短除法求最大公因数与最小公倍数

精锐教育学科教师辅导讲义
讲义编号
学员编号：年级：小五课时数：
学员姓名：辅导科目：数学学科教师：
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课题分解质因数、最大公因数和最小公倍数授课时间：
教学目标1．使学生进一步理解和掌握公约数和最大公约数的意义。

2、使学生掌握分解质因数的方法。

2．使学生理解和掌握用分解质因数的方法求两个数的最大公约数和最小公倍数的算理，并会用短除法求两个数的最大公约数和最小公倍数。

重点、难点1、用分解质因数的方法求两个数的最大公约数和最小公倍数的算理。

考点及考试要求分解质因数，求最大公因数和最小公倍数
教学内容
知识点讲解：
一、分解质因数
1、下面的数,哪些能写成几个质数相乘的形式？
7, 9, 11, 12
2、在2、 7、 12、35、 4 、21、 1
3、 17这些数中,
质数有: 2 、7、13、17
合数有:12、35 、4 、21
3、 28和60可以写成哪几个质数相乘的形式?
28
7
×
22
×7
×
4
28 ＝ 2 X 2 X 7
60
×
23
××
6
60＝2X3X2X5
10
25
×
每个合数都可以写成几个( )数相乘的形式,其中每个质数都是
这个合数的( )数,叫做这个合数的质因数。

4、13X4=52,13和4都是52的因数吗？13和4都是52的质因数吗？
5、什么是分解质因数呢?
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

（1）用短除法把下面各数分解质因数.
55 60
55
5
11
55 = 5×11260
2
3
30
15
5
60=2×2×3×5
（2）能用短除法把下面各数分解质因数.
80 12 16 72
练习：
一、选一选。

(1)把10分解质因数是( )
A.10=2×5
B.10=1×2×5
C.10=1×10
(2)把27分解质因数是( )
A.3×9=27
B.3×3×3=27
C.27=3×3×3 （2）看谁是小判官
①把35分解质因数是 35=1×5×7（）
②把49分解质因数是7×7=49 ( )
③把30分解质因数是30=2×3×5 ( )
④51不能分解质因数. ( )
二、用短除法找最大公因数
1．用排列因数的方法求18和24的最大公因数。

2．用排列因数的方法求两个数的最大公约数方便吗？有没有比它简便的方法求最大公约数呢？
今天我们就来研究求两个数的最大公因数简便方法。

．把18和24分解质因数。

如下：
2 1 8 2 2 4
3 9 2 1 2
3 2 6
3
18＝2×3×3
24＝2×2×2×3
⑴18有哪几个质因数？24呢？
⑵18和24相同的质因数有哪些？
⑶它们相同的质因数叫做什么，给它们起一个名字：公有的质因数
⑷18和24公有的质因数有哪几个？其它的2、2和3是公有的质因数吗？
那这些质因数叫做什么质因数，给它们起一个名字：独有的质因数
⑸你能根据18和24公有的质因数2和3计算出18和24所有的公因数吗？
⑹怎么计算的？哪个最大？最大的是怎么计算出来的？
⑺如果在2×3的后面再乘以一个质因数3，还是公约数吗？是最大公约数吗？多乘几个质因数
呢？
⑻如果在2×3的后面少乘以一个质因数3，还是公约数吗？是最大的公约数吗？
⑼从这里可以看出：两个数的最大公因数是什么质因数的乘积？
板书：所有的公有质因数的乘积＝最大公约数
⑽“所有的公有质因数”是什么意思？你是怎么理解的？
⑾从这里可以看出：用分解质因数的方法求两个数的最大公约数先干什么？然后干什么？最后干什么？
18和24的最大公约数是：2×3＝6。

3．先把36和54分解质因数，再求出它们的最大公约数。

4．每道题都这样写麻烦吗？能不能简化一下呢？怎样简化？怎样把两个短除法算式合并成一个除法算式呢？
2 1 8 2 4 用公有质因数2除，
39 1 2 用公有质因数3除，
3 4 3和4互质不除了。

18和24最大公约数是：2×3＝6。

5．用合并短除法算式的方法求36和54的最大公约数。

6、分解质因数（6分）
108 210 78
三、用短除法求最小公倍数
现在我们求这两个数的最小公倍数，能不能也来尝试一下这种方法？
请同学把6和4分解质因数。

2 6 2 4
3 2
6＝2 ×3
4＝2 × 2
提问：6包含有哪些质因数？4呢？6和4的质因数有什么特点？
【公有的质因数独有的质因数】
那么我们刚才找出来的最小公倍数12，包含有哪些质因数？【12＝2×2×3】
12的质因数和6、4的质因数之间有什么联系？
得出：12的质因数里面包含有6和4公有的质因数，还有各自独有的质因数。

提问：6和4的最小公倍数它是由哪些质因数相乘得到的？
【最小公倍数＝全部公有的质因数的积×各自独有的质因数】
练习。

填空。

（1）已知A＝2×5×5，B ＝2×5×7。

A和B全部公有的质因数有（），各自独有的质因数有（），A和B的最小公倍数是（）。

（2）30＝（）×（）×（）18＝（）×（）×（）30和18的最小公倍数是（）×（）×（）×（）＝（）
用短除法求最小公倍数
1、列两个短除法算式算最小公倍数麻烦吗？
2 6 4
2 3
6和4的最小公倍数是2×2×3＝12。

