(整理)学习电动力学的数学准备.

学习电动力学的数学准备
2012-05-31 11:57:04| 分类：默认分类|举报|字号订阅
知识前提
1.普通物理（主要是电磁学），初等微积分，矢量代数—应很熟悉
2.矢量分析，场论基础—作为本课程的第0章
3.数理方法（程），特殊函数—提到时应该能理解
第0章数学准备
第一节矢量分析与场论基础
在电动力学中应用较多的数学知识是矢量分析与场论基础。

因而,我们首先对这两方面的有关内容进行总结归纳.主要是为了应用,而不追求数学上的严格.
一、矢量代数
1.两个矢量的点乘、叉乘
若
则, 的点乘(也称标量积)
()
,的叉乘(也称矢量积)
，为, 的夹角
方向：既垂直于，又垂直于,与满足右手螺旋关系。

叉乘的不可交换性
2.三个矢量的混合积
=
几何解释:以为棱的平行六面体的体积
性质：(1)轮换不变性，在点乘号,叉乘号位置不变的情况下,把矢量按顺序轮换,其混合积不变.
(2)若只把两个矢量对调,混合积反号。

(3)若矢量位置不变只交换点乘号叉乘号,混合积不变—但必须先做叉乘(用括号保证这个顺序)。

3.三个矢量的叉乘
令
则
同理
故
而
二者都是：把括号外的矢量与离它较远的矢量点乘，再乘以另一矢量所得的项取正号,把括号外的矢量与离它较近的矢量点乘，再乘以另一矢量所得的项取负号。

两者取和。

("远正近负，再取和")
二、场的概念
在许多科学技术问题中，常常要考虑某种物理量（如温度、密度、电势、力、速度）在空间的分布和变化规律。

这是需要引入场的概念。

如果在全部空间或部分空间里的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，就说在这空间里确定了该物理量的一个场。

1.数学上，场是空间时间的函数
时间坐标
空间坐标，构成右手系。

标量场空间的每一个点对应一个标量
矢量场空间的每一个点对应一个矢量
张量场空间的每一个点对应一个张量
2.物理上，描述某一物理客体，具有一定分布规律的物理量
3.记号标量场
矢量场
张量场
4.场中的物理量在各点处的对应值随时间变化的，这个场称为稳定场；否则称为不稳定场。

三、场分析及其微分特征量（矢量微分）
整体上来看分析场的奇异性，敛散性
局域上来看函数某点附近的性质，微分特征量。

1.梯度
在标量场中，标量的分布情况，可以将借助等值面或等值线来进行了解。

但是这只能大致地了解到标量在场中总的分布情况，是一种整体性的了解。

而研究标量场的另一个重要方面，就是还要对它作局部性的了解，即还要考察标量在场中各个点的邻域内沿每个方向的变化情况。

为此，引入方向导数，梯度的概念。

(1)方向导数
方向导数给出了函数在给定点处沿某个方向的变化率问题。

然而从场中的给定点出发，有无穷多个方向，函数沿哪个方向的变化率最大呢？最大变化率为多少呢？带着这些问题，我们来看方向导数。

函数在点方向上的方向导数为（场的空间坐标为）
方向上的单位矢量。

，，在点方向上的方向余弦。

其余三个数，，也可视为某一矢量的坐标。

(2)梯度
在直角坐标系下，定义梯度(gradient)：。

这样上式可以表示为。

从该式可以看出梯度是方向导数的一种，方向为标量函数上升最快的方向，大小为其改变率数值。

(3)梯度的性质
（1）梯度与坐标系的选取无关，只取决于场的分布；
（2）方向导数是梯度在该方向上的投影；
（3）梯度的方向为指向增加最快的方向。

2.散度：
(1)通量
通量的定义，设有矢量场，沿某一有向曲面的某一侧面的曲面积分
叫做矢量场向积分所沿一侧穿过曲面的通量。

说明：1.积分号无论几重积分都用单重记号，看变量而定几重积分;
2.通量可以叠加;
3.若为闭合面，，一般约定以球面的外法线方向为正方向，穿出曲面为正，穿入曲面为负，相切为零。

