《匀速圆周运动的实例分析》课件

4．列举实例，指出圆周运动在人类文明进程中的广泛应 用．认识到圆周运动对人类文明发展有重大影响．
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汽车过拱形桥 (1)汽车过拱形桥时做圆周运动，所需向心力由 重力G 和桥 对汽车的 支持力N 的合力提供．
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由以上分析可知：①当火车转弯速率v等于v0时，F＝F向， 内外轨道对轮缘都没有侧压力．②当火车转弯速率v大于v0 时，F<F向，外轨对轮缘有侧压力．③当火车转弯速率v小于 v0时，F>F向，内轨对轮缘有侧压力．
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解析 (1)汽车在水平路面上转弯不发生侧滑时，沿圆弧运动 所需向心力由静摩擦力提供．当车速增大时，静摩擦力也随 着增大，当静摩擦力达到最大值 μmg 时，其对应的车速即 为不发生侧滑的最大行驶速度． 由牛顿第二定律得 μmg＝mvRm2 ax. 求得车速的最大值为
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杆模型 如图2－3、4－5所示，有物体支撑的小球在竖直平面内做 圆周运动过最高点的情况．
图2－3、4－5
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(1)临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能达最高 点的临界速度 v 临界＝0. (2)图 2－3、4－5(a)所示的小球过最高点时，轻杆对小球的 弹力情况． ①当 v＝0 时，轻杆对小球有竖直向上的支持力 N，其大小 等于小球的重力，即 N＝mg. ②当 0<v< rg时，杆对小球的支持力的方向竖直向上，大小 随速度的增大而减小，其取值范围是：0<N<mg.
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② 向心汽力车：在凹Fn形＝桥最N－低G点＝时m(v如R2 图
2－3、4－2) ；
支持力：N＝G＋mvR2>G，汽车处于超重状态．
由以上两式可得：v 越大，支持力 N 越大 ，
向心力 Fn 越大 ．
图2－3、4－2
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旋转秋千
(1)运动特点 人(座椅)在 水平面 内做圆周运动，悬线旋转成一个圆锥 面(圆锥摆)．(如图2－3、4－3)
图2－3、4－6
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设车轨间距为 L，两轨高度差为 h，转弯处的半径为 R，行
驶的火车质量为 m，两轨所在平面与水平面之间的夹角为 θ，
则由三角形边角关系可得 sin
θ＝
h L
对火车进行受力分析有 F＝mgtan θ
因为 θ 很小，由三角函数知识，可认为 sin θ＝tan θ.
逐渐远离圆心 ，这样的运动叫做离心运动．
(2)做圆周运动的物体，由于本身惯性 ，总有沿着切圆线周
方向飞去的倾向．当物体所受合力F＝mRω2时，物体
做圆周运动；当F＝0时，物体沿切线方向飞出；当
F<mRω2时，物体逐渐远离圆心．
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(3)在水平公路上行驶的汽车，转弯时所需的向心力由车轮与 路面间的静摩擦力提供．如果转弯时速度过大，所需向心力 Fn 很大，大于最大静摩擦力时，最大静摩擦力不足以提供向 心力，即 Fmax<mvR2，汽车将做离心运动.
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解析 小桶质量 m1＝0.5 kg，水质量 m2＝1 kg，r＝1 m (1)在最高点时，以桶和水为研究对象，其向心力由重力和拉 力的合力提供，由向心力公式，可得： (m1＋m2)g＋T＝（m1＋rm2）v2， 解得 T＝（m1＋rm2）v2－(m1＋m2)g， 代入数值解得 T＝22.5 N.
由力的分解和几何关系可得：
F 合＝ mgtanα
r＝ lsinα
由 F 合＝mω2·r 得 ω＝
g
lcos α
，cos
α＝ωg2l.