提问：2是什么？2、3是什么？最小公倍数是怎样得到的？
上面我们用了好几种方法求6和4的最小公倍数，你认哪种方法最简便？
2、试一试。

用短除法求下面每组数的最小公倍数。

12和30 36和54
巩固练习
1、求下面每组数的最小公倍数。

24和36 16和18
2、判断下面各题是否正确，错在什么地方。

（1）16＝2×2×2×2
20＝2×2×5
16和20的最小公倍数是2×2×2×2×2×5＝160
（2）
3 30 45
5 10 15
2 3
30和45的最小公倍数是3×5＝15【变成求最大公约数】
（3）
2 24 32
2 12 16
6 8
24和32的最小公倍数是2×2×6×8＝192【没有除到互质数】
课堂练习：
1．找出下列数中的合数，并把它们分解质因数。

2029 4553 91 102117
2．求下面各组数的最大公因数。

50和7578和26 6和11 36和54
3．求下面各组数的最小公倍数。

15和2035和42 8、24和36 45、60和75
4、解决问题
（1）商店里运来75个玉米，如果每15个装一筐，能正好装完吗？还可以怎么装？装几筐？
（2）小红家卧室的开关最初在关闭状态，现在如果不断开关，开关13次后，灯处于哪种状态？为什么？如果开关200呢？
（3）6个红球与24个黄球，大小一样，分别装在同一种盒子里,每种球正好装完，每盒最多能装几个?这时共需几个盒子？
（4）1路和5路公共汽车早上7时同时从起点站发车。

1路车每隔6分发一班，5路车每隔9分发一班。

列表找出这两路车同时发车的时间，你发现了什么？
（5）果园里要种56棵梨树，如果每行的棵数一样，可以种几行？你有几种方案？哪种方案比较合适？说出理由。

（7）“小星星”体操队共有96人，要排成一个表演方阵，你认为应该怎样编队才整齐？
（8）李老师买了一箱矿泉水，4瓶4瓶数或5瓶5瓶数，都刚好数完。

这箱矿泉水至少有几瓶？
（9）李老师每隔3天去1次图书馆，王芳每隔4天去1次图书馆，6月30日她们都去图书馆，7月份同时去图书馆的日子有哪几天？
（10）501班上体育课，有34人参加跳绳活动，要分成5人一组，至少还要再来几个人？可以分成几组？
（11）五·一班部分同学参加植树活动，已经来了37人，5个人分成一组，至少还要来几个人，才能正好分完？
（12）小洪买了以下几本书，故事书10元一本，科技书8元一本，作文书7元一本。

给售货员50元，找回22元，对不对？为什么？
（13）有36块糖，分给小朋友，2块2块的分能正好分完吗？3块3块的分呢？5块5块的分呢?
家庭作业
一、填空（每空1分，共30分）
1．最小的自然数是()；最小的奇数是()；最小的偶数是()；最小的质数是()；最小的合数是()。

2．即有因数2，又有因数3的最小数是()；既有约数2，又有因数5的最小数是()；既有因数3，又有因数5的最小的数是()。

3．既不是质数，又不是偶数的最小自然数是()；既是质数；又是偶数的数是()；既是奇数又是质数的最小数是()；既是偶数，又是合数的最小数是()；既不是质数，又不是合数的最小数是()；既是奇数，又是合数的最小的数是()。

4．能同时被2、3、5整除的两位数是()。

5．把390分解质因数是（390=）。

6．除以2、5、3余数都是1的数，其中，最小的一个是()。

7．2、5、10的最大公因数是()，最小公倍数是()。

8．甲数除以乙数的商是15，甲乙两数的最大公因数是()；最小公倍数是()。

9．从0、2、3、5、7五个数中，选四个数组成一个同时能被2、3、5整除的最小的四位数()。

二、选择填空（每空2分，共16分）
1．两个不同质数的最大公因数是()。

① 1 ②小数③大数
2．1.5能 ()。

①整除3②被3整除③被3除尽
3．大于2的两个质数的乘积一定是 ()。

①质数②偶数③合数
4．任意两个自然数的积是()。

①质数②合数③质数或合数
5．甲数的质因数里有2个2，乙数的质因数里有3个2，它们的最大公因数里应该有()。

①2个2②3个2③5个2
6．在100以内，能同时被3和5整除的最大奇数 ()。

① 95② 90③ 75
7．a和b是互质数，a和b的最大公因数是()；最小公倍数是()。

①a②b③1④ab
三、分解质因数（每小题2分，共8分）
①180②507③108④56
四、求出下列各数的最大公因数和最小公倍数（每小题2分，共12分）
五、（共5分）24、20和36的最小公倍数是它们最大公因数的多少倍？
六、应用题（共5分）
某学校同学们做操，把学生分为10人一组，14人一组，18人一组，都恰好分完，这个学校至少
有多少个学生？
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