根据通量的正负可以得知内有产生通量的正源（源）或负源（汇、壑、闾）。

但仅此还不能了解源在内的分布情况以及源的强弱程度等问题。

为了描述上述问题，我们引入散度的概念。

(2)散度
散度(divergence)的定义
散度表示在场中一点处通量对体积的变化率，又称为通量体密度。

也就是在该点处对一个单位体积来说所穿过的通量，称之为该点处源的强度（散发通量或吸收通量的能力）。

其符号的正负表示在该点处有散发通量之正源或有吸收通量之负源，其绝对值就相应的表示在该点处散发通量或吸收通量的强度。

对于流
体来说，散度表示稳定流动的不可压缩流体在源点处的源头强度，（单位时间单位体积内所产生的流体质量）。

(3)散度的性质
（1）与坐标系的选取无关，取决于场的分布。

（2）在直角坐标系下有
3．旋度
（1）环量的定义：设有矢量场，则沿场中某一闭合的有向曲线的曲
线积分
称为此矢量场按积分所取方向沿曲线的环量。

我们已知磁场中有
由上式可以知道，磁场的环量，为通过磁场中以为边界的一块面积的总的电流强度。

显然，仅此还不能了解磁场中任一点处通向任一方向的电流密度（即在点处沿的方向，通过与垂直的单位面积的电流强度）。

为了研究这一类问题，我们引入环量面密度的概念。

（2）环量面密度。

设为矢量场中的一点，在点处取定一个方向，再过任作一微小曲面，以为其在点处的法矢，对此曲面，我们同时又以表其面积，其周界之正向取作与构成右手螺旋关系。

则矢量场沿之正向的环量与面积之比，当曲面在保持点于其上的条件下，沿着自身缩向点时，若的极限存在，则称其为矢量场在点处沿方向的环量面密度（就是环量对面积的变化率），记作，即，
例如，在磁场强度所构成的磁场中的一点处，沿方向的环量面密度，
(电流密度) 。

又如在流速场中的一点处，沿方向的环量面密度为
即为在点处与成右手螺旋方向的环流对面积的变化率，称为环流密度（或环流强度）。

单位时间单位面积流走的电荷电量。

从上面我们可以看出，环量面密度是一个和方向有关的概念，正如标量场中的方向导数与方向有关一样。

然而在标量场中，梯度矢量，在给定点处，它的方向表出了最大方向导数的方向，其模即为最大方向导数的数值，而且它在任意方向的投影，就给出该方向上的方向导数。

这种情况，给我们一种启示，能否找到这样一种矢量，它与环量面密度的关系，正如梯度与方向导数之间的关系一样。

这个矢量我们称之为旋度.
下面，我们给出旋度的定义，
（3）旋度
若在矢量场中的一点处存在这样的一个矢量，矢量场在点处沿其方向的环量面密度为最大，这个最大的数值，正好就是，则称矢量为矢量场在点处的旋度(rotation, curl)，记作，即
简言之，旋度矢量在数值和方向上标出了最大的环量面密度。

(4)旋度的性质
（1）旋度与坐标系的选取无关，只取决于场的分布；。

中，旋度是在给定处，它的方向乃是最大电流密度的方向，电流密度。

在电学上称为
在流速场中，旋度是在给定处，它的方向是最大环流密度的方向，
（3）在直角坐标系中
例题：设一刚体绕过原点的某个轴转动，其角速度为，则刚体上的每一点处都具有线速度，从而构成一个线速度场。

