人教版 九年级数学上册全册导学案

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第二十一章一元二次方程21.1 一元二次方程(1课时)学习目标:1、会根据具体问题列出一元二次方程,体会方程的模型思想,提高归纳、分析的能力。

2、理解一元二次方程的概念;知道一元二次方程的一般形式;会把一个一元二次方程化为一般形式;会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。

重点:由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。

难点:由实际问题列出一元二次方程。

准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项。

导学流程:自学课本导图,走进一元二次方程分析:现设长方形绿地的宽为x米,则长为米,可列方程x()= ,去括号得①.你知道这是一个什么方程吗?你能求出它的解吗?想一想你以前学过什么方程,它的特点是什么?探究新知【例1】小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形,再折合成一个无盖的长方体盒子,如果要求长方体的底面积为81cm2,那么剪去的正方形的边长是多少?设剪去的正方形的边长为xcm,你能列出满足条件的方程吗?你是如何建立方程模型的?合作交流动手实验一下,并与同桌交流你的做法和想法。

列出的方程是② .自主学习【做一做】根据题意列出方程:1、一个正方形的面积的2倍等于50,这个正方形的边长是多少?2、一个数比另一个数大3,且这两个数之积为这个数,求这个数。

3、一块面积是150cm 2长方形铁片,它的长比宽多5cm,则铁片的长是多少?观察上述三个方程以及①②两个方程的结构特征,类比一元一次方程的定义,自己试着归纳出一元二次方程的定义。

展示反馈【挑战自我】判断下列方程是否为一元二次方程。

【我学会了】1、只含有 个未知数,并且未知数的最高次数是 ,这样的 方程,叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式: ,其中 二次项, 是一次项, 是常数项, 二次项系数 , 一次项系数。

【例2】 将下列一元二次方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。

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(3)抛物线的顶点横坐标是-2,则=.
6、对于二次函数,当x=时,y有最小值.ห้องสมุดไป่ตู้
这两题都在考查顶点横坐标公式。
7、抛物线的开口方向向,顶点坐标是,对称轴是,与x轴的交点坐标是,与y轴的交点坐标是,当x=时,y有最值是.
8、已知二次函数的最小值为1,求m的值.本题考查顶点坐标纵坐标公式。
9、利用配方法,把下列函数写成+k的形式,并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
1、抛物线的开口,对称轴是,顶点坐标是。
2、函数,当x时,函数值y随x的增大而减小.当x时,函数取得最值,最值y=.
3、对于二次函数对称轴,顶点坐标.
4、已知抛物线的顶点在坐标轴上,则的值为
双休日作业出过让学生回忆。
5、(1)二次函数的对称轴是.
(2)二次函数的图象的顶点是,当x时,y随x的增大而减小.
(1)(2)
10、确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标,再描点画图.作图可作草图。
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人教版九年级上册数学全册导学案(52份)-人教版九年级上册数学知识点
环节1
二次函数解析式常用的有三种形式:
(开口方向、大小、对称轴、顶点坐标、增减性、极值)
(1)一般式:_______________ (a≠0)
(2)顶点式:_______________ (a≠0)
对应训练:

最新九年级数学上册全册导学案人教版含答案名师优秀教案

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最新九年级数学上册全册导学案人教版含答案名师优秀教案一、绪论数学是一门抽象而又实用的学科,它在现代社会中扮演着不可或缺的角色。

作为九年级学生,我们即将接触到数学上册的内容,本导学案旨在帮助同学们了解全册的内容安排,为学习做好准备。

二、知识回顾在开始新的学习之前,我们需要回顾一下九年级数学上学期的知识,以便更好地理解新的内容。

1. 整式与分式在九年级上学期,我们学习了整式与分式的基本概念、运算法则以及同类项和合并同类项的方法。

这些概念在本册的学习中会经常出现,建议同学们再次复习并掌握。

2. 一元一次方程与不等式九年级上学期,我们学习了一元一次方程与不等式的解法,包括等式的加减消元法、代入法等,以及不等式的图解法和解集表示法。

这些知识将在本册的学习中得到延伸与应用,需要同学们熟练掌握。

3. 数与式的应用在上学期,我们学习了数与式的应用,包括线性函数与应用、三角形的面积等。

这些内容在本册中也会涉及到,需要同学们掌握并能够灵活运用。

三、本册内容安排本册的内容安排如下:1. 第一章:有理数2. 第二章:代数式3. 第三章:方程与不等式4. 第四章:平面直角坐标系5. 第五章:数与式的应用6. 第六章:平面图形的变换7. 第七章:统计四、学习方法指导为了更好地学习数学,我们需要掌握一些学习方法。

以下是几点指导:1. 独立思考与解决问题数学是一门注重逻辑推理和解决问题的学科,我们要培养独立思考和解决问题的能力。

在学习过程中遇到难题时,可以先独立思考,尝试寻找解决方法,如果仍然困难,可以寻求帮助。

2. 多做习题与总结数学需要不断的练习与巩固,所以请同学们多做习题,并总结出解题的方法和技巧。

对于一些难点和易错点,可以做一些专项练习,以加深理解。

3. 合理时间规划与集中精力数学的学习需要一定的时间和精力,同学们需要合理规划学习时间,并保证学习时的安静与集中。

避免分散注意力,提高学习效果。

五、答案与教案获取本册的答案和教案可以通过多种渠道获取。

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人教版九年级数学导学案全册九年级数学导学案-全册第一章:有理数导学目标:了解有理数的定义,会对有理数进行加减法运算1. 有理数的定义有理数是指可以表示为两个整数比例的数,包括正整数、负整数、零以及可以表示为分数形式的小数。

2. 有理数的表示有理数可以通过分数、小数和负号表示。

例如:32/5,-1.2,-3。

3. 有理数的比较有理数的大小可以通过数轴进行比较,数轴的左边表示负数,右边表示正数。

例如:-5 < -1 < 0 < 2 < 4。

4. 有理数的加法运算有理数的加法运算遵循以下规则:- 两个正数相加,结果为正数;- 两个负数相加,结果为负数;- 正数加负数时,找到两个数的绝对值中较大的数,并用它的符号作为结果的符号。

5. 有理数的减法运算有理数的减法运算可以转化为加法运算,即求减数的相反数后再进行加法运算。

例如:7-3可以转化为7+(-3)。

第二章:代数基础导学目标:掌握代数基础概念,灵活运用代数式进行计算1. 代数式的定义代数式是由数或运算符号组成的表达式,可以包括数字、字母和运算符号。

2. 代数式的计算代数式可以通过代数运算进行计算,其中常用的运算符号包括加减乘除和指数符号。

3. 代数式的展开和因式分解代数式的展开指的是将括号中的内容按照规则进行计算,例如:(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2。

代数式的因式分解指的是将代数式分解成乘积的形式,例如:4x^2 + 12x = 4x(x + 3) 。

4. 代数式的简化代数式可以通过合并同类项进行简化,合并同类项是将相同字母的项合并在一起,例如:2x + 3x = 5x。

第三章:图形的认识导学目标:了解几何图形的基本概念和性质,能够进行图形的分类和判断1. 平面图形的分类平面图形包括点、线段、射线、直线和曲线,可以通过形状和大小进行分类,例如:三角形、四边形、圆等。

2. 几何图形的性质几何图形有不同的性质,例如:矩形的对边相等、正方形的对角线相等。

(整理)人教版九年级数学上册全册导学案

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人教版九年级数学上册全册导学案第22章 二次根式导学案22.1 二次根式(1)一、学习目标1、了解二次根式的概念,能判断一个式子是不是二次根式。

2、掌握二次根式有意义的条件。

3、掌握二次根式的基本性质:)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a二、学习重点、难点重点:二次根式有意义的条件;二次根式的性质. 难点:综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。

三、学习过程(一)复习引入:(1)已知x 2 = a ,那么a 是x 的______; x 是a 的________, 记为______, a 一定是_______数。

(2)4的算术平方根为2,用式子表示为 =__________;正数a 的算术平方根为_______,0的算术平方根为_______;式子)0(0≥≥a a 的意义是 。

(二)提出问题1、式子a 表示什么意义?2、什么叫做二次根式?3、式子)0(0≥≥a a 的意义是什么?4、)0()(2≥=a a a 的意义是什么?5、如何确定一个二次根式有无意义?(三)自主学习自学课本第2页例前的内容,完成下面的问题:1、试一试:判断下列各式,哪些是二次根式?哪些不是?为什么? 43,16-,34)0(3≥a a ,12+x2、计算 : (1) 2)4((2) (3)2)5.0( (4)2)31( 根据计算结果,你能得出结论: ,其中0≥a , )0()(2≥=a a a 的意义是 。

3、当a 为正数时指a 的 ,而0的算术平方根是 ,负数 ,只有非负数a 才有算术平方根。

所以,在二次根式中,字母a 必须满足 ,才有意义。

(三)合作探究 1、学生自学课本第2页例题后,模仿例题的解答过程合作完成练习 : x 取何值时,下列各二次根式有意义?①43-x ③ 2、(1)若有意义,则a 的值为___________.(2)若在实数范围内有意义,则x 为( )。

A.正数B.负数C.非负数D.非正数(四)展示反馈 (学生归纳总结)1.非负数a 的算术平方根a (a ≥0)叫做二次根式.二次根式的概念有两个要点:一是从形式上看,应含有二次根号;二是被开方数的取值范围有限制:被开方数a 必须是非负数。

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人教版九年级数学上册全册导学案近几年,数学被越来越多地视为一门基础性科学研究。

从数学课本内容来看,它主要体现出数学系统的程度、数学分析的深度和微积分的广度,体现出数学的复杂性和解决高等数学问题的能力。

人教版数学上册全册导学案,为学习提供了一系列完善的数学知识结构,为学生提供了数学基本概念、定义、公式、解法和解,以及评价标准等完整的导学案。

人教版九年级数学上册全册导学案以下列内容为主:一、数量1、实数的基本概念及四则运算;2、代数式的四则运算;3、整式的乘法及除法;4、无理数的基本概念及加减法;5、无理数的乘法除法及幂运算;6、统计的基本概念。

二、几何1、几何的基本概念;2、空间几何的基本概念;3、几何图形的分类和性质;4、直角坐标系的基本概念;5、根式的基本概念;6、勾股定理和全等三角形的性质。

三、排列组合1、排列组合的基本概念;2、组合数的基本概念及其运算;3、概率的基本概念及计算。

四、数列1、数列的基本概念;2、等差数列的基本概念及其运算;3、等比数列的基本概念及其运算;4、数列极限的基本概念及运算。

五、不等式1、不等式的基本概念;2、不等式的解法;3、一元二次不等式的解法。

六、函数1、函数的基本概念;2、函数的特征及分析;3、函数及图像的对应解法;4、倒数及指数函数的特征及定义;5、指数函数及对数函数的分析;6、根式及立体函数的函数特征。

以上就是人教版九年级数学上册全册导学案的主要内容,涉及数量几何、排列组合、数列、不等式和函数五大部分,涵盖了九年级数学的基础知识。

九年级数学导学案是对学生九年级数学学习的一次全面考察,它包括九年级数学的主要内容,从而为学生提供了一个全面的学习环境。

人教版九年级数学上册全册导学案的学习有很多不同的技巧。

首先,学生要能够正确理解这些知识点,正确掌握相关概念,定义及公式,并灵活运用它们。

其次,学生应该多做练习,以充分熟悉这些基础的知识点,提高解题速度和解题能力。

优品课件之九年级数学上册全册导学案(人教版含答案)

