图像的校正
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• 数目确定 控制点数目的最低限是按未知系数的多少来确定的。
求二次多项式有12个系数，需要12个方程(6个控制点)。
依次类推，三次多项式至少需要10个控制点，n次多项式， 控制点的最少数目为(n+1)(n+2)／2。 实际工作中，在条件允许的情况下，控制点数的选取 都要大于最低数很多。
27
控制点的选择原则: 表征空间位置的可靠性，道路交叉点，标志物，水域 的边界，山顶，小岛中心，机场等。 • • • 同名控制点要在图像上均匀分布； 清楚辨认； 数量应当超过多项式系数的个数（(n+1)*(n+2)/2）。当 控制点的个数超过多项式的系数个数时，采用最小2乘 法进行系数的确定，使得到的系数最佳。
35
G2
G3
双线性插值效果
原始图像
纠正（双线性插值）
36
三次卷积法:以实际位置临近的16个像元值，确定输出
像元的灰度值。公式为：
g（m , n）
pg
i i 1 16
16
i
p
i 1
i
式中，g(m,n)为输出像元 灰度值gi为邻近点i的灰度 值pi为邻近点对投影投影 点的权重(pi=1/di,di表示邻 近点到投影点的距离，最 近者权重最大)
三次样条函数
37
三次卷积法处理效果
原始图像
几何纠正（三次卷积）
38
几种采样方法的优缺点：
像点发生位移∆r.
大气折射影响
16
5）地球自转的影响
卫星前进过程中，传感器对地面扫描获得图像时，地球自转影响 较大，会产生影像偏离。因为卫星自北向南运动，这时地球自西 向东自转。相对运动的结果，使卫星的星下位置逐渐产生偏离。 偏离方向如下图所示，所以卫星图像经过校正后成为图c的形态。
地球自转引起偏离
引起扫描行方向的变化，导致图像的倾 斜畸变
实际的成像过程中，航高、航速、俯仰、翻滚和偏航影响因素 很可能产生综合效应，使得实际图像几何畸变模式非常复杂。 对平台的控制精度要求较高。
13
2）地形起伏的影响
当地形存在起伏时，会产生局
部像点的位移,使原本应是地面 点的信号被同一位置上某高点 的信号代替。由于高差的原因， 实际像点P距像幅中心的距离 相对于理想像点P0 。距像幅中 心的距离移动了∆r
7
以MSS为例:
例如扫描形式成像的 MSS ，产生的 几何畸变主要是由于扫描镜的非线 性振动和其它一些偶然因素引起的。 在地面上影响可达395米。
全景畸变：
8
全景畸变的图形变化情况
9
（2）外部因素引起的畸变
遥感平台位置和运动状态变化的影响 地形起伏的影响 地球表面曲率的影响
大气折射的影响
地球自转的影响
10
1）遥感平台位置和运动状态变化的影响
航高：当平台运动过程中受到力学因
素影响标，或者说卫星运行的轨道本
身就是椭圆的。航高始终发生变化，
而传感器的扫描视场角不变，从而导 致图像扫描行对应的地面长度发生变 化。航高越向高处偏离，图像对应的 地面越宽。
11
航速：卫星的椭圆轨道本身就导致了卫星飞行
速度的不均匀，其他因素也可导致遥感平台航 速的变化。航速快时，扫描带超前，航速慢时， 扫描带滞后，由此可导致图像在卫星前进方向 上(图像上下方向)的位置错动。
高差引起的像点位移
14
3）地球表面曲率的影响
地球是球体，严格说是椭 球体，因此地球表面是曲 面。这一曲面的影响主要 表现在两个方面，一是像 点位置的移动，二是像元 对应于地面宽度的不等。
15
4）大气折射的影响
大气对辐射的传播产生折射。
由于大气的密度分布从下向
上越来越小，折射率不断变 化．因此折射后的辐射传播 不再是直线而是—条曲 线．从而导致传感器接收的
17
（3）处理过程中引起的畸变
遥感图像再处理过程中产生的误差，主要是由于处 理设备产生的噪声引起的。 • 传输、复制 • 光学 • 数字
18
3.卫星图像的几何校正方法
