奇素数p ,使得p m j n 22±=.反过来,设Z ∈j ,p 是奇素数,考察p j 2:显然,I p j ∈2并且既不是零元,也不是单位.假设I k m s n ∈2,2(其中Z ∈k m ,,}0{, N ∈s n ),并且|2p j s n k m 22⋅,即存在I l t ∈2(其中Z ∈j ,}0{ N ∈t ),使得s n t j k m l p 2222⋅=⋅.于是,m p |或k p |.当m p |时,我们有)2(22)(j n j n pm p m +-⋅⋅=, 其中I p m j n ∈⋅+-)(2,从而,n j m p 2|2.同理,当k p |时,s j k p 2|2.由此可见,p j 2是素元.因此p j 2±是不可约元.所以I 中的所有不可约元为:p j 2±,Z ∈j ,p 为奇素数. 2.求模8剩余类环8Z 的所有非零理想,以及它们的交. 解 8Z 的非零理想有:8Z ,]}6[],4[],2[],0{[,]}4[],0{[;它们的交是]}4[],0{[.3.证明:在惟一分解环I 中,任意两个元b a ,都有一个最小公倍元,即I m ∈∃,使m b m a |,|,并且若n b n a |,|,则n m |.(用],[b a 表示a 与b 的任意一个最小公倍元.)证明 设b a ,是惟一分解环I 中任意两个元.根据定理 4.10,b a ,有最大公因子.令),(b a 表示a 与b 的任意一个最大公因子,p b a a ),(=,'),(p b a b =. 由§4.1习题第6题知,p 与'p 互素.令'],[ap b a =.现在我们来阐明],[b a 就是a 与b 的一个最小公倍元.事实上,首先,由],[b a 的定义知],[|b a a .其次,我们有bp p p b a pp b a ap b a ===='),('),('],[,从而,],[|b a b .最后,假设I c ∈,使得c a |且c b |,则存在I q q ∈',,使得'bq aq c ==.于是,我们有''),(),(q p b a pq b a c ==.当0),(=b a 时,由pq b a aq c ),(==可知0=c ,从而,c b a |],[.当0),(≠b a 时,由等式''),(),(q p b a pq b a c ==可知''q p pq =.由于p 与'p 互素,根据等式''q p pq =和§4.3习题第3题可以断言q p |'.设t p q '=.于是,t b a t ap t pp b a pq b a c ],[''),(),(====,从而,c b a |],[.所以],[b a 是a 与b 的一个最小公倍元.4.证明:在一个惟一分解环I 中,ab ～),](,[b a b a . 证明 设),(b a 是a 与b 的任意一个最大公因子,],[b a 是a 与b 的任意一个最小公倍元,p b a a ),(=,'),(p b a b =,'ap m =.由上题知,bp m =,并且m 是a 与b 的一个最小公倍元.此外,我们我们还有),(),(b a m pb b a ab ==.此外,由最小公倍元的定义可知,m ～],[b a .因此),(b a m ～),](,[b a b a ,即ab ～),](,[b a b a .5.设I 是惟一分解环, ),(,),(),(21x f x f x f n 是][x I 中本原多项式的序列,并且)(|)(1x f x f i i +, ,,,2,1n i =.证明:这个序列只有有限个互不相伴的项.证明 由于I 是惟一分解环,根据定理4.21,][x I 也是惟一分解环.由惟一分解环的定义可知,][x I 中每个非零元至多有有限个互不相伴的因子.假设序列 ),(,),(),(21x f x f x f n 中有无限个互不相伴的项.不失一般性,假定其各项互不相伴.由于)(|)(1x f x f i i +, ,,,2,1n i =,因此)(|)(1x f x f i ,N ∈∀i .这样一来,)(1x f 有无限个互不相伴的因子.因此0)(1=x f .这与)(1x f 为本原多项式的事实矛盾.所以 ),(,),(),(21x f x f x f n 中只有有限个互不相伴的项.6.设I 是惟一分解环,][)(),(x I x g x f ∈,且1))(),((=x g x f .证明:1))()(),()((=+x g x f x g x f .证明 由于I 是惟一分解环,根据定理4.21,][x I 是惟一分解环.令d x g x f x g x f =+))()(),()((.由1))(),((=x g x f 可知,0≠d .假设d 不是单位.则存在素元][)(x I x p ∈,使得d x p |)(,从而,)()(|)(x g x f x p 且)()(|)(x g x f x p +.因为)(x p 是素元,由)()(|)(x g x f x p 可知,)(|)(x f x p 或)(|)(x g x p .又因)()(|)(x g x f x p +,故)(|)(x f x p 且)(|)(x g x p ,这与1))(),((=x g x f 矛盾.所以d 不是单位,从而,1))()(),()((=+x g x f x g x f .7.设0I 是一个主理想环,I 是整环,且0I ≤I .证明:假若d 是0I 中的a 和b 的一个最大公因子,那么d 也是I 中的a 和b 的一个最大公因子.证明 设由于d 是0I 中的a 和b 的一个最大公因子.由于0I ≤I ,因此d 也是I 中的a 和b 的一个公因子.设'd 是I 中的a 和b 的任意一个公因子.则存在I b a ∈',',使得''a d a =,''b d b =.其次,由于d 是0I 中的a 和b 的一个最大公因子,根据§4.3习题第2题,存在0,I t s ∈,使得bt as d +=,从而,)''('''''t b s a d t b d s a d d +=+=.因此d d |'.所以d 也是I 中的a 和b 的一个最大公因子.8.设一元多项式环][x I 是主理想环,][)(),(x I x g x f ∈,)(x m 是)(x f 与)(x g 的一个最小公倍元,证明:))(())((())((x g x f x m =.注 这里假定I 是整环.证明 由于][x I 是主理想环,根据定理 4.14,][x I 是唯一分解环.由于)(x m 是)(x f 与)(x g 的一个最小公倍元,不妨设)()()()()(x g x q x f x p x m ==.显而易见,1))(),((=x q x p .这样一来,对于任意的][)(x I x h ∈,我们有))(()(x m x h ∈⇔存在][)(x I x r ∈,使得)()()(x m x r x h =⇔存在][)(x I x r ∈,使得)()()()()()()(x g x q x r x f x p x r x h == ))(())(()(x g x f x h ∈⇒⇒存在][)(),(21x I x r x r ∈,使得)()()()()(21x g x r x f x r x h == )(|)(x h x m ⇒))(()(x m x h ∈⇒.所以))(())((())((x g x f x m =.9.证明:(1)1)(3++=x x x p 是][2x Z 中不可约多项式;(2))1/(][32++x x x Z 是域.证明 (1)显然,1)1()0(==p p .因此x 和11+=-x x 都不是)(x p 的因子.由此可见,)(x p 是][2x Z 中不可约多项式.(2)首先,由于2Z 是域,根据§3.7中的例1,][2x Z 是主理想环.其次,根据(1),13++x x 是][2x Z 中的不可约元.这样一来,根据定理 4.16和定理3.23,)1/(][32++x x x Z 是一个域.10.设I 是一个主理想环,I a ∈≠0.证明:当a 是不可约元时,)/(a I 是一个域;当a 是可约元时,)/(a I 不是整环.证明 当a 是不可约元时,根据定理4.16和定理3.23,)/(a I 是一个域.当a 是可约元时,存在a 的真因子c b ,,使得bc a =.于是,)()(a a b ≠+,)()(a a c ≠+.但是)()()()()())())(((a a a a bc a c a b =+=+=++.这就是说,)(a b +和)(a c +是)/(a I 中的零因子.所以)/(a I 不是整环.。
抽象代数基础2.5交换环教案
易见，I是素理想 若 ，则
例如：若p为素数，则（p）是Z的素理想。该结论由素数的性质即得到。
定理1设R是有单位元的交换环，I是R的真理想，则
I是R的素理想 是整环