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九年级数学上册全册导学案(人教版含答案)第二十一章一元二次方程 21.1 一元二次方程 1. 了解一元二次方程的概念,应用一元二次方程概念解决一些简单问题. 2.掌握一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)及有关概念. 3.会进行简单的一元二次方程的试解;理解方程解的概念.重点:一元二次方程的概念及其一般形式;一元二次方程解的探索.难点:由实际问题列出一元二次方程;准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项.一、自学指导.(10分钟) 问题1:如图,有一块矩形铁皮,长100 cm,宽50 cm,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?分析:设切去的正方形的边长为x cm,则盒底的长为__(100-2x)cm__,宽为__(50-2x)cm__.列方程__(100-2x)•(50-2x)=3600__,化简整理,得__x2-75x+350=0__.① 问题2:要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?分析:全部比赛的场数为__4×7=28__.设应邀请x个队参赛,每个队要与其他__(x-1)__个队各赛1场,所以全部比赛共x(x-1)2__场.列方程__x(x-1)2=28__,化简整理,得__x2-x-56=0__.② 探究: (1)方程①②中未知数的个数各是多少?__1个__. (2)它们最高次数分别是几次?__2次__.归纳:方程①②的共同特点是:这些方程的两边都是__整式__,只含有__一个__未知数(一元),并且未知数的最高次数是__2__的方程. 1.一元二次方程的定义等号两边都是__整式__ ,只含有__一__个未知数(一元),并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程,叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式: ax2+bx +c=0(a≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中__ax2__是二次项,__a__是二次项系数,__bx__是一次项,__b__是一次项系数,__c__是常数项.点拨精讲:二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号.二次项系数a≠0是一个重要条件,不能漏掉.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(6分钟) 1.判断下列方程,哪些是一元二次方程? (1)x3-2x2+5=0;(2)x2=1; (3)5x2-2x-14=x2-2x+35;(4)2(x+1)2=3(x+1); (5)x2-2x=x2+1; (6)ax2+bx+c=0. 解:(2)(3)(4).点拨精讲:有些含字母系数的方程,尽管分母中含有字母,但只要分母中不含有未知数,这样的方程仍然是整式方程. 2.将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.解:去括号,得3x2-3x=5x+10.移项,合并同类项,得3x2-8x-10=0.其中二次项系数是3,一次项系数是-8,常数项是-10. 点拨精讲:将一元二次方程化成一般形式时,通常要将首项化负为正,化分为整.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟) 1.求证:关于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0,无论m取何值,该方程都是一元二次方程.证明:m2-8m+17=(m-4)2+1,∵(m-4)2≥0,∴(m-4)2+1>0,即(m-4)2+1≠0. ∴无论m取何值,该方程都是一元二次方程.点拨精讲:要证明无论m取何值,该方程都是一元二次方程,只要证明m2-8m+17≠0即可. 2.下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根?-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4. 解:将上面的这些数代入后,只有-2和-3满足等式,所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根.点拨精讲:要判定一个数是否是方程的根,只要把这个数代入等式,看等式两边是否相等即可.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(9分钟) 1.判断下列方程是否为一元二次方程. (1)1-x2=0; (2)2(x2-1)=3y;(3)2x2-3x-1=0; (4)1x2-2x=0; (5)(x+3)2=(x-3)2; (6)9x2=5-4x. 解:(1)是;(2)不是;(3)是; (4)不是;(5)不是;(6)是. 2.若x=2是方程ax2+4x-5=0的一个根,求a的值.解:∵x=2是方程ax2+4x-5=0的一个根,∴4a+8-5=0,解得a=-34. 3.根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式: (1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x; (2)一个长方形的长比宽多2,面积是100,求长方形的长x. 解:(1)4x2=25,4x2-25=0;(2)x(x-2)=100,x2-2x-100=0. 学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟) 1.一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),特别强调a≠0. 3.要会判断一个数是否是一元二次方程的根.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟) 21.2 解一元二次方程 21.2.1 配方法(1) 1. 使学生会用直接开平方法解一元二次方程. 2. 渗透转化思想,掌握一些转化的技能.重点:运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程;领会降次――转化的数学思想.难点:通过根据平方根的意义解形如x2=n(n≥0)的方程,知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.一、自学指导.(10分钟) 问题1:一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm2,小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗?设正方体的棱长为x dm,则一个正方体的表面积为__6x2__dm2,根据一桶油漆可刷的面积列出方程:__10×6x2=1500__,由此可得__x2=25__,根据平方根的意义,得x=__±5__,即x1=__5__,x2=__-5__.可以验证__5__和-5都是方程的根,但棱长不能为负值,所以正方体的棱长为__5__dm. 探究:对照问题1解方程的过程,你认为应该怎样解方程(2x-1)2=5及方程x2+6x+9=4? 方程(2x-1)2=5左边是一个整式的平方,右边是一个非负数,根据平方根的意义,可将方程变形为__2x-1=±5__,即将方程变为__2x-1=5和__2x-1=-5__两个一元一次方程,从而得到方程(2x-1)2=5的两个解为x1=__1+52,x2=__1-52__.在解上述方程的过程中,实质上是把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程,这样问题就容易解决了.方程x2+6x+9=4的左边是完全平方式,这个方程可以化成(x+__3__)2=4,进行降次,得到 __x+3=±2__ ,方程的根为x1= __-1__,x2=__-5__. 归纳:在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程.如果方程能化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,那么可得x=±p或mx+n=±p. 二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(6分钟) 解下列方程: (1)2y2=8;(2)2(x-8)2=50; (3)(2x-1)2+4=0; (4)4x2-4x+1=0. 解:(1)2y2=8,(2)2(x-8)2=50,y2=4,(x-8)2=25,y=±2,x-8=±5,∴y1=2,y2=-2;x-8=5或x-8=-5,∴x1=13,x2=3; (3)(2x-1)2+4=0,(4)4x2-4x+1=0,(2x-1)2=-4<0,(2x-1)2=0,∴原方程无解;2x-1=0,∴x1=x2=12. 点拨精讲:观察以上各个方程能否化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,若能,则可运用直接开平方法解.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟) 1.用直接开平方法解下列方程: (1)(3x+1)2=7; (2)y2+2y+1=24;(3)9n2-24n+16=11. 解:(1)-1±73;(2)-1±26;(3)4±113. 点拨精讲:运用开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程时,最容易出错的是漏掉负根. 2.已知关于x的方程x2+(a2+1)x-3=0的一个根是1,求a的值.解:±1. 二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(9分钟) 用直接开平方法解下列方程: (1)3(x-1)2-6=0 ; (2)x2-4x+4=5; (3)9x2+6x+1=4; (4)36x2-1=0; (5)4x2=81; (6)(x+5)2=25; (7)x2+2x+1=4. 解:(1)x1=1+2,x2=1-2;(2)x1=2+5,x2=2-5;(3)x1=-1,x2=13;(4)x1=16,x2=-16;(5)x1=92,x2=-92;(6)x1=0,x2=-10;(7)x1=1,x2=-3. 学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟) 1.用直接开平方法解一元二次方程. 2.理解“降次”思想. 3.理解x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)中,为什么p≥0? 学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.1 配方法(2) 1.会用配方法解数字系数的一元二次方程. 2.掌握配方法和推导过程,能使用配方法解一元二次方程.重点:掌握配方法解一元二次方程.难点:把一元二次方程转化为形如(x-a)2=b的过程. (2分钟) 1.填空: (1)x2-8x+__16__=(x-__4__)2; (2)9x2+12x+__4__=(3x+__2__)2; (3)x2+px+__(p2)2__=(x+__p2__)2. 2.若4x2-mx+9是一个完全平方式,那么m的值是__±12__.一、自学指导.(10分钟) 问题1:要使一块矩形场地的长比宽多6 m,并且面积为16 m2,场地的长和宽分别是多少米?设场地的宽为x m,则长为__(x+6)__m,根据矩形面积为16 m2,得到方程__x(x+6)=16__,整理得到__x2+6x-16=0__.探究:怎样解方程x2+6x-16=0? 对比这个方程与前面讨论过的方程x2+6x+9=4,可以发现方程x2+6x+9=4的左边是含有x的完全平方形式,右边是非负数,可以直接降次解方程;而方程x2+6x-16=0不具有上述形式,直接降次有困难,能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗?解:移项,得x2+6x=16,两边都加上__9__即__(62)2__,使左边配成x2+bx+(b2)2的形式,得__x2__+6__x__+9=16+__9__,左边写成平方形式,得 __(x+3)2=25__,开平方,得 __x+3=±5__,(降次) 即 __x+3=5__或__x+3=-5__,解一次方程,得x1=__2__,x2=__-8__.归纳:通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法,叫做配方法;配方的目的是为了降次,把一元二次方程转化为两个一元一次方程.问题2:解下列方程: (1)3x2-1=5;(2)4(x-1)2-9=0; (3)4x2+16x+16=9. 解:(1)x=±2;(2)x1=-12,x2=52;(3)x1=-72,x2=-12. 归纳:利用配方法解方程时应该遵循的步骤: (1)把方程化为一般形式ax2+bx+c=0; (2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边; (3)方程两边同时除以二次项系数a; (4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方; (5)此时方程的左边是一个完全平方式,然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(8分钟) 1.填空: (1)x2+6x+__9__=(x+__3__)2;(2)x2-x+__14__=(x-__12__)2; (3)4x2+4x+__1__=(2x+__1__)2. 2.解下列方程: (1)x2+6x+5=0; (2)2x2+6x+2=0;(3)(1+x)2+2(1+x)-4=0. 解:(1)移项,得x2+6x=-5,配方得x2+6x+32=-5+32,(x+3)2=4,由此可得x+3=±2,即x1=-1,x2=-5. (2)移项,得2x2+6x=-2,二次项系数化为1,得x2+3x=-1,配方得x2+3x+(32)2=(x+32)2=54,由此可得x+32=±52,即x1=52-32, x2=-52-32. (3)去括号,整理得x2+4x-1=0,移项得x2+4x=1,配方得(x+2)2=5,x+2=±5,即x1=5-2,x2=-5-2. 点拨精讲:解这些方程可以用配方法来完成,即配一个含有x的完全平方式.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(5分钟) 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8 m,CB=6 m,点P,Q同时由A,B两点出发分别沿AC,BC方向向点C匀速移动,它们的速度都是1 m/s,几秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半?解:设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半.根据题意可列方程: 12(8-x)(6-x)=12×12×8×6,即x2-14x+24=0, (x-7)2=25, x-7=±5,∴x1=12,x2=2, x1=12,x2=2都是原方程的根,但x1=12不合题意,舍去.答:2秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半.点拨精讲:设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC 面积的一半,△PCQ也是直角三角形.根据已知条件列出等式.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(8分钟) 1.用配方法解下列关于x的方程: (1)2x2-4x-8=0;(2)x2-4x+2=0; (3)x2-12x-1=0 ; (4)2x2+2=5.解:(1)x1=1+5,x2=1-5; (2)x1=2+2,x2=2-2; (3)x1=14+174,x2=14-174; (4)x1=62,x2=-62. 2.如果x2-4x+y2+6y+z+2+13=0,求(xy)z的值.解:由已知方程得x2-4x+4+y2+6y+9+z+2=0,即(x-2)2+(y+3)2+z+2=0,∴x=2,y=-3,z=-2. ∴(xy)z=[2×(-3)]-2=136. 学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟) 1.用配方法解一元二次方程的步骤. 2.用配方法解一元二次方程的注意事项.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.2 公式法 1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念. 2. 会熟练应用公式法解一元二次方程.重点:求根公式的推导和公式法的应用.难点:一元二次方程求根公式的推导. (2分钟) 用配方法解方程: (1)x2+3x+2=0;(2)2x2-3x+5=0. 解:(1)x1=-2,x2=-1;(2)无解.一、自学指导.(8分钟) 问题:如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根?问题:已知ax2+bx+c=0(a≠0),试推导它的两个根x1=-b+b2-4ac2a,x2=-b-b2-4ac2a. 分析:因为前面具体数字已做得很多,现在不妨把a,b,c也当成一个具体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去.探究:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a,b,c而定,因此: (1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b2-4ac≥0时,将a,b,c代入式子x=-b±b2-4ac2a就得到方程的根,当b2-4ac<0时,方程没有实数根. (2)x=-b±b2-4ac2a叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式. (3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法. (4)由求根公式可知,一元二次方程最多有__2个实数根,也可能有__1__个实根或者__没有__实根. (5)一般地,式子b2-4ac 叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用希腊字母Δ表示,即Δ=b2-4ac. 二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟) 用公式法解下列方程,根据方程根的情况你有什么结论? (1)2x2-3x=0;(2)3x2-23x+1=0;(3)4x2+x+1=0. 解:(1)x1=0,x2=32;有两个不相等的实数根;(2)x1=x2=33;有两个相等的实数根;(3)无实数根.点拨精讲:Δ>0时,有两个不相等的实数根;Δ=0时,有两个相等的实数根;Δ<0时,没有实数根.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟) 1.方程x2-4x+4=0的根的情况是( B ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.有一个实数根 D.没有实数根 2.当m为何值时,方程(m+1)x2-(2m-3)x+m+1=0, (1)有两个不相等的实数根? (2)有两个相等的实数根? (3)没有实数根?