新高考数学一轮经典复习资料解析版-- 数列与数学归纳法

高考数学一轮经典复习资料解析版

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?? 数列与数学归纳法

第一节

数列的概念与简单表示法

1．数列的有关概念

概念含义

数列按照一定顺序排列的一列数

数列的项数列中的每一个数数列的通项数列{a n }的第n 项a n

通项公式数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系能用公式a n ＝f (n )表示，这个公式叫做

数列的通项公式

前n 项和数列{a n }中，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n 叫做数列的前n 项和

列表法列表格表示n 与a n 的对应关系图象法把点(n ，a n )画在平面直角坐标系中公式法

通项公式把数列的通项使用公式表示的方法

递推公式

使用初始值a 1和a n ＋1＝f (a n )或a 1，a 2和a n ＋1＝f (a n ，a n －1)等表示数列的方法

n n 若数列{a n }的前n 项和为S n ，

则a n ＝?

????

S 1，n ＝1，

S n －S n －1，n ≥2.

4．数列的分类

[小题体验]

1．已知数列{a n }的前4项为12，34，78，15

16，则数列{a n }的一个通项公式为________．

答案：a n ＝2n －1

n (n ∈N *)

2．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n

2a n ＋3

，则a 5等于________．答案：1

161

3．(教材改编题)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝3n －1，则a n ＝________. 答案：2×3n －

1．数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．

2．易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号． 3．在利用数列的前n 项和求通项时，往往容易忽略先求出a 1，而是直接把数列的通项公式写成a n ＝S n －S n －1的形式，但它只适用于n ≥2的情形．

[小题纠偏]

1．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＝n 2＋1，则数列{a n }的通项公式是________．

答案：a n ＝?

????

2，n ＝1，2n －1，n ≥2

2．数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋9n ，则该数列第________项最大．答案：4或5

考点一由数列的前几项求数列的通项公式(基础送分型考点——自主练透)

[题组练透]

1．将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为梯形数，根据图形的构成，此数列的第2 018项与5的差即a 2 018－5＝( )

A ．2 017×2 024

B ．2 017×1 012

C ．2 018×2 024

D ．2 018×1 012

解析：选B 结合图形可知，该数列的第n 项为a n ＝2＋3＋4＋…＋(n ＋2)，所以a 2 018－5＝4＋5＋6

＋…＋2 020＝

2 017×(2 020＋4)

＝2 017×1 012.

2．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式： (1)4,6,8,10，…； (2)(易错题)－

11×2，12×3，－13×4，14×5

，…； (3)－1,7，－13,19, …； (4)9,99,999,9 999，….

解：(1)各数都是偶数，且最小为4，所以它的一个通项公式a n ＝2(n ＋1)，n ∈N *.

(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式a n ＝(－1)n ×

n (n ＋1)

，n ∈N *.

(3)这个数列，去掉负号，可发现是一个等差数列，其首项为1，公差为6，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)，n ∈N *.

(4)这个数列的前4项可以写成10－1,100－1,1 000－1，10 000－1，所以它的一个通项公式a n ＝10n －1，n ∈N *.

[谨记通法]

由数列的前几项求数列通项公式的策略

(1)根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征，并对此进行归纳、联想，具体如下：

①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项符号特征等． (2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n ＋1

来

调整．

考点二由a n 与S n 的关系求通项a n (重点保分型考点——师生共研)

[典例引领]

已知下面数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式． (1)S n ＝n 2＋1； (2)S n ＝2n －a n .

解：(1)a 1＝S 1＝1＋1＝2，

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－(n －1)2－1＝2n －1，而a 1＝2，不满足此等式．

所以a n ＝?

????

2，n ＝1，2n －1，n ≥2.

(2)当n ＝1时，S 1＝a 1＝2－a 1，所以a 1＝1；

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －a n )－[2(n －1)－a n －1]＝2－a n ＋a n －1，即a n ＝12a n －1＋1，即a n －2＝1

(a n －1－2)．

所以{a n －2}是首项为a 1－2＝－1，公比为1

的等比数列，

所以a n －2＝(－1)·???