证明： 对 若 ，则 而I是素理想，所以 或 ，即 或 ，所以 中没有零因子，因而 是整环。
对 ，若 ，则 ，而 是整环，所以 或 ，即 或 ，因而I是素理想。
易见，R是整环 是R的素理想。
定义3设R是一个环（不一定交换），I是R的真理想，如果对R的任意理想J，若 ，则必有J=R，则称I是R的极大理想。
定义4设R是有单位元1的一个环（不一定交换），且 （即R中至少含有两个元素），如果R中的每个非零元都有（乘法）逆元，则称R是一个除环；交换的除环称为域。
掌握偏序的概念；了解Zorn引理。
教学重点，难点：
素理想，极大理想的定义；偏序的概念；整环、除环定义
教学内容：
2.5交换环
定义1（1）设R是一个环（不一定交换）， 且 ，如果存在 使 ，则称a是一个左零因子；如果存在 使 ，则称a是一个右零因子；左零因子和右零因子通称为零因子。
（2）如果R是有单位元的交换环且没有零因子，则称R是一个整环。
Zorn引理设（S， ）是一个偏序集，如果S的每个则加法群（R，+）的所有非零元具有相同的阶且若阶有限则必为素数。
证明：若R的所有非零元的阶都无限，则结论显然成立，下面假设R中存在有限的非零元。
设 且 ，a的阶有限，令 ，设b是R中的任意一个非零元，
例如：有理数集Q，实数集R，复数集C关于数的加法和乘法都构成域。
定理2设R是有单位元1的一个交换环，I是R的真理想，则
初中数学分解因式法详解教案
初中数学分解因式法详解教案一、教学内容及基本要求分解因式法是一个非常重要的初中数学知识点，具有重要的理论意义和实际应用价值。
它不仅是学习高中和大学数学的基础，更是许多数学问题的根本解决途径。
掌握分解因式法是初中数学学习的核心内容之一。
基本要求：1.明白分解因式法的基本概念和原理；2.能够熟练地运用分解因式法解决各类数学问题；3.掌握分解因式法在数学中的实际应用。
二、教学流程和方法教学流程：1.介绍分解因式法的基本原理和概念；2.讲解分解因式法的基本技巧和注意事项；3.通过练习进行深化和巩固；4.应用分解因式法解决实际问题。
教学方法：1.课前讲解和讨论：教师可以给学生介绍分解因式法的基本概念和原理，让学生了解分解因式法的重要性和实际应用，可以讨论数学知识中与分解因式法相关的问题。
2.演示实例：教师可以使用实例来演示分解因式法的基本步骤，帮助学生更好地理解。
3.针对问题提出方法：为了让学生更好地理解分解因式法，在授课过程中，教师可以结合具体问题来进行分析和讲解。
4.自我学习：学生可以利用课下时间进行练习，巩固和加深对分解因式法的理解和掌握。
三、教学重点和难点教学重点：1.掌握分解因式法的基本概念和原理；2.掌握分解因式法的基本技巧和注意事项；3.熟练地应用分解因式法解决各类数学问题。
教学难点：1.理解分解因式法的原理和步骤；2.掌握分解因式法的基本技巧和差异性。
四、教学总结分解因式法是初中数学知识中的重要部分，也是高中数学和大学数学的基础。
在课堂教学时，教师应该注重学生的理解和主动操作，让学生通过自己的实际操作来加深对分解因式法的理解和掌握。
同时，也应该重视学生的实际应用，将分解因式法的基本方法和技巧融入到数学问题的解决中，让学生在学习和实践中不断提高自己的能力和水平。
抽象代数教案
抽象代数教案一、引言抽象代数是数学的一个重要分支，它研究代数结构及其性质，并通过一种抽象的方式对代数对象进行分类和理解。
本教案旨在介绍抽象代数的基本概念和主要内容，帮助学生初步掌握抽象代数的思想和方法。
二、基本概念1. 代数系统代数系统是指具有一组运算和一些运算规则的集合。
常见的代数系统包括群、环和域等。
2. 群群是一种代数结构，它包括一个集合和一个二元运算，满足封闭性、结合律、单位元存在性和逆元存在性等性质。
群可以分为交换群和非交换群。
3. 环环是一种代数结构，它包括一个集合和两个二元运算，满足加法和乘法封闭性、结合律、分配律等性质。
环可以分为交换环和非交换环。
4. 域域是一种代数结构，它包括一个集合和两个二元运算，满足加法和乘法封闭性、结合律、分配律以及存在加法单位元和乘法单位元等性质。
三、主要内容1. 群论1.1 群的定义和基本性质1.2 子群和陪集1.3 同态和同构1.4 群的分类2. 环论2.1 环的定义和基本性质2.2 理想和商环2.3 同态和同构2.4 环的分类3. 域论3.1 域的定义和基本性质3.2 子域和扩域3.3 代数元和超越元3.4 域的分类四、教学方法1. 理论讲授通过清晰的讲解和示例，介绍抽象代数的基本概念和主要内容，帮助学生建立起关于代数结构的抽象思维。
2. 经典案例分析选取一些经典的代数问题或定理，进行详细分析和讨论，帮助学生深入理解抽象代数的思想和方法。
3. 计算实践设计一些计算练习，让学生通过实际计算来巩固和应用所学的代数知识，培养解决问题的能力。
4. 小组讨论组织学生进行小组讨论，鼓励他们互相交流和思考，分享各自的见解和思路，提高彼此的学习效果。
五、教学评价1. 课堂表现评价评估学生在课堂上的参与度、提问能力和问题解决能力，对学生的表现给予及时反馈和指导。
2. 作业评价布置适量的作业，注重学生对代数概念和性质的运用，评价学生对所学内容的理解和掌握程度。
3. 平时成绩评价综合考虑学生的课堂表现、作业完成情况以及小组讨论等因素，给予综合评价和成绩打分。
第四章 整环里的因子分解
第四章整环里的唯一分解概述：本章主要讨论与因子分解有关的问题，我们知道在整数环里有唯一分解定理，即任何大于1的整数皆可唯一的写成一些素数的乘积. 在这一章我们要看一看，在一个抽象的环里这个定理是否成立；但由于在一个一般的环里去研究这个问题有相当的困难，所以我们仅把整数中的因子分解的概念推广到一般的整环中.*.本章中的环I均表示整环，I的单位元均记为1，I中的非零元记为}0{\II=第一节素元、唯一分解基本概念：整除，单位、相伴元，平凡因子、真因子、素元，唯一分解.重点、难点:唯一分解.正文定义4.1.1：整环I中的可逆元ε称为I的一个单位(Unit）.注1：单位与单位元是两个概念，单位元一定是单位，而单位未必是单位元.注2：整环I中的全体单位关于I的乘法构成一个Abel群, 称为I的单位群，记为U(I) .定义4.1.2：我们说，整环I的一个元a可以被I的元b整除，假如在I里找得出元c，使得a=bc. 假如a能被b整除，我们说b是a的因子，并且用符号b|a 来表示，否则用b a来表示.定义4.1.3：元b叫做元a相伴元，假如b=εa ,其中ε是I的一个单位.定义4.1.4：单位以及元a的相伴元叫做a的平凡因子，其余的a的因子，叫做真因子.定义4.1.5：整环I的一个元p叫做一个素元，假如p既不是零元，也不是单位，并且p只有平凡因子.定理4.1.1：两个单位ε和ε′的乘积εε′也是一个单位，单位ε的逆ε-1也是一个单位.定理4.1.2：单位ε同素元p的乘积pε也是一个素元.ε;证明：(1) 0pε,0≠≠p≠⇒pε.(2) 不是单位p p I )()(1εεεεε‘‘‘使得若不然，==∈∃是素元矛盾是单位与p p ⇒.(3) 只有平凡因子p ε.定理4.1.3： 整环中一个不等于零的元a 有真因子的充分而且必要条件是：bc a =，c b ,都不是单位元.证明：(⇒) 的相伴元不是且使得有真因子a b a b I U b a )(∉∃⇒.bc a I c =∈∃⇒使得.若)(),(I U c b a I U c ∉∈是相伴关系，故与则.(⇐) 假定bc a =，的相伴元不是a b I U c b ⇒∉)(,，否则)(1I U c c bc a b ∈⇒=⇒==εεε,矛盾.故a 有真因子.定义4.1.6：我们说，一个整环I 的一个元a 在I 里有唯一分解，假如以下条件能被满足：(1) 中的素元是其中I r i p p p a i r ),1(,1ΛΛ==;(2) 若又有中的素元是其中I s j q q q a j s ),1(,1ΛΛ==，那么的一个排列是其中且n i i r i q p s r r i i i j ,,1,,,,,1,1ΛΛΛ===ε.例： 设则},,3{]3[Z b a b a Z ∈-+=- (1) 是整环]3[-Z . (2) }1,1{])3[(-=-Z U设''1]3[]),3[(3εεεε=-∈∃-∈-+=使得则Z Z U b a .则 2'222')3(1εεεb a +==10,11322±=⇒=±=⇒=+⇒εb a b a . (3) 为素元，则＝若ααα4],3[2-∈∀Z . (4) 的相伴元都不是231-±. (5) 中两种不同的分解在是]3[4)31)(31(224----+=⋅=Z .作业：1．设I 刚好包含所有复数(,)a bi a b +是整数的整环. 证明5不是I 的素元. 5有没有唯一分解？第二节 唯一分解环基本概念：唯一分解环，唯一分解环的性质. 公因子、最大公因子，最大公因子的存在性.重点、难点: 唯一分解环.