解:(1)m<14;(2)m=14;(3)m >14. 3. 已知x2+2x=m-1没有实数根,求证:x2+mx=1-2m必有两个不相等的实数根. 证明:∵x2+2x-m+1=0没有实数根,∴4-4(1-m)<0,∴m<0. 对于方程x2+mx=1-2m,即x2+mx+2m-1=0,Δ=m2-8m+4,∵m<0,∴Δ>0,∴x2+mx=1-2m必有两个不相等的实数根.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(10分钟) 1.利用判别式判定下列方程的根的情况: (1)2x2-3x-32=0; (2)16x2-24x+9=0; (3)x2-42x+9=0 ; (4)3x2+10x=2x2+8x. 解:(1)有两个不相等的实数根;(2)有两个相等的实数根;(3)无实数根;(4)有两个不相等的实数根. 2.用公式法解下列方程:(1)x2+x-12=0 ; (2)x2-2x-14=0; (3)x2+4x+8=2x+11;(4)x(x-4)=2-8x; (5)x2+2x=0 ; (6)x2+25x+10=0. 解:(1)x1=3,x2=-4;(2)x1=2+32,x2=2-32;(3)x1=1,x2=-3;(4)x1=-2+6,x2=-2-6;(5)x1=0,x2=-2;(6)无实数根.点拨精讲:(1)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数a,b,c确定的; (2)在解一元二次方程时,可先把方程化为一般形式,然后在b2-4ac≥0的前提下,把a,b,c的值代入x=-b±b2-4ac2a(b2-4ac≥0)中,可求得方程的两个根; (3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟) 1.求根公式的推导过程. 2.用公式法解一元二次方程的一般步骤:先确定a,b,c的值,再算出b2-4ac的值、最后代入求根公式求解. 3.用判别式判定一元二次方程根的情况.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟) 21.2.3 因式分解法 1. 会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程. 2. 能根据具体的一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法,体会解决问题方法的多样性.重点:用因式分解法解一元二次方程.难点:理解因式分解法解一元二次方程的基本思想. (2分钟) 将下列各题因式分解: (1)am +bm+cm=(__a+b+c__)m; (2)a2-b2=__(a+b)(a-b)__;(3)a2±2ab+b2=__(a±b)2__.一、自学指导.(8分钟) 问题:根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛,那么经过x s物体离地的高度(单位:m)为10x-4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗?(精确到0.01s) 设物体经过x s落回地面,这时它离地面的高度为0,即10x-4.9x2=0,① 思考:除配方法或公式法以外,能否找到更简单的方法解方程①?分析:方程①的右边为0,左边可以因式分解得: x(10-4.9x)=0,于是得x=0或10-4.9x=0,② ∴x1=__0__,x2≈2.04.上述解中,x2≈2.04表示物体约在2.04 s时落回地面,而x1=0表示物体被上抛离开地面的时刻,即0 s时物体被抛出,此刻物体的高度是0 m. 点拨精讲: (1)对于一元二次方程,先将方程右边化为0,然后对方程左边进行因式分解,使方程化为两个一次式的乘积的形式,再使这两个一次因式分别等于零,从而实现降次,这种解法叫做因式分解法. (2)如果a•b=0,那么a=0或b=0,这是因式分解法的根据.如:如果(x+1)(x-1)=0,那么__x+1=0或__x-1=0__,即__x=-1__或__x=1.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟) 1.说出下列方程的根: (1)x(x-8)=0;(2)(3x+1)(2x-5)=0. 解:(1)x1=0,x2=8;(2)x1=-13,x2=52. 2.用因式分解法解下列方程: (1)x2-4x=0; (2)4x2-49=0; (3)5x2-20x+20=0. 解:(1)x1=0,x2=4; (2)x1=72,x2=-72; (3)x1=x2=2. 一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟) 1.用因式分解法解下列方程: (1)5x2-4x=0;(2)3x(2x+1)=4x+2; (3)(x +5)2=3x+15. 解:(1)x1=0,x2=45; (2)x1=23,x2=-12;(3)x1=-5,x2=-2. 点拨精讲:用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0,另一边可以分解因式. 2.用因式分解法解下列方程: (1)4x2-144=0; (2)(2x-1)2=(3-x)2; (3)5x2-2x-14=x2-2x+34; (4)3x2-12x=-12. 解:(1)x1=6,x2=-6; (2)x1=43,x2=-2; (3)x1=12,x2=-12; (4)x1=x2=2. 点拨精讲:注意本例中的方程可以试用多种方法.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(10分钟) 1.用因式分解法解下列方程: (1)x2+x=0; (2)x2-23x=0;(3)3x2-6x=-3; (4)4x2-121=0; (5)(x-4)2=(5-2x)2. 解:(1)x1=0,x2=-1; (2)x1=0,x2=23; (3)x1=x2=1; (4)x1=112,x2=-112; (5)x1=3,x2=1. 点拨精讲:因式分解法解一元二次方程的一般步骤: (1)将方程右边化为__0__; (2)将方程左边分解成两个一次式的__乘积__; (3)令每个因式分别为__0__,得到两个一元一次方程; (4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解. 2.把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.解:设小圆形场地的半径为x m. 则可列方程2πx2=π(x+5)2. 解得x1=5+52,x2=5-52(舍去).答:小圆形场地的半径为(5+52) m. 学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟) 1.用因式分解法解方程的根据由ab=0得 a =0或b=0,即“二次降为一次”. 2.正确的因式分解是解题的关键.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 1. 理解并掌握根与系数的关系:x1+x2=-ba,x1x2=ca. 2. 会用根的判别式及根与系数的关系解题.重点:一元二次方程的根与系数的关系及运用.难点:一元二次方程的根与系数的关系及运用.一、自学指导.(10分钟) 自学1:完成下表:方程 x1 x2 x1+x2 x1x2 x2-5x+6=0 2 3 5 6 x2+3x-10=0 2 -5 -3 -10 问题:你发现什么规律?①用语言叙述你发现的规律;答:两根之和为一次项系数的相反数;两根之积为常数项.②x2+px+q=0的两根x1,x2用式子表示你发现的规律. 答:x1+x2=-p,x1x2=q. 自学2:完成下表:方程 x1 x2 x1+x2 x1x2 2x2-3x-2=0 2 -12 32 -1 3x2-4x+1=0 13 1 43 13问题:上面发现的结论在这里成立吗?(不成立) 请完善规律:①用语言叙述发现的规律;答:两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数,两根之积为常数项与二次项系数之比.②ax2+bx+c=0的两根x1,x2用式子表示你发现的规律.答:x1+x2=-ba,x1x2=ca. 自学3:利用求根公式推导根与系数的关系.(韦达定理) ax2+bx+c=0的两根x1=__-b+b2-4ac2a__,x2=__-b-b2-4ac2a__. x1+x2=-ba,x1x2=ca. 二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟) 根据一元二次方程的根与系数的关系,求下列方程的两根之和与两根之积. (1)x2-3x-1=0 ;(2)2x2+3x-5=0; (3)13x2-2x=0. 解:(1)x1+x2=3,x1x2=-1; (2)x1+x2=-32,x1x2=-52; (3)x1+x2=6,x1x2=0. 一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(10分钟) 1.不解方程,求下列方程的两根之和与两根之积. (1)x2-6x-15=0; (2)3x2+7x-9=0; (3)5x-1=4x2. 解:(1)x1+x2=6,x1x2=-15; (2)x1+x2=-73,x1x2=-3; (3)x1+x2=54,x1x2=14. 点拨精讲:先将方程化为一般形式,找对a,b,c. 2.已知方程2x2+kx-9=0的一个根是-3,求另一根及k的值.解:另一根为32,k=3. 点拨精讲:本题有两种解法,一种是根据根的定义,将x=-3代入方程先求k,再求另一个根;一种是利用根与系数的关系解答. 3.已知α,β是方程x2-3x-5=0的两根,不解方程,求下列代数式的值. (1)1α+1β;(2)α2+β2;(3)α-β. 解:(1)-35;(2)19;(3)29或-29. 二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(8分钟) 1.不解方程,求下列方程的两根和与两根积: (1)x2-3x=15; (2)5x2-1=4x2; (3)x2-3x+2=10; (4)4x2-144=0. 解:(1)x1+x2=3,x1x2=-15; (2)x1+x2=0,x1x2=-1; (3)x1+x2=3,x1x2=-8; (4)x1+x2=0,x1x2=-36. 2.两根均为负数的一元二次方程是( C ) A.7x2-12x+5=0 B.6x2-13x-5=0 C.4x2+21x+5=0 D.x2+15x-8=0 点拨精讲:两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数,两根之积为正数.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟) 不解方程,根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合,可求得一些代数式的值;求得方程的另一根和方程中的待定系数的值. 1.先化成一般形式,再确定a,b,c. 2.当且仅当b2-4ac≥0时,才能应用根与系数的关系. 3.要注意比的符号:x1+x2=-ba(比前面有负号),x1x2=ca(比前面没有负号).学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟) 21.3 实际问题与一元二次方程(1) 1.会根据具体问题(按一定传播速度传播的问题、数字问题等)中的数量关系列一元二次方程并求解. 2.能根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理. 3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.重点:列一元二次方程解决实际问题.难点:找出实际问题中的等量关系.一、自学指导.(12分钟) 问题1:有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?分析:①设每轮传染中平均一个人传染了x个人,那么患流感的这一个人在第一轮中传染了__x__人,第一轮后共有__(x+1)__人患了流感;②第二轮传染中,这些人中的每个人又传染了__x__人,第二轮后共有__(x+1)(x+1)__人患了流感.则列方程: __(x+1)2=121__,解得__x=10或x=-12(舍)__,即平均一个人传染了__10__个人.再思考:如果按照这样的传染速度,三轮后有多少人患流感?问题2:一个两位数,它的两个数字之和为6,把这两个数字交换位置后所得的两位数与原两位数的积是1008,求原来的两位数.分析:设原来的两位数的个位数字为__x__,则十位数字为__(6-x)__,则原两位数为__10(6-x)+x,新两位数为__10x+(6-x)__.依题意可列方程:[10(6-x)+x][10x+(6-x)]=1008__,解得 x1=__2__,x2=__4__,∴原来的两位数为24或42. 二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟) 某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念,全班共送了2550张相片,如果全班有x名学生,根据题意,列出方程为( ) A.x(x+1)=2550 B.x(x-1)=2550 C.2x(x+1)=2550 D.x(x-1)=2550×2 分析:由题意,每一个同学都将向全班其他同学各送一张相片,则每人送出(x-1)张相片,全班共送出x(x-1)张相片,可列方程为x(x-1)=2550. 故选B. 一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟) 1.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91,求每个支干长出多少小分支?解:设每个支干长出x个小分支,则有1+x+x2=91,即x2+x-90=0,解得x1=9,x2=-10(舍去),故每个支干长出9个小分支.点拨精讲:本例与传染问题的区别. 2.一个两位数,个位上的数字比十位上的数字小4,且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4,设个位数字为x,则列方程为:__x2+(x+4)2=10(x+4)+x-4__.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(7分钟) 1.两个正数的差是2,它们的平方和是52,则这两个数是( C ) A.2和4 B.6和8 C.4和6 D.8和10 2.教材P21第2题、第3题学生总结本堂课的收获与困惑.(3分钟) 1.列一元二次方程解应用题的一般步骤:(1)“审”:即审题,读懂题意弄清题中的已知量和未知量;(2)“设”:即设__未知数__,设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种;(3)“列”:即根据题中__等量__关系列方程;(4)“解”:即求出所列方程的__根__;(5)“检验”:即验证根是否符合题意;(6)“答”:即回答题目中要解决的问题. 2. 对于数字问题应注意数字的位置.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.3 实际问题与一元二次方程(2) 1. 会根据具体问题(增长率、降低率问题和利润率问题)中的数量关系列一元二次方程并求解. 2.能根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理. 3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.重点:如何解决增长率与降低率问题.难点:理解增长率与降低率问题的公式a(1±x)n=b,其中a是原有量,x为增长(或降低)率,n为增长(或降低)的次数,b 为增长(或降低)后的量.一、自学指导.(10分钟) 自学:两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元,哪种药品成本的年平均下降率较大?(精确到0.01) 绝对量:甲种药品成本的年平均下降额为(5000-3000)÷2=1000(元),乙种药品成本的年平均下降额为(6000-3600)÷2=1200(元),显然,乙种药品成本的年平均下降额较大.相对量:从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?下面我们通过计算来说明这个问题.分析:①设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为__5000(1-x)__元,两年后甲种药品成本为__5000(1-x)2__元.依题意,得__5000(1-x)2=3000__.解得__x1≈0.23,x2≈1.77__.根据实际意义,甲种药品成本的年平均下降率约为__0.23__.②设乙种药品成本的年平均下降率为y.则,列方程:__6000(1-y)2=3600__.解得__y1≈0.23,y2≈1.77(舍)__.答:两种药品成本的年平均下降率__相同__.点拨精讲:经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(8分钟) 某商店10月份的营业额为5000元,12月份上升到7200元,平均每月增长百分率是多少?【分析】如果设平均每月增长的百分率为x,则 11月份的营业额为__5000(1+x)__元, 12月份的营业额为__5000(1+x)(1+x)__元,即__5000(1+x)2__元.由此就可列方程:__5000(1+x)2=7200__.点拨精讲:此例是增长率问题,如题目无特别说明,一般都指平均增长率,增长率是增长数与基准数的比.增长率=增长数∶基准数设基准数为a,增长率为x,则一月(或一年)后产量为a(1+x);二月(或二年)后产量为a(1+x)2; n月(或n年)后产量为a(1+x)n;如果已知n月(n年)后产量为M,则有下面等式:M=a(1+x)n. 解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟) 某人将2000元人民币按一年定期存入银行,到期后支取1000元用于购物,剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行,若存款的利率不变,到期后本金和利息共1320元,求这种存款方式的年利率.(利息税20%) 分析:设这种存款方式的年利率为x,第一次存2000元取1000元,剩下的本金和利息是1000+2000x•80%;第二次存,本金就变为1000+2000x•80%,其他依此类推.解:设这种存款方式的年利率为x,则1000+2000x•80%+(1000+2000x•80%)x•80%=1320,整理,得1280x2+800x+1600x=320,即8x2+15x-2=0,解得x1=-2(不符,舍去),x2=0.125=12.5%. 答:所求的年利率是12.5%. 二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(6分钟) 青山村种的水稻2011年平均每公顷产7200 kg,2013年平均每公顷产8460 kg,求水稻每公顷产量的年平均增长率.解:设年平均增长率为x,则有7200(1+x)2=8460,解得x1=0.08,x2=-2.08(舍).即年平均增长率为8%. 答:水稻每公顷产量的年平均增长率为8%. 点拨精讲:传播或传染以及增长率问题的方程适合用直接开平方法来解.学生总结本堂课的收获与困惑.(3分钟) 1. 列一元二次方程解应用题的步骤:审、设、找、列、解、答.最后要检验根是否符合实际意义. 2. 若平均增长(降低)率为x,增长(或降低)前的基数是a,增长(或降低)n 次后的量是b,则有:a(1±x)n=b(常见n=2).学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟) 21.3 实际问题与一元二次方程。