?12n －1，即a n ＝2－????12n －1

[由题悟法]

已知S n 求a n 的 3个步骤 (1)先利用a 1＝S 1求出a 1；

(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式； (3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．

[即时应用]

已知数列{a n }的前n 项和为S n . (1)若S n ＝(－1)n ＋

1·n ，求a 5＋a 6及a n ；

(2)若a n ＞0，S n ＞1，且6S n ＝(a n ＋1)(a n ＋2)，求a n . 解：(1)a 5＋a 6＝S 6－S 4＝(－6)－(－4)＝－2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，

a n ＝S n －S n －1＝(－1)n ＋

1·n －(－1)n ·(n －1) ＝(－1)n ＋

1·[n ＋(n －1)] ＝(－1)n ＋1·(2n －1)，又a 1也适合此式，所以a n ＝(－1)n ＋

1·(2n －1)．

(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1

(a 1＋1)(a 1＋2)，

即a 21－3a 1

＋2＝0. 解得a 1＝1或a 1＝2.因为a 1＝S 1＞1，所以a 1＝2.

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝16(a n ＋1)(a n ＋2)－1

6(a n －1＋1)(a n －1＋2)，所以(a n －a n －1－3)(a n ＋a n －1)＝0.

因为a n ＞0，所以a n ＋a n －1＞0，所以a n －a n －1－3＝0，

所以数列{a n }是以2为首项，3为公差的等差数列．

所以a n ＝3n －1.

考点三由递推关系式求数列的通项公式(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]

递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接．

常见的命题角度有： (1)形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n ； (2)形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，求a n ；

(3)形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)，求a n .

[题点全练]

角度一：形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n

1．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝n －1

n a n －1(n ≥2)，求数列{a n }的通项公式．解：∵a n ＝n －1

n a n －1(n ≥2)，

∴a n －1＝

n －2n －1a n －2，a n －2＝n －3n －2

a n －3，…，a 2＝1

2a 1.

以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·2

3·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .

当n ＝1时，a 1＝1，上式也成立． ∴a n ＝1

(n ∈N *)．

角度二：形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，求a n

2．设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式．解：由题意有a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)．以上各式相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝(n －1)(2＋n )2＝n 2＋n －2

又∵a 1＝1，∴a n ＝n 2＋n

2(n ≥2)．

∵当n ＝1时也满足此式， ∴a n ＝n 2＋n 2

(n ∈N *)．

角度三：形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)，求a n

3．已知数列{a n }满足a 1＝1，当n ≥2，n ∈N *时，有a n ＝2a n －1－2，求数列{a n }的通项公式．解：因为a n ＝2a n －1－2，

所以a n －2＝2(a n －1－2)．

所以数列{a n －2}是以a 1－2＝－1为首项，2为公比的等比数列．所以a n －2＝(－1)×2n －

1，即a n ＝2－2n －

[通法在握]

典型的递推数列及处理方法

递推式方法示例 a n ＋1＝a n ＋f (n ) 叠加法 a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n a n ＋1＝a n f (n ) 叠乘法 a 1＝1，a n ＋1

a n ＝2n

a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0,1，B ≠0)

化为等比数列

a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1

[演练冲关]

根据下列条件，求数列{a n }的通项公式． (1)a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n (n ∈N *)； (2)a 1＝1,2na n ＋1＝(n ＋1)a n (n ∈N *)； (3)a 1＝1，a n ＝3a n －1＋4(n ≥2)．解：(1)由题意知a n ＋1－a n ＝2n ，

a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2

n －1

＋2

n －2

＋…＋2＋1＝1－2n

1－2

＝2n －1.

(2)由2na n ＋1＝(n ＋1)a n ，得a n ＋1a n ＝n ＋1

2n .

所以a n ＝

a n a n －1.a n －1a n －2.a n －2a n －3.....a 2a 1.a 1＝n 2(n －1).n －12(n －2).n －22(n －3).. (2)

2×1×1＝n 2

n －1.