（1）基本概念
• 卫星图像的几何校正按照处理方式分为光学校正和数 字校正。 • 卫星图像的几何校正就是将含有畸变的图像纳入到某 种地图投影。对地面覆盖范围不大的单幅图像，一般 以正射投影方式使其改正到地球切平面上。
۞ 校正的最终目的是确定校正后图像的行列数值，然后找到
新图像中每一像元的亮度值。
21
（2）校正过程
① 确定输入图像和输出图像的坐标变换 关系
② 确定新的图像的边界
③ 确定新图像的分辨率
④ 灰度的重采样
22
① 确定输入图像和输出图像的坐标变换关系 表达形式:
1）直接校正:从原始图像阵列出发，按行列的顺序依
在这个方程组中有12个系数，需列12个方程才能解出，因 此需要6个已知的对应点，即这6个点的（u，v)与（x，y）均已 知，这些已知坐标的对应点称为控制点（GCP） 6个点只是解算方程组的理论最低数，实际工作中为提高 校正精度需大量增加控制点数，这时就有了多余条件，可采 用最小二乘法求解。
26
控制点的选取
23
图中（xp ,yp）（XP,YP）分别是任意一个像元在原始图像和纠 正后图像中的坐标。 间接法(反解):
xp fx( XP, YP )
yp fy ( XP, YP)
直接法(正解):
Xp FX ( xp, yp) Yp FY ( xp, yp )
24
数字图像几何校正的变换多项式
利用有限的控制点的已知坐标，解求多项式的系数，确定变换函 数。然后将各个像元带入多项式进行计算，得到纠正后的坐标。
25
实际计算时常采用二元二次多项式：
x a00 a10u a01v a11uv a20u 2 a02 v 2 y b00 b10u b01v b11uv b20u 2 b02 v 2
逐个像元进 行几何变化
灰度的 重采样
输出校正后 的图象
效果 评价
两个基本环节：
像元坐标变换和像元灰度值重采样
20
两个基本环节：像元坐标变换和像元灰度值重采样
•
校正前的图像，由于某种几何畸
变，图像中像元点间所对应的地面
距离并不相等。 • 校正后的图像是由等间距的网格
点组成的，且以地面为标准，符合
某种投影的均匀分布，图像中格网 的交点可以看作是像元的中心；
原始图像
校正后图像（最邻近插值）
34
双线性法：以实际位置临近的4个像元值，确定输出像
元的灰度值。公式为：
p1 g 1 p 2 g 2 p 3 g 3 p 4 g 4 p1 p 2 p 3 p 4
g（m , n）
pg
i i 1 4
4
i
p
i 1
i
G1 G4
式中，g(m,n)为输出像元灰度 值 gi为邻近点i的灰度值 pi为邻近点对投影点的权重 (pi=1/di,di表示邻近点到投影点 的距离，最近者权重最大
• 纠正后的新图像的每一个像元，根据变换函数，可 以得到它在原始图像上的位置。如果求得的位置为 整数，则该位置处的像元灰度就是新图像的灰度值。 如果位置不为整数，则有几种方法：
•
最近邻法
双线性内插法 三次卷积法
32
最近邻法：距离实际位置最近的像元的灰度值作为输
出图像像元的灰度值；
33
最邻近法校正效果
• 光学校正主要用于早期的遥感图像的处理中，现在的 应用已经不多。除了对框幅式的航空照片（中心投影） 可以进行比较严密的校正以外，对于大多数动态获得 的遥感影像只能进行近似的校正。
• 主要介绍数字图像的几何精校正。
19
校正思ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(技术流程):
准备 工作 输入原 始图象 建立校 正函数 确定输出图象 的范围
直接校正
Xi Fx( xi, yi) c0 c1xi c2 yi c3xiyi c4 xi 2 c5 yi 2 ...
Yi Fy( xi, yi) d 0 d1xi d 2 yi d 3 xiyi d 4 xi 2 d 5 yi 2 ...