最新人教版九年级数学上册全册导学案(含答案)

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第二十一章 一元二次方程 21.1 一元二次方程1. 了解一元二次方程的概念,应用一元二次方程概念解决一些简单问题. 2.掌握一元二次方程的一般形式ax 2+bx +c =0(a ≠0)及有关概念. 3.会进行简单的一元二次方程的试解;理解方程解的概念.重点:一元二次方程的概念及其一般形式;一元二次方程解的探索.难点:由实际问题列出一元二次方程;准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项.一、自学指导.(10分钟) 问题1:如图,有一块矩形铁皮,长100 cm ,宽50 cm ,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm 2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?分析:设切去的正方形的边长为x cm ,则盒底的长为__(100-2x)cm __,宽为__(50-2x)cm __.列方程__(100-2x)·(50-2x)=3600__,化简整理,得__x 2-75x +350=0__.①问题2:要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?分析:全部比赛的场数为__4×7=28__.设应邀请x 个队参赛,每个队要与其他__(x -1)__个队各赛1场,所以全部比赛共x (x -1)2__场.列方程__x (x -1)2=28__,化简整理,得__x 2-x -56=0__.② 探究:(1)方程①②中未知数的个数各是多少?__1个__. (2)它们最高次数分别是几次?__2次__.归纳:方程①②的共同特点是:这些方程的两边都是__整式__,只含有__一个__未知数(一元),并且未知数的最高次数是__2__的方程.1.一元二次方程的定义等号两边都是__整式__ ,只含有__一__个未知数(一元),并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程,叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式:ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中__ax2__是二次项,__a__是二次项系数,__bx__是一次项,__b__是一次项系数,__c__是常数项.点拨精讲:二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号.二次项系数a≠0是一个重要条件,不能漏掉.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(6分钟)1.判断下列方程,哪些是一元二次方程?(1)x3-2x2+5=0;(2)x2=1;(3)5x2-2x-14=x2-2x+35;(4)2(x+1)2=3(x+1);(5)x2-2x=x2+1; (6)ax2+bx+c=0.解:(2)(3)(4).点拨精讲:有些含字母系数的方程,尽管分母中含有字母,但只要分母中不含有未知数,这样的方程仍然是整式方程.2.将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.解:去括号,得3x2-3x=5x+10.移项,合并同类项,得3x2-8x-10=0.其中二次项系数是3,一次项系数是-8,常数项是-10.点拨精讲:将一元二次方程化成一般形式时,通常要将首项化负为正,化分为整.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.求证:关于x 的方程(m 2-8m +17)x 2+2mx +1=0,无论m 取何值,该方程都是一元二次方程.证明:m 2-8m +17=(m -4)2+1, ∵(m -4)2≥0,∴(m -4)2+1>0,即(m -4)2+1≠0.∴无论m 取何值,该方程都是一元二次方程.点拨精讲:要证明无论m 取何值,该方程都是一元二次方程,只要证明m 2-8m +17≠0即可.2.下面哪些数是方程2x 2+10x +12=0的根? -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.解:将上面的这些数代入后,只有-2和-3满足等式,所以x =-2或x =-3是一元二次方程2x 2+10x +12=0的两根.点拨精讲:要判定一个数是否是方程的根,只要把这个数代入等式,看等式两边是否相等即可.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(9分钟) 1.判断下列方程是否为一元二次方程. (1)1-x 2=0; (2)2(x 2-1)=3y ; (3)2x 2-3x -1=0; (4)1x 2-2x =0;(5)(x +3)2=(x -3)2; (6)9x 2=5-4x. 解:(1)是;(2)不是;(3)是; (4)不是;(5)不是;(6)是.2.若x =2是方程ax 2+4x -5=0的一个根,求a 的值. 解:∵x =2是方程ax 2+4x -5=0的一个根, ∴4a +8-5=0, 解得a =-34.3.根据下列问题,列出关于x 的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式: (1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x ; (2)一个长方形的长比宽多2,面积是100,求长方形的长x. 解:(1)4x 2=25,4x 2-25=0;(2)x(x -2)=100,x 2-2x -100=0.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),特别强调a≠0.3.要会判断一个数是否是一元二次方程的根.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2解一元二次方程21.2.1配方法(1)1. 使学生会用直接开平方法解一元二次方程.2. 渗透转化思想,掌握一些转化的技能.重点:运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程;领会降次——转化的数学思想.难点:通过根据平方根的意义解形如x2=n(n≥0)的方程,知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.一、自学指导.(10分钟)问题1:一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm2,小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗?设正方体的棱长为x dm,则一个正方体的表面积为__6x2__dm2,根据一桶油漆可刷的面积列出方程:__10×6x2=1500__,由此可得__x2=25__,根据平方根的意义,得x=__±5__,即x1=__5__,x2=__-5__.可以验证__5__和-5都是方程的根,但棱长不能为负值,所以正方体的棱长为__5__dm.探究:对照问题1解方程的过程,你认为应该怎样解方程(2x-1)2=5及方程x2+6x+9=4?方程(2x-1)2=5左边是一个整式的平方,右边是一个非负数,根据平方根的意义,可将方程变形为__2x-1=±5__,即将方程变为__2x-1=5和__2x-1=-5__两个一元一次方程,从而得到方程(2x-1)2=5的两个解为x1=__1+52,x2=__1-52__.在解上述方程的过程中,实质上是把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程,这样问题就容易解决了.方程x2+6x+9=4的左边是完全平方式,这个方程可以化成(x+__3__)2=4,进行降次,得到__x+3=±2__ ,方程的根为x1=__-1__,x2=__-5__.归纳:在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程.如果方程能化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,那么可得x=±p或mx+n=±p.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(6分钟)解下列方程:(1)2y2=8;(2)2(x-8)2=50;(3)(2x-1)2+4=0; (4)4x2-4x+1=0.解:(1)2y2=8,(2)2(x-8)2=50,y2=4,(x-8)2=25,y=±2,x-8=±5,∴y1=2,y2=-2;x-8=5或x-8=-5,∴x1=13,x2=3;(3)(2x-1)2+4=0,(4)4x2-4x+1=0,(2x-1)2=-4<0,(2x-1)2=0,∴原方程无解;2x-1=0,∴x1=x2=1 2.点拨精讲:观察以上各个方程能否化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,若能,则可运用直接开平方法解.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.用直接开平方法解下列方程:(1)(3x+1)2=7; (2)y2+2y+1=24;(3)9n2-24n+16=11.解:(1)-1±73;(2)-1±26;(3)4±113.点拨精讲:运用开平方法解形如(mx +n)2=p(p ≥0)的方程时,最容易出错的是漏掉负根.2.已知关于x 的方程x 2+(a 2+1)x -3=0的一个根是1,求a 的值. 解:±1.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(9分钟) 用直接开平方法解下列方程:(1)3(x -1)2-6=0 ; (2)x 2-4x +4=5; (3)9x 2+6x +1=4; (4)36x 2-1=0; (5)4x 2=81; (6)(x +5)2=25; (7)x 2+2x +1=4.解:(1)x 1=1+2,x 2=1-2; (2)x 1=2+5,x 2=2-5; (3)x 1=-1,x 2=13;(4)x 1=16,x 2=-16;(5)x 1=92,x 2=-92;(6)x 1=0,x 2=-10; (7)x 1=1,x 2=-3.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.用直接开平方法解一元二次方程. 2.理解“降次”思想.3.理解x 2=p(p ≥0)或(mx +n)2=p(p ≥0)中,为什么p ≥0?学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.1 配方法(2)1.会用配方法解数字系数的一元二次方程.2.掌握配方法和推导过程,能使用配方法解一元二次方程.重点:掌握配方法解一元二次方程.难点:把一元二次方程转化为形如(x -a)2=b 的过程.(2分钟)1.填空:(1)x 2-8x +__16__=(x -__4__)2; (2)9x 2+12x +__4__=(3x +__2__)2; (3)x 2+px +__(p 2)2__=(x +__p2__)2.2.若4x 2-mx +9是一个完全平方式,那么m 的值是__±12__.一、自学指导.(10分钟)问题1:要使一块矩形场地的长比宽多6 m ,并且面积为16 m 2,场地的长和宽分别是多少米?设场地的宽为x m ,则长为__(x +6)__m ,根据矩形面积为16 m 2,得到方程__x(x +6)=16__,整理得到__x 2+6x -16=0__.探究:怎样解方程x 2+6x -16=0?对比这个方程与前面讨论过的方程x 2+6x +9=4,可以发现方程x 2+6x +9=4的左边是含有x 的完全平方形式,右边是非负数,可以直接降次解方程;而方程x 2+6x -16=0不具有上述形式,直接降次有困难,能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗?解:移项,得x 2+6x =16,两边都加上__9__即__(62)2__,使左边配成x 2+bx +(b2)2的形式,得__x 2__+6__x__+9=16+__9__,左边写成平方形式,得__(x +3)2=25__,开平方,得__x +3=±5__, (降次)即 __x +3=5__或__x +3=-5__, 解一次方程,得x 1=__2__,x 2=__-8__.归纳:通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法,叫做配方法;配方的目的是为了降次,把一元二次方程转化为两个一元一次方程.问题2:解下列方程:(1)3x 2-1=5; (2)4(x -1)2-9=0; (3)4x 2+16x +16=9.解:(1)x =±2;(2)x 1=-12,x 2=52;(3)x 1=-72,x 2=-12.归纳:利用配方法解方程时应该遵循的步骤: (1)把方程化为一般形式ax 2+bx +c =0; (2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边; (3)方程两边同时除以二次项系数a ;(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方;(5)此时方程的左边是一个完全平方式,然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(8分钟) 1.填空:(1)x 2+6x +__9__=(x +__3__)2; (2)x 2-x +__14__=(x -__12__)2;(3)4x 2+4x +__1__=(2x +__1__)2. 2.解下列方程:(1)x 2+6x +5=0; (2)2x 2+6x +2=0; (3)(1+x)2+2(1+x)-4=0. 解:(1)移项,得x 2+6x =-5,配方得x 2+6x +32=-5+32,(x +3)2=4, 由此可得x +3=±2,即x 1=-1,x 2=-5. (2)移项,得2x 2+6x =-2,二次项系数化为1,得x 2+3x =-1, 配方得x 2+3x +(32)2=(x +32)2=54,由此可得x +32=±52,即x 1=52-32,x2=-52-32.(3)去括号,整理得x2+4x-1=0,移项得x2+4x=1,配方得(x+2)2=5,x+2=±5,即x1=5-2,x2=-5-2.点拨精讲:解这些方程可以用配方法来完成,即配一个含有x的完全平方式.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(5分钟)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8 m,CB=6 m,点P,Q同时由A,B两点出发分别沿AC,BC方向向点C匀速移动,它们的速度都是1 m/s,几秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半?解:设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半.根据题意可列方程:12(8-x)(6-x)=12×12×8×6,即x2-14x+24=0,(x-7)2=25,x-7=±5,∴x1=12,x2=2,x1=12,x2=2都是原方程的根,但x1=12不合题意,舍去.答:2秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半.点拨精讲:设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半,△PCQ也是直角三角形.根据已知条件列出等式.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(8分钟)1.用配方法解下列关于x的方程:(1)2x2-4x-8=0;(2)x2-4x+2=0;(3)x2-12x-1=0 ; (4)2x2+2=5.解:(1)x1=1+5,x2=1-5;(2)x1=2+2,x2=2-2;(3)x1=14+174,x2=14-174;(4)x1=62,x2=-62.2.如果x2-4x+y2+6y+z+2+13=0,求(xy)z的值.解:由已知方程得x2-4x+4+y2+6y+9+z+2=0,即(x-2)2+(y+3)2+z+2=0,∴x=2,y=-3,z=-2.∴(xy)z=[2×(-3)]-2=1 36.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.用配方法解一元二次方程的步骤.2.用配方法解一元二次方程的注意事项.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.2公式法1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念.2. 会熟练应用公式法解一元二次方程.重点:求根公式的推导和公式法的应用.难点:一元二次方程求根公式的推导.(2分钟)用配方法解方程:(1)x2+3x+2=0;(2)2x2-3x+5=0.解:(1)x1=-2,x2=-1;(2)无解.一、自学指导.(8分钟)问题:如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx +c =0(a ≠0),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根?问题:已知ax 2+bx +c =0(a ≠0),试推导它的两个根x 1=-b +b 2-4ac2a,x 2=-b -b 2-4ac2a.分析:因为前面具体数字已做得很多,现在不妨把a ,b ,c 也当成一个具体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去.探究:一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根由方程的系数a ,b ,c 而定,因此: (1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax 2+bx +c =0,当b 2-4ac ≥0时,将a ,b ,c 代入式子x =-b±b 2-4ac2a 就得到方程的根,当b 2-4ac <0时,方程没有实数根.(2)x =-b±b 2-4ac 2a 叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的求根公式.(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.(4)由求根公式可知,一元二次方程最多有__2个实数根,也可能有__1__个实根或者__没有__实根.(5)一般地,式子b 2-4ac 叫做方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的判别式,通常用希腊字母Δ表示,即Δ=b 2-4ac.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟) 用公式法解下列方程,根据方程根的情况你有什么结论? (1)2x 2-3x =0; (2)3x 2-23x +1=0; (3)4x 2+x +1=0.解:(1)x 1=0,x 2=32;有两个不相等的实数根;(2)x 1=x 2=33;有两个相等的实数根; (3)无实数根.点拨精讲:Δ>0时,有两个不相等的实数根;Δ=0时,有两个相等的实数根;Δ<0时,没有实数根.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.