(3)因为a n ＝3a n －1＋4(n ≥2)，所以a n ＋2＝3(a n －1＋2)．

因为a 1＋2＝3，所以{a n ＋2}是首项与公比都为3的等比数列．所以a n ＋2＝3n ，即a n ＝3n －2.

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋n ，则a 5＝( ) A ．25

B ．30

C ．10

D ．12

解析：选B 因为a n ＝n 2＋n ，所以a 5＝25＋5＝30.

2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足log 2(S n ＋1)＝n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝( ) A ．2n B ．2n －

C ．2

n －1

－1

D.?

????

1，n ＝1，2n ，n ≥2 解析：选B 由log 2(S n ＋1)＝n 可得S n ＝2n －1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－(2n －

1－1)＝2n －

1；当n ＝1时，a 1＝S 1＝21－1＝1满足上式．所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n －

3．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n

a n ＋2

，则数列{a n }的通项公式a n 为( ) A.1n ＋1 B.2

n ＋1 C.1n D.2n

解析：选B 由a n ＋1＝

2a n a n ＋2可得1

a n ＋1＝a n ＋22a n ＝1a n ＋12

. 所以数列??????1a n 是以1a 1＝1为首项，公差为12的等差数列，所以1a n ＝n ＋12，即a n ＝2

n ＋1

4．已知数列{a n }中，对任意的p ，q ∈N *都满足a p ＋q ＝a p a q ，若a 1＝－1，则a 9＝________.

解析：由题可得，因为a 1＝－1，令p ＝q ＝1，则a 2＝a 21＝1；令p ＝q ＝2，则a 4＝a 2

2＝1；令p ＝q ＝4，

则a 8＝a 24＝1，所以a 9＝a 8＋1＝a 1a 8＝－1.

答案：－1

5．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8＝________，a 2＋a 3＋a 4＝________. 解析：因为S n ＝n 2，所以a 8＝S 8－S 7＝82－72＝15，a 2＋a 3＋a 4＝S 4－S 1＝42－1＝15. 答案：15 15

二保高考，全练题型做到高考达标

1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是a n 等于( ) A.(－1)n ＋12

B ．cos n π

C ．cos n ＋1

D ．cos n ＋2

解析：选D 令n ＝1,2,3，…，逐一验证四个选项，易得D 正确． 2．已知数列{a n }的前n 项和S n ，且满足S n ＝2a n －3(n ∈N *)，则S 6＝( ) A ．192 B ．189 C ．96

D ．93

解析：选B 因为S n ＝2a n －3，当n ＝1时，S 1＝2a 1－3＝a 1，解得a 1＝3.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝

2a n －3－2a n －1＋3＝2a n －2a n －1，解得a n

a n －1＝2.所以数列{a n }是首项为3，公比为2的等比数列，所以S 6＝

3(1－26)

1－2

＝189. 3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＋S n ＋1＝a n ＋1(n ∈N *)，则此数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列

D ．摆动数列

解析：选C 因为S n ＋S n ＋1＝a n ＋1，所以当n ≥2时，S n －1＋S n ＝a n ，两式相减，得a n ＋a n ＋1＝a n ＋1－a n ，所以有a n ＝0.当n ＝1时，a 1＋a 1＋a 2＝a 2，所以a 1＝0.所以a n ＝0.即数列是常数列．

4．已知数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，若该数列的前n 项和为10，则项数n 的值为( )

A ．11

B ．99

C ．120

D ．121

解析：选C 因为a n ＝1n ＋n ＋1

＝n ＋1－n ，所以该数列的前n 项和S n ＝n ＋1－1＝10，解得n

＝120.

5．数列{a n }满足a n ＋1

＝???

2a n

，0≤a n

＜1

2，2a n

－1，1

≤a n

＜1，若a 1＝3

，则a 2 018＝( )

A.15

B.25

C.35

D.45

解析：选A 由a 1＝35∈????12，1，得a 2＝2a 1－1＝15∈????0，12，所以a 3＝2a 2＝2

5∈????0，12，所以a 4＝2a 3＝45∈????12，1，所以a 5＝2a 4－1＝3

5＝a 1.由此可知，该数列是一个周期为4的周期数列，所以a 2 018＝a 504×4＋2＝a 2＝1

6．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a 2n (a n ＞0，n ∈N *

)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.