次对每个原始图像像元点位用变换函数 F （ x,y ）
（正解变换公式）求得它在新图像中的位置，并将该 像元灰度值移置到新图像的对应位置上。 2)间接校正:从空白的新图像阵列出发，按行列的顺 序依次对新图像中每个像元点位用变换函数 f (X,Y)
（反解变换公式） 求其在原始图像中的位置，然后
把算得的原始图像点位上的灰度值赋予空白新图像相 应的像元。
定义：遥感图像上各地物的几何位置、形状、尺寸、方 位等特征与在参照系统中的表达要求不一致时，即说明 遥感图像发生了几何畸变。 遥感图像的总体变形（相对于地面真实形态而言）是平 移、缩放、旋转、偏扭、弯曲及其他变形综合作用的结 果。
按照畸变的性质包括： 系统性畸变和随机性畸变。
3
卫星图像 几何畸变
30
③ 确定新图像的分辨率
• 目的是确定新图像宽度和高度； • 根据精度要求，在新图像的范围内，划分网格， 每个网格点就是一个像元。
• 新图像的行数 M＝(Y2-Y1)/△Y+1; • 新图像的列数 N＝(X2-X1)/△X+1; • 新图像的任意一个像元的坐标由它的行列号唯一 确定。
31
④ 灰度的重采样
一、 几何校正
•卫星图象几何畸变 •卫星图象几何校正方法
1
为什么要进行几何校正？
几何误差的存在 卫星图像分析结果： 一般是要求能满足量测和定位要求的各类图像。 利用多源数据进行计算机自动分类、地物特征的变化 监 测等应用处理时，必须保证不同图像间的几何一致性。
2
1.卫星图像几何畸变的概述
28
② 确定新的图像的边界
• 纠正后图像和原始图像的形状、大小、方向都不一样。 所以在纠正过程的实施之前，必须首先确定新图像的 大小范围。
29
X1
= min (Xa’, Xb’, Xc’, Xd’) X2 = max (Xa’, Xb’, Xc’, Xd’) Y1 = min (Ya’, Yb’, Yc’, YXd’) Y2 = max (Ya’, Yb’,Yc’, Yd’)
系统畸变 随机畸变
•系统性畸变是指遥感系统造成的畸变，这种畸变一般有 一定的规律性，并且大小事先能够预测，例如扫描镜的 结构方式和扫描速度等造成的畸变。
•随机性畸变是指大小不能事先预测、其出现带有随机 性质的畸变，例如地形起伏造成的随地而异的几何偏 差。
4
遥感图像 几何畸变
系统畸变
随机畸变
几何粗校正
俯仰：遥感平台的俯仰变化能引起图像上下 方向的变化，即星下点俯时后移，仰时前移， 发生行间位置错动.
12
翻滚：遥感平台姿态翻滚是指以前进方向 为轴旋转了一个角度。可导致星下点在扫
描线方向偏移，使整个图像的行向翻滚角 引起偏离的方向错动。
偏航：指遥感平台在前进过程中，相对 于原前进航向偏转了一个小角度，从而
几何精校正
•几何校正就是要校正成像过程所造成的各种几何畸变。
几何校正分为两种：几何粗校正和几何精校正。
•几何粗校正是针对引起畸变原因而进行的校正，这种畸变按照比较简单 和相对固定的几何关系分布在图像中的，校正时只需将传感器原校准数 据、遥感平台的位置以及卫星运行姿态等一系列测量数据代入理论校正 公式即可。几何粗校正主要校正系统畸变。 •几何精校正是利用控制点进行的几何校正，它是用一种数学模型来近似 描述遥感图像的几何畸变过程，并利用畸变的遥感图像与标准地图之间的 一些对应点（即控制点（GCP））求得这个几何畸变模型，然后利用此模 型进行几何畸变校正，这种校正不考虑畸变的具体形成原因，而只考虑如 何利用畸变模型来校正遥感图像。
5
2.遥感图像几何畸变的分类
根据畸变的来源：
遥感器引起的畸变 几何畸变 外部因素引起的畸变
处理过程中引起的畸变
6
（1）传感器引起的畸变
传感器本身引起的几何畸变与遥感器的结构、特性和工 作方式不同而异。这些因素主要包括： 1） 透镜的辐射方向畸变像差； 2） 透镜的切线方向畸变像差；
3） 透镜的焦距误差； 4） 透镜的光轴与投影面不正交； 5） 图像的投影面非平面； 6） 探测元件排列不整齐； 7） 采样速率的变化； 8） 采样时刻的偏差; 9） 扫描镜的扫描速度变化 。
图像的变性规律可以看作是平移、缩放、旋转、仿射、 偏扭、弯曲等形变的合成。一般的公式为： 间接校正
xi fx( Xi, Yi) c0 c1 Xi c2Yi c3 XiYi c4 Xi 2 c5Yi 2 ... yi fy( Xi, Yi) d 0 d1 Xi d 2Yi d 3 XiYi d 4 Xi 2 d 5Yi 2 ...