方程x2-4x+4=0的根的情况是(B)A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有一个实数根D.没有实数根2.当m为何值时,方程(m+1)x2-(2m-3)x+m+1=0,(1)有两个不相等的实数根?(2)有两个相等的实数根?(3)没有实数根?解:(1)m<14;(2)m=14;(3)m >14.3. 已知x2+2x=m-1没有实数根,求证:x2+mx=1-2m必有两个不相等的实数根. 证明:∵x2+2x-m+1=0没有实数根,∴4-4(1-m)<0,∴m<0.对于方程x2+mx=1-2m,即x2+mx+2m-1=0,Δ=m2-8m+4,∵m<0,∴Δ>0,∴x2+mx=1-2m必有两个不相等的实数根.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(10分钟) 1.利用判别式判定下列方程的根的情况:(1)2x2-3x-32=0; (2)16x2-24x+9=0;(3)x2-42x+9=0 ; (4)3x2+10x=2x2+8x. 解:(1)有两个不相等的实数根;(2)有两个相等的实数根;(3)无实数根;(4)有两个不相等的实数根.2.用公式法解下列方程:(1)x2+x-12=0 ; (2)x2-2x-14=0;(3)x2+4x+8=2x+11; (4)x(x-4)=2-8x;(5)x2+2x=0 ; (6)x2+25x+10=0.解:(1)x 1=3,x 2=-4; (2)x 1=2+32,x 2=2-32; (3)x 1=1,x 2=-3;(4)x 1=-2+6,x 2=-2-6; (5)x 1=0,x 2=-2; (6)无实数根.点拨精讲:(1)一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根是由一元二次方程的系数a ,b ,c 确定的;(2)在解一元二次方程时,可先把方程化为一般形式,然后在b 2-4ac ≥0的前提下,把a ,b ,c 的值代入x =-b±b 2-4ac 2a(b 2-4ac ≥0)中,可求得方程的两个根;(3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.求根公式的推导过程.2.用公式法解一元二次方程的一般步骤:先确定.a ,b ,c 的值,再算.出b 2-4ac 的值、最后代.入求根公式求解. 3.用判别式判定一元二次方程根的情况.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.3 因式分解法1. 会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程.2. 能根据具体的一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法,体会解决问题方法的多样性.重点:用因式分解法解一元二次方程.难点:理解因式分解法解一元二次方程的基本思想.(2分钟)将下列各题因式分解:(1)am +bm +cm =(__a +b +c__)m ; (2)a 2-b 2=__(a +b)(a -b)__;(3)a2±2ab+b2=__(a±b)2__.一、自学指导.(8分钟)问题:根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛,那么经过x s物体离地的高度(单位:m)为10x-4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗?(精确到0.01s)设物体经过x s落回地面,这时它离地面的高度为0,即10x-4.9x2=0,①思考:除配方法或公式法以外,能否找到更简单的方法解方程①?分析:方程①的右边为0,左边可以因式分解得:x(10-4.9x)=0,于是得x=0或10-4.9x=0,②∴x1=__0__,x2≈2.04.上述解中,x2≈2.04表示物体约在2.04 s时落回地面,而x1=0表示物体被上抛离开地面的时刻,即0 s时物体被抛出,此刻物体的高度是0 m.点拨精讲:(1)对于一元二次方程,先将方程右边化为0,然后对方程左边进行因式分解,使方程化为两个一次式的乘积的形式,再使这两个一次因式分别等于零,从而实现降次,这种解法叫做因式分解法.(2)如果a·b=0,那么a=0或b=0,这是因式分解法的根据.如:如果(x+1)(x-1)=0,那么__x+1=0或__x-1=0__,即__x=-1__或__x=1.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)1.说出下列方程的根:(1)x(x-8)=0;(2)(3x+1)(2x-5)=0.解:(1)x1=0,x2=8;(2)x1=-13,x2=52.2.用因式分解法解下列方程:(1)x2-4x=0; (2)4x2-49=0;(3)5x2-20x+20=0.解:(1)x1=0,x2=4; (2)x1=72,x2=-72;(3)x1=x2=2.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.用因式分解法解下列方程:(1)5x2-4x=0;(2)3x(2x+1)=4x+2;(3)(x+5)2=3x+15.解:(1)x1=0,x2=4 5;(2)x1=23,x2=-12;(3)x1=-5,x2=-2.点拨精讲:用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0,另一边可以分解因式.2.用因式分解法解下列方程:(1)4x2-144=0;(2)(2x-1)2=(3-x)2;(3)5x2-2x-14=x2-2x+34;(4)3x2-12x=-12.解:(1)x1=6,x2=-6;(2)x1=43,x2=-2;(3)x1=12,x2=-12;(4)x1=x2=2.点拨精讲:注意本例中的方程可以试用多种方法.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(10分钟) 1.用因式分解法解下列方程:(1)x2+x=0; (2)x2-23x=0;(3)3x2-6x=-3; (4)4x2-121=0;(5)(x-4)2=(5-2x)2.解:(1)x1=0,x2=-1;(2)x1=0,x2=23;(3)x1=x2=1;(4)x 1=112,x 2=-112;(5)x 1=3,x 2=1.点拨精讲:因式分解法解一元二次方程的一般步骤: (1)将方程右边化为__0__;(2)将方程左边分解成两个一次式的__乘积__; (3)令每个因式分别为__0__,得到两个一元一次方程; (4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.2.把小圆形场地的半径增加5 m 得到大圆形场地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.解:设小圆形场地的半径为x m . 则可列方程2πx 2=π(x +5)2.解得x 1=5+52,x 2=5-52(舍去). 答:小圆形场地的半径为(5+52) m .学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.用因式分解法解方程的根据由ab =0得 a =0或b =0,即“二次降为一次”. 2.正确的因式分解是解题的关键.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系1. 理解并掌握根与系数的关系:x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=ca .2. 会用根的判别式及根与系数的关系解题.重点:一元二次方程的根与系数的关系及运用. 难点:一元二次方程的根与系数的关系及运用.一、自学指导.(10分钟) 自学1:完成下表:问题:你发现什么规律? ①用语言叙述你发现的规律;答:两根之和为一次项系数的相反数;两根之积为常数项. ②x 2+px +q =0的两根x 1,x 2用式子表示你发现的规律. 答:x 1+x 2=-p ,x 1x 2=q. 自学2:完成下表:问题:上面发现的结论在这里成立吗?(不成立) 请完善规律:①用语言叙述发现的规律;答:两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数,两根之积为常数项与二次项系数之比.②ax 2+bx +c =0的两根x 1,x 2用式子表示你发现的规律. 答:x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=ca.自学3:利用求根公式推导根与系数的关系.(韦达定理) ax 2+bx +c =0的两根x 1=2a ,x 2=2a.x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=ca.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟) 根据一元二次方程的根与系数的关系,求下列方程的两根之和与两根之积. (1)x 2-3x -1=0 ; (2)2x 2+3x -5=0; (3)13x 2-2x =0. 解:(1)x 1+x 2=3,x 1x 2=-1;(2)x 1+x 2=-32,x 1x 2=-52;(3)x 1+x 2=6,x 1x 2=0.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(10分钟)1.不解方程,求下列方程的两根之和与两根之积. (1)x 2-6x -15=0; (2)3x 2+7x -9=0; (3)5x -1=4x 2.解:(1)x 1+x 2=6,x 1x 2=-15; (2)x 1+x 2=-73,x 1x 2=-3;(3)x 1+x 2=54,x 1x 2=14.点拨精讲:先将方程化为一般形式,找对a ,b ,c.2.已知方程2x 2+kx -9=0的一个根是-3,求另一根及k 的值. 解:另一根为32,k =3.点拨精讲:本题有两种解法,一种是根据根的定义,将x =-3代入方程先求k ,再求另一个根;一种是利用根与系数的关系解答.3.已知α,β是方程x 2-3x -5=0的两根,不解方程,求下列代数式的值. (1)1α+1β; (2)α2+β2; (3)α-β. 解:(1)-35;(2)19;(3)29或-29.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(8分钟) 1.不解方程,求下列方程的两根和与两根积: (1)x 2-3x =15; (2)5x 2-1=4x 2; (3)x 2-3x +2=10; (4)4x 2-144=0. 解:(1)x 1+x 2=3,x 1x 2=-15; (2)x 1+x 2=0,x 1x 2=-1; (3)x 1+x 2=3,x 1x 2=-8; (4)x 1+x 2=0,x 1x 2=-36.2.两根均为负数的一元二次方程是( C )A .7x 2-12x +5=0B .6x 2-13x -5=0C .4x 2+21x +5=0D .x 2+15x -8=0点拨精讲:两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数,两根之积为正数.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)不解方程,根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合,可求得一些代数式的值;求得方程的另一根和方程中的待定系数的值.1.先化成一般形式,再确定a ,b ,c.2.当且仅当b 2-4ac ≥0时,才能应用根与系数的关系.3.要注意比的符号:x 1+x 2=-b a (比前面有负号),x 1x 2=ca(比前面没有负号).学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.3 实际问题与一元二次方程(1)1.会根据具体问题(按一定传播速度传播的问题、数字问题等)中的数量关系列一元二次方程并求解.2.能根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理. 3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.重点:列一元二次方程解决实际问题. 难点:找出实际问题中的等量关系.一、自学指导.(12分钟)问题1:有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?分析:①设每轮传染中平均一个人传染了x 个人,那么患流感的这一个人在第一轮中传染了__x__人,第一轮后共有__(x +1)__人患了流感;②第二轮传染中,这些人中的每个人又传染了__x__人,第二轮后共有__(x +1)(x +1)__人患了流感.则列方程:__(x+1)2=121__,解得__x=10或x=-12(舍)__,即平均一个人传染了__10__个人.再思考:如果按照这样的传染速度,三轮后有多少人患流感?问题2:一个两位数,它的两个数字之和为6,把这两个数字交换位置后所得的两位数与原两位数的积是1008,求原来的两位数.分析:设原来的两位数的个位数字为__x__,则十位数字为__(6-x)__,则原两位数为__10(6-x)+x,新两位数为__10x+(6-x)__.依题意可列方程:[10(6-x)+x][10x+(6-x)]=1008__,解得x1=__2__,x2=__4__,∴原来的两位数为24或42.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念,全班共送了2550张相片,如果全班有x名学生,根据题意,列出方程为() A.x(x+1)=2550B.x(x-1)=2550C.2x(x+1)=2550D.x(x-1)=2550×2分析:由题意,每一个同学都将向全班其他同学各送一张相片,则每人送出(x-1)张相片,全班共送出x(x-1)张相片,可列方程为x(x-1)=2550. 故选B.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91,求每个支干长出多少小分支?解:设每个支干长出x个小分支,则有1+x+x2=91,即x2+x-90=0,解得x1=9,x2=-10(舍去),故每个支干长出9个小分支.点拨精讲:本例与传染问题的区别.2.一个两位数,个位上的数字比十位上的数字小4,且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4,设个位数字为x,则列方程为:__x2+(x+4)2=10(x+4)+x-4__.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(7分钟)1.两个正数的差是2,它们的平方和是52,则这两个数是(C)A.2和4B.6和8C.4和6D.8和102.教材P21第2题、第3题学生总结本堂课的收获与困惑.(3分钟)1.列一元二次方程解应用题的一般步骤:(1)“审”:即审题,读懂题意弄清题中的已知量和未知量;(2)“设”:即设__未知数__,设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种;(3)“列”:即根据题中__等量__关系列方程;(4)“解”:即求出所列方程的__根__;(5)“检验”:即验证根是否符合题意;(6)“答”:即回答题目中要解决的问题.2. 对于数字问题应注意数字的位置.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.3实际问题与一元二次方程(2)1. 会根据具体问题(增长率、降低率问题和利润率问题)中的数量关系列一元二次方程并求解.2.能根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理.3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.重点:如何解决增长率与降低率问题.难点:理解增长率与降低率问题的公式a(1±x)n=b,其中a是原有量,x为增长(或降低)率,n为增长(或降低)的次数,b为增长(或降低)后的量.一、自学指导.(10分钟)自学:两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元,哪种药品成本的年平均下降率较大?(精确到0.01)绝对量:甲种药品成本的年平均下降额为(5000-3000)÷2=1000(元),乙种药品成本的年平均下降额为(6000-3600)÷2=1200(元),显然,乙种药品成本的年平均下降额较大.相对量:从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?下面我们通过计算来说明这个问题.分析:①设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为__5000(1-x)__元,两年后甲种药品成本为__5000(1-x)2__元.依题意,得__5000(1-x)2=3000__.解得__x1≈0.23,x2≈1.77__.根据实际意义,甲种药品成本的年平均下降率约为__0.23__.②设乙种药品成本的年平均下降率为y.则,列方程:__6000(1-y)2=3600__.解得__y1≈0.23,y2≈1.77(舍)__.答:两种药品成本的年平均下降率__相同__.点拨精讲:经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(8分钟)某商店10月份的营业额为5000元,12月份上升到7200元,平均每月增长百分率是多少?【分析】如果设平均每月增长的百分率为x,则11月份的营业额为__5000(1+x)__元,12月份的营业额为__5000(1+x)(1+x)__元,即__5000(1+x)2__元.由此就可列方程:__5000(1+x)2=7200__.点拨精讲:此例是增长率问题,如题目无特别说明,一般都指平均增长率,增长率是增长数与基准数的比.增长率=增长数∶基准数设基准数为a,增长率为x,则一月(或一年)后产量为a(1+x);二月(或二年)后产量为a(1+x)2;n月(或n年)后产量为a(1+x)n;如果已知n月(n年)后产量为M,则有下面等式:M=a(1+x)n.解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)某人将2000元人民币按一年定期存入银行,到期后支取1000元用于购物,剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行,若存款的利率不变,到期后本金和利息共1320元,求这种存款方式的年利率.(利息税20%)分析:设这种存款方式的年利率为x,第一次存2000元取1000元,剩下的本金和利息是1000+2000x·80%;第二次存,本金就变为1000+2000x·80%,其他依此类推.解:设这种存款方式的年利率为x,则1000+2000x·80%+(1000+2000x·80%)x·80%=1320,整理,得1280x2+800x+1600x=320,即8x2+15x-2=0,解得x1=-2(不符,舍去),x2=0.125=12.5%.答:所求的年利率是12.5%.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(6分钟)青山村种的水稻2011年平均每公顷产7200 kg,2013年平均每公顷产8460 kg,求水稻每公顷产量的年平均增长率.解:设年平均增长率为x,则有7200(1+x)2=8460,解得x1=0.08,x2=-2.08(舍).即年平均增长率为8%.答:水稻每公顷产量的年平均增长率为8%.点拨精讲:传播或传染以及增长率问题的方程适合用直接开平方法来解.学生总结本堂课的收获与困惑.(3分钟)1. 列一元二次方程解应用题的步骤:审、设、找、列、解、答.最后要检验根是否符。