解析：对a n ＋1＝a 2n 两边取对数，得log 2a n ＋1＝log 2a 2n ＝2log 2a n .所以数列{log 2a n }是以log 2a 1＝1为首项，2

为公比的等比数列，所以log 2a n ＝2n －1，所以a n ＝22n －

答案：22n －

7．已知数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝2n －1，则该数列的前8项和为________．解析：S 8＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝1＋5＋9＋13＝28. 答案：28

8．在一个数列中，如果对任意的n ∈N *，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________.

解析：依题意得数列{a n }是周期为3的数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1

＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28.

答案：28

9．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝3n －

1＋a n －1(n ≥2，n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值； (2)证明：a n ＝3n －1

解：(1)因为a 1＝1，a n ＝3n －

1＋a n －1(n ≥2，n ∈N *)，所以a 2＝32－

1＋1＝4， a 3＝33－

1＋a 2＝9＋4＝13.

(2)证明：因为a n ＝3n －

1＋a n －1(n ≥2，n ∈N *)，所以a n －a n －1＝3n －

1，

所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋(a n －2－a n －3)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝3n －

1＋3n －

2＋…＋3＋1 ＝3n －12(n ≥2，n ∈N *)．

当n ＝1时，a 1＝3－1

2＝1满足条件．所以当

n ∈N *时，a

n ＝3n －1

. 10．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.

(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)对于n ∈N *，都有a n ＋1＞a n ，求实数k 的取值范围．解：(1)由n 2－5n ＋4＜0，解得1＜n ＜4.

因为n ∈N *，所以n ＝2,3，

所以数列中有两项是负数，即为a 2，a 3. 因为a n ＝n 2－5n ＋4＝????n －522－94

，由二次函数性质，得当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2.

(2)由a n ＋1＞a n ，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次

函数，考虑到n ∈N *，所以－k 2＜3

，即得k ＞－3.

所以实数k 的取值范围为(－3，＋∞)．三上台阶，自主选做志在冲刺名校

1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n ·2n ＋1，该数列的项排成一个数阵(如图)，则该数阵中的第10行第3个数为________．

a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 ……

解析：由题意可得该数阵中的第10行、第3个数为数列{a n }的第1＋2＋3＋…＋9＋3＝9×10

＋3＝48项，而a 48＝(－1)48×96＋1＝97，故该数阵第10行、第3个数为97.

答案：97

2．设函数f (x )＝log 2x －log x 4(0＜x ＜1)，数列{a n }的通项公式a n 满足f (2a n )＝2n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)判定数列{a n }的单调性．

解：(1)因为f (x )＝log 2x －log x 4(0＜x ＜1)，f (2a n )＝2n (n ∈N *) ，所以f (2a n )＝log 22a n －log2a n 4＝a n －2

a n ＝2n ，

且0＜2a n ＜1，解得a n ＜0.

所以a n ＝n －n 2＋2.

(2)因为a n ＋1a n ＝(n ＋1)－(n ＋1)2＋2n －n 2＋2＝n ＋n 2＋2

n ＋1＋(n ＋1)2＋2＜1.

因为a n ＜0，所以a n ＋1＞a n . 故数列{a n }是递增数列．

第二节等差数列及其前n 项和

1．等差数列的有关概念

(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫

做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．

(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b

2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．

2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2

. 3．等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．

(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．

(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． [小题体验]

1．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________. 答案：10

2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝5，a 5＝3，则a n ＝________；S 7＝________. 答案：－n ＋8 28

3．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＝12，则S 7＝______. 答案：28

1．要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．

2．求等差数列的前n 项和S n 的最值时，需要注意“自变量n 为正整数”这一隐含条件． [小题纠偏]

1．首项为24的等差数列，从第10项开始为负数，则公差d 的取值范围是( ) A ．(－3，＋∞) B.?