结论：缆绳与中心轴的夹角 α 跟“旋转秋千”的 角速度
和 绳长 有关，而与乘坐人的质量无关 ．在 l 一定
时， ω越大 ，α 也 越大 ．
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②铁轨对火车的支持力不是竖直向上的，而是斜向弯道 的 内侧 ． ③铁轨对火车的支持力与火车所受重力的合力指向圆心 ，它 提供了火车做圆周运动所需的 向心力 ．
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离心运动
(1)做圆周运动的物体，在向心力突然 消失
或
合力不足以提供所需的向心力时，物体沿切线方向飞去或
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火车转弯 (1)运动特点 火车转弯时做的是圆周运动．因而具有向心加速度，需 要 向心力 ． (2)转弯处内外轨一样高的缺点 如果转弯处内外轨一样高，则由 外轨对轮缘的弹力 提供 向心力．这样铁轨和车轮极易受损．
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(3)铁路弯道的特点 ①转弯处 外轨 略高于 内轨 ．
图2－3、4－7
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动力学分析 物体做圆周运动时需要有 提供向心力的合外力，合 外力的大小决定了物体的 运动，情况如所示．
图2－3、4－8
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(1)若 F 合＝mrv2，物体做稳定的圆周运动，即匀速圆周运动． (2)若 F 合＝0，物体将沿切线方向飞出而做匀速直线运动． (3)若 F 合<mrv2，物体将沿圆周和切线之间的螺旋线做远离圆 心的运动． (4)若 F 合>mrv2，物体将做靠近圆心的向心运动．
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(2)以水为研究对象，其向心力是由重力 m2g 和桶底对水的压 力 N 的合力提供，由向心力公式得 m2g＋N＝m2rv2， 解得 N＝m2rv2－m2g. 代入数值解得 N＝15 N. 由牛顿第三定律可知水对桶底的压力大小 N′＝15 N，方向竖 直向上．
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竖直平面内的圆周运动
【典例1】 如图2-3、4-9所示，质量为 0.5 kg的小桶里盛有1 kg的水，用 细绳系住小桶在竖直平面内做“水 流星”表演，转动半径为1 m，小 桶在最高点的速度为5 m/s，g取10 m/s2.求：
图2－3、4－9
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(2)拱形桥上汽车的受力特点
①汽车在凸形桥最高点时(如图 2－3、4－1) 向心力：Fn＝ G－N＝mvR2 ； 支持力：N＝G－mvR2<G，汽车处于失重状态． 图2－3、4－1 由以上两式可得：v越大，支持力N 越小，向心力Fn 越大 ， 当 Fn＝G 时，N＝0.
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vmax＝ μgR＝ 0.1×10×4 m/s＝2 m/s.
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(2)当汽车的速度超过 2 m/s 时，需要的向心力 mvr2增大，大 于提供的向心力也就是说提供的向心力不足以维持汽车做 圆周运动的向心力，汽车将做离心运动，严重的将会出现翻 车事故． 答案 (1)2 m/s (2)见解析
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一、竖直平面内圆周运动的两种模型 绳模型 如图2－3、4－4所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面 内做圆周运动在最高点的情况．
图2－3、4－4
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(1)临界条件：小球达最高点时绳子的拉力(或轨道的弹力)刚 好等于零，小球的重力提供做圆周运动的向心力，即 mg＝ mv临2r界，上式中的 v 临界是小球能够通过最高点的最小速度， 通常叫临界速度 v 临界＝ rg. (2)能过最高点的条件：v≥v 临界(此时，绳、轨道对球分别产 生拉力、压力)．
又由向心力公式 F＝mRv2可得 v0＝
ghR L.