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人教版九年级数学上册全册导学案22.1 二次根式(1)学习目标1、了解二次根式的概念,能判断一个式子是不是二次根式。

2、掌握二次根式有意义的条件。

3、全心投入,全力以赴学习重点、难点重点:二次根式有意义的条件;难点:二次根式有意义的条件; 学习过程一、温故知新: 1、数3的平方根是 ,算术平方根是 ;2、正数a 的算术平方根为_______,0的算术平方根为_______;3、解下列不等式并回忆解不等式的一般步骤 2x-3=3x+7二、自主预习,探究新知 1、式子a 表示什么意义?2、什么叫做二次根式?如何判断一个式子是否为二次根式?3、式子)0(0≥≥a a 的意义是什么?如何确定一个二次根式有无意义? 尝试训练:1、试一试:判断下列各式,哪些是二次根式?哪些不是?为什么?3( ) 16-( )34( )))0(3≥a a( )12+x ( )2、若a 的取值范围是 三、学以致用1. 下列各式中,二次根式有( ) ①(-3)2;②12-13;③(a -b )2;④-a 2-1;⑤38.A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个4. 当x __________时,3+2x 有意义.1、若有意义,则a 的值为___________. 2、若在实数范围内有意义,则x 为( )。

A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数3、在实数范围内因式分解 x 2 - 3 = x 2 - ( ) 2 = (x+ _____) (x- _____)4、在式子x x +-121中,x 的取值范围是_____ .5、已知42-x +y x +2=0,则x-y = _____. 6、已知y =x -3+23--x ,则x y = ______四、反馈检测1、 若20a -=,则 2a b -=2、 式子-x +1x +2有意义的条件是( ) A. x ≥0 B. x ≤0且x ≠-2C. x ≠-2D. x ≤03、当x= 时,代数式最小值是 。