???－∞，－8

3 C.????－3，－8

3 D.????－3，－83 答案：D

2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝16，a 6＝10，则公差d ＝________；S n 取到最大时的n 的值为________．

解析：因为数列{a n }是等差数列，且a 3＝16，a 6＝10，所以公差d ＝

a 6－a 3

6－3

＝－2，所以a n ＝－2n ＋22，

要使S n 能够取到最大值，则需a n ＝－2n ＋22≥0，所以解得n ≤11.所以可知使得S n 取到最大时的n 的值为10或11.

答案：－2 10或

考点一等差数列的基本运算(基础送分型考点——自主练透)

[题组练透]

1．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 1S 4＝110，则S 3

S 5＝( )

A.2

5 B.35 C.37

D.47

解析：选A 设数列{a n }的公差为d ，因为S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且S 1S 4＝1

10，所以10a 1＝4a 1

＋6d ，所以a 1＝d .所以S 3S 5＝3a 1＋3d 5a 1＋10d ＝6d 15d ＝2

2．设等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 2＝－d ，若a k 是a 6与a k ＋6的等比中项，则k ＝( ) A ．5 B ．6 C ．9

D ．11

解析：选C 因为a k 是a 6与a k ＋6的等比中项，所以a 2k ＝a 6a k ＋6.

又等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 2＝－d ，所以[a 2＋(k －2)d ]2＝(a 2＋4d )[a 2＋(k ＋4)d ]，所以(k －3)2＝3(k ＋3)，

解得k ＝9或k ＝0(舍去)，故选C.

3．公差不为零的等差数列{a n }中，a 7＝2a 5，则数列{a n }中第________项的值与4a 5的值相等．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 7＝2a 5，∴a 1＋6d ＝2(a 1＋4d )，则a 1＝－2d ，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －3)d ，而4a 5＝4(a 1＋4d )＝4(－2d ＋4d )＝8d ＝a 11，故数列{a n }中第11项的值与4a 5的值相等．

答案：11

4．(设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，满足S 2＝S 6，S 55－S 4

4＝2，则a 1＝______，公差d ＝________.

解析：由S 2＝S 6，得S 6－S 2＝a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝4a 1＋14d ＝0，即2a 1＋7d ＝0.由S 55－S 4

4＝2，得5

2(a 1＋a 5)5

－

2(a 1＋a 4)4＝12(a 5－a 4)＝1

d ＝2，解得d ＝4，所以a 1＝－14. 答案：－14 4

[谨记通法]

等差数列基本运算的方法策略

(1)等差数列中包含a 1，d ，n ，a n ，S n 五个量，可“知三求二”．解决这些问题一般设基本量a 1，d ，利用等差数列的通项公式与求和公式列方程(组)求解，体现方程思想．

(2)如果已知等差数列中有几项的和是常数的计算问题，一般是等差数列的性质和等差数列求和公式S n

＝

n (a 1＋a n )

结合使用，体现整体代入的思想．考点二等差数列的判断与证明(重点保分型考点——师生共研)

[典例引领]

已知数列{a n }中，a 1＝1

2，a n ＋1＝1＋a n a n ＋12

(n ∈N *)．

(1)求证：????

1a n －1是等差数列；

(2)求数列{a n }的通项公式．

解：(1)证明：因为对于n ∈N *，a n ＋1＝1＋a n a n ＋1

，所以a n ＋1＝1

2－a n

，所以

1a n ＋1－1－1a n －1＝112－a n

－1－1

a n －1＝2－a n －1a n －1＝－1.

所以数列????

??1a n －1是首项为1

a 1－1＝－2，公差为－1的等差数列．

(2)由(1)知

a n －1

＝－2＋(n －1)(－1)＝－(n ＋1)，所以a n －1＝－1

n ＋1

，即a n ＝

n n ＋1

. [由题悟法]

等差数列的判定与证明方法

已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －12a n －1＋1(n ∈N *，n ≥2)，数列{b n }满足关系式b n ＝1

a n (n ∈N *)．

(1)求证：数列{b n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：∵b n ＝1

a n

，且a n ＝

a n －1

2a n －1＋1

，

∴b n ＋1＝

a n ＋1

＝

1a n 2a n ＋1

＝2＋1

a n ， ∴

b n ＋1－b n ＝2＋1a n －1

a n ＝2.

