世纪金榜高三理科数学一轮复习全套试题含答案：阶段滚动检测(一)

阶段滚动检测(一)
(第一、二章) (120分钟 150分) 第I 卷(选择题 共50分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A ＝{0，a}，B ＝{b|b 2－3b<0，b ∈Z}，A ∩B ≠Ø，则实数a 的值为( )
(A)1 (B)2 (C)1或2 (D)2或3 2.已知a 、b 都是实数，那么“a 2>b 2”是“a>b ”的( ) (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
3.(2012·安阳模拟)设集合A ＝{x|－2<－a<x<a ，a>0}，命题p ：1∈A ，命题q ：2∈A.若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则a 的取值范围是( ) (A)0<a<1或a>2 (B)0<a<1或a ≥2 (C)1<a<2 (D)1≤a ≤2
4．函数f(x)＝πx ＋log 2x 的零点所在区间为( )
1111A []B []
16884
111C []D [1]
422
（），（），（），（），
5.在函数y=|x|(x ∈[-1,1])的图象上有一点P(t,|t|)， 此函数与x 轴、直线x=-1及x=t 围成图形(如图阴影部 分)的面积为S ，则S 与t 的函数关系图可表示为
( )
6.定义在R 上的函数f(x)满足()2log (4x)x 0
f x f (x 1)f (x 2)x 0≤⎧⎨>⎩
－，＝，
－－－，则f(3)的值为( )
(A)－1 (B)－2 (C)1 (D)2
7.下列图象中，有一个是函数()3221f x x ax (a 1)x 13
＝＋＋－＋(a ∈R ，a ≠0)的导函数y ＝f ′(x)的图象，则f(－1)等于
( )
()()()()51A B 33
15C D 33
--
8.(2012·琼海模拟)已知函数f(x)=ax 3+bx 2+x(a ，b ∈R ，ab ≠0)的图象如图所示(x 1,x 2为两个极值点)，且|x 1|＞|x 2|，则有( )
(A)a ＞0,b ＞0 (B)a ＜0,b ＜0 (C)a ＜0,b ＞0 (D)a ＞0,b ＜0
9.已知函数f(x)＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为( )
()
()()()44A 0B 02727
44C 0D 02727
，，－，，－
10.不等式e x －x>ax 的解集为P ，且[0,2]⊆P ，则实数a 的取值范围是( )
(A)(－∞，e －1) (B)(e －1，＋∞) (C)(－∞，e ＋1) (D)(e ＋1，＋∞)
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)
11．(2012·杭州模拟)函数
ln x 1y +=__________．
12.若f(x)是幂函数，且满足
()()
f 43f 2＝，
则f(1
2)＝__________.
13.（2012•蚌埠模拟）定义在R 上的偶函数f(x)在［0，+∞）上是增函数，且f(13
)=0,则不等式f(18
log x )＞0的解集是___________.
14.拟定从甲地到乙地通话m 分钟的电话费由f(x)＝1.06×(0.50×[m]＋1)给出，其中m>0，[m]是大于或等于m 的最小整数，若通话费为10.6元，则通话时间m ∈__________.
15.已知函数f(x)＝lnx ＋2x ，g(x)＝a(x 2＋x)，若f(x)≤g(x)恒成立，则实数a 的取值范围是__________．
三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(13分)(2012·台州模拟)已知命题p:函数22y log (x 2ax 3a 2)=-+-的定义域为R ；命题q:方程2ax 2x 10++=有两个不相等的负数根，若p ∨q 是假命题，求实数a 的取值范围．
17.(13分)如图,设点P 从原点沿曲线y=x 2向点A(2,4)移动,记直线OP 、曲线y=x 2及直线x=2所围成的面积分别为S 1,S 2,若S 1=S 2,求点P 的坐标.
