放缩法技巧全总结(非常精辟是尖子生解决高考数学最后一题之瓶颈之精华)
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解析:由知 即
由此再由的单调性可以知道的最小值为，最大值为
因此对一切，的充要条件是，
即，满足约束条件，
由线性规划得，的最大值为5．
九、均值不等式放缩
例32.设求证
解析: 此数列的通项为
，，
即
注：①应注意把握放缩的"度"：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成则得，就放过"度"了！
②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里
(2)
(3)先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答案
(4)首先,所以容易经过裂项得到
再证而由均值不等式知道这是显然成立的，所以
例3.求证:
解析:一方面:因为,所以
另一方面:
当时,,当时,,
当时,,所以综上有
例4.(20XX年全国一卷) 设函数.数列满足..设，整数.证明:.
解析:由数学归纳法可以证明是递增数列,故存在正整数,使,则
又,所以
例16.(20XX年福州市质检)已知函数若
解析:设函数
∴函数）上单调递增，在上单调递减.
∴的最小值为，即总有
而
即
令则
三、分式放缩
姐妹不等式:和
记忆口诀"小者小,大者大"
解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之.
例19. 姐妹不等式:和
也可以表示成为
和
解析: 利用假分数的一个性质可得
即
例20.证明:
解析:首先求出,∵
∴,∵,,...
,故当时,,
因此，对任何常数A，设是不小于A的最小正整数，
则当时,必有.
故不存在常数A使对所有的正整数恒成立.
例24.(20XX年中学教学参考)设不等式组表示的平面区域为,设内整数坐标点的个数为.设,
当时,求证:.
解析:容易得到,所以,要证只要证,因为
,所以原命题得证.
例12.求证:
解析:,叠加之后就可以得到答案
函数构造形式:(加强命题)
例13.证明:
解析:构造函数,求导,可以得到:
,令有,令有,
所以,所以,令有,
所以,所以
例14. 已知证明.
解析: ,
然后两边取自然对数,可以得到
然后运用和裂项可以得到答案)
放缩思路：
。于是，
即
注：题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论来放缩：
其中，等的各式及其变式公式均可供选用。
例33.已知函数，若，且在[0，1]上的最小值为，求证：
解析:
例34.已知为正数，且，试证：对每一个，.
解析: 由得，又，故，而，
令，则=，因为，倒序相加得=，
而，
则=，所以，即对每一个，.
例35.求证
解析: 不等式左=，
原结论成立.
例36.已知,求证:
解析:
经过倒序相乘,就可以得到
解析: 运用两次次分式放缩:
(加1)
(加2)
相乘,可以得到:
所以有
四、分类放缩
例21.求证:
解析:
例22.(20XX年全国高中数学联赛加试改编) 在平面直角坐标系中, 轴正半轴上的点列与曲线（≥0）上的点列满足，直线在x轴上的截距为.点的横坐标为,.
(1)证明>>4，; (2)证明有，使得对都有<.
,否则若,则由知
,,因为,
于是
例5.已知,求证: .
解析:首先可以证明:
所以要证
只要证:
故只要证,即等价于
,即等价于
而正是成立的,所以原命题成立.
例6.已知,,求证:.
解析:
所以
从而
例7.已知,,求证:
证明: ,因为
,所以
所以
二、函数放缩
例8.求证：.
解析:先构造函数有,从而
因为
所以
例9.求证:(1)
例37.已知,求证:
解析:
其中:,因为
所以
从而,所以.
例38.若,求证:.
解析:
因为当时,,所以,所以,当且仅当时取到等号.
所以
所以所以
例39.已知,求证:.
解析:.