求二次多项式有12个系数，需要12个方程(6个控制点)。
依次类推，三次多项式至少需要10个控制点，n次多项式， 控制点的最少数目为(n+1)(n+2)／2。 实际工作中，在条件允许的情况下，控制点数的选取 都要大于最低数很多。
27
控制点的选择原则: 表征空间位置的可靠性，道路交叉点，标志物，水域 的边界，山顶，小岛中心，机场等。 • • • 同名控制点要在图像上均匀分布； 清楚辨认； 数量应当超过多项式系数的个数（(n+1)*(n+2)/2）。当 控制点的个数超过多项式的系数个数时，采用最小2乘 法进行系数的确定，使得到的系数最佳。
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G2
G3
双线性插值效果
原始图像
纠正（双线性插值）
36
三次卷积法:以实际位置临近的16个像元值，确定输出
像元的灰度值。公式为：
g（m , n）
pg
i i 1 16
16
i
p
i 1
i
式中，g(m,n)为输出像元 灰度值gi为邻近点i的灰度 值pi为邻近点对投影投影 点的权重(pi=1/di,di表示邻 近点到投影点的距离，最 近者权重最大)
三次样条函数
37
三次卷积法处理效果
原始图像
几何纠正（三次卷积）
38
几种采样方法的优缺点：
像点发生位移∆r.
大气折射影响
16
5）地球自转的影响
卫星前进过程中，传感器对地面扫描获得图像时，地球自转影响 较大，会产生影像偏离。因为卫星自北向南运动，这时地球自西 向东自转。相对运动的结果，使卫星的星下位置逐渐产生偏离。 偏离方向如下图所示，所以卫星图像经过校正后成为图c的形态。
地球自转引起偏离
引起扫描行方向的变化，导致图像的倾 斜畸变
实际的成像过程中，航高、航速、俯仰、翻滚和偏航影响因素 很可能产生综合效应，使得实际图像几何畸变模式非常复杂。 对平台的控制精度要求较高。
13
2）地形起伏的影响
当地形存在起伏时，会产生局
部像点的位移,使原本应是地面 点的信号被同一位置上某高点 的信号代替。由于高差的原因， 实际像点P距像幅中心的距离 相对于理想像点P0 。距像幅中 心的距离移动了∆r
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以MSS为例:
例如扫描形式成像的 MSS ，产生的 几何畸变主要是由于扫描镜的非线 性振动和其它一些偶然因素引起的。 在地面上影响可达395米。
全景畸变：
8
全景畸变的图形变化情况
9
（2）外部因素引起的畸变
遥感平台位置和运动状态变化的影响 地形起伏的影响 地球表面曲率的影响
大气折射的影响
地球自转的影响
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1）遥感平台位置和运动状态变化的影响
航高：当平台运动过程中受到力学因
素影响标，或者说卫星运行的轨道本
身就是椭圆的。航高始终发生变化，
而传感器的扫描视场角不变，从而导 致图像扫描行对应的地面长度发生变 化。航高越向高处偏离，图像对应的 地面越宽。
11
航速：卫星的椭圆轨道本身就导致了卫星飞行
速度的不均匀，其他因素也可导致遥感平台航 速的变化。航速快时，扫描带超前，航速慢时， 扫描带滞后，由此可导致图像在卫星前进方向 上(图像上下方向)的位置错动。
高差引起的像点位移
14
3）地球表面曲率的影响
地球是球体，严格说是椭 球体，因此地球表面是曲 面。这一曲面的影响主要 表现在两个方面，一是像 点位置的移动，二是像元 对应于地面宽度的不等。
15
4）大气折射的影响
大气对辐射的传播产生折射。
由于大气的密度分布从下向
上越来越小，折射率不断变 化．因此折射后的辐射传播 不再是直线而是—条曲 线．从而导致传感器接收的
17
（3）处理过程中引起的畸变
遥感图像再处理过程中产生的误差，主要是由于处 理设备产生的噪声引起的。 • 传输、复制 • 光学 • 数字
18