正 文定义4.2.1：整环I 叫做一个唯一分解环(UFD), 如果I 的每一个既不等于零又不是单位的元都有唯一分解.定理4.2.1：唯一分解环有以下性质：(3) 若一个素元ab p , 那么b p a p 或.证明：当b a ,中有一个是零或是单位时，定理显真.现设b a ,皆非零元，也非单位. 也非单位c c pc ab ab p ,0,≠=⇒ .)(之积矛盾可写成两个非单位的元是素元与是单位，则否则若pc pc c于是皆素元诸i n p p p p c ,21Λ=.又令皆素元诸',''2'121,,k j s r q q q q q b q q q a ΛΛ==.于是p q q q q q q s r ＝''2'121ΛΛn p p p Λ21.由分解唯一性知的相伴元或是某个'j i q q p , 如a p p q 则,1ε=；如b p p q 则ε='1.推论：在一个UFD 中，若素元i n a p a a a p 必整除某一个则,21Λ.定理4.2.2：若整环I 满足：(1) 解式；中每一个元均有一个分)(\I U I *(2) 若I b a b p a p ab p I p ∈∀⇒,,,或则必有的素元是.那么I 一定是唯一分解环.定义4.2.2：n i n a a d n i a d I a a d ,,,,,1,,,,11ΛΛΛ为则称如果假定=∈ 的一个公因子；d a a a a d n n 除的每一个公因子都能整若的一个公因子为假定,,,,,11ΛΛ，则称的一个最大公因子为n a a d ,,1Λ.定义4.2.3：，则称中的最大公因子是单位在如果假定I a a I a a n n ,,,,11ΛΛ∈ 互素n a a Λ,1.定理4.2.3：假定I 是唯一分解环, 那么有,,I b a ∈(1)在I 中, 有最大公因子；和b a(2)是相伴关系的最大公因子，则和均为若d d b a d d '',,.作业：1. 假定,()().()()I a b I a b =是一个整环和是的两个主理想证明：当且仅当b 是a 的相伴元的时候.2．证明：10.⎡⎤⎣⎦不是唯一分解环Z第三节 主理想环基本概念：：主理想环，主理想和极大理想、主理想环与唯一分解环的关系. 重点、难点: 主理想、极大理想.正 文定义4.3.1：如果整环I 中的每一个理想都是主理想，则称I 是一个主理想环，记为P.I.D.例 1：是主理想环整数环)1,0,,,(⋅+Z .证明：设A a a A Z A ⊆⊂)(,}0{则中的最小正整数为的理想，记是）（. 另一方面，若a a m A m 则),(,∉∈∃,0,,a r e as m m <<+=设则)().(a A a A a A as m r =⊆∈-=从而的最小性矛盾，故此与.例 2：是主理想环是域，则)1,0,,],[(⋅+x F F .证明：设的理想，是）（][}0{x F A ⊂A x f x f A ⊆))((),(则中次数最低的多项式为记.另一方面，若)()),(()(,)(x f x f x g A x g 则∉∈∃),(x g次数最小矛盾此与而设)()())(())((),()()()(x f A x v x f x v x v x u x f x g ∈∂<∂+=. 故))(()),((x f A x f A =⊆从而.引理4.3.1：设)1,0,,,(⋅+I 是一个PID, 则I 中的每一个真因子序列一定是有限序列. 即若序列)(,,,21I a a a i ∈Λ中每一个元素都是前面一个元的真因子，则该列一定是有限序列.证明：由于i i a a 1+，所以Λ⊂⊂)()(21a a令)(Y ii a A =，则的一个理想是I A . 事实上：A a ra I r i ⊆∈∈∀)(,.)()()(),()(,,j i j i a a a a b a a j i j i A b a ⊂∈⇒∈∈≤∃⇒∈∀使得不妨设A a b a j ⊆∈-⇒)( .而PID I 是，则存在).(,d A I d =∈使得 而Y ii a A d )(=∈，则)(n a d n ∈∃使得，我们断言，n a 为序列中的最后一个，如若不然，设还有一个的真因子为使得n n n a a a 11++. 由于111,)(),(+++⇒⇒∈∈n n n n n n a a a d d a d a a d 又n n a a 1+，则n a 是1+n a 相伴关系，这与的真因子矛盾为n n a a 1+.故原结论成立.引理4.3.2：设)1,0,,,(⋅+I 是一个PID,p I 是中的素元， 则(p)为I 的极大理想. 证明：设()()()()A a I p A I p a a p =⊂⊆⇒∈⇒是的理想，.()().1a p p a p a p a A a εε⎧=⇒⊂⇒=⇒⎨=⇒∈⇒⎩是的相伴元()()矛盾是单位()=I.故(p)为I 的极大理想.定理4.3.1：设)1,0,,,(⋅+I 是一个PID, 则I 是UFD .证明：(1) \(),.a I U I a a *∀∈一定有分解式事实上，若是素元，则不用再证. 现设,a a bc b c =有真因子，若皆素元，则不用再证. 对a 的不是素元的真因子重复上面的讨论过程，这样的分解过程经有限步后必终止（否则会得到无穷序列12,,,a a a L 后面的元是前面一个元的真因子，这与I 是PID 的前提矛盾）,此时已把a 分解成有限个素元之积.(2) 设素元()(),0.p ab ab a b ==⋅I I 于是在中有但是域p p 因此 ()()00a b a p b p p a p b ==⇒∈∈⇒或或或.由定理4.2.2知I 是UFD.注：定理的逆不成立. 例如[].x UFD PID ¢是但不是作业：证明：一个主理想环的非零最大理想都是由一个素元所生成的.第四节 欧氏环基本概念：欧氏环的定义，欧氏环和主理想环的关系.重点、难点: 欧氏环.正 文定义4.4.1：设I 是整环，若(1) 存在映射{}::0.I n n ϕ*→∈≥=Z Z(2) ,,0,,a b I a q r I ∀∈≠∈则存在使,b qa r =+其中0()().(..)r r a I E D ϕϕ=<或则称是一个欧氏环.例1．整环(,,,0,1)+⋅是一个欧氏环.Z证明：令:;,.a a a ϕ**→∀∈a Z Z Z则,,,,a b q r ϕ*∀∈∈是一个映射且一定存在使得Z Z,0()().b aq r r r r a a ϕϕ=+==<=或故(,,,0,1)+⋅是一个欧氏环.Z例2．数域F 上的多项式环([],,,0,1)F x +⋅是一个欧氏环.例3．Gauss 整数环([],,,0,1)i +⋅是欧氏环.Z证明：易证([],,,0,1)i +⋅Z 是整环. 令22:[]\{0};i a bi a b ϕ→++a Z Z ，则ϕ是一个映射.设[]\{0},[]a bi i c di i αβ=+∈=+∈Z Z ，,,k li k l βα=+∈Z ，则存在'',k l ∈Z 使得''11,22k k l l -≤-≤.令''[],k l i i γδβαγ=+∈=-Z ，则βαγδ=+. 若20,βδϕδϕβαγϕαγα≠则（）＝（－）＝（）－ 22''1()()()2k k l l ϕϕαϕα-+-≤<＝. 因此([],,,0,1)i +⋅是欧氏环.Z定理 4.4.1：任何一个欧氏环一定是一个主理想环，因而一定是一个唯一分解环.证明：设{0},.A I ϕ≠是欧氏环的一个理想是欧氏环的映射 令a A a ϕϕ∈≠∈使（）=min{(x)x(0)A}，则()A a =. 事实上, ,,b A q r I ∀∈∃∈使得,0b qa r r a ϕϕ=+=∈或（r ）<(),r A .若0().r a a a ϕ≠∈则与（）的最小性矛盾. 故r=0,b=q 注：定理4.4.1的逆不真，P.I.D 未必是欧氏环. 如复数域的子环,R a b ⎧⎫⎪⎪=+∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭Z 是一个P.I.D 但不是欧氏环. 定理4.4.2：(,,,0,1)+⋅是欧氏环,从而是唯一分解环.Z引理4.4.1：假定[][]I x I I x 是整环上的一元多项式，的元1110()n n n n g x a x a x a x a --=++++L的最高系数(),()[],(),()[]n a U I f x I x q x r x I x ∈∀∈∈那么对存在使得()()()(),f x q x g x r x =+其中()0()r x r x x =或的次数小于g()的次数.n定理4.4.3：域F 上的一元多项式环[].F x 是一个欧氏环证明：显然[]F x 是一个整环，令[];()deg(()),()[].F x f x f x f x F x ϕ*→∈a ：Z则ϕ是一个映射. ()[],()[],g x F x f x F x *∀∈∈()0()0,,.n n n g x g x a a F a *≠⇒≠∈的最高项系数而则可逆由引理4.4.1可知，(),()[]q x r x F x ∃∈使得()()()(),f x q x g x r x =+其中()0()r x r x x =或的次数小于g()的次数.n即()0(())(()).