由运动学知道，矢径为的点的线速度为
，求线速度的旋度。

解：由速度场的雅可比（Jacobi）矩阵
得
这说明，在刚体转动的线速度场中，任一点的旋度，除去一个常数因子外：恰恰等于刚体转动的角速度（旋度因此得名）。

注，对于一个矢量，雅可比矩阵可以表示为
其中对角元，，之和为，其余六个正好是旋度的公式中所需要的。

按照逆顺序排列，每两个作为一组求和，其中后面的偏导数前面加负号，并且按照的顺序排列。

四、几个重要定理
1．牛顿—莱布尼兹定理
（由方向导数的公式，得，从到取积分得到
）
2．奥斯特罗格拉得斯基公式（或称高斯（Gauss）公式，奥高公式）：
闭曲面S为V的表面，等于乘以外法线方向单位矢量。

（在矢量场中任取体积，包围这个体积的闭合面为，用垂直于坐标轴的三组平行面把体积分割成许多无限小的六面体（分割足够细，可以看成六面体），
由散度的定义可知，通过每个六面体表面的通量是
，在所围的体积中，
部的面，它们是面的一部分，而且只是六面体的一个表面，所以求和时只剩下这部分通量的和，由此可见，上式的右边就是通过面的通量即
）
闭曲线为的边界。

方向与成右手螺旋关系。

（在矢量场中，任取一个非闭合面，它的圆周界长度为，把任意分割为无数多的面积元，的边界为，绕行的方向与的绕行方向相同，
义式，
对于每个面积元矢量的线积分为，
将此结果求和，沿小面积元的边界取线和时这两部分互相抵消，结果只剩下外边与重合部分的积分值，因而得到，于是最后得到）
五、微分算符（
1.的性质
（1）算符性（约定被作用量放在算符的右侧）
（2）矢量性
（3）一阶微分性
（4）直角坐标系下，
2.二次微商
证明：=0
逆定理：反之，在单连通区域，如果某一矢量的旋度为零()，则矢量可表示为某个标量的梯度，称为矢量场的标量势。

补：单连通区域的判定办法：对于区域内任意选取闭合回路，都能使之在区域内连续收缩，若能收缩为区域内的一点，则该区域为单连通区域
（1）无孔的三维空间—单连通
（2）三维空间抽出轴—非单连通
（3）三维空间挖出一个球—单连通
（4）三维空间挖出一个球壳—非连通，球内球外均为单连通，整体为非连通区域。

（5）（2）中去掉包含轴的半个空间—单连通
（6）除去包含闭合电路为边界所张成的面后的空间—单连通
（2）
证明：
记忆：
如果某一矢量的散度为零（），则矢量可表为另一矢量的旋。

称为矢量场的矢量势
）
）
乘积场的微商，算子具有矢量性和微分性
(I.18)
(I.19)
(I.20)
(I.21)
(I.22)
(I.23)
只要把看成具有矢量运算和微分运算双重性质的量，从这两种运算的特点考虑，即可得到上面这些式子。

