大学物理习题力学习题课

任意质点所受阻力矩： dM f xdf
M f
xdf


L x dx
0
g


1 2
MgL
（3）
由角动量定L理
Mdt Jd 有
由以上四式解出：
：
t 0
M
f
dt

t 2m v1
0
J
v
d
2
Mg
（4）
例4、质量为M、半径为R的圆盘绕竖直轴O作以角速度 0的匀速转动。人的质量m=¼M。现有四个质量相同的 人其中两人沿圆盘边缘顺着转盘的转向、相对于转盘以 速度v奔跑而另外两人在距轴心为R/2处逆着转盘的转向、 相对于转盘以速度2v奔跑。设原来四人的相对位置如图 示，四人相对静止，轴摩擦可略，求： 1、当四人相对于盘奔跑时，转盘的转速' 2、如四人均顺着转盘的转向奔跑，转盘的转速"
v
2v
20 v
0
v
v
2v
2v
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
o

R

v
其中：
解：选四人和转台为系统，对O轴
合外力矩 M=0,角动量守恒。
0 J J1 J 2 J 3 J4 0
J J11 J 2 2 J 3 3 J 4 4
J 1 MR2 2
J1

J4
所作总功是多少？
m
u
v v u 2gl1 cos u
A mu 2gl1 cos
习题课(刚体定轴转动部分)

刚体定轴转动定律： M J
刚体的转动惯量： J mi ri2 J r 2dm
平行轴定理：
J J c md 2
车 厢 内 有 一 摆 线 长 为l ,小 球 质 量 为m的 单 摆 。 开 始 时 摆 线
与 竖 直 方 向 夹 角 为， 摆 球 在 图 示 位 置 相 对车 厢 静 止 ， 而
后 自 由 摆 下 ， 那 么 摆 球第 一 次 到 达 最 低 位 置 时相 对 地 面 的
速 率 为 多 少 ？ 相 对 于 地面 ， 在 这 一 下 摆 过 程 中摆 线 对 小 球
多少？
v 1u 2
o
R
A
B
8. 如图所示。一斜面固定在卡车上，一物体置于
该斜面上。在卡车沿水平方向加速起动的过程中，
物块在斜面上无相对滑动，说明在此过程中摩擦力
对物块的冲量。
m
（A） 水平向前。
（B）只可能沿斜面向上。

（C）只可能沿斜面向下。
（D）沿斜面向上或向下均有可能。
选D
9.如 图 所 示 ， 车 厢 在 水 平轨 道 上 以 恒 定 的 速 度u向 右 行 驶 ，
atA atB rA A rB B 3
对o轴 :
JA

1 2
m A rA2
JB

1 2
mB rB2
4
解出： fA mA 1 fB mB 2
例2、圆盘质量m，半径为R，厚度不计，圆盘水平，且 可绕过盘心O且垂直于盘面的光滑轴转动。设在转动过 程中受到的单位面积的空气阻力满足f=-kv (其中k为大 于零的常数，v 为盘上任一点的运动线速度）。当t=0 时，圆盘的角速度为。求:圆盘在任意时刻的角速度。
它们的和均相同，但不同半径处的和a不同。
如图，在r处： r
at r
or
在R处 : R
at R
2、用一根绳连接两个或多个刚体时，
R
要把刚体分开考虑。
B
M2 o2 R2
A
m2
C
1 同一根绳上各点的切向
o
R
1
1
M1
加速度和线速度相同；
at A at B at C at D

则此质点所受的对原点的力矩M
该质点对原点的角动量L

0
mabk
6.已 知 炮 弹 初 速V0 ,以 仰 角发 射 ， 到 达 最 高 点 爆 炸成 质 量
相等的两块。其中一块以V1垂直下落不计阻力， 求 另 一 块 的 速 度 大 小 和 方 向与。水 平 方 向 夹 角 标 定 方向
木 块 与 壁 面 间 的 静 摩 擦系 数的 大 小 为 ：
A 1
2
C 2 3
300

G
F
B 1
3
D 3
f
选（B）
N
300

F
G
5.一质量为m的质点沿着一条空间曲线运动，
该r 曲 a线co在s直ti角坐b s标in系tj下的其定中义a式b 为皆: 为常数，
m r 2
(1 4
M )R2
J2