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【人教版】九年级数学上册全册导学案

第二十一章一元二次方程之马矢奏春创作21.1一元二次方程1. 了解一元二次方程的概念,应用一元二次方程概念解决一些简单问题.2.掌握一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)及有关概念.3.会进行简单的一元二次方程的试解;理解方程解的概念.重点:一元二次方程的概念及其一般形式;一元二次方程解的探索.难点:由实际问题列出一元二次方程;准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项.一、自学指导.(10分钟)问题1:如图,有一块矩形铁皮,长100 cm,宽50 cm,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?分析:设切去的正方形的边长为x cm,则盒底的长为__(100-2x)cm__,宽为__(50-2x)cm__.列方程__(100-2x)·(50-2x)=3600__,化简整理,得__x2-75x+350=0__.①问题2:要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要角逐一场.根据场地和时间等条件,赛程计划安插7天,每天安插4场角逐,角逐组织者应邀请多少个队参赛?分析:全部角逐的场数为__4×7=28__.设应邀请x个队参赛,每个队要与其他__(x-1)__个队各赛1x(x-1)2场.列方程x(x-1)2=28__,化简整理,得__x2-x-56=0__.②探究:(1)方程①②中未知数的个数各是多少?__1个__.(2)它们最高次数分别是几次?__2次__.归纳:方程①②的共同特点是:这些方程的两边都是__整式__,只含有__一个__未知数(一元),而且未知数的最高次数是__2__的方程.1.一元二次方程的定义等号两边都是__整式__ ,只含有__一__个未知数(一元),而且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程,叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式一般地,任何一个关于x 的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式:ax 2+bx +c =0(a≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中__ax 2__是二次项,__a__是二次项系数,__bx__是一次项,__b__是一次项系数,__c__是常数项.点拨精讲:二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号.二次项系数a≠0是一个重要条件,不克不及漏掉.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(6分钟)1.判断下列方程,哪些是一元二次方程?(1)x 3-2x 2+5=0; (2)x 2=1;(3)5x 2-2x -14=x 2-2x +35; (4)2(x +1)2=3(x +1);(5)x 2-2x =x 2+1; (6)ax 2+bx +c =0.解:(2)(3)(4).点拨精讲:有些含字母系数的方程,尽管分母中含有字母,但只要分母中不含有未知数,这样的方程仍然是整式方程.2.将方程3x(x -1)=5(x +2)化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.解:去括号,得3x 2,合并同类项,得3x 2,一次项系数是-8,常数项是-10.点拨精讲:将一元二次方程化成一般形式时,通常要将首项化负为正,化分为整.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.求证:关于x 的方程(m 2-8m +17)x 2+2mx +1=0,无论m取何值,该方程都是一元二次方程.证明:m 2-8m +17=(m -4)2+1,∵(m -4)2≥0,∴(m -4)2+1>0,即(m -4)2+1≠0.∴无论m 取何值,该方程都是一元二次方程.点拨精讲:要证明无论m 取何值,该方程都是一元二次方程,只要证明m 2-8m +17≠0即可.2.下面哪些数是方程2x 2+10x +12=0的根?-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.解:将上面的这些数代入后,只有-2和-3满足等式,所以x =-2或x =-3是一元二次方程2x 2+10x +12=0的两根.点拨精讲:要判定一个数是否是方程的根,只要把这个数代入等式,看等式两边是否相等即可.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(9分钟)1.判断下列方程是否为一元二次方程.(1)1-x 2=0; (2)2(x 2-1)=3y ;(3)2x 2-3x -1=0; (4)1x2-2x=0; (5)(x +3)2=(x -3)2; (6)9x 2=5-4x.解:(1)是;(2)不是;(3)是;(4)不是;(5)不是;(6)是.2.若x =2是方程ax 2+4x -5=0的一个根,求a 的值.解:∵x=2是方程ax 2+4x -5=0的一个根,∴4a+8-5=0,解得a =-34. 3.根据下列问题,列出关于x 的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式:(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x ;(2)一个长方形的长比宽多2,面积是100,求长方形的长x.解:(1)4x 2=25,4x 2-25=0;(2)x(x -2)=100,x 2-2x -100=0.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式ax 2+bx +c =0(a≠0),特别强调a≠0.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2 解一元二次方程21.配方法(1)1. 使学生会用直接开平方法解一元二次方程.2. 渗透转化思想,掌握一些转化的技能.重点:运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程;领会降次——转化的数学思想.难点:通过根据平方根的意义解形如x2=n(n≥0)的方程,知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.一、自学指导.(10分钟)问题1:一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm2,小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外概况,你能算出盒子的棱长吗?设正方体的棱长为x dm,则一个正方体的概况积为__6x2__dm2,根据一桶油漆可刷的面积列出方程:__10×6x2=1500__,由此可得__x2=25__,根据平方根的意义,得x=__±5__,即x1=__5__,x2=__-5__.可以验证__5__和-5都是方程的根,但棱长不克不及为负值,所以正方体的棱长为__5__dm.探究:对照问题1解方程的过程,你认为应该怎样解方程(2x -1)2=5及方程x2+6x+9=4?方程(2x-1)2=5左边是一个整式的平方,右边是一个非负数,根据平方根的意义,可将方程变形为,即将方程变成两个一元一次方程,从而得到方程(2x-1)2=5的两个解为x1=x2=2.2在解上述方程的过程中,实质上是把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程,这样问题就容易解决了.方程x2+6x+9=4的左边是完全平方式,这个方程可以化成(x+__3__)2=4,进行降次,得到 __x+3=±2__ ,方程的根为x1= __-1__,x2=__-5__.归纳:在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程.如果方程能化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,那么可得x=±p或mx+n=±p.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(6分钟)解下列方程:(1)2y 2=8; (2)2(x -8)2=50;(3)(2x -1)2+4=0; (4)4x 2-4x +1=0.解:(1)2y 2=8, (2)2(x -8)2=50,y 2=4, (x -8)2=25,y =±2, x -8=±5,∴y 1=2,y 2=-2; x -8=5或x -8=-5,∴x 1=13,x 2=3;(3)(2x -1)2+4=0, (4)4x 2-4x +1=0,(2x -1)2=-4<0, (2x -1)2=0,∴原方程无解; 2x -1=0,∴x 1=x 2=12. 点拨精讲:观察以上各个方程能否化成x 2=p(p≥0)或(mx +n)2=p(p≥0)的形式,若能,则可运用直接开平方法解.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.用直接开平方法解下列方程:(1)(3x +1)2=7; (2)y 2+2y +1=24;(3)9n 2-24n +16=11.解:(1)-1±73;(2)-1±26;(3)4±113. 点拨精讲:运用开平方法解形如(mx +n)2=p (p≥0)的方程时,最容易出错的是漏掉负根.2.已知关于x 的方程x 2+(a 2+1)x -3=0的一个根是1,求a 的值.解:±1.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(9分钟)用直接开平方法解下列方程:(1)3(x -1)2-6=0 ; (2)x 2-4x +4=5;(3)9x 2+6x +1=4; (4)36x 2-1=0;(5)4x 2=81; (6)(x +5)2=25;(7)x 2+2x +1=4.解:(1)x 1=1+2,x 2=1-2;(2)x 1=2+5,x 2=2-5;(3)x 1=-1,x 2=13; (4)x 1=16,x 2=-16; (5)x 1=92,x 2=-92; (6)x 1=0,x 2=-10;(7)x 1=1,x 2=-3.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.用直接开平方法解一元二次方程.2.理解“降次”思想.3.理解x 2=p(p≥0)或(mx +n)2=p(p≥0)中,为什么p ≥0?学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21. 配方法(2)1.会用配方法解数字系数的一元二次方程.2.掌握配方法和推导过程,能使用配方法解一元二次方程. 重点:掌握配方法解一元二次方程.(x -a)2=b 的过程.(2分钟)1.填空:(1)x 2-8x +__16__=(x -__4__)2;(2)9x 2+12x +__4__=(3x +__2__)2;(3)x 2+px +__(p 2)2__=(x +__p 2__)2. 2.若4x 2-mx +9是一个完全平方式,那么m 的值是__±12__.一、自学指导.(10分钟)问题1:要使一块矩形场地的长比宽多 6 m ,而且面积为16 m 2,场地的长和宽分别是多少米?设场地的宽为x m ,则长为__(x +6)__m ,根据矩形面积为16 m 2,得到方程__x(x +6)=16__,整理得到__x 2+6x -16=0__.探究:怎样解方程x 2+6x -16=0?对比这个方程与前面讨论过的方程x 2+6x +9=4,可以发现方程x 2+6x +9=4的左边是含有x 的完全平方形式,右边是非负数,可以直接降次解方程;而方程x 2+6x -16=0不具有上述形式,直接降次有困难,能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗?解:移项,得x 2+6x =16,两边都加上__9__即__(62)2__,使左边配成x 2+bx +(b 2)2的形式,得__x 2__+6__x__+9=16+__9__,左边写成平方形式,得__(x +3)2=25__,开平方,得__x +3=±5__, (降次)即 __x +3=5__或__x +3=-5__,解一次方程,得x 1=__2__,x 2=__-8__.归纳:通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法,叫做配方法;配方的目的是为了降次,把一元二次方程转化为两个一元一次方程.问题2:解下列方程:(1)3x 2-1=5; (2)4(x -1)2-9=0;(3)4x 2+16x +16=9. 解:(1)x =±2;(2)x 1=-12,x 2=52; (3)x 1=-72,x 2=-12. 归纳:利用配方法解方程时应该遵循的步调:(1)把方程化为一般形式ax 2+bx +c =0;(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边;(3)方程两边同时除以二次项系数a ;(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方;(5)此时方程的左边是一个完全平方式,然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(8分钟)1.填空:(1)x 2+6x +__9__=(x +__3__)2;(2)x 2-x +__14__=(x -__12__)2; (3)4x 2+4x +__1__=(2x +__1__)2.2.解下列方程:(1)x 2+6x +5=0; (2)2x 2+6x +2=0;(3)(1+x)2+2(1+x)-4=0.解:(1)移项,得x 2+6x =-5,配方得x 2+6x +32=-5+32,(x +3)2=4,由此可得x +3=±2,即x 1=-1,x 2=-5.(2)移项,得2x 2+6x =-2,二次项系数化为1,得x 2+3x =-1,配方得x 2+3x +(32)2=(x +32)2=54, 由此可得x +32=±52,即x 1=52-32, x 2=-52-32. (3)去括号,整理得x 2+4x -1=0,移项得x 2+4x =1,配方得(x +2)2=5,x +2=±5,即x 1=5-2,x 2=-5-2.点拨精讲:解这些方程可以用配方法来完成,即配一个含有x 的完全平方式.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(5分钟)如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =8 m ,CB =6 m ,点P ,Q 同时由A ,B 两点出发分别沿AC ,BC 方向向点C 匀速移动,它们的速度都是1 m /s ,几秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半?解:设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半.根据题意可列方程:12(8-x)(6-x)=12×12×8×6, 即x 2-14x +24=0,(x -7)2=25,x -7=±5,∴x 1=12,x 2=2,x 1=12,x 2=2都是原方程的根,但x 1=12分歧题意,舍去. 答:2秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半.点拨精讲:设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半,△PCQ 也是直角三角形.根据已知条件列出等式.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(8分钟)1.用配方法解下列关于x 的方程:(1)2x 2-4x -8=0; (2)x 2-4x +2=0;(3)x 2-12x -1=0 ; (4)2x 2+2=5. 解:(1)x 1=1+5,x 2=1-5;(2)x 1=2+2,x 2=2-2;(3)x 1=14+174,x 2=14-174; (4)x 1=62,x 2=-62. 2.如果x 2-4x +y 2+6y +z +2+13=0,求(xy)z的值.解:由已知方程得x 2-4x +4+y 2+6y +9+z +2=0,即(x-2)2+(y +3)2+z +2=0,∴x =2,y =-3,z =-2.∴(xy)z =[2×(-3)]-2=136. 学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.用配方法解一元二次方程的步调.2.用配方法解一元二次方程的注意事项.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21. 公式法1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念.2. 会熟练应用公式法解一元二次方程.重点:求根公式的推导和公式法的应用.(2分钟)用配方法解方程:(1)x 2+3x +2=0; (2)2x 2-3x +5=0.解:(1)x 1=-2,x 2=-1; (2)无解.一、自学指导.(8分钟)问题:如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx +c =0(a ≠0),你能否用上面配方法的步调求出它们的两根?问题:已知ax 2+bx +c =0(a≠0),试推导它的两个根x 1=-b +b2-4ac 2a ,x 2=-b -b2-4ac 2a. 分析:因为前面具体数字已做得很多,现在无妨把a ,b ,c 也当成一个具体数字,根据上面的解题步调就可以一直推下去.探究:一元二次方程ax 2+bx +c =0(a≠0)的根由方程的系数a ,b ,c 而定,因此:(1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c =0,当b 2-4ac≥0时,将a ,b ,c 代入式子x =-b ±b2-4ac 2a就得到方程的根,当b 2-4ac <0时,方程没有实数根.(2)x =-b ±b2-4ac 2a叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0(a≠0)的求根公式.(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.(4)由求根公式可知,一元二次方程最多有__2个实数根,也可能有__1__个实根或者__没有__实根.(5)一般地,式子b 2-4ac 叫做方程ax 2+bx +c =0(a≠0)的根的判别式,通经常使用希腊字母Δ暗示,即Δ=b 2-4ac.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)用公式法解下列方程,根据方程根的情况你有什么结论?(1)2x 2-3x =0; (2)3x 2-23x +1=0;(3)4x 2+x +1=0.解:(1)x 1=0,x 2=32;有两个不相等的实数根; (2)x 1=x 2=33;有两个相等的实数根; (3)无实数根.点拨精讲:Δ>0时,有两个不相等的实数根;Δ=0时,有两个相等的实数根;Δ<0时,没有实数根.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.方程x 2-4x +4=0的根的情况是( B )A .有两个不相等的实数根B .有两个相等的实数根C .有一个实数根D .没有实数根2.当m 为何值时,方程(m +1)x 2-(2m -3)x +m +1=0,(1)有两个不相等的实数根?(2)有两个相等的实数根?(3)没有实数根?解:(1)m <14; (2)m =14; (3)m >14. 3. 已知x 2+2x =m -1没有实数根,求证:x 2+mx =1-2m 必有两个不相等的实数根.证明:∵x 2+2x -m +1=0没有实数根,∴4-4(1-m)<0,∴m <0.对于方程x 2+mx =1-2m ,即x 2+mx +2m -1=0,Δ=m 2-8m +4,∵m <0,∴Δ>0,∴x 2+mx =1-2m 必有两个不相等的实数根.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(10分钟)1.利用判别式判定下列方程的根的情况:(1)2x 2-3x -32=0; (2)16x 2-24x +9=0; (3)x 2-42x +9=0 ; (4)3x 2+10x =2x 2+8x.解:(1)有两个不相等的实数根;(2)有两个相等的实数根;(3)无实数根;(4)有两个不相等的实数根.2.用公式法解下列方程:(1)x 2+x -12=0 ; (2)x 2-2x -14=0; (3)x 2+4x +8=2x +11; (4)x(x -4)=2-8x ;(5)x 2+2x =0 ; (6)x 2+25x +10=0.解:(1)x 1=3,x 2=-4;(2)x1=2+32,x2=2-32;(3)x1=1,x2=-3;(4)x1=-2+6,x2=-2-6;(5)x1=0,x2=-2; (6)无实数根.点拨精讲:(1)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数a,b,c确定的;(2)在解一元二次方程时,可先把方程化为一般形式,然后在b2-4ac≥0的前提下,把a,b,c的值代入x=-b±b2-4ac2a(b2-4ac≥0)中,可求得方程的两个根;(3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.求根公式的推导过程.2.用公式法解一元二次方程的一般步调:先确定a,b,c的值,再算出b2-4ac的值、最后代入求根公式求解.3.用判别式判定一元二次方程根的情况.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.因式分解法1. 会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程.2. 能根据具体的一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法,体会解决问题方法的多样性.重点:用因式分解法解一元二次方程.(2分钟)将下列各题因式分解:(1)am+bm+cm=(__a+b+c__)m;(2)a2-b2=__(a+b)(a-b)__;(3)a2±2ab+b2=__(a±b)2__.一、自学指导.(8分钟)问题:根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛,那么经过x s物体离地的高度(单位:m2.s)设物体经过x s落回地面,这时它离地面的高度为0,即10x2=0,①思考:除配方法或公式法以外,能否找到更简单的方法解方程①?分析:方程①的右边为0,左边可以因式分解得:x(10-4.9x)=0,于是得x =0或10-4.9x =0,②∴x 1=__0__,x 2≈.上述解中,x 2≈暗示物体约在 2.04 s 时落回地面,而x 1=0暗示物体被上抛离开地面的时刻,即0 s 时物体被抛出,此刻物体的高度是0 m .点拨精讲: (1)对于一元二次方程,先将方程右边化为0,然后对方程左边进行因式分解,使方程化为两个一次式的乘积的形式,再使这两个一次因式分别等于零,从而实现降次,这种解法叫做因式分解法.(2)如果a·b=0,那么a =0或b =0,这是因式分解法的根据.如:如果(x +1)(x -1)=0,那么__x +1=0或__x -1=0__,即__x =-1__或__x =1.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)1.说出下列方程的根:(1)x(x -8)=0; (2)(3x +1)(2x -5)=0.解:(1)x 1=0,x 2=8; (2)x 1=-13,x 2=52. 2.用因式分解法解下列方程:(1)x 2-4x =0; (2)4x 2-49=0;(3)5x 2-20x +20=0.解:(1)x 1=0,x 2=4; (2)x 1=72,x 2=-72; (3)x 1=x 2=2.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.用因式分解法解下列方程:(1)5x 2-4x =0; (2)3x(2x +1)=4x +2;(3)(x +5)2=3x +15.解:(1)x 1=0,x 2=45; (2)x 1=23,x 2=-12;(3)x 1=-5,x 2=-2.点拨精讲:用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0,另一边可以分解因式.2.用因式分解法解下列方程:(1)4x 2-144=0;(2)(2x -1)2=(3-x)2;(3)5x 2-2x -14=x 2-2x +34; (4)3x 2-12x =-12.解:(1)x 1=6,x 2=-6;(2)x 1=43,x 2=-2; (3)x 1=12,x 2=-12; (4)x 1=x 2=2.点拨精讲:注意本例中的方程可以试用多种方法.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(10分钟)1.用因式分解法解下列方程:(1)x 2+x =0; (2)x 2-23x =0;(3)3x 2-6x =-3; (4)4x 2-121=0;(5)(x -4)2=(5-2x)2.解:(1)x 1=0,x 2=-1;(2)x 1=0,x 2=23;(3)x 1=x 2=1;(4)x 1=112,x 2=-112; (5)x 1=3,x 2=1.点拨精讲:因式分解法解一元二次方程的一般步调:(1)将方程右边化为__0__;(2)将方程左边分解成两个一次式的__乘积__;(3)令每个因式分别为__0__,得到两个一元一次方程;(4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.2.把小圆形场地的半径增加5 m 得到大圆形场地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.解:设小圆形场地的半径为x m .则可列方程2πx 2=π(x +5)2.解得x 1=5+52,x 2=5-52(舍去).答:小圆形场地的半径为(5+52) m .学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.用因式分解法解方程的根据由ab =0得 a =0或b =0,即“二次降为一次”.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21. 一元二次方程的根与系数的关系1. 理解并掌握根与系数的关系:x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=c a. 2. 会用根的判别式及根与系数的关系解题.重点:一元二次方程的根与系数的关系及运用.难点:一元二次方程的根与系数的关系及运用.一、自学指导.(10分钟)方程x 1 x 2 x 1+x 2 x 1x 2 x 2-5x +6=02 3 5 6 x 2+3x -10=0 2 -5 -3 -10①用语言叙述你发现的规律;答:两根之和为一次项系数的相反数;两根之积为常数项.②x 2+px +q =0的两根x 1,x 2用式子暗示你发现的规律.答:x 1+x 2=-p ,x 1x 2=q.方程x 1 x 2 x 1+x 2 x 1x 2 2x 2-3x -2=02 -12 32 -1 3x 2-4x +1=0 13 1 43 13请完善规律:①用语言叙述发现的规律;答:两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数,两根之积为常数项与二次项系数之比.②ax 2+bx +c =0的两根x 1,x 2用式子暗示你发现的规律.答:x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=c a.自学3:利用求根公式推导根与系数的关系.(韦达定理)ax 2+bx +c =0的两根x 1=__2a__,x 2=2a. x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=c a. 二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)根据一元二次方程的根与系数的关系,求下列方程的两根之和与两根之积.(1)x 2-3x -1=0 ; (2)2x 2+3x -5=0;(3)13x 2-2x =0. 解:(1)x 1+x 2=3,x 1x 2=-1;(2)x 1+x 2=-32,x 1x 2=-52; (3)x 1+x 2=6,x 1x 2=0.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(10分钟)1.不解方程,求下列方程的两根之和与两根之积.(1)x 2-6x -15=0; (2)3x 2+7x -9=0;(3)5x -1=4x 2.解:(1)x 1+x 2=6,x 1x 2=-15;(2)x 1+x 2=-73,x 1x 2=-3; (3)x 1+x 2=54,x 1x 2=14. 点拨精讲:先将方程化为一般形式,找对a ,b ,c.2.已知方程2x 2+kx -9=0的一个根是-3,求另一根及k的值.解:另一根为32,k =3. 点拨精讲:本题有两种解法,一种是根据根的定义,将x =-3代入方程先求k ,再求另一个根;一种是利用根与系数的关系解答.3.已知α,β是方程x 2-3x -5=0的两根,不解方程,求下列代数式的值. (1)1α+1β; (2)α2+β2; (3)α-β. 解:(1)-35;(2)19;(3)29或-29. 二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(8分钟)1.不解方程,求下列方程的两根和与两根积:(1)x 2-3x =15; (2)5x 2-1=4x 2;(3)x 2-3x +2=10; (4)4x 2-144=0.解:(1)x 1+x 2=3,x 1x 2=-15;(2)x 1+x 2=0,x 1x 2=-1;(3)x 1+x 2=3,x 1x 2=-8;(4)x 1+x 2=0,x 1x 2=-36.2.两根均为负数的一元二次方程是( C )A .7x 2-12x +5=0B .6x 2-13x -5=0C .4x 2+21x +5=0D .x 2+15x -8=0点拨精讲:两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数,两根之积为正数.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)不解方程,根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合,可求得一些代数式的值;求得方程的另一根和方程中的待定系数的值.1.先化成一般形式,再确定a ,b ,c.2.当且仅当b 2-4ac≥0时,才干应用根与系数的关系.3.要注意比的符号:x 1+x 2=-b a (比前面有负号),x 1x 2=c a(比前面没有负号).学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.3 实际问题与一元二次方程(1)1.会根据具体问题(按一定传播速度传播的问题、数字问题等)中的数量关系列一元二次方程并求解.2.能根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理.3.进一步掌握列方程解应用题的步调和关键.重点:列一元二次方程解决实际问题.难点:找出实际问题中的等量关系.一、自学指导.(12分钟)问题1:有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?分析:①设每轮传染中平均一个人传染了x个人,那么患流感的这一个人在第一轮中传染了__x__人,第一轮后共有__(x+1)__人患了流感;②第二轮传染中,这些人中的每个人又传染了__x__人,第二轮后共有__(x+1)(x+1)__人患了流感.则列方程:__(x+1)2=121__,解得__x=10或x=-12(舍)__,即平均一个人传染了__10__个人.再思考:如果依照这样的传染速度,三轮后有多少人患流感?问题2:一个两位数,它的两个数字之和为6,把这两个数字交换位置后所得的两位数与原两位数的积是1008,求原来的两位数.分析:设原来的两位数的个位数字为__x__,则十位数字为__(6-x)__,则原两位数为__10(6-x)+x,新两位数为__10x+(6-x)__.依题意可列方程:[10(6-x)+x][10x+(6-x)]=1008__,解得 x1=__2__,x2=__4__,∴原来的两位数为24或42.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)某初中结业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张暗示留念,全班共送了2550张相片,如果全班有x名学生,根据题意,列出方程为( )A.x(x+1)=2550B.x(x-1)=2550C.2x(x+1)=2550D.x(x-1)=2550×2分析:由题意,每一个同学都将向全班其他同学各送一张相片,则每人送出(x-1)张相片,全班共送出x(x-1)张相片,可列方程为x(x-1)=2550. 故选B.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91,求每个支干长出多少小分支?解:设每个支干长出x个小分支,则有1+x+x2=91,即x2+x-90=0,解得x1=9,x2=-10(舍去),故每个支干长出9个小分支.点拨精讲:本例与传染问题的区别.2.一个两位数,个位上的数字比十位上的数字小4,且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4,设个位数字为x,则列方程为:__x2+(x+4)2=10(x+4)+x-4__.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(7分钟)1.两个正数的差是2,它们的平方和是52,则这两个数是( C )A.2和4 B.6和8 C.4和6 D.8和102.教材P21第2题、第3题学生总结本堂课的收获与困惑.(3分钟) 1.列一元二次方程解应用题的一般步调:(1)“审”:即审题,读懂题意弄清题中的已知量和未知量;(2)“设”:即设__未知数__,设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种;(3)“列”:即根据题中__等量__关系列方程;(4)“解”:即求出所列方程的__根__;(5)“检验”:即验证根是否符合题意;(6)“答”:即回答题目中要解决的问题.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.3实际问题与一元二次方程(2)1. 会根据具体问题(增长率、降低率问题和利润率问题)中的数量关系列一元二次方程并求解.2.能根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理.3.进一步掌握列方程解应用题的步调和关键.重点:如何解决增长率与降低率问题.难点:理解增长率与降低率问题的公式a(1±x)n=b,其中a 是原有量,x为增长(或降低)率,n为增长(或降低)的次数,b为增长(或降低)后的量.。