(I.18)作为一个矢量，与标量相乘，结果应是矢量，由于又是微分算子，因而它对的乘积的作用应得。

(I.19)作为微分算子，既要作用到上，又要作用到上，再考虑到的矢量性质，必须把点乘放在正确的位置上，不能有而应得两项。

与上式道理相同，作为微分算子既要作用到上，又要作用在上，
号必须放到正确位置上，因而得。

(I.21)根据的微分性质，应分别作用到，上，可形式上写为
而且还有矢量性质，可通过矢量混合积的性质改写，使其分别直接作用到和上。

由
第二项不能写成，因要作用在上。

(I.22)
因而由矢量性得
[，因只作用在上
同理，
(I.23)
(括号里面的量一个一定在括号外，有一个一定在括号里面。

其脚标的量一定在括号内，不是脚标的量一定在括号外。

表示对作用，因此一定在括号里面，因此有，然后根据三个矢量叉乘进行运算分析即可。

)
同理
于是
六、特别提醒
以上应用的微分运算要严格按照要求，规范书写。

作业：书后习题1、2、3、4、5、6
第二节--函数简介
本节是为了格林函数做基础的，可视具体学时适当删减。

一、电荷密度的函数表示
1、数学上的函数
[定义] 质点处的函数定义为：
；
积分区域V为包含点的任意区域。

可见，在点，必为无穷大，否则不可能使包围点的小区域内的积分为1。

[性质] (1) 选择性，为原点附近的连续函数。

为包含在内的任意区域。

(2) 偶函数
(3)
更一般的函数应定义在附近：
当时
当时
选择性为点附近的连续函数，为包含
上或一曲线上的电荷，可用函数表示，因此我们可以用来表示一个点电荷的电荷密度为
②一组点电荷的电荷密度为
(函数的导数是奇函数，以电偶极子的中心为坐标原点，两个点电荷分别处于，于是当，该体系的电荷密度为
其中.)
④在曲线坐标系中用函数表示电荷密度。

例如，在球坐标系中均与分布在半径为的球壳上的电荷为，则电荷密度为
⑤在柱坐标系中均匀分布于半径为的圆柱面上每单位长度的电荷为，则电荷密度为
二、一个有用的公式
，
（其中。

由此得由库仑定律：
）
这个式子在处是没有意义的，那么这个式子代表什么。

原来一个封闭面的面积分是有意义的。

右方等于，（如果积分面所包含的体积包含原点）；或等于零，（如果积分面所包含的体积不包含原点）。

将上式改写为
如果体积包括原点，右方等于；如果体积不包含原点，右方等于零。

因此可以用
由于其中所选的体积任意
或
：（此种证明并不严谨）
在即处，，但在处其值是无穷大的，即它是一个函数。

取以点为中心，半径的小球面，由高斯定理，及球面元矢量
，有
（当在内），。

在球坐标系中，，。

在点，奇异，因此是这样一个函数，它在处的值为零，只有在点上可能不为零。

作积分变数变换，可见上式极限存在
代换，积分区间为。

因此证明了。

引入函数的导数，
这个式子和
定义了。

函数显然满足了
函数与函数，满足下面的式子
（其中为的根），
此外又有
，
上面式子的证明，只消讨论双方乘上一任意函数而积分的结果。

第三节张量代数与张量分析
一、二阶张量
标量场，可以用一个数描述，
矢量场，可以用三个数描述，
二阶张量可以写为
（），
从上面公式可以看出，张量是具有九个分量的物理量。

张量的九个分量写为
当这九个分量在坐标系转动下按照变化时，由它们组成的物理量就称为张量。

若，称为对称张量，对称张量只有六个独立分量。

若称为反对称张量，反对称张量只有三个独立分量。

1.并矢
两个矢量和并列放在一起，它们之间不做任何运算，称为并矢。

和的并矢
记为。

它是二阶张量的一个特例，它有九个分量
若直角坐标系的单位基矢为，则并矢可以写为
写成矩阵形式为
一般说来，。

因此并矢可以作为张量的九个基。

一般张量在这九个基上的分量就是。

通常称标量为零阶张量，称矢量为一阶张量，称并矢为二阶张量，三个矢量的并矢称为三阶张量，以此类推。

2.单位张量，张量称为单位张量，它的三个对角分量为1，其它分量为0。

二、张量的代数运算
1.张量的加法
（1）张量的加法
（2）张量与标量的乘法
2.点乘（邻近原则）
（1）并矢与矢量的点乘
因此并矢与矢量的点乘是一个矢量。

并且一般有
（不满足交换律）
（2）张量和矢量的点乘
（不满足交换律）
（3）两个二阶张量点乘
（不满足交换律）
（4）单位张量和任一矢量的点乘等于该矢量
3张量与矢量的矢量积（叉乘）
（1）并矢与矢量的矢量积
（2）张量与矢量的矢量积
4双点乘（张量的收缩或缩并，二次点乘）
（1）并矢和另一个并矢的双点乘式为
即先把靠近的两个矢量点乘，再把剩下的两个矢量点乘。

（2）两个张量的双点乘
（相当于矩阵相乘再求迹）
（满足交换律）
（下面要用到）
，（张量与单位张量的二次点乘等于该张量的对角元素之和，张量的对角元素之和称为张量的迹）
三.张量分析
1.常见微分公式
2.常见积分变换式。