例40.已知函数f(x)=x2－(－1)k·2lnx(k∈N*).k是奇数, n∈N*时,
五、迭代放缩
例25. 已知,求证:当时,
解析:通过迭代的方法得到,然后相加就可以得到结论
例26. 设,求证:对任意的正整数k,若k≥n恒有:|Sn+k－Sn|<
解析:
又 所以
六、借助数列递推关系
例27.求证:
解析: 设则
,从而
,相加后就可以得到
所以
例28. 求证:
解析: 设则
,从而
,相加后就可以得到
解析:(1) 依题设有：，由得：
,又直线在轴上的截距为满足
显然，对于，有
(2)证明：设，则
设，则当时，
。
所以，取，对都有：
故有<成立。
例23.(20XX年泉州市高三质检) 已知函数，若的定义域为[－1，0]，值域也为[－1，0].若数列满足，记数列的前项和为，问是否存在正常数A，使得对于任意正整数都有？并证明你的结论。
例29. 若,求证:
解析:
所以就有
七、分类讨论
例30.已知数列的前项和满足证明：对任意的整数
，有
解析:容易得到,
由于通项中含有，很难直接放缩，考虑分项讨论：
当且为奇数时
（减项放缩），于是
①当且为偶数时
②当且为奇数时（添项放缩）由①知由①②得证。
八、线性规划型放缩
例31. 设函数.若对一切，，求的最大值。
解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案
函数构造形式: ,
例10.求证:
解析:提示:
函数构造形式:
当然本题的证Βιβλιοθήκη Baidu还可以运用积分放缩
如图,取函数,
首先:,从而,
取有,,
所以有,,...,,,相加后可以得到:
另一方面,从而有
取有,,
所以有,所以综上有
例11.求证:和.
解析:构造函数后即可证明
，
即
例15.(20XX年厦门市质检) 已知函数是在上处处可导的函数,若在上恒成立.
(I)求证：函数上是增函数；
(II)当；
(III)已知不等式时恒成立，
求证：
解析:(I),所以函数上是增函数
(II)因为上是增函数,所以
两式相加后可以得到
(3)
......
相加后可以得到:
所以 令,有
所以
(方法二)
所以
放缩法技巧全总结(非常精辟,是尖子生解决高考数学最后一题之瓶颈之精华!!)
2010高考数学备考之放缩技巧
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：
一、裂项放缩
例1.(1)求的值; (2)求证:.
解析:(1)因为,所以
(2)因为,所以
奇巧积累:(1) (2)
(3)
(4)
(5) (6)
(7) (8)
(9)
(10) (11)
(11)
(12)
(13)
(14) (15)
(15)
例2.(1)求证:
(2)求证:
(3)求证:
(4) 求证：
解析:(1)因为,所以
由此再由的单调性可以知道的最小值为，最大值为
因此对一切，的充要条件是，
即，满足约束条件，
由线性规划得，的最大值为5．
九、均值不等式放缩
例32.设求证
解析: 此数列的通项为
，，
即
注：①应注意把握放缩的"度"：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成则得，就放过"度"了！
②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里
(2)
(3)先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答案
(4)首先,所以容易经过裂项得到
再证而由均值不等式知道这是显然成立的，所以
例3.求证:
解析:一方面:因为,所以
另一方面:
当时,,当时,,
当时,,所以综上有
例4.(20XX年全国一卷) 设函数.数列满足..设，整数.证明:.
解析:由数学归纳法可以证明是递增数列,故存在正整数,使,则
又,所以
例16.(20XX年福州市质检)已知函数若
解析:设函数
∴函数）上单调递增，在上单调递减.
∴的最小值为，即总有
而
即
令则
三、分式放缩
姐妹不等式:和
记忆口诀"小者小,大者大"
解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之.
例19. 姐妹不等式:和
也可以表示成为
和
解析: 利用假分数的一个性质可得
即
例20.证明:
解析:首先求出,∵
∴,∵,,...
,故当时,,
因此，对任何常数A，设是不小于A的最小正整数，
则当时,必有.
故不存在常数A使对所有的正整数恒成立.
例24.(20XX年中学教学参考)设不等式组表示的平面区域为,设内整数坐标点的个数为.设,
当时,求证:.
解析:容易得到,所以,要证只要证,因为
,所以原命题得证.
例12.求证:
解析:,叠加之后就可以得到答案
函数构造形式:(加强命题)
例13.证明:
解析:构造函数,求导,可以得到:
,令有,令有,
所以,所以,令有,
所以,所以
例14. 已知证明.
解析: ,
然后两边取自然对数,可以得到
然后运用和裂项可以得到答案)
放缩思路：
。于是，
即
注：题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论来放缩：
其中，等的各式及其变式公式均可供选用。
例33.已知函数，若，且在[0，1]上的最小值为，求证：
解析:
例34.已知为正数，且，试证：对每一个，.
