2019-2020年高考备考：河南中考数学真题(第22题)类比拓展探究题分类汇编-附答案精品

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2019-2020年备考
类比、拓展探究题
17年）如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E 分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）观察猜想
图1中，线段PM与PN的数量关系是PM=PN ，位置关系是PM⊥PN ；
（2）探究证明
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸
把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN面积的最大值．
【分析】（1）利用三角形的中位线得出
PM=CE，
PN=BD，
进而判断出BD=CE，即可得出结论，另为利用三角形的中位线得出平行线即可得出结论；
（2）先判断出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，同（1）的方法
得出
PM=BD，
PN=BD，即可得出PM=PN，同（1）的方法即
可得出结论；
（3）先判断出MN最大时，△PMN的面积最大，进而求出AN，AM，即可得出MN最大=AM+AN，最后用面积公式即可得出结论．【解答】解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，
∴PN∥BD，
PN=BD，
∵点P，M是CD，DE的中点，∴PM∥CE，
PM=CE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴BD=CE，
∴PM=PN，
∵PN∥BD，
∴∠DPN=∠ADC，
∵PM∥CE，
∴∠DPM=∠DCA，
∵∠BAC=90°，
∴∠ADC+∠ACD=90°，
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，
∴PM⊥PN，
故答案为：PM=PN，PM⊥PN，
（2）由旋转知，∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，
同（1）的方法，利用三角形的中位线得，
PN=BD，
PM=CE，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形，
同（1）的方法得，PM∥CE，
∴∠DPM=∠DCE，
同（1）的方法得，PN∥BD，
∴∠PNC=∠DBC，
∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC
=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC
=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，
∵∠BAC=90°，
∴∠ACB+∠ABC=90°，
∴∠MPN=90°，
∴△PMN是等腰直角三角形，
（3）如图2，同（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形，
∴MN最大时，△PMN的面积最大，
∴DE∥BC且DE在顶点A上面，
∴MN最大=AM+AN，
连接AM，AN，
在△ADE中，AD=AE=4，∠DAE=90°，
∴
AM=2，
在Rt△ABC中，AB=AC=10，
AN=5，
∴MN
最大
=2
+5
=7，
∴S
△PMN最大
=PM2
=
×MN2
=×（
7）2
=．
16年）（1）发现
如图1，点A为线段BC外一动点，
且BC=a，AB=b.
填空：当点A位于__________________时，
线段AC的长取得最大值，且最大值为_____________.
（用含
a ，
b 的式子表示）
（2）应用
点A 为线段BC 外一动点，且BC=3，AB=1. 如图2所示，分别以AB ，AC 为边， 作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ， 连接CD ，BE.
①请找出图中与BE 相等的线段，并说明理由； ②直接写出线段BE 长的最大值. （3）拓展
如图3，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（2 , 0），点B 的坐标为（5 , 0），点P 为线段AB 外一动点，且PA=2，PM=PB ，∠BPM=90°.请直接写出线段AM 长的最大值及此时点P 的坐标
.
【答案】（1）CB 的延长线上，a+b ；（2）①DC=BE,理由见解析；②BE 的最大值是4.（3）AM 的最大值是3+22，点P 的坐标为（2-2，2）
.
（3）如图3，构造△BNP≌△MAP,则NB=AM,由（1）知，当点N 在BA 的延长线上时，NB 有最大值（如备用图）。

易得△APN
是等腰直角三角形，AP=2，∴AN=22，
∴AM=NB=AB+AN=3+22;过点P 作PE⊥x 轴于点E ，PE=AE=2,又A （2，0）∴P （2-2，2）
考点：三角形综合题.
15年）如图1，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝2AB ＝8，点
D ，
E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE ．将△EDC 绕点C 按
顺时针方向旋转，记旋转角为α
（1）问题发现
①当α＝0°时，
=BD
AE
；②当α＝180°时，=
BD
AE . （2）拓展探究
试判断：当0°≤α<360°时，BD
AE 的大小有无变化？请
仅就图2的情形给出证明．
（3）问题解决
当△EDC 旋转至A ，D ，E 三点共线时，直接写出线段BD 的长．
22．(1)①
2
5
;………………1分 ②
2
5
.......2分 （2）无变化．（注：若无判断，但后续证明正确，不扣分） (3)
在图1中,∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE //AB ．∴
CB
CD
CA CE =,∠EDC ＝∠B ＝90°． 如图2，∵△EDC 在旋转过程中形状大小不变， ∴
CB
CD
CA CE =仍然成立．…………………………4分 又∵∠ACE ＝∠BCD ＝α， ∴△ACE ∽△BCD ．∴
BC
AC
BD AE =
.……………6分 在Rt △ABC 中，AC ＝54842222=+=+BC AB .
∴
.25854==BC AC ∴.2
5
=BD AE …………………8分。