离散数学教程ppt

1.2 命题公式及其赋值
定义4.将公式A在其全部赋值下的真值情况列成表， 称为A的真值表。
真值表的构造步骤： （ ）若公式F 共有（n 1)个变元，则真值表第一行写出 1 n n个变元，公式F写在第n 1列。 （2）写出n个变元的所有可能取值（2n 种）,按从低到高的 顺序写出公式的各层次。 （3）在不同赋值下求出各层次的真值及F的真值。
1.2 命题公式及其赋值
命题常元：表示具体确定内容的命题。 命题变元：表示不确定具体内容的命题。
定义1.命题公式的递归定义： （ ）单个命题变元是命题公式，称其为原子命题公式； 1 （2）若p、q是命题公式，则p, p q, p q, p q, p q, p q也是命题公式； （3）有限次的使用（ ）、（2）得到的符号串都是命题公式。 1
1.1 命题和命题联结词
6.异或联结词 指的是排斥或，当且仅当p、q的真值相异时，p q为真。
由定义知 有如下性质： （ ）p q等价于q p 1
p F T
q F T F
p q F T T
(2) p q等价于( p q) (p q) F
T
例：今天第一节课上离散数学或数据结构。
1.2 命题公式及其赋值 例（ ） p q r 1 (2)r q p q p
定义5.公式A， 1)若A在所有赋值下的取值均为真，则称A为永真式； 2）若A在所有赋值下的取值均为假，则称A为永假式； 3）若至少有一组赋值使A的值为真，则称A为可满足式。
1.3 命题公式的等值式
同一律：A 0 A, A 1 A 互补律：A A 1，A A 0 重补律：A A 等幂律：A A A, A A A, A A 1, A A A, A A A, A A 1. 零一律：A 1 1, A 0 0 吸收律：A ( A B) A, A A B A 德摩根律： A B A B, A B A B
1.2 命题公式及其赋值
例（ ）p q q r 1 (2)r q p q p (3) p q) (4)r p (5) p r
同时约定：（1）最外层的括号可以省去。 （2）不影响运算次序的括号也可以省去。
因A，B，C可以代入任意的命题公式，故以上等值式称为等值式模式。 由已知的等值式推演出另外一些等值式的过程为等值演算。
1.3 命题公式的等值式
置换规则：设 ( A)是含公式A的命题公式，( B)是用公式B置换了( A)
自然语言中的陈述句 （1）必须是陈述句。 等式 不等式
（2）能够确定（分辨）其真值。
注意：能否分辨真假与是否知道真假是不同的。 如：张校长的头发有一万根。
1.1 命题和命题联结词
例： 1 ）海洋的面积比陆地的面积大。 2） 6 9。 2 3）火星上有生命。
4）三角形的内角和等于180。 5）你喜欢数学吗？ 6）我们要努力学习。 7）啊，我的天哪！ 8）我正在说谎。
例（ ） p q r 1
(2)r q p q p
1.2 命题公式及其赋值
( p q) r
p： 2是素数，q： 3是偶数，r：2是有理数
p： 2是素数，q： 3是偶数，r：2是无理数
定义3.设A为含有命题变元p1 , p2 , , p n的命题公式， 给p1 , p2 , , p n一组确定的取值，称为对A的一组赋值或解释。 若指定的一组值使A的真值为1 ，则称其为A的成真赋值，否则 称为成假赋值。
1.3 命题公式的等值式
例：（p q )与p q p (q r ), ( p q ) r , ( p q ) r
基本等值式（A，B，C为任意命题公式）
交换律：A B A B, A B B A 结合律：A B C A B C , A B C A B C 分配律：A B C A B A C A B C A B A C
1.1 命题和命题联结词
注意： （ ）给定句子是否是命题 ，如：我和他是同学。 1 （2）要善于识别自然语言 中的联结词，如：狗急 跳墙。
例1.如果你和他不都是傻子 ，那么你们俩都不会去 自讨没趣。 2.如果你走路时看书，那 么你一定会成为近视眼 。 3.他虽有理论知识但无实 践经验。 4.选小陈或小周一人为代 表。 5.如果明天天气好，我们 去郊游，否则就不去。
开关坏Baidu Nhomakorabea或灯泡坏了。 p∨q：
p
F F T T
q
F T F T
1.1 命题和命题联结词
例：1.张晓婧爱唱歌或爱听音乐。 2.张晓婧是内蒙人或是陕西人。 3.张晓婧只能挑选202或203房间。
注意：当排斥或两边的情况实际根本不可能同时发生的时候，排斥或也 可抽象为∨。但为了方便起见一般不这样抽象。
1.1 命题和命题联结词
第一部分 数理逻辑
第一章 命题逻辑 第二章 一阶谓词逻辑

第一章 命题逻辑
1.1 命题和命题联结词 1.2 命题公式及其赋值 1.3 等值演算与联结词完备集 1.4 析取范式与合取范式 1.5 推理的形式结构 1.6 自然推理系统P