3.卫星图像的几何校正方法
（1）基本概念
• 卫星图像的几何校正按照处理方式分为光学校正和数 字校正。 • 卫星图像的几何校正就是将含有畸变的图像纳入到某 种地图投影。对地面覆盖范围不大的单幅图像，一般 以正射投影方式使其改正到地球切平面上。
۞ 校正的最终目的是确定校正后图像的行列数值，然后找到
新图像中每一像元的亮度值。
21
（2）校正过程
① 确定输入图像和输出图像的坐标变换 关系
② 确定新的图像的边界
③ 确定新图像的分辨率
④ 灰度的重采样
22
① 确定输入图像和输出图像的坐标变换关系 表达形式:
1）直接校正:从原始图像阵列出发，按行列的顺序依
在这个方程组中有12个系数，需列12个方程才能解出，因 此需要6个已知的对应点，即这6个点的（u，v)与（x，y）均已 知，这些已知坐标的对应点称为控制点（GCP） 6个点只是解算方程组的理论最低数，实际工作中为提高 校正精度需大量增加控制点数，这时就有了多余条件，可采 用最小二乘法求解。
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控制点的选取
23
图中（xp ,yp）（XP,YP）分别是任意一个像元在原始图像和纠 正后图像中的坐标。 间接法(反解):
xp fx( XP, YP )
yp fy ( XP, YP)
直接法(正解):
Xp FX ( xp, yp) Yp FY ( xp, yp )
24
数字图像几何校正的变换多项式
利用有限的控制点的已知坐标，解求多项式的系数，确定变换函 数。然后将各个像元带入多项式进行计算，得到纠正后的坐标。
25
实际计算时常采用二元二次多项式：
x a00 a10u a01v a11uv a20u 2 a02 v 2 y b00 b10u b01v b11uv b20u 2 b02 v 2
逐个像元进 行几何变化
灰度的 重采样
输出校正后 的图象
效果 评价
两个基本环节：
像元坐标变换和像元灰度值重采样
20
两个基本环节：像元坐标变换和像元灰度值重采样
•
校正前的图像，由于某种几何畸
变，图像中像元点间所对应的地面
距离并不相等。 • 校正后的图像是由等间距的网格
点组成的，且以地面为标准，符合
某种投影的均匀分布，图像中格网 的交点可以看作是像元的中心；
原始图像
校正后图像（最邻近插值）
34
双线性法：以实际位置临近的4个像元值，确定输出像
元的灰度值。公式为：
p1 g 1 p 2 g 2 p 3 g 3 p 4 g 4 p1 p 2 p 3 p 4
g（m , n）
pg
i i 1 4
4
i
p
i 1
i
G1 G4
式中，g(m,n)为输出像元灰度 值 gi为邻近点i的灰度值 pi为邻近点对投影点的权重 (pi=1/di,di表示邻近点到投影点 的距离，最近者权重最大
• 纠正后的新图像的每一个像元，根据变换函数，可 以得到它在原始图像上的位置。如果求得的位置为 整数，则该位置处的像元灰度就是新图像的灰度值。 如果位置不为整数，则有几种方法：
•
最近邻法
双线性内插法 三次卷积法
32
最近邻法：距离实际位置最近的像元的灰度值作为输
出图像像元的灰度值；
33
最邻近法校正效果
• 光学校正主要用于早期的遥感图像的处理中，现在的 应用已经不多。除了对框幅式的航空照片（中心投影） 可以进行比较严密的校正以外，对于大多数动态获得 的遥感影像只能进行近似的校正。
• 主要介绍数字图像的几何精校正。
19
校正思ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(技术流程):
准备 工作 输入原 始图象 建立校 正函数 确定输出图象 的范围
直接校正
Xi Fx( xi, yi) c0 c1xi c2 yi c3xiyi c4 xi 2 c5 yi 2 ...
Yi Fy( xi, yi) d 0 d1xi d 2 yi d 3 xiyi d 4 xi 2 d 5 yi 2 ...