[].r x r x g x F x ϕϕ=<或故是唯一分解环作业：1.下列环是否是欧氏环，并证明之：(1) {},.a b =+∈Z Z(2) {},.a b =+∈Z Z 2. 证明：一个域一定是一个欧氏环.附注 本章中介绍的几种常见的整环之间有如下的关系图：其中，例①可取Z ； 例②可取[]x Z ；例③可取12⎡+⎢⎣⎦Z ； 例④可取Z 或数域F 上的一元多项式环[]F x ；例⑤可取有理数域、实数域、复数域等．第五节 多项式环的因子分解基本概念：本原多项式的定义及其引理.重点、难点:多项式的可约性判断.正 文设..I U F D 为，[]I x F 为上的一元多项式环，则有如下简单事实：(1) ([])(),[]U I x U I I x =且为整环;(2)[]()()I x f x f x 中多项式称为本原多项式，如果系数的最大公因子是单位.(3) 若本原多项式(),f x 可约则()()(),(),()[]deg ()deg ()0f x g x h x g x h x I x f x g x =∈>>且.(4) ()()()()();f x g x h x g x h x =⇔是本原的和均是本原的(5) ()[],deg ()0,()()([])f x I x f x f x f x U I x ∈=⇔∈若则是本原的.引理4.5.1: ,0()[],I f x x ≠∈设是的商域则Z Z (1) 00()(),,,()[];b f x f x a b I f x I x a=∈是中的本原多项式 (2) 0000()()(),,,,,(),()b d f x f x g x a b c d I f x g x a c ==∈若 []I x 均为中的本原 多项式，则00()([])()().U I U I x f x g x εε∃∈==使得引理4.5.2: 假设00()[],()[]f x I x f x I x 是中的一个本原多项式在中可约的充分必要条件是0()[].f x x I 在Q 中可约，其中Q 为的商域引理 4.5.3: []()[]I x f x I x 的任一个次数大于零的本原多项式在里有唯一分解.定理4.5.1: 若..,[]...I U F D I x U F D 是则也是定理 4.5.2: 若1212..,[,,,]...,,,,n n I U F D I x x x U F D x x x L L 是则也是其中是 I 上的无关未定元.作业：1． 假定[].()[],()I x I f x I x I f x 是整环上的一元多项式环属于但不属于并且的最高系数是I 的一个单位. 证明：()[].f x I x 在里有分解2. 设12,()1,().p p p x x x x x ϕϕ--=++++L 为素数判断在上是否可约Z第六节 因子分解与多项式的根基本概念：多项式的根、重根、导数；重根的判别定理.重点、难点: 多项式和多项式的根.正 文定义4.6.1: 设()[],()0,().f x I x a I f a a f x ∈∈=如果存在使得则称是的根 定理 4.6.1: 假定,()[],,()I f x I x a I a f x ∈∈是整环那么是的根的充分必要条件是()().x a f x -定理4.6.2： 12()[],,,,,k f x I x a a a I k ∈L 是中个不同的元素则12,,,()k a a a f x L 均是的根1()()().k x a x a f x ⇔--L推论：()[],()f x I x n f x I n 若是中的次多项式则在中至多有个根.定义4.6.2:,()[],1,a I f x I x k ∈∈∃>如果使得()(),()k x a f x a f x -则称为的一个重根.定理4.6.3：()(),,f x I x a I ∈∈设那么'()()().a f x x a f x ⇔-为的重根推论：...,()[],,I U F D f x I x a I ∈∈若为那么'()()()()a f x x a f x f x ⇔-为的重根能整除与的最大公因子.作业：1. 假定216.[]I I x x I 是模的剩余类环的多项式在里有多少个根？2. 假定F 是模3的剩余类环, 我们看[]F x 的多项式3().f x x x =-证明：不管是的哪一个元f a a F()0,.11。
《抽象代数基础》教案
《抽象代数基础》教案第一章：引言1.1 课程简介介绍抽象代数的基础知识和重要地位解释抽象代数与其他数学分支的关系1.2 抽象代数的基本概念定义集合、元素和运算举例说明一些基本的抽象代数结构1.3 抽象代数的历史发展回顾代数的发展历程介绍抽象代数的起源和发展趋势第二章：群论基础2.1 群的定义与性质引入群的定义和表示方法探讨群的性质，如封闭性、结合律等2.2 子群与陪集定义子群和陪集的概念研究子群与原群的关系以及陪集的性质2.3 群的同态与同构引入群同态和同构的概念探讨同态和同构的性质和条件第三章：环与域3.1 环的定义与性质引入环的定义和表示方法探讨环的性质，如加法封闭性、乘法结合律等3.2 素环与最大素环定义素环和最大素环的概念探讨素环和最大素环的性质和判定条件3.3 域的概念与性质引入域的概念和表示方法探讨域的性质，如乘法封闭性和零因子性等第四章：域扩张与伽罗瓦理论4.1 域扩张的定义与性质引入域扩张的概念和表示方法探讨域扩张的性质和条件4.2 伽罗瓦理论的基本概念引入伽罗瓦理论的基本概念，如伽罗瓦群、伽罗瓦扩展等探讨伽罗瓦理论的应用和意义4.3 域扩张的判定定理介绍判定域扩张的一些重要定理，如伽罗瓦定理等举例说明这些定理的应用和证明过程第五章：线性代数基础5.1 线性空间与线性映射引入线性空间和线性映射的概念探讨线性空间和线性映射的性质和运算5.2 矩阵与行列式引入矩阵和行列式的概念探讨矩阵和行列式的性质和运算规则5.3 特征值与特征向量引入特征值和特征向量的概念探讨特征值和特征向量的性质和应用第六章：向量空间与线性变换6.1 向量空间的概念与性质定义向量空间和子空间探讨向量空间的性质，如基的概念和维数6.2 线性变换与线性映射引入线性变换和线性映射的概念探讨线性变换的性质和运算规则6.3 特征值与特征向量进一步探讨特征值和特征向量的性质应用特征值和特征向量解决线性变换的问题第七章：特征值问题的应用7.1 特征值问题的解法介绍特征值问题的解法，如幂法和特征值算法探讨解法的有效性和适用条件7.2 特征值在实际问题中的应用举例说明特征值在物理学、工程学和经济学等领域中的应用分析特征值问题在实际问题中的解法和效果7.3 特征值问题的进一步研究介绍特征值问题的进一步研究方向，如谱理论和解的存在性等探讨特征值问题在科学研究中的重要性和挑战性第八章：向量空间的同构与对偶性8.1 向量空间的同构定义向量空间的同构和等价探讨同构的性质和判定条件8.2 向量空间的对偶性引入向量空间的对偶性和对偶空间探讨对偶性的性质和应用8.3 对偶性与共轭性探讨对偶性与共轭性的关系和联系应用对偶性和共轭性解决向量空间的问题第九章：张量分析基础9.1 张量的定义与运算引入张量的概念和表示方法探讨张量的运算规则和性质9.2 张量空间与张量映射定义张量空间和张量映射探讨张量空间和张量映射的性质和运算9.3 张量分析的应用举例说明张量分析在物理学、工程学和计算机科学等领域中的应用分析张量分析在实际问题中的解法和效果回顾本课程的主要概念、定理和方法10.2 抽象代数的进一步研究介绍抽象代数进一步研究的主要方向和热点问题探讨抽象代数在科学研究和应用中的前景和挑战10.3 课程学习评价与反思分析学生在本课程学习中的表现和收获提出学生应如何继续学习和提高自己在抽象代数方面的能力重点和难点解析重点环节1：群的定义与性质群的定义和表示方法是理解抽象代数结构的基础，需要重点掌握。
整环里的因子分解讲解
不可约元。 由此可知，环 Z[ 5i]中的元素 3 及 2 5i 都是不可约元。
由于 3 2 5i 2 5i ，但 3 不能整除 2 5i 与 2 5i
定理 4.1.1 设环 K 的全体单位组成的集合为 G ，则 G 对 K 的乘 法构成一个交换群。
证明 对任意 a,b G ，有 a,b K ，存在 a1,b1 K ，因
aa1 1， bb1 1 ，
从而有
(ab)(b1a1) a(bb1)a1 1。
所以 ab 为单位，故 ab G 。 因 K 满足结合律，所以在 G 中亦满足结合律。 由于 K 的单位元 1 是可逆的，所以1G 。 G 中的每一个元都有逆元，且逆元在 G 中。 故 G 对于 K 的乘法构成交换群。