J3

mr
2

1
M

R

2

4 2
1 MR 2 16




人对地 人对台 台对地
由
v r
2 3
以上各式解出：

1 4
2v
v R
R
2
0

v
2v
o

2v
半径分别为rA和rB。现用力f A和f B分别拉系在轮上
的细绳且使绳与轮间无滑动。为使A、B两轮边缘处
切向加速度相同，相应的拉力f A、fB之比为多少？
rB o
rA
解：A、B滑轮视为两个刚体
它们的和将不再相同。
由转动定律得： rA f A J A A 1
fB
fA
由题意：
rB f B J B B 2
解：将圆盘分成许多圆环，同 单位面积的空气阻力：
一圆环上的点具有相同的速率：
r
f k N m 2
dr 圆环受阻力矩：

dM fr r kv ds 2
r kr 2rdr 2
4kr 3dr
r dr
圆盘受阻力矩：
M
dM

R 4kr 3dr kR4
0
由 转动定律： M J
M kR4
kR4 1 mR2 d
2
dt
2kR2 dt d
m

积分：
t
0

2kR 2
m
dt

0
d
ln
2kR2

t
0
m
2kR2

t
0e m
垂直轴定理：
Jz Jx Jy
角动量定理： 角动量守恒定律：
Mz

dLz dt
(Lz J )
Lz1 Lz2 恒量
刚体转动的功和能： W 2 Md
Ek

1 J 2
2
1
E p mghc 当只有保守力矩作功
Ek Ep 恒量
说明：1、粘接在一起的两个圆盘（或圆柱）形状的 刚体，要把它们看成一个刚体，不要分开考虑。

v
系统（m,M）对O轴角动量守恒
2
v1
mv 1 L mv 2 L J （1）
J 1 ML2 3
碰后细棒转动直至停止，受 （2） 摩擦阻力矩作用
mv 1 L mv 2 L J （1）
碰后：
J 1 ML2 （2）
3
dm dx o

v1
x
任意质点所受阻力： df dN gdm gdx

v0
H

v
2 0
R 2 2

2g 2g
Ro
2 系统碎片和圆盘余下部分
在碎裂瞬间对O轴角动量守恒
J J Jm
J J Jm
1 MR 2 1 MR 2 mR 2 mR 2
2
2

解出：
余下部分的角动量和转动动能：
例3. 质量为M长为L的均质细棒静止平放在滑动摩
擦系数为 的水平桌面上。它可绕O点垂直于桌面
的固定光滑轴转动。另有一水平运动的质量为m的
小滑块，从侧面垂直于棒方向与棒发生碰撞，设碰
o 撞时间极短。已知碰撞前后小滑块速度分别为
v。2求细棒碰撞后直到静止所需的时间是多少？
v1和
解： m与M碰撞过程，
D
A B C D
m1
（2） 跨过有质量的圆盘两边的绳子中的张
力不相等；
TA TB TD
但 TB TC
（3） 两个圆盘的角速度和角加速度不相等。
1 2
1 2
例1. 如图，转轮A、B可分别独立地绕o轴转动。
A、B轮的质量分别为mA 10kg和mB 20kg,


3m v0d 3m d2 Ml 2
Fx

(
md

M
Fl y 2

)
( M m )g

mv
0

/
t
(
md M l 2
x 2l
) 2
3
R
v
0
第二问答案：


0

8v 9R
自己作
例5、质量为M,半径为R并以角速度 旋转的飞轮，
在某一瞬时，突然有一片质量为m的碎片从轮的边 缘飞出。假定碎片脱离了飞轮时的速度正好向上。 （1） 碎片上升的高度 H=?
（2） 求余下部分的=？角动量及动能各为多少？
解：1 v0 R v 0
L J 1 MR 2 mR 2
2

E k

1 J 2
2

1 1 MR 2 22
mR 2 2

例6、长为l 的均匀直棒，质量为M ,上端用光滑水平轴 吊起而静止下垂。今有质量为m 的子弹，以水平速度 V0射入杆的下端距轴d （ d< l ）的位置而不复出。 （1）子弹刚停在杆中时的角速度和轴所受铅直压力？ （2）子弹射入过程中，轴所受平均水平冲力？ （3）要想使轴不受水平冲力，子弹应打在何处？
y
m v2
v0
o
v1
x
v2 v12 4v02 cos2
tg1 v1 2v0 cos
7. 一轻绳绕过一轻滑轮，质量为 m 的人抓住了绳
的一端A，绳的另一端B系了一个与人等重的重物。
设人从静止开始上爬，如不计摩擦，求当人相对
于绳以匀速u向上爬时，B端重物上升的速度等于
力学习题课
1.质点作曲线运动，r表位矢，S表路程，
at 表 切 向 加 速 度 。 下 列 表达 式 正 确 的 是 ：
a. d a
dt
b. dr
dt
c. ds
dt
d . d
dt
at
答案：c
2. 以下五种运动形式中，加速度保持不变的运动 是：（A） 单摆的运动。 （B） 匀速率圆周 运动。（C） 行星的椭圆轨道运动。 （D）抛 体运动。（E） 圆锥摆运动。
选D
3. 下列说法哪一条正确？ （ A ） 加速度恒定不变时，物体运动方向也不变。
（ B ）平均速率等于平均速度的大小。
（C ）不管加速度如何，平均速率 表达式总可以写成
v v1 v2 2
（ D ） 运动物体速率不变时，速度可以变化。
选D

4.如图所示，用一斜向上的力F 与水平成300角， 将 一 重 为G的 木 块 压 靠 在 竖 直 壁 面上 ， 如 果 不 论 用 怎 样 大 的 力F都 不 能 使 木 块 向 上 滑 动， 则 说 明