又b 1＝1

a 1

＝1，

∴数列{b n }是首项为1，公差为2的等差数列． (2)由(1)知数列{b n }的通项公式为 b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，又b n ＝1a n

，∴a n ＝1

b n

＝

2n －1

. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝

2n －1

. 考点三等差数列的性质及最值(重点保分型考点——师生共研)

[典例引领]

1．在等差数列{a n }中，若a 9

a 8＜－1，且其前n 项和S n 有最小值，则当S n ＞0时，n 的最小值为( )

A ．14

B ．15

C ．16

D ．17

解析：选C ∵数列{a n }是等差数列，它的前n 项和S n 有最小值，∴公差d ＞0，首项a 1＜0，{a n } 为递增数列，∵a 9

a 8

＜－1，∴a 8·a 9＜0，a 8＋a 9＞0，由等差数列的性质知2a 8＝a 1＋a 15＜0，a 8＋a 9＝a 1＋a 16＞0.

∵S n ＝

(a 1＋a n )n

，∴当S n ＞0时，n 的最小值为16. 2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6＞S 7＞S 5，则满足a n ＞0的最大n 的值为______，满足S k S k

＋1

＜0的正整数k ＝______.

解析：由题可得a 6＝S 6－S 5＞0，a 7＝S 7－S 6＜0，所以使得a n ＞0的最大n 的值为6.又a 6＋a 7＝S 7－S 5

＞0，则S 11＝

11(a 1＋a 11)2＝11a 6＞0，S 12＝12(a 1＋a 12)2＝6(a 6＋a 7)＞0，S 13＝13(a 1＋a 13)

＝13a 7＜0，因为{a n }是递减的等差数列，所以满足S k S k ＋1＜0的正整数k ＝12.

答案：6 12

[由题悟法]

1．等差数列的性质

(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ?a m －a n

m －n ＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，

a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．

(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n .

2．求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法

(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．

(2)邻项变号法：

①当a 1＞0，d ＜0时，满足????

? a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；

②当a 1＜0，d ＞0时，满足?

????

a m ≤0，

a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .

[即时应用]

1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 8＝13，则S 8

S 16＝( )

A.3

10 B.37 C.13

D.12

解析：选A 因为数列{a n }是等差数列，所以S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列，因为S 4S 8＝1

3，

所以不妨设S 4＝1，则S 8＝3，所以S 8－S 4＝2，所以S 16＝1＋2＋3＋4＝10，所以S 8S 16＝3

2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n ＝324(n ＞6)，则数列{a n }的项数为________．

解析：由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，① a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180，②

①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216，∴a 1＋a n ＝36，又S n ＝n (a 1＋a n )

2＝324，

∴18n ＝324，∴n ＝18. 答案：18

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1．已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4.则数列{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝2n －1 B ．a n ＝－2n ＋3 C ．a n ＝2n －1或－2n ＋3

D ．a n ＝2n

解析：选A 设数列{a n }的公差为d ，由a 3＝a 22－4可得1＋2d ＝(1＋d )2

－4，解得d ＝±

2.因为数列{a n }是递增数列，所以d ＞0，故d ＝2.所以a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.

2．在等差数列{a n }中，若a 2＝1，a 4＝5，则{a n }的前5项和S 5＝( ) A ．7 B ．15 C ．20

D ．25

解析：选B 因为a 2＝1，a 4＝5，所以S 5＝

5(a 1＋a 5)2＝5(a 2＋a 4)

＝15. 3.已知{a n }为等差数列，其公差d 为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，则S 10的值为( )

A ．－110

B ．－90

C ．90

D ．110

解析：选D 设数列{a n }的首项为a 1，因为a 7是a 3与a 9的等比中项，所以(a 1－12)2＝(a 1－4)(a 1－16)，解得a 1＝20.所以S 10＝10a 1＋45d ＝200－90＝110.