解析: 由得，又，故，而，
令，则=，因为，倒序相加得=，
而，
则=，所以，即对每一个，.
例35.求证
解析: 不等式左=，
原结论成立.
例36.已知,求证:
解析:
经过倒序相乘,就可以得到
解析: 运用两次次分式放缩:
(加1)
(加2)
相乘,可以得到:
所以有
四、分类放缩
例21.求证:
解析:
例22.(20XX年全国高中数学联赛加试改编) 在平面直角坐标系中, 轴正半轴上的点列与曲线（≥0）上的点列满足，直线在x轴上的截距为.点的横坐标为,.
(1)证明>>4，; (2)证明有，使得对都有<.
,否则若,则由知
,,因为,
于是
例5.已知,求证: .
解析:首先可以证明:
所以要证
只要证:
故只要证,即等价于
,即等价于
而正是成立的,所以原命题成立.
例6.已知,,求证:.
解析:
所以
从而
例7.已知,,求证:
证明: ,因为
,所以
所以
二、函数放缩
例8.求证：.
解析:先构造函数有,从而
因为
所以
例9.求证:(1)
例37.已知,求证:
解析:
其中:,因为
所以
从而,所以.
例38.若,求证:.
解析:
因为当时,,所以,所以,当且仅当时取到等号.
所以
所以所以
例39.已知,求证:.
解析:.
例40.已知函数f(x)=x2－(－1)k·2lnx(k∈N*).k是奇数, n∈N*时,
五、迭代放缩
例25. 已知,求证:当时,
解析:通过迭代的方法得到,然后相加就可以得到结论
例26. 设,求证:对任意的正整数k,若k≥n恒有:|Sn+k－Sn|<
解析:
又 所以
六、借助数列递推关系
例27.求证:
解析: 设则
,从而
,相加后就可以得到
所以
例28. 求证:
解析: 设则
,从而
,相加后就可以得到
解析:(1) 依题设有：，由得：
,又直线在轴上的截距为满足
显然，对于，有
(2)证明：设，则
设，则当时，
。
所以，取，对都有：
故有<成立。
例23.(20XX年泉州市高三质检) 已知函数，若的定义域为[－1，0]，值域也为[－1，0].若数列满足，记数列的前项和为，问是否存在正常数A，使得对于任意正整数都有？并证明你的结论。
例29. 若,求证:
解析:
所以就有
七、分类讨论
例30.已知数列的前项和满足证明：对任意的整数
，有
解析:容易得到,
由于通项中含有，很难直接放缩，考虑分项讨论：
当且为奇数时
（减项放缩），于是
①当且为偶数时
②当且为奇数时（添项放缩）由①知由①②得证。
八、线性规划型放缩
例31. 设函数.若对一切，，求的最大值。
解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案
函数构造形式: ,
例10.求证:
解析:提示:
函数构造形式:
当然本题的证Βιβλιοθήκη Baidu还可以运用积分放缩
如图,取函数,
首先:,从而,
取有,,
所以有,,...,,,相加后可以得到:
另一方面,从而有
取有,,
所以有,所以综上有
例11.求证:和.
解析:构造函数后即可证明
，
即
例15.(20XX年厦门市质检) 已知函数是在上处处可导的函数,若在上恒成立.
(I)求证：函数上是增函数；
(II)当；
(III)已知不等式时恒成立，
求证：
解析:(I),所以函数上是增函数
(II)因为上是增函数,所以
两式相加后可以得到
(3)
......
相加后可以得到:
所以 令,有
所以
(方法二)
所以
放缩法技巧全总结(非常精辟,是尖子生解决高考数学最后一题之瓶颈之精华!!)
2010高考数学备考之放缩技巧
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：
一、裂项放缩
例1.(1)求的值; (2)求证:.
解析:(1)因为,所以
(2)因为,所以
奇巧积累:(1) (2)
(3)
(4)
(5) (6)
(7) (8)
(9)
(10) (11)
(11)
(12)
(13)
(14) (15)
(15)
例2.(1)求证:
(2)求证:
(3)求证:
(4) 求证：
解析:(1)因为,所以