18.(13分)集合A 是由具备下列性质的函数f(x)组成的： ①函数f(x)的定义域是[0，＋∞)；
②函数f(x)的值域是[－2,4)；
③函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，试分别探究下列两小题：
(1)判断函数()()x 121
f x 2(x 0)f x 46()(x 0)2
≥≥及＝－是否属于集合A ？并简要说明理由；
(2)对于(1)中你认为属于集合A 的函数f(x)，不等式f(x)＋f(x ＋2)<2f(x ＋1)是否对于任意的x ≥0恒成立？请说明理由．
19.(13分)如图所示：图1是定义在R 上的二次函数y=f(x)的部分图象，图2是函数g(x)＝log a (x ＋b)的部分图象．
(1)分别求出函数f(x)和g(x)的解析式；
(2)如果函数y ＝g(f(x))在区间[1，m)上单调递减，求m 的取值范围. 20.(14分)已知函数f(x)＝ax 2＋2x ＋c(a 、c ∈N *)满足： ①f(1)＝5；②6<f(2)<11. (1)求a 、c 的值；
(2)若对任意的实数x ∈[1322
，]，都有f(x)－2mx ≤1成立，求实数m 的取值范围．
21.(14分) 已知函数f(x)=x 2+bsinx-2(b ∈R),F(x)=f(x)+2,且对于任意
实数x，
恒有F(x)-F(-x)=0.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)已知函数g(x)=f(x)+2(x+1)+alnx在区间(0,1)上单调递减，求实数a 的取值范围；
(3)函数h(x)=ln(1+x2)-1
2
f(x)-k有几个零点？
答案解析
1.【解析】选C.B＝{1,2}．由A∩B≠Ø，得a＝1或2，故选C.
2.【解析】选D.令a=-2，b=1.（-2）2>12-2>1,充分性不成立.
令a=1，b=-2，1>-2 12>(-2)2，必要性不成立，故选D.
3.【解析】选C.p∨q为真命题，p∧q为假命题，则命题p，q一真一假．命题p为真时，a>1，又－2<－a，则a<2，
∴1<a<2.由a<2知命题q为假，故选C.
4.【解析】选C.因为f(x)在定义域内为单调递增函数，而在4个选项中，
f(1
4)·f(1
2
)<0，所以零点所在区间为[1
4
，1
2
].
5.【解析】选B.当t ∈[-1，0]时，S 增速越来越慢，当t ∈[0，1]时，S 增速越来越快，故选B.
6.【解题指南】根据自变量的值，选择相应区间上的函数解析式代入求解. 【解析】选B.依题意得f(3)＝f(2)－f(1)
＝f(1)－f(0)－f(1)＝－f(0)＝－log 2(4－0)＝－2， 故选B.
7.【解析】选B.∵f ′(x)＝x 2＋2ax ＋(a 2－1)，
∴导函数f ′(x)的图象开口向上．又∵a ≠0，∴其图象必为第三个图． 由图象特征知f ′(0)＝0，且－a>0，∴a ＝－1. 故f(－1)＝－13－1＋1＝－13
.
8.【解析】选B.由已知，x 1、x 2是f ′(x)=3ax 2+2bx+1的两个零点.
又12121
0x x 0 a 03a
,.x x 02b b 0
03a
⎧⎪⎧⎧⎪∴∴⎨
⎨⎨+⎩⎩⎪-⎪⎩＜＜＜，＜＜＜ 9.【解题指南】解答本题的突破口在于由f(x)的图象与x 轴切于（1,0)点得到f ′(1)=0及f(1)=0.
【解析】选A.f ′(x)＝3x 2－2px －q ， 由f ′(1)＝0，f(1)＝0得32p q 01p q 0⎧⎨
⎩－－＝－－＝，解得p 2
q 1⎧⎨⎩
＝＝－，
∴f(x)＝x 3－2x 2＋x.由f ′(x)＝3x 2－4x ＋1＝0，得x ＝1
3
或x ＝1，进而求得当x ＝13
时，f(x)取极大值
4
27
，当x ＝1时，f(x)取极小值0，故选
A.
10.【解题指南】转化为恒成立问题，利用导数求解.