约元。
定理 4.1.3 整环中一个不等于零的元 a 有真因子的充分 必要条件是：a=bc (b 和 c 都不是单位)。
证明 若 a 有真因子 b ,那么 a=bc 这里的 b 由真因子的定义不是单位。c 也不是单位，不然 的话 b ac1 ，b 是 a 的相伴元，与 b 是 a 的真因子的假定 不合。 反过来，假定 a=bc b 和 c 都不是单位。这时 b 不会是 a 的相伴元，不然的话
不可约元。 证明 设 是 K 中的任意一个单位，则 a 是 a 的任意
一个相伴元。 下证 a 是 K 中的不可约元。
由于 0 ， a 0 ， K 无零因子，所以a 0 ；又由于 a 是不可约元，所以 a 不是单位，否则，存在 K ，使得
( a) 1，从而有 a( ) 1 ，于是 a 为单位，这与 a 是不可
《整数的因子分解》课件
详细描述
形式为 $p^n$ 的数可以表示为 质数 $p$ 的 $n$ 次方，其因子 分解结果为 $p^m times p^n$ ，其中 $m, n leq n$。例如 $8 = 2^3$，其因子分解结果为 $2^3 times 2^0 = 2^3 times 1 = 2^3$。
因子分解的重要性
01
02
03
数学基础
整数因子分解是数学中一 个基本而重要的概念，是 数论、代数和几何等多个 数学领域的基础。
应用广泛
在计算机科学、密码学、 数据加密和网络安全等领 域，整数因子分解都是关 键技术之一。
挑战性
尽管整数因子分解在理论 上简单，但在实际操作中 却非常复杂，成为数学领 域中著名的难题之一。
数因子分解，大大提高了分解的效率和精度。
02
整数的因子分解方法
质因数分解法
总结词
将一个合数分解为若干个质数的乘积。
详细描述
质因数分解法是整数的因子分解中最基本的方法之一。它通过找出给定合数的所 有质因数，并将它们相乘来得到该合数的因数分解形式。例如，将28分解为2、2 、7三个质数的乘积。
试除法
优化算法
在算法设计中，因子分解的思想常常被用来优化算法。例如，快速傅里
叶变换（FFT）算法就是利用了因子分解的思想来提高算法的效率。
在密码学中的应用
加密和解密
在密码学中，许多加密算法都涉及到因子分解。例如，RSA算法就是基于大整数因子分 解的困难性来设计的。通过将一个大整数分解为两个因子的乘积，可以用于加密和解密
详细描述
形式为 $ab$ 的数可以 表示为两个互质的正整 数的乘积，其因子分解 结果为 $a times b$。
高等代数第四章整环里的因子分解
第四章整环里的因子分解§1、素元、唯一分解一、整除、单位、相伴元定义在整环I中，若a=bc，则称a能被b整除，也说b整除a，记为b|a。
b不能整除a记作b|a。
定义整环I的一个元ε叫做I的一个单位，假如ε是一个有逆元的元。
元b叫做元a的相伴元（a与b相伴），假若b是a 和一个单位ε的乘积：b=εa。
单位元必是单位，反之不然。
例1在整数环Z中，单位即是1和-1，b是a的相伴元⇔b=±a。
在数域F的多项式环F[x]中，单位即是零次多项式c∈F*，g（x）是f（x）的相伴元⇔g（x）=cf（x）。
定理1 两个单位ε1和ε2的乘积ε1ε2也是单位。
单位ε的逆元ε-1也是一个单位。
推论整环I中全体单位的集U关于乘法作成群。
二、素元定义单位以及元a的相伴元叫做a平凡因子。
其余的a的因子，假如还有的话，叫做a的真因子。
定义整环I的一个元p叫做一个素元（注：应是不可约元），假如p0≠，p不是单位，并且p只有平凡因子。
例2 在例1的Z中，素元就是素数。
在F[x]中，素元就是不可约多项式。
定理2 单位ε同素元p的乘积εp也是一个素元。
定理3整环I的一个非零元a有真因子⇔a=bc，b和c都不是单位。
推论假定a≠0，并且a有真因子b:a=bc。
那么c也是a的真因子。
三、唯一分解定义一个整环I的一个元a说是在I 里有唯一分解，假如以下条件能被满足：（i）a=p1p2…p r（p i是I的素元）（ii）若同时a=q1q2…q s（q i是I的素元）那么r=s并且我们可以把q i的次序掉换一下，使得q i=εi p i (εi是 I的单位)零元和单位都不能唯一分解。
例3 在整环I={}Z+,3中：a∈-bab（1）ε是单位1=⇔。
⇔ε=1ε2±（2）若4α2=，则α是素元。
（3）4∈I有两种不同的分解（不相伴分解）：()()3+-=-⋅=113224-§2、唯一分解环一、唯一分解环定义一个整环I叫做一个唯一分解环，假如I的每一个既不等于零又不是单位的元都有唯一分解。
第四章 整环里的因子分解
第四章整环里的因子分解本章讨论环的一个特殊问题，即整环里的唯一分解定理§4.1 素元唯一分解●课时安排约2课时●教学内容P125-130定义：我们说，整环R的一个元a可以被I的元b整数，假如在R里找得出元c，使：a=bc假如a能被b整除，我们说b是a的因子，并且用符号b|a来表示，否则 b a来表示。
定理1：两个单位ε和ε′的乘积εε′也是一个单位，单位ε的逆ε-1也是一个单位。
定义：单位以及元a的相伴元叫做a的平凡因子，其余的a的因子，叫做真因子。
定义：整环R的一个元P叫做一个素元，假如P既不是零元，也不是单位，并且P只有平凡因子。
定理2：单位q同素元P的乘积qp也是一个素元。
定理3：整理中一个不等于零的元a有真因子的充分而且必要条件是：a=bcb和c都不是单位元。
推论：假定a≠0，并且a有真因子，b:a=bc，那么C也是a的真因子。
定义：我们说，一个整环R的一个元a在R里有唯一分解，假如以下条件能被满足：（i）a=P1P2…Pr(Pi是R的素元1)（ii）若同时a=那么r=s，且可把的次序掉换一下使（ I是R的单位）例1：P129●教学重点掌握和理解素元概念●教学难点几个定理的证明过程●布置作业P1301，2●例题精讲P1303§4.2 唯一分解环●课时安排约2课时●教学内容P130-135定义：一个整环R叫做一个唯一分解环，假如R的每个既不等于零又不是单位的元都有唯一分解。
定理1：一个唯一分解环有以下性质：（iii）若一个素元P能够整除ab，那么P能够整除a或b。
定理2：假定一个整环R有以下性质：（i）R 每一个即不是零也不是单位的元a都有一个分解。
A=P1P2…Pr（Pr是R的素元）（iii）R的一个素元P若能整除ab，那么P能整除a或b。
则R一定是一个唯一分解环。
定理3：一个唯一分解环R的两个元a和b，在R里一定有最大公因子，a和b的两个最大公因子d和d′只能差一个单位因子。
《分解因式法》参考教案
《分解因式法》参考教案一、教学目标1. 让学生理解分解因式的概念和意义。
2. 让学生掌握常用的分解因式方法，如提公因式法、公式法、分组分解法等。
3. 培养学生解决实际问题的能力，提高学生的数学思维水平。
二、教学内容1. 分解因式的概念和意义。
2. 提公因式法：找出多项式的公因式，将其提出，对余下的多项式进行分解。
3. 公式法：运用平方差公式和完全平方公式分解因式。
4. 分组分解法：将多项式中的项进行合理分组，分别对各组进行分解。
5. 实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：掌握分解因式的概念和方法，能灵活运用各种方法分解因式。
2. 教学难点：公式法的运用，分组分解法的合理分组。
四、教学方法1. 采用实例教学法，让学生在实际问题中感受分解因式的意义。
2. 采用分组讨论法，引导学生主动探索、合作交流，共同解决问题。
3. 采用练习法，巩固所学知识，提高解题能力。
五、教学过程1. 导入：通过一个实际问题引入分解因式的概念，让学生感受分解因式的意义。
2. 讲解：讲解分解因式的概念、意义以及各种分解方法。
3. 示范：用实例演示各种分解方法的运用。
4. 练习：让学生进行分解因式的练习，及时反馈、讲解、指导。
6. 作业布置：布置适量作业，巩固所学知识。
六、教学策略1. 案例分析：通过分析具体的数学案例，让学生理解不同分解因式方法的适用场景。
2. 互动讨论：鼓励学生参与课堂讨论，分享他们在解决问题时采用的分解因式策略。
3. 练习与反馈：设计多样化的练习题，让学生在实践中掌握分解因式的方法，并对学生的练习进行及时反馈。
七、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，评估学生的学习状态。
2. 练习成果：评估学生在课后作业和课堂练习中的表现，检验他们对分解因式的理解和掌握程度。
3. 问题解决：通过设计一些综合性的问题，考查学生运用分解因式法解决实际问题的能力。
八、教学拓展1. 数学历史：介绍分解因式在数学发展史上的应用和重要性。
第四章整环里的因子分解