次对每个原始图像像元点位用变换函数 F （ x,y ）
（正解变换公式）求得它在新图像中的位置，并将该 像元灰度值移置到新图像的对应位置上。 2)间接校正:从空白的新图像阵列出发，按行列的顺 序依次对新图像中每个像元点位用变换函数 f (X,Y)
（反解变换公式） 求其在原始图像中的位置，然后
把算得的原始图像点位上的灰度值赋予空白新图像相 应的像元。
定义：遥感图像上各地物的几何位置、形状、尺寸、方 位等特征与在参照系统中的表达要求不一致时，即说明 遥感图像发生了几何畸变。 遥感图像的总体变形（相对于地面真实形态而言）是平 移、缩放、旋转、偏扭、弯曲及其他变形综合作用的结 果。
按照畸变的性质包括： 系统性畸变和随机性畸变。
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卫星图像 几何畸变
30
③ 确定新图像的分辨率
• 目的是确定新图像宽度和高度； • 根据精度要求，在新图像的范围内，划分网格， 每个网格点就是一个像元。
• 新图像的行数 M＝(Y2-Y1)/△Y+1; • 新图像的列数 N＝(X2-X1)/△X+1; • 新图像的任意一个像元的坐标由它的行列号唯一 确定。
31
④ 灰度的重采样
一、 几何校正
•卫星图象几何畸变 •卫星图象几何校正方法
1
为什么要进行几何校正？
几何误差的存在 卫星图像分析结果： 一般是要求能满足量测和定位要求的各类图像。 利用多源数据进行计算机自动分类、地物特征的变化 监 测等应用处理时，必须保证不同图像间的几何一致性。
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1.卫星图像几何畸变的概述
28
② 确定新的图像的边界
• 纠正后图像和原始图像的形状、大小、方向都不一样。 所以在纠正过程的实施之前，必须首先确定新图像的 大小范围。
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X1
= min (Xa’, Xb’, Xc’, Xd’) X2 = max (Xa’, Xb’, Xc’, Xd’) Y1 = min (Ya’, Yb’, Yc’, YXd’) Y2 = max (Ya’, Yb’,Yc’, Yd’)
系统畸变 随机畸变
•系统性畸变是指遥感系统造成的畸变，这种畸变一般有 一定的规律性，并且大小事先能够预测，例如扫描镜的 结构方式和扫描速度等造成的畸变。
•随机性畸变是指大小不能事先预测、其出现带有随机 性质的畸变，例如地形起伏造成的随地而异的几何偏 差。
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遥感图像 几何畸变
系统畸变
随机畸变
几何粗校正
俯仰：遥感平台的俯仰变化能引起图像上下 方向的变化，即星下点俯时后移，仰时前移， 发生行间位置错动.
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翻滚：遥感平台姿态翻滚是指以前进方向 为轴旋转了一个角度。可导致星下点在扫
描线方向偏移，使整个图像的行向翻滚角 引起偏离的方向错动。
偏航：指遥感平台在前进过程中，相对 于原前进航向偏转了一个小角度，从而
几何精校正
•几何校正就是要校正成像过程所造成的各种几何畸变。
几何校正分为两种：几何粗校正和几何精校正。
•几何粗校正是针对引起畸变原因而进行的校正，这种畸变按照比较简单 和相对固定的几何关系分布在图像中的，校正时只需将传感器原校准数 据、遥感平台的位置以及卫星运行姿态等一系列测量数据代入理论校正 公式即可。几何粗校正主要校正系统畸变。 •几何精校正是利用控制点进行的几何校正，它是用一种数学模型来近似 描述遥感图像的几何畸变过程，并利用畸变的遥感图像与标准地图之间的 一些对应点（即控制点（GCP））求得这个几何畸变模型，然后利用此模 型进行几何畸变校正，这种校正不考虑畸变的具体形成原因，而只考虑如 何利用畸变模型来校正遥感图像。
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2.遥感图像几何畸变的分类
根据畸变的来源：
遥感器引起的畸变 几何畸变 外部因素引起的畸变
处理过程中引起的畸变
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（1）传感器引起的畸变
传感器本身引起的几何畸变与遥感器的结构、特性和工 作方式不同而异。这些因素主要包括： 1） 透镜的辐射方向畸变像差； 2） 透镜的切线方向畸变像差；
3） 透镜的焦距误差； 4） 透镜的光轴与投影面不正交； 5） 图像的投影面非平面； 6） 探测元件排列不整齐； 7） 采样速率的变化； 8） 采样时刻的偏差; 9） 扫描镜的扫描速度变化 。
图像的变性规律可以看作是平移、缩放、旋转、仿射、 偏扭、弯曲等形变的合成。一般的公式为： 间接校正
xi fx( Xi, Yi) c0 c1 Xi c2Yi c3 XiYi c4 Xi 2 c5Yi 2 ... yi fy( Xi, Yi) d 0 d1 Xi d 2Yi d 3 XiYi d 4 Xi 2 d 5Yi 2 ...