【解析】选A.因为e x －x>ax 的解集为P ，且[0,2]⊆P ，所以对任意x ∈
[0,2]，e x
－x>ax 恒成立，当x ＝0时，不等式恒成立，当0<x ≤2时，a<
x
e x
－1也应恒成立．令g(x)＝x e x －1，则g ′(x)＝x
2
(x 1)e x －，当1<x ≤2时，g ′
(x)>0，当0<x<1时，g ′(x)<0.所以当x ＝1时，g(x)取得最小值e －1， 所以a 的取值范围是(－∞，e －1)，故选A. 11.【解析】由题意知2
x 10,x 3x 40
+⎧⎨--+⎩＞＞,解得-1＜x ＜1.
答案:(-1,1)
12.【解析】设f(x)＝x α
，则有42
α
α＝3，解得2α＝3，α＝log 23，
∴f(12)＝(12)2
2
log 3log 32－＝＝13
.
答案: 1
3
13.【解析】由已知可得118
8
11log x log x 33
-＞或＜，
∴0＜x ＜12
或x ＞2. 答案：（0，1
2
）∪（2，+∞)
14.【解析】∵10.6＝1.06×(0.50×[m]＋1)，∴0.5[m]＝9，∴[m]＝18， ∴m ∈(17,18]． 答案:(17,18]
15.【解析】设F(x)＝f(x)－g(x)，其定义域为(0，＋∞)，则F ′(x)＝1
x
＋2－2ax －a ＝
(2x 1)(ax 1)
x
－＋－，x ∈(0，＋∞)．当a ≤0时，F ′(x)>0，F(x)
单调递增，F(x)≤0不可能恒成立，当a>0时，令F ′(x)＝0，得x ＝1
a
或
x ＝－1
2 (舍去)．
当0<x<1a 时，F ′(x)>0，当x>1
a 时，F ′(x)<0，故F(x)在(0，＋∞)上有
最大值F(1a )，由题意F(1a )≤0恒成立，即ln 1a ＋1
a
－1≤0，令φ(a)＝
ln 1a ＋1a －1，则φ(a)在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0，故ln 1a ＋1a
－1≤0成立的充要条件是a ≥1. 答案:[1，＋∞)
16.【解析】由题意得p 和q 均是假命题，
由p:x 2-2ax+3a-2＞0恒成立，Δ=4a 2-4(3a-2)＜0得1＜a ＜2,⌝p 真：a ≥2或a ≤1，
由q ：当a=0时，不满足,
当a ≠0时，02
0,a 10a
⎧
⎪∆⎪-⎪⎨⎪⎪⎪⎩＞＜＞得0＜a ＜1,⌝q 真：a ≥1或a ≤0,
综上，由p 假和q 假得a ≤0或a=1或a ≥2.
17.【解析】设直线OP 的方程为y=kx,P 点的坐标为(x,x 2),
则()()x
2
220x kx x dx x kx dx,-=-⎰⎰ 即23x
3220x 1
111(kx x )(x kx )2332
-=-，
解得12
kx 2-13x 3=83-2k-(13x 3-12kx 2),解得k=43,即直线OP 的方程为y=43
x,
所以点P 的坐标为(43,16
9
).
18.【解析】(1)函数f 1(x)
2不属于集合A.因为f 1(x)的值域是[－2，
＋∞)，所以函数f 1(x)
－2不属于集合A.f 2(x)＝4－6·(12
)x (x ≥0)属于集合A ，因为：①函数f 2(x)的定义域是[0，＋∞)；②f 2(x)的值域是[－2,4)；
③函数f 2(x)在[0，＋∞)上是增函数．
(2)是.∵f(x)＋f(x ＋2)－2f(x ＋1)＝6·(1
2
)x (－14
)<0， ∴不等式f(x)＋f(x ＋2)<2f(x ＋1)对任意的x ≥0恒成立．
19.【解题指南】解答本题关键是借助图形得到函数所过的点，求出对应的解析式，进而求解（2）.
【解析】(1)由题图1得，二次函数f(x)的顶点坐标为(1,2)， 故可设函数f(x)＝k(x －1)2＋2，
又函数f(x)的图象过点(0,0)，故k ＝－2， 整理得f(x)＝－2x 2＋4x.