第四章整环里的唯一分解概述：本章主要讨论与因子分解有关的问题，我们知道在整数环里有唯一分解定理，即任何大于 1 的整数皆可唯一的写成一些素数的乘积. 在这一章我们要看一看，在一个抽象的环里这个定理是否成立；但由于在一个一般的环里去研究这个问题有相当的困难，所以我们仅把整数中的因子分解的概念推广到一般的整环中.本章中的环I 均表示整环，I 的单位元均记为1，I 中的非零元记为I I {0} .第一节素元、唯一分解基本概念：整除，单位、相伴元，平凡因子、真因子、素元，唯一分解.重点、难点: 唯一分解.正文定义 4.1.1 ：整环I中的可逆元称为I的一个单位(Unit ).注1：单位与单位元是两个概念，单位元一定是单位，而单位未必是单位元.注2：整环I 中的全体单位关于I 的乘法构成一个Abel 群, 称为I 的单位群，记为U(I) . 定义 4.1.2：我们说，整环I 的一个元a可以被I 的元b整除，假如在I 里找得出元c，使得a=bc. 假如 a 能被 b 整除，我们说 b 是 a 的因子，并且用符号b|a 来表示，否则用 b a来表示.定义 4.1.3：元b叫做元a相伴元，假如b=εa其, 中ε是I的一个单位.定义 4.1.4：单位以及元a的相伴元叫做a的平凡因子，其余的 a 的因子，叫做真因子.定义 4.1.5：整环I的一个元p叫做一个素元，假如p既不是零元，也不是单位，并且p只有平凡因子.定理 4.1.1：两个单位ε和ε的′乘积εε也′是一个单位，单位ε的逆ε-1也是一个单位.定理 4.1.2：单位同素元p的乘积p 也是一个素元.证明：(1) 0,p 0 p 0;(2) p不是单位 .若不然，‘I使得1 ‘( p) ( ‘)p p是单位与p是素元矛盾 .(3) p只有平凡因子 .定理 4.1.3：整环中一个不等于零的元 a 有真因子的充分而且必要条件是： a bc，b, c都不是单位元.证明：( ) a有真因子 b U (I)使得 b a且b不是a的相伴元.c I使得a bc.若c U (I ),则a与b是相伴关系，故 c U(I) .( ) 假定 a bc，b,c U(I) b不是a的相伴元，否则b a bc c 1 c U (I ) , 矛盾.故 a 有真因子.定义4.1.6 ：我们说，一个整环I 的一个元a在I 里有唯一分解，假如以下条件能被满足：(1) a p1p r ,其中p i (i 1,r) 是I 中的素元 ;(2)若又有a q1q s,其中q j (j 1,s)是I中的素元，那么r s且p i i q i j,i 1, ,r,其中i j1, ,i r 是1, , n的一个排列.例：设Z[3] {a b 3a,b Z}, 则(1) Z[ 3]是整环 .(2) U(Z[ 3]) {1, 1}设 a b 3 U(Z[ 3]), 则' Z[ 3]使得1 '.22则 1 '(a2 3b2) ' a2 3b2 1 a 1,b 0 1.2(3) Z[ 3], 若2＝4，则为素元.(4) 1 3都不是2的相伴元 .(5) 4 2 2 (1 3)(1 3)是4在Z[ 3]中两种不同的分解 .作业：1．设I 刚好包含所有复数a bi (a, b是整数) 的整环. 证明 5 不是I 的素元. 5 有没有唯一分解？第二节唯一分解环基本概念：唯一分解环，唯一分解环的性质. 公因子、最大公因子，最大公因子的存在性.重点、难点: 唯一分解环.正文定义 4.2.1 ：整环I 叫做一个唯一分解环(UFD), 如果I 的每一个既不等于零又不是单位的元都有唯一分解.定理 4.2.1 ：唯一分解环有以下性质：(3) 若一个素元pab, 那么pa或pb.证明：当a,b 中有一个是零或是单位时，定理显真.现设a,b 皆非零元，也非单位. pab ab pc,c 0,c也非单位.(否则若c是单位，则pc是素元与pc可写成两个非单位的元之积矛盾)于是c p1p2 p n,诸p i皆素元 .又令a q1q2 q r,b q1'q2'q s',诸q j,q k'皆素元. 于是q1q2 q r q1'q2'q s'＝p p1p2 p n .由分解唯一性知p是某个q i或q j的相伴元 , 如q1 p,则pa；如q1 p则pb. 推论：在一个UFD中，若素元pa1a2 a n ,则p必整除某一个a i.定理 4.2.2 ：若整环I 满足：(1) I U (I )中每一个元均有一个分解式；(2) 若p是I的素元,则必有p ab pa或pb, a,b I .那么I 一定是唯一分解环.定义 4.2.2 ：假定d,a1, a n I,如果da i ,i 1, ,n,则称d为a1, ,a n 的一个公因子；假定d为a1, , a n的一个公因子,若a1, , a n的每一个公因子都能整除d ，则称d为a1, , a n的一个最大公因子 .定义 4.2.3 ：假定a1, a n I,如果a1, ,a n在I中的最大公因子是单位，则称a1, a n 互素 .定理 4.2.3 ：假定I 是唯一分解环, a,b I,那么有(1) 在I 中, a和b有最大公因子；(2) 若d,d 均为a和b的最大公因子，则d , d是相伴关系 .作业：1. 假定I是一个整环,(a)和(b)是I的两个主理想证.明：(a) (b)当且仅当 b 是 a 的相伴元的时候.2 ．证明：Z 10 不是唯一分解环.第三节主理想环基本概念：：主理想环，主理想和极大理想、主理想环与唯一分解环的关系. 重点、难点: 主理想、极大理想.正文定义 4.3.1 ：如果整环I 中的每一个理想都是主理想，则称I 是一个主理想环，记为P.I.D.例 1 ：整数环(Z, , ,0,1)是主理想环 .证明：设({ 0} )A是Z的理想，记A中的最小正整数为a,则(a) A . 另一方面，若m A,m (a),则a m,设m as e,0 r a,则r m as A此与a的最小性矛盾，故 A ( a).从而 A (a). 例 2 ：F是域，则(F[x], ,,0,1)是主理想环 .证明：设({ 0} )A是F[x]的理想，记A中次数最低的多项式为f(x),则(f (x)) A. 另一方面，若g(x) A,g(x) (f(x)),则f (x) g(x), 设g(x) f (x)u(x) v(x),(v(x)) ( f ( x))而v( x) A此与f (x)次数最小矛盾 . 故 A ( f (x)),从而A(f(x)) .引理 4.3.1 ：设(I, , ,0,1) 是一个PID, 则I 中的每一个真因子序列一定是有限序列. 即若序列a1,a2, ,(a i I) 中每一个元素都是前面一个元的真因子，则该列一定是有限序列.证明：由于a i 1a i ，所以(a1) (a2)令 A (a i )，则A是I的一个理想 . 事实上：r I,ra (a i) A.ia,b A i, j(不妨设i j)使得 a (a i ),b (a j ) a (a i ) (a j )a b (a j) A .而I是PID ，则存在 d I,使得 A (d). 而d A (a i )，i则n使得d (a n) ，我们断言，a n为序列中的最后一个，如若不然，设还有一个a n 1使得a n 1为a n的真因子 . 由于d (a n ), a n 1 (d) a n d,da n 1a n a n 1又a n 1 a n ，则a n是a n 1相伴关系，这与a n 1为a n的真因子矛盾 . 故原结论成立.引理 4.3.2 ：设(I, , ,0,1)是一个PID, p是I中的素元，则(p) 为I 的极大理想.证明：设 A (a)是I的理想，(p) (A) I p (a) a p.a p是p的相伴元(a) p (a) p 矛盾.a 是单位 1 A ( a)=I.故(p) 为I 的极大理想.定理 4.3.1 ：设(I, , ,0,1)是一个PID, 则I是UFD.证明：(1) a I U(I ), a一定有分解式事.实上，若a是素元，则不用再证.现设a有真因子， a bc若b, c皆素元，则不用再证. 对a 的不是素元的真因子重复上面的讨论过程，这样的分解过程经有限步后必终止 (否则会得到无穷序列a,a1,a2,L 后面的元是前面一个元的真因子，这与I 是PID的前提矛盾) , 此时已把a分解成有限个素元之积.(2) 设素元p ab,于是在I p中有ab 0 a b但I p是域. 因此a 0或b 0 a p 或b p p a或p b.由定理 4.2.2 知I 是UFD.注：定理的逆不成立. 例如￠[ x]是UFD但不是PID.作业：证明：一个主理想环的非零最大理想都是由一个素元所生成的.第四节欧氏环基本概念：欧氏环的定义，欧氏环和主理想环的关系. 重点、难点: 欧氏环.正文定义 4.4.1 ：设I 是整环，若(1) 存在映射:I n Z:n 0 Z.(2) a,b I,a 0,则存在q,r I使b qa r,其中r 0或(r) (a).则称I是一个欧氏环(E.D.) .例1．