4．我国古代数学名著《九章算术》里有问题：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：________日相逢？

解析：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{a n }，其中a 1＝103，d 1＝13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{b n }，其中b 1＝97，d 2＝－0.5.设第m 天相逢，则a 1＋a 2＋…＋a m ＋b 1＋b 2＋…＋b m ＝103m ＋

m (m －1)×132＋97m ＋m (m －1)×(－0.5)

＝2×1 125，解得m ＝9(负值舍去)．即二马需9日相逢．

答案：9

5．等差数列{a n }中，已知a 5＞0，a 4＋a 7＜0，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为________．

解析：∵????? a 4＋a 7＝a 5＋a 6＜0，a 5＞0，∴?????

a 5＞0，a 6＜0，

∴S n 的最大值为S 5. 答案：S 5

二保高考，全练题型做到高考达标

1．已知正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，当n ≥2，n ∈N *

时，a n ＝a 2n ＋1＋a 2

n －1

，则a 6＝( ) A ．2 2 B ．4 C ．16

D ．45

解析：选B 因为a n ＝

a 2n ＋1＋a 2

n －12

，所以2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1，即a 2n ＋1－a 2n ＝a 2n －a 2n －1，所以数列{a 2

n }是等差数列，公差d ＝a 22－a 21＝4－1＝3，所以a 2n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，

所以a n ＝3n －2，所以a 6＝18－2＝4.

2．等差数列{a n }中，a 1＝0，等差d ≠0，若a k ＝a 1＋a 2＋…＋a 7，则实数k ＝( ) A ．22 B ．23 C ．24

D ．25

解析：选A 因为a 1＝0，且a k ＝a 1＋a 2＋…＋a 7，即(k －1)d ＝21d ，又因为d ≠0，所以k ＝22.

3．(河南六市一联)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，若{a n }和{S n }都是等差数列，且公差相等，则a 6＝( )

A.11

4 B.32 C.72

D ．1

解析：选A 设{a n }的公差为d ，由题意得，S n ＝

na 1＋n (n －1)2d ＝

d 2

n 2＋??

??a 1－d 2n ，又{a n }和{S n }都是等差数列，且公差相同，∴???

d ＝

，a 1

－d

2＝0，

解得???

d ＝12

，a 1

＝1

4，

a 6＝a 1＋5d ＝14＋52＝11

4．(东阳模拟)已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a n

b n

为整

数的正整数的个数为( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

解析：选D 由A n B n ＝7n ＋45n ＋3，可得a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1，所以要使a n b n

为整数，则需12

n ＋1为整数，

所以n ＝1,2,3,5,11，共5个．

5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若

S n

S 2n

为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“吉祥数列”，则数列{b n }的通项公式为( )

A ．b n ＝n －1

B ．b n ＝2n －1

C ．b n ＝n ＋1

D ．b n ＝2n ＋1

解析：选B 设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0)，S n S 2n ＝k ，因为b 1＝1，则n ＋1

n (n －1)d ＝k ???

?2n ＋1

2×2n (2n －1)d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0. 因为对任意的正整数n 上式均成立，所以(4k －1)d ＝0，(2k －1)(2－d )＝0，解得d ＝2，k ＝14

所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.

6．(台州中学期中)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝18，S 18＝54，则a 17＝________，S n ＝__________.

解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，因为a 2＝18，S 18＝54，所以?????

a 1

＋d ＝18，18a 1＋18×17

2d ＝54，解得a 1＝20，d ＝－2.所以a 17＝a 1＋16d ＝20－32＝－12，S n ＝na 1＋n (n －1)

d ＝－n 2＋21n .

答案：－12 －n 2＋21n

7．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前 n 项和为S n ，当且仅当n ＝8 时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．

解析：由题意，当且仅当n ＝8时S n 有最大值，可得

????

d ＜0，a 8＞0，a 9＜0，

即????

d ＜0，7＋7d ＞0，7＋8d ＜0，

解得－1＜d ＜－7

答案：?