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显然，在 g，h，R，L 不变的情况下，火车转弯时的车速应 该是一个确定的值 v0＝ ghLR，此时转弯所需要的向心力 完全由重力和支持力的合力提供，因此这个速度通常也叫做 转弯处的规定速度．
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3 圆周运动的实例分析 4 圆周运动与人类文明(选学)
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1．分析铁轨拐弯处的设计、骑自行车转弯等实例的动力学 关系．
2．认识向心力是以效果命名的力；知道什么是离心现象， 说出物体做离心运动的条件．
3．通过列举实例，感受圆周运动在生活、生产中的应用价 值，说明离心运动的应用和防止．
如图2－3、4－3
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(2)运动分析 将“旋转秋千”简化，可以看作如右图的物理模型： ①向心力 做圆锥摆运动的小球在水平面内做匀速圆周运动的向心力 是由其受到的重力mg和悬线拉力T的合力F合提供的．
自百度文库学习
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②运动分析
解析 当 N＝34G 时，因为 G－N＝mvr2，所以14G＝mvr2；当 N＝0 时，G＝mv′r 2，所以 v′＝2v＝20 m/s. 答案 B
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水平面内的圆周运动
【典例2】 汽车与公路面的动摩擦因数为μ＝0.1，公路某转 弯处的圆弧半径为R＝4 m. (1)若路面水平，要使汽车转弯时不发生侧滑，汽车速度 不能超过多少？(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g ＝10 m/s2) (2)当超过vm时，将会出现什么现象？
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(3)水恰好不流出的临界条件是水的重力刚好提供向心力，即
m2g＝m2rv20，解得：v0＝ gr＝ 10 m/s. 答案 (1)22.5 N (2)15 N 竖直向上 (3) 10 m/s
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借题发挥 (1)在最高点应是桶和水整体受到的合力提供向心 力． (2)抓住绳类模型通过最高点的临界条件(绳拉力恰好为零)是 解题的关键．
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二、对火车转弯的理解 弯道设计特点：在实际的火车转弯处，外轨高于内轨． 分析转弯的思路 (1)首先明确圆周平面是在水平面上 虽然外轨高于内轨，但整个外轨是等高的，整个内轨是等 高的．因而火车在行驶的过程中，重心的高度不变，即火 车重心的轨迹在同一水平面内．故火车的圆周平面是水平 面，而不是斜面．所以，火车的向心加速度和向心力均是 沿水平面指向圆心．
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(2) 明 确 向 心 力 的 来 源 ， 以 及 速 度与轨道压力的关系 在修筑铁路时，要根据转弯处轨 道的半径和规定的行驶速度，适 当调整内、外轨的高度差，使转 弯时所需的向心力完全由重力G 和支持力N的合力提供，从而使 外轨不受轮缘的横向挤压(如所 示)．
三、稳定圆周运动、离心运动、向心运 动的比较 向心运动 如果做匀速圆周运动的物体所受指向 圆心的力突然变大，此力大于做圆周 运动所需的向心力，则物体就会做靠 近圆心的曲线运动．如图2－3、4－7 所示，当绳的拉力为F时，球在光滑的 水平面上做匀速圆周运动，若拉力F逐 渐增大，则球做曲线运动的同时向圆 心靠近．
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③当 v＝ rg时，N＝0. ④当 v> rg时，杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度 的增大而增大.
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(3)图 2－3、4－5(b)所示的小球过最高点时，光滑硬管对小 球弹力的情况． ①当 v＝0 时，玻璃管内壁对小球有竖直向上的支持力其大 小等于小球的重力，即 N＝mg.外壁对小球没有作用力． ②当 0<v< rg时，玻璃管内壁对小球的支持力竖直向上，其 大小随速度的增大而减小，其取值范围是：0<N<mg.外壁作 用力仍为 0. ③当 v＝ rg时，内壁和外壁对小球的作用力都为 0. ④当 v> rg时，玻璃管内壁对小球的支持力为 0，外壁对小 球有指向圆心的弹力，其大小随速度的增大而增大．
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【变式 1】
一汽车通过拱形桥顶点时速度为 10 m/s，车对桥顶的压
力为车重的34，如果要使汽车在桥顶时对桥面没有压力，
车速至少为
( )．
A．15 m/s
B．20 m/s
C．25 m/s
D．30 m/s
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