整环(Z, , ,0,1)是一个欧氏环.证明：令:Z Z;aa a , a Z .则是一个映射,且a,b Z ,一定存在q,r Z使得b aq r,r 0或(r) r a (a).故(Z, , ,0,1)是一个欧氏环.例2．数域F上的多项式环(F[x], , ,0,1)是一个欧氏环例3．Gauss整数环(Z[i], , ,0,1)是欧氏环.证明：易证(Z[i],则是一个映射.设 a bi Z [i ] \{0}, , ,0,1) 是整环. 令:Z[i]\{0} Z;ac di Z[i] ，'122bi a a2b2，k li,k,l Z ，则存在k',l1.2.Z 使得令 k ' l 'i Z[i], ，则 .2若 0, 则( )＝( － )＝( ) －'2' 2 1 ＝ (k k ' l l ' ) 2 ( ) ( ) . 因此(Z[i], , ,0,1)是欧氏环 .定理 4.4.1 ：任何一个欧氏环一 定是一 个主理想环，因而一 定是一 个唯一分 解环.证明：设 A {0}是欧氏环 I 的一个理想 , 是欧氏环的映射 . 令a A 使( a )=min{ (x)x( 0) A} ，则 A (a). 事实上, b A, q,r I 使得b qa r,r 0或( r )< (a),r A .若 r 0则与( a )的最小性矛盾 . 故 r=0,b=q a (a).注： 定理 4.4.1 的逆不真， P.I.D 未必是欧氏环 . 如复数域的子环 R a b 19 1 a,b Z 是一个 P.I.D 但不是欧氏环 .2定理 4.4.2 ：(Z, , ,0,1)是欧氏环 , 从而是唯一分解环 .引理 4.4.1 ：假定 I[x]是整环 I 上的一元多项式， I[x]的元的最高系数 a n U (I ),那么对 f (x) I [ x],存在q( x), r (x) I[x]使得 f (x) q(x)g(x) r(x),其中 r(x) 0或r ( x)的次数小于 g(x) 的次数 n.定理 4.4.3 ：域 F 上的一元多项式环 F[x]是一个欧氏环 . 证明：显然 F[x]是一个整环，令：F[x] Z;f(x)a deg( f (x)), f(x) F[x].n n 1g(x) a n x a n 1x L a 1x a 02例③可取 Z1 19则 是一个映射 . g(x) F[x] , f(x) F[x],g(x) 0 g(x)的最高项系数 a n 0,而 a n 由引理 4.4.1 可知， q(x),r(x) F[x]使得f (x) q(x)g(x) r(x),其中 r(x) 0或r ( x)的次数小于 g(x) 的次数 n.即 r(x) 0或 (r(x)) (g(x)).故F[x]是唯一分解环 . 作业：1. 下列环是否是欧氏环，并证明之：(1) Z 2 a b 2 a,b Z .(2) Z 3 a b 3 a,b Z .2. 证明：一个域一 定是一 个欧氏环 .例④可取 Z 或数域 F 上的一元多项式环 F[x] ；F ,则a n 可逆 .其中，例①可取 Z 3 ；例②可取 Z[x] ； 附注 本章中介绍的几种常见的整环之间有如下的关系图：例⑤可取有理数域、实数域、复数域等．第五节多项式环的因子分解基本概念：本原多项式的定义及其引理.重点、难点: 多项式的可约性判断.正文设I为U.F.D，I[x]为F 上的一元多项式环，则有如下简单事实：(1)U(I[x]) U(I),且I[x]为整环;(2) I [ x]中多项式 f ( x)称为本原多项式，如果 f (x)系数的最大公因子是单位(3) 若本原多项式 f (x)可约,则f(x) g(x)h(x),g(x),h(x) I[x]且deg f(x) deg g( x) 0.(4) f (x)g(x)h(x)是本原的g(x)和h(x)均是本原的;(5) f (x)I[x],若degf(x) 0,则f (x)是本原的f(x)U(I[x]).引理4.5.1:设Z是I的商域,0 f (x) Z[x],则(1)f(x)b f0(x),a,b I, f 0 ( x)是I [ x]中的本原多项式; a(2)bd若f(x) f0(x) g0(x),a,b,c,d I, f0(x),g0(x)ac均为I [x]中的本原多项式，则U(I) U(I[x])使得f0(x) g0(x).引理4.5.2: 假设f0(x)是I[x]中的一个本原多项式, f0(x)在I[ x]中可约的充分必要条件是f0(x)在Q[x]中可约，其中Q为I的商域.引理 4.5.3: I [ x]的任一个次数大于零的本原多项式f (x)在I[x]里有唯一分解.定理 4.5.1: 若I是U.F.D,则I[x]也是U.F.D.定理 4.5.2: 若I是U.F.D,则I[x1,x2,L ,x n]也是U.F.D.,其中x1,x2,L ,x n是 I 上的无关未定元.作业：1．假定I[ x]是整环I上的一元多项式环.f(x)属于I[x]但不属于I,并且f(x)的最高系数是I 的一个单位. 证明：f(x)在I[x]里有分解.2. 设p为素数, (x) x p 1 x p 2 L x 1,判断(x)在Z 上是否可约.第六节因子分解与多项式的根基本概念：多项式的根、重根、导数；重根的判别定理.重点、难点: 多项式和多项式的根.正文定义 4.6.1: 设 f (x) I [ x],如果存在 a I使得f(a) 0,则称a是f (x)的根.定理 4.6.1: 假定I是整环, f(x) I[x],a I,那么a是f(x)的根的充分必要条件是(x a) f (x).定理 4.6.2 ：f(x) I[x],a1,a2,L , a k是I中k个不同的元素,则a1,a2,L ,a k均是f (x)的根(x a1)L (x a k) f(x).推论：若f(x)是I[x]中的n次多项式,则f(x)在I中至多有n个根.定义 4.6.2: a I, f (x) I[x],如果k 1,使得(x a)k f (x),则称a为f ( x)的一个重根.定理 4.6.3 ：设f (x) I(x),a I,那么a为f ( x)的重根(x a) f '(x).推论：若I为U.F.D., f(x) I[x],a I,那么a为f ( x)的重根(x a)能整除f(x)与f '(x)的最大公因子.作业：1. 假定I是模16的剩余类环.I [ x]的多项式x2在I 里有多少个根？2. 假定F是模3的剩余类环, 我们看 F [ x]的多项式 f (x) x3 x.证明：f (a) 0,不管a是F的哪一个元11。
《抽象代数基础》教案
《抽象代数基础》教案一、引言1.1 课程背景抽象代数是现代数学的重要分支，它不仅涉及到纯数学的理论研究，还广泛应用于物理、计算机科学、信息安全等领域。
本课程旨在帮助学生掌握抽象代数的基本概念、理论和方法，为后续相关课程打下坚实的基础。
1.2 课程目标通过本课程的学习，学生将能够：理解抽象代数的基本概念和术语；掌握抽象代数的基本理论和方法；运用抽象代数知识解决实际问题；培养逻辑思维和抽象思考能力。
二、基本概念与术语2.1 集合与映射集合的基本概念和运算；映射的定义和性质。
2.2 群与环群的定义和性质；环的定义和性质。
2.3 域与域扩张域的定义和性质；域扩张的定义和性质。
三、基本定理与性质3.1 集合的性质集合的子集和幂集；集合的势和阿恩特数。
3.2 映射的性质映射的连续性和可逆性；映射的反射性、对称性和传递性。
3.3 群、环和域的性质群的子群和同态；环的理想和商环；域的分裂性和素域。
四、抽象代数的应用4.1 线性代数中的应用矩阵的群运算；线性方程组的解的结构。
4.2 数论中的应用费马小定理和欧拉定理；素数的分布和二次互反律。
4.3 密码学中的应用加密算法和安全模型；公钥密码和私钥密码。
五、练习与讨论5.1 练习题根据所学内容，编写相关的练习题；题目难度要适中，涵盖本节课的主要知识点。
5.2 讨论题针对本节课的内容，提出一些讨论题；引导学生进行思考和交流，加深对知识点的理解。
六、抽象代数的高级概念6.1 同态与同构同态的定义与性质；同构的概念与重要性。
6.2 群的作用群在数学中的应用；群的分类与典型例子。
6.3 环与域的扩张环与域的扩张概念；伽罗瓦理论的基本思想。
七、线性代数与抽象代数7.1 向量空间与线性映射向量空间的概念；线性映射的性质。
7.2 特征值与特征向量特征值和特征向量的定义；它们的性质与应用。
7.3 对称矩阵与正定矩阵对称矩阵的特征值；正定矩阵的性质与应用。
八、数论中的抽象代数方法8.1 整数环与域整数的抽象代数结构；最大公约数与最小公倍数。
《抽象代数基础》教案
《抽象代数基础》教案一、引言1.1 课程背景抽象代数是数学的一个重要分支，它研究的是代数结构及其性质。
抽象代数基础课程旨在帮助学生掌握代数基本概念、理论和方法，为后续高级代数课程打下坚实基础。