???－1，－7

8 8．(金华浦江适考)设数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，其中a n ＝－3n ＋20，b n ＝|a n |，则使T n

＝S n 成立的最大正整数n 为________，T 2 018＋S 2 018＝________.

解析：根据题意，数列{a n }中，a n ＝－3n ＋20，则数列{a n }是首项为17，公差为－3的等差数列，且当n ≤6时，a n ＞0，当n ≥7时，a n ＜0，又由b n ＝|a n |，当n ≤6时，b n ＝a n ，当n ≥7时，b n ＝－a n ，则使T n ＝S n 成立的最大正整数为6，T 2 018＋S 2 018＝(a 1＋a 2＋…＋a 6＋a 7＋a 8＋…＋a 2 018)＋(b 1＋b 2＋…＋b 6＋b 7＋b 8＋…＋b 2 018)＝2(a 1＋a 2＋…＋a 6)＝(17＋2)×6＝114.

答案：6 114

9．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110. (1)求a 及k 的值；

(2)设数列{b n }的通项b n ＝S n

n ，证明：数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n .

解：(1)设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ，由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2，所以S k ＝ka 1＋

k (k －1)2·d ＝2k ＋k (k －1)

×2＝k 2＋k . 由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，

解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10. (2)证明：由(1)得S n ＝n (2＋2n )

＝n (n ＋1)，则b n ＝S n

＝n ＋1，

故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，

即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列，所以T n ＝

n (2＋n ＋1)2＝n (n ＋3)

. 10．(南昌调研)设数列{a n }的前n 项和为S n,4S n ＝a 2n ＋2a n

－3，且a 1，a 2，a 3，a 4，a 5成等比数列，当n ≥5时，a n ＞0.

(1)求证：当n ≥5时，{a n }成等差数列； (2)求{a n }的前n 项和S n .

解：(1)证明：由4S n ＝a 2n ＋2a n －3,4S n ＋1＝a 2n ＋1＋2a n ＋1－3，得4a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2n ＋2a n ＋1－2a n ，

即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －2)＝0.

当n ≥5时，a n ＞0，所以a n ＋1－a n ＝2，所以当n ≥5时，{a n }成等差数列．

(2)由4a 1＝a 21＋2a 1－3，得a 1＝3或a 1＝－1，又a 1，a 2，a 3，a 4，a 5成等比数列，所以由(1)得a n ＋1＋a n ＝0(n ≤5)，q ＝－1，而a 5＞0，所以a 1＞0，从而a 1＝3，

所以a n ＝?

????

3(－1)n －

1，1≤n ≤4，2n －7，n ≥5，

所以S n ＝?????

32[1－(－1)n ]，1≤n ≤4，

n 2－6n ＋8，n ≥5.

三上台阶，自主选做志在冲刺名校

1．(浙江五校联考)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则2S n ＋16

a n ＋3

的最小值为________．

解析：设公差为d .因为a 1，a 3，a 13成等比数列，所以(1＋2d )2＝1＋12d ，解得d ＝2.所以a n ＝2n －1，S n ＝n 2.所以

2S n ＋16a n ＋3＝2n 2＋162n ＋2＝n 2＋8n ＋1

.令t ＝n ＋1，则原式＝t 2＋9－2t t ＝t ＋9

t －2.因为t ≥2，t ∈N *，所以当t

＝3，即n ＝2时，? ???

?2S n ＋16a n ＋3min

＝4.

答案：4

2．已知数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝4n －3(n ∈N *)． (1)若数列{a n }是等差数列，求a 1的值； (2)当a 1＝2时，求数列{a n }的前n 项和S n . 解：(1)法一：∵数列{a n }是等差数列， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＋1＝a 1＋nd . 由a n ＋1＋a n ＝4n －3，

得(a 1＋nd )＋[a 1＋(n －1)d ]＝4n －3， ∴2dn ＋(2a 1－d )＝4n －3，即2d ＝4,2a 1－d ＝－3，解得d ＝2，a 1＝－1

法二：在等差数列{a n }中，由a n ＋1＋a n ＝4n －3，