1.1 命题和命题联结词
1. 命题：能判断真假的陈述句。 包含两层意思：
1.1 命题和命题联结词
5).等价词 由命题p、q和 组成的复合命题记作p q, 读作“p当且仅当q”。 是自然语言中的“充要条件”，“当且仅当”的逻辑抽象。
p q的逻辑关系为p与q互为充要条件 p 例：1.3是有理数当且仅当加拿大位于亚洲。 2.两圆的面积相等，则他们的半径相等， 反之亦然。 F F T T q F T F T p q T F F T
1.3 命题公式的等值式
蕴含等值式：A B A B, 假言易位：A B B A 等价等值式：A B A B B A A B A B B A A B A B A B 等价否定等值式：A B A B 归谬论：(A B)(A B) A
例：p : 海洋的面积比陆地的面积大。 q : 2 6 9。
例： 1 ）海洋的面积比陆地的面积大。 2） 6 9。 2
r 3）火星上有生命。 : 火星上有生命。
s4）三角形的内角和等于180。 : 三角形的内角和等于1 80。 5）你喜欢数学吗？ 5）你喜欢数学吗？ 6）我们要努力学习。 6）我们要努力学习。 7）啊，我的天哪！ 8）我正在说谎。
7）啊，我的天哪！
8）我正在说谎。
1.1 命题和命题联结词
原子命题：不能被分解为更简单的陈述句 复合命题：原子命题通过联结词联结而成
例：2是有理数是不对的；2是偶素数；2或4是素数；如果2是素数，则3也 是素数；2是素数当且仅当3也是素数。 p：2是有理数，q：2是偶数，r：2是素数，s：3是素数，t：4是素数。
T
F
1.1 命题和命题联结词
联结词的优先次序： （ ）由强到弱依次是：， ， ， ， ,。 1 （2）按优先级书写，可以省略不必要的括号。 （3）同级的联结词，按从左往右的次序运算。
例：p：北京比天津人口多 q：2＋2＝4 r：乌鸦是黑色的
求以下命题的真值 （ ）p q q r 1 (2)r q p q p
1.1 命题和命题联结词
5、语句形式化
形式化的步骤： （ ）确定原子命题（简单 命题）； 1 （2）选择命题联结词。
例：2是有理数是不对的；2是偶素数；2或4是素数；如果2是素数，则3也 是素数；2是素数当且仅当3也是素数。 p：2是有理数，q：2是偶数，r：2是素数，s：3是素数，t：4是素数。 p不对；q且r；r或t；如果r，则s；r当且仅当s。
1.2 命题公式及其赋值
定理1.若A和B为重言式，则A B, A B也是重言式。
1.3 命题公式的等值式
定义1.设A和B是两个命题公式，若A B为重言式， 则称公式A, B是等值的公式，记作A B。
例1.证明（p q) (q p); p p p.
注意： 和 的区别 是公式间的关系符号，如：p q 是命题联结词. p q
2).合取词 p、q是命题，由p、q和 组成的复合命题，记作p q, 读作“ p与q”或“ p合取q”。
是自然语言中的“并且”、 “既又”、“不但 而且”、“虽然但是” 、“一面一面”等的逻辑抽象。
p F F T T q F T F T p q F F F T
1.2 命题公式及其赋值
定义2.命题公式的层次： （ ）公式A为单个命题变元，则称其为0层公式； 1 （2）若公式B是n层公式且A＝B，则A是n＋1层公式； （3）若公式B，C分别是i，j层公式，且A＝B C或A＝B C或 A＝B C或A＝B C或A＝B C，则公式A是n＋1层公式， n max( i, j )。
4).蕴涵词 由命题p、q和 组成的复合命题记作p q, 读作“如果p, 则q” 或“p条件q”。称为前件（前提），q称作后件（结论）。
是自然语言中的“如果 ，则”，“若，则 ” 的逻辑抽象。
有位父亲对儿子说：“如果我 去书店，就一定给你买电脑 报“。问：在什么情况下，
离散数学
数学与信息科学学院
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第一部分 数理逻辑 第二部分 集合论 第三部分 图论 第四部分 抽象代数

第一部分 数理逻辑
数理逻辑是用数学方法研究推理中前提和
结论之间的形式关系的学科。 推理是由一个或几个判断推出一个新判断的思维形式。 数学方法是指建立一套表意符号体系，对具体
事物进行抽象的形式研究的方法。
p F F T T
q F T F T
p q T T F T
父亲算失信呢？

1.1 命题和命题联结词
注意：①“只要p，就q„，’因为p，所以q”，“p仅当q”， ‘只有q，才p“，”除非q才p“，”除非q，否则非p“都可 抽象为p→q。 ②p，q可以没有任何内在联系。 例：1.如果3＋3＝6，那么雪是白的。 2.除非我能工作完成了，我才去看电影。 3.只要天下雨，我就回家。 4.我回家仅当天下雨。 p→q的逻辑关系为q是p的必要条件或p是q的充分条件。
p：王化的成绩很好。 q：王化的品德很好。
p∧q： 王化不但成绩好而且品德好。
1.1 命题和命题联结词
3).析取词 命题p、q和 组成的复合命题记作p q, 读作“p或q”。
是自然语言中的“或” 、“或者”中的可兼或 的逻辑抽象。
p q
F T T T
p：开关坏了。 q：灯泡坏了。
1.1 命题和命题联结词
4、命题联结词
1).否定词 用命题p和“非”、“不”、“没有”等否定词组成的复合命题， 称作p的否命题，记作p, 读作“非p”。
是自然语言中的“非”、“不”和“没有”等的逻辑抽象。 如：p : 4是质数。 p： 4不是质数。
p T F
p
F T
1.1 命题和命题联结词
1.1 命题和命题联结词
2. 命题的真值：判断结果 真 — 真命题
假 — 假命题
注意：此处不纠缠具体命题的真假问题，只是将其作为数学概念来处理。
3.命题和真值的符号化
命题 : 一般用p, q, r ,或pi , qi ,表示。
真值：真用T或1表示，假用F或0表示。
1.1 命题和命题联结词