1.2 课程目标通过本课程的学习，学生将能够：理解并运用代数基本概念，如群、环、域等；熟练掌握代数运算和结构性质；运用抽象代数的方法解决实际问题。
二、基本概念2.1 集合与映射集合的基本运算映射的定义和性质2.2 群与环群的定义和性质环的定义和性质2.3 域与域扩张域的定义和性质域扩张的定义和性质三、代数运算3.1 群的运算群的乘法运算群的单位元和逆元3.2 环的运算环的加法运算环的乘法运算3.3 域的运算域的加法运算域的乘法运算四、代数结构4.1 群的结构群的子群和同态群的直积和半直积4.2 环的结构环的子环和同态环的理想和商环4.3 域的结构域的子域和同态域的分裂和扩张五、应用实例5.1 线性代数的应用线性方程组的解矩阵的运算和性质5.2 数理逻辑的应用命题逻辑和谓词逻辑代数逻辑和自动机理论5.3 编码理论的应用线性码和非线性码编码译码算法和性能分析六、线性代数基础6.1 向量空间向量的定义和性质向量空间的基本概念6.2 线性映射线性映射的定义和性质线性映射的图像和核6.3 矩阵矩阵的定义和运算矩阵的行列式和特征值七、群论深入7.1 群的作用群的群作用和群代表群的分类和计数7.2 群表示论群表示的基本概念群表示的构造和性质7.3 群扩张和分类群扩张的性质和分类群的饱和性和分类定理八、环与域的高级主题8.1 非交换环和域非交换环和域的性质非交换环和域的分类8.2 域的扩张和伽罗瓦理论域扩张的伽罗瓦理论伽罗瓦扩张和伽罗瓦群8.3 环和域的代数几何环和域的代数几何基础环和域的代数曲线和曲面九、抽象代数在计算机科学中的应用9.1 密码学密码体制和加密算法公钥密码学和椭圆曲线密码学9.2 计算复杂性计算复杂性的基本概念算法的复杂性和时间复杂度9.3 程序正确性验证程序正确性验证的方法代数方法在程序验证中的应用10.1 抽象代数的主要成就抽象代数的历史和发展抽象代数的重要成就和贡献10.2 抽象代数的未来趋势抽象代数的研究热点抽象代数在数学和应用领域的未来趋势拓展阅读和学习资源推荐重点和难点解析一、集合与映射集合的基本运算：理解集合的并、交、补集等基本运算至关重要。
解析初中数学分解因式法的教案
解析初中数学分解因式法的教案的重要性分解因式法是数学中很重要、也很基础的一个概念，对理解数学知识的整体有着重要的作用。
如何编写一份有效的分解因式法教案，可以帮助学生更轻松地理解这种方法，从而更好地完成数学学习。
一份好的教案应该是结构良好、内容准确、形式简单清晰的。
本文将从教学设计要点、教学实施、评价反思等方面出发，对初中数学分解因式法进行分析，并编写一份涵盖了这些方面要点的教案。
一、教学设计1. 目标通过本节课的学习，使学生能够掌握分解因式法，能够将多项式进行分解。
2. 教学重难点教学重点：学生能够正确地使用分解因式法进行运算。
教学难点：学生能够自主思考，把握分解因式法的本质。
3. 教学思路以提高学生的自主学习能力为主要思路，倡导启发式教学，鼓励学生自主发现和研究问题，通过分组讨论、示范演示和案例分析等方法，帮助学生掌握分解因式法的实际应用和规律。
二、教学实施1. 导入环节通过分发一种学习任务，引入本节课学习的主题。
任务内容可以是一道有关于分解因式法的实际应用题目。
2. 新知讲授通过讲授的方式，向学生介绍分解因式法的相关概念和应用方法，同时给出相关的实例，帮助学生巩固掌握分解因式法的基本知识点。
3. 练习不能仅仅说理论，还要有练习，让学生在练习中巩固理论知识，并能够发现问题。
练习的题目要有类似于考试中的会考难度。
4. 讲解优秀案例让学生自己讨论并分享各自的分解因式结果，并从中挑选优秀案例进行展示，让其他的学生多加琢磨，并能够从中得到启发。
5. 课堂总结总结本节课的内容，并对学生的表现进行一定的评价。
亦可以通过作业对教学进行管控。
三、评价反思在教学结束后，要对学生的学习效果进行评价与反思。
通过小测试等方式来测试教学的成果，如果发现学生在某些方面还存在困难，教师可以针对性地进行讲解与指导，以达到提高教学质量的目的。
结论本文针对中学生分解因式的学习内容进行分析，并提供了一份相应的教案，让教师能够更好地引导学生进行学习。
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（1）a是单位 （a）=R
（2）
（3）a与b相伴 （a）=（b）
（4）b是a的真因子
（5）a是既约元 （a）是非零的极大主理想，即不存在主理想（b）使
命题3设R是整环，则R的既约元的相伴元也是既约元。
证明：设a是既约元，b是a的相伴元，则（a）=（b），于是得证。
定义3设R是整环， 且p不是单位，如果对任意的a，b属于R，由 必有 或者 ，则称p是素元。
《 抽象代数基础 》教案
授课时间第30次课
授课章节
2.6整环的因子分解
任课教师
及职称
xx教授
教学方法
与手段
讲授法、板书
课时安排
6
使用教材和
主要参考书
《抽象代数基础》 唐忠明 编 高等教育出版社 2006，4
《近世代数》 杨子胥 编 高等教育出版社 2000，7
教学目的与要求：
明确单位、相伴、素元、主理想整环、欧式环、唯一分解整环
例如：在Z中，素数是素元，F[x]中，不可约多项式是素元。
命题4设R是整环， 且p不是单位，则p是素元 （p）是素理想
定义3设R是整环，如果R的每个理想都是主理想，即都可以由一个元素生成，则称R是主理想整环。
命题5设R是主理想整环，I是R的非零真理想，则I是素理想 I是极大理想
命题6设R是主理想整环， 是非零非单位的元素，则p是素元 p是既约元
定义4设R是整环，假设从R的非零元的集合 到非负整数集合有一个映射 使得对 ， 都存在 使 ，其中 或 ，（*）则称 是欧式环，简称R是欧式环，简称R是欧式环，而算式（*）称为欧式除环。
定理1欧式环一定是主理想整环
证明：设 是欧式环，I是R的任意一个理想，若I={0}，则显然I是主理想。假设 ，则集合 非空，且存在最小数，设 使得 是这个集合中的最小数，则对 都有 ，下证I=（a）。
若 ，则由a=acd消去a得cd=1，所以c，d为R的单位，因而总存在单位 使 。
若有单位 使 ，则 ，所以 ，即a与b相伴。
定义2设R是一个整环，
（1）设 且 ，则R中的单位及a的相伴元都是a的因子，称为是a的平凡因子，a的非平凡因子称为a的真因子。
（2）设 且 ，若a不是单位且没有非平凡的因子，即a的因子只有单位和a的相伴元，则称a是既约元。
教学重点，难点：
主理想整环、唯一分解整环、欧式环之间的关系
教学内容：
2.6整环的因子分解
定义1设R是一个整环
（1）R中的（乘法）可逆元称为是R的单位
（2）设 ，若存在 使a=bc，则称b整除a，记为 。
（3）设 ，若 ，则称a与b相伴。
命题1 a与b相伴 存在单位 使
证明： 由 知存在 使b=ac，a=bd，于是a=acd，若a=0，则b=ac=0，故a=b；
假设 ，则由 ， 得 且 。又若 且 ，则 ， ，于是 ，故 ，则 ，所以d是a，b的一个最大公因子。由于 ，所以存在 使 ：
P57 1、3、5、7、9、13
下次课预习要点
唯一分解整环上的多项式环
实施情况及教学效果分析
学院审核意见
学院负责人签字
年月日
证明： 已证， 假设p是既约元，我们来证明（p）是极大理想。设I是R的一个理想使 ，
教学内容：
由于R是主理想整环，所以存在 使得I=（a），因而存在 使p=ab，而p是既约元，所以a为单位或者b为单位，若b为单位则（p）=（a），矛盾，所以a必为单位，从而I=（a）=R，所以（p）是R的极大理想，从而也是素理想，从而p是R的素元。
（2）如果d是 的公因子而且若 也是 的一个公因子则必有 ，则称d是 的一个最大公因子。
教学内容：
定理3唯一分解整环中的任意两个元素都有最大公因子
命题8设R是一个主理想整环，则d是a，b的最大公因子 （a）+（b）=（d），而且对a，b的任意最大公因子（a，b），存在 使（a，b）=sa+tb
证明： 若d是a，b的最大公因子，则 且 ，于是 且 ，从而 。由于R是主理想整环，所以存在 使 ，则 ，即 ，而d是a，b的最大公因子，所以 ，于是 ，即 ，所以
对 ，由于R是欧式环，所以存在 使b=qa+r，其中r=0或者 ，易证r=0，从而 ，因而I=（a）。所以R是一个主理想整环。
定义5设R是一个整环，如果R满足下列条件
（1）（存在性）R中的每个非零非单位的元素都可以表示成一些既约元的乘积的形式： 其中 都是既约元
（2）（唯一性）若 ，其中 都是既约元，
则必有m=n且适当调整顺序后有 与 相伴，则称R是一个唯一分解整环。
命题7 R是一个唯一分解整环， 是非零非单位的元素，则p是素元 p是既约元
定理2主理想整环是唯一分解整环
于是，欧式环，主理想整环和唯一分解整环之间的关系是：
{欧式环} {主理想整环} {唯一分解整环}
定义6设R是一个整环，
（1）如果 ，则称d是 的一个公因子