由题图2得，函数g(x)＝log a (x ＋b)的图象过点(0,0)和(1,1)，
故有a a
log b 0a 2log (1b)1b 1⎧⎧∴⎨⎨⎩⎩＝，＝，
＋＝，＝，
∴g(x)＝log 2(x ＋1)(x>－1)．
(2)由(1)得y ＝g(f(x))＝log 2(－2x 2＋4x ＋1)是由y ＝log 2t 和t ＝－2x 2
＋4x ＋1复合而成的函数，而y ＝log 2t 在定义域上单调递增，要使函数y ＝g(f(x))在区间[1，m)上单调递减，必须t ＝－2x 2＋4x ＋1在区间[1，m)上单调递减，且有t>0恒成立．
由t ＝0得x t 的图象的对称轴为x ＝1.
所以满足条件的m 的取值范围为20.【解析】(1)∵f(1)＝a ＋2＋c ＝5，∴c ＝3－a.① 又∵6<f(2)<11，即6<4a ＋c ＋4<11，② 将①式代入②式，得1
4a 3
3
<<－， 又∵a 、c ∈N *，∴a ＝1，c ＝2. (2)由(1)知f(x)＝x 2＋2x ＋2.
方法一：设g(x)＝f(x)－2mx ＝x 2＋2(1－m)x ＋2. ①当2(1m)2－－
≤1，即m ≤2时，g(x)max ＝g （3
2
）＝294－3m ，故只需294－3m ≤1，
解得m ≥
25
12，又∵m ≤2，故无解． ②当2(1m)
2－－>1，即m>2时，
g(x)max ＝g(12)＝13
4－m ，
故只需134－m ≤1，解得m ≥9
4
.
又∵m>2，∴m ≥9
4
.
综上可知，m 的取值范围是m ≥9
4
.
方法二：∵x∈[1
2，3
2
]，
∴不等式f(x)－2mx≤1恒成立⇔2(1－m)≤－(x＋1
x )在[1
2
，3
2
]上恒成
立．易知[－(x＋1
x )]min＝－5
2
，
故只需2(1－m)≤－5
2即可．解得m≥9
4
.
【方法技巧】二次函数的最值求解技巧：
当二次函数的定义域不是R时,求函数的最值，要充分利用函数的图象，重点关注开口方向和对称轴与所给定区间的关系：若对称轴不在区间内，则该区间是函数的单调区间，最值在两个端点处，反之，则必有一个在顶点处取，即函数的最值不在端点处，就在顶点处.
21.【解析】（1）F(x)=f(x)+2=x2+bsinx-2+2=x2+bsinx，
依题意，对任意实数x，恒有F(x)-F(-x)=0.
即x2+bsinx-(-x)2-bsin(-x)=0,
即2bsinx=0,所以b=0，所以f(x)=x2-2.
（2）∵g(x)=x2-2+2(x+1)+alnx,
∴g(x)=x2+2x+alnx,
g′(x)=2x+2+a
x
.
∵函数g(x)在（0，1）上单调递减，
∴在区间（0，1）上，g′(x)=2x+2+a
x =2
2x2x a
x
++≤0恒成立，
∴a≤-(2x2+2x)在（0，1）上恒成立,
而-(2x2+2x)在（0，1）上单调递减，∴a≤-4.
（3）∵h(x)=ln(1+x 2)-12
f(x)-k
=ln(1+x 2)- 12x 2+1-k,
∴h ′(x)=2
2x
1x
+ -x. 令h ′(x)= 2
2x
1x
+-x=0，解得x=0,-1,1, ∴当x<-1时，h ′(x)>0,当-1<x<0时，h ′(x)<0, 当0<x<1时，h ′(x)>0,当x>1时，h ′(x)<0, ∴h(x)极大值＝h(±1)=ln2+12
-k, ∴h(x)极小值＝h(0)=1-k,
所以①当k>ln2+12
时，函数没有零点； ②当1<k<ln2+12时，函数有四个零点； ③当k<1或k=ln2+12时，函数有两个零点； ④当k=1时，函数有三个零点.。