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第22章 二次根式导学案22.1 二次根式(1)一、学习目标1、了解二次根式的概念,能判断一个式子是不是二次根式。

2、掌握二次根式有意义的条件。

3、掌握二次根式的基本性质:)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 二、学习重点、难点重点:二次根式有意义的条件;二次根式的性质. 难点:综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。

三、学习过程(一)复习引入:(1)已知x 2 = a ,那么a 是x 的______; x 是a 的________, 记为______, a 一定是_______数。

(2)4的算术平方根为2,用式子表示为 =__________;正数a 的算术平方根为_______,0的算术平方根为_______; 式子)0(0≥≥a a 的意义是 。

(二)提出问题1、式子a 表示什么意义?2、什么叫做二次根式?3、式子)0(0≥≥a a 的意义是什么?4、)0()(2≥=a a a 的意义是什么?5、如何确定一个二次根式有无意义? (三)自主学习自学课本第2页例前的内容,完成下面的问题:1、试一试:判断下列各式,哪些是二次根式?哪些不是?为什么?3,16-,34)0(3≥a a,12+x 2、计算 :(1) 2)4( (2)(3)2)5.0( (4)2)31(根据计算结果,你能得出结论: ,其中0≥a , )0()(2≥=a a a 的意义是 。

2)3(________)(2=a 43、当a 为正数时指a 的 ,而0的算术平方根是 ,负数 ,只有非负数a 才有算术平方根。

所以,在二次根式中,字母a必须满足 , 才有意义。

(三)合作探究1、学生自学课本第2页例题后,模仿例题的解答过程合作完成练习 : x 取何值时,下列各二次根式有意义?①43-x③2、(1有意义,则a 的值为___________.(2在实数范围内有意义,则x 为( )。

A.正数B.负数C.非负数D.非正数(四)展示反馈 (学生归纳总结)1.非负数a 的算术平方根a (a ≥0)叫做二次根式.二次根式的概念有两个要点:一是从形式上看,应含有二次根号;二是被开方数的取值范围有限制:被开方数a 必须是非负数。

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7 只有不断寻找机会的人才能及时把握机会
戴氏教育都匀校区
主讲:冯前进老师
a b (c 为斜边,b 为直角边) ,所以 0<cosA<1。因为 sinA= ,cosA= ,所 c c
a b a2 b2 a2 b2 c2 2 1。 以 sin 2 A+cos 2 A= ( ) 2 ( ) 2 2 2 c c c c c2 c
§24.6.2 图形的变换与坐标 【一显身手】 1、(1)A(2,2) ,B(0,4) ,C(4,1) , (2)A(3,1) ,B(1,3) ,C(5,0) , (3)A(1,0) ,B(-1,2) ,C(3,-1) 2、y=-x+1;y=-x-1;y=x-1;y=x-1 A 1 (-2,3),B 1 (-7,4),C 1 (-8,5);A 2 (8,3),B 2 (13,4),C 2 (14,5) 对称轴:x=3 图形的相似单元自我检测 一、D B C D C C B A A C A 二、19:13;14、30M;15、2400;16、28;17、4 ㎝;18、42、
4 5 ; 3 3
2.令一个三角形三边分别是 4、5、x;另一三角形 y、4、5 然后,令他们 相似。根据对应边成比例,求得 x=25/4;y=16/5,检验能构成三角形,故符 合条件。 §24.3.3 相似三角形的性质 【一显身手】 1、BC=20、 =18、 =30;2、54;3、8,10;4、D;
主讲:冯前进老师
钟。 D、合作交流 同桌之间讨论 “在一个直角三角形中, 30 所对的直角边等于斜边的一半” , 的不同证明方法。 E、展示反馈 同桌之间互相提问 30 ,45 ,60 的三角函数值,达到不出错误为止;由 一名同学展示“在一个直角三角形中,30 所对的直角边等于斜边的一半” 的证明过程。 F、精讲点拨 (1)对于特殊角的三角函数值,可结合下图中的数据和各函数的定义来加 以计算,从而记住结果:

人教版九年级数学上册全册导学案(含答案,40页)

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第二十一章 一元二次方程 21.1 一元二次方程1. 了解一元二次方程的概念,应用一元二次方程概念解决一些简单问题. 2.掌握一元二次方程的一般形式ax 2+bx +c =0(a ≠0)及有关概念. 3.会进行简单的一元二次方程的试解;理解方程解的概念.重点:一元二次方程的概念及其一般形式;一元二次方程解的探索. 难点:由实际问题列出一元二次方程;准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项.一、自学指导.(10分钟) 问题1:如图,有一块矩形铁皮,长100 cm ,宽50 cm ,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm 2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?分析:设切去的正方形的边长为x cm ,则盒底的长为__(100-2x)cm __,宽为__(50-2x)cm __.列方程__(100-2x)·(50-2x)=3600__,化简整理,得__x 2-75x +350=0__.①问题2:要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?分析:全部比赛的场数为__4×7=28__.设应邀请x 个队参赛,每个队要与其他__(x -1)__个队各赛1场,所以全部比赛共x (x -1)2__场.列方程__x (x -1)2=28__,化简整理,得__x 2-x -56=0__.② 探究:(1)方程①②中未知数的个数各是多少?__1个__. (2)它们最高次数分别是几次?__2次__.归纳:方程①②的共同特点是:这些方程的两边都是__整式__,只含有__一个__未知数(一元),并且未知数的最高次数是__2__的方程.1.一元二次方程的定义等号两边都是__整式__ ,只含有__一__个未知数(一元),并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程,叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式一般地,任何一个关于x 的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式: ax 2+bx +c =0(a ≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中__ax 2__是二次项,__a__是二次项系数,__bx__是一次项,__b__是一次项系数,__c__是常数项.点拨精讲:二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号.二次项系数a ≠0是一个重要条件,不能漏掉.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(6分钟)1.判断下列方程,哪些是一元二次方程? (1)x 3-2x 2+5=0; (2)x 2=1; (3)5x 2-2x -14=x 2-2x +35;(4)2(x +1)2=3(x +1);(5)x 2-2x =x 2+1; (6)ax 2+bx +c =0. 解:(2)(3)(4). 点拨精讲:有些含字母系数的方程,尽管分母中含有字母,但只要分母中不含有未知数,这样的方程仍然是整式方程. 2.将方程3x(x -1)=5(x +2)化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.解:去括号,得3x 2-3x =5x +10.移项,合并同类项,得3x 2-8x -10=0.其中二次项系数是3,一次项系数是-8,常数项是-10.点拨精讲:将一元二次方程化成一般形式时,通常要将首项化负为正,化分为整.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.求证:关于x 的方程(m 2-8m +17)x 2+2mx +1=0,无论m 取何值,该方程都是一元二次方程.证明:m 2-8m +17=(m -4)2+1, ∵(m -4)2≥0,∴(m -4)2+1>0,即(m -4)2+1≠0.∴无论m 取何值,该方程都是一元二次方程. 点拨精讲:要证明无论m 取何值,该方程都是一元二次方程,只要证明m 2-8m +17≠0即可.2.下面哪些数是方程2x 2+10x +12=0的根? -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.解:将上面的这些数代入后,只有-2和-3满足等式,所以x =-2或x =-3是一元二次方程2x 2+10x +12=0的两根.点拨精讲:要判定一个数是否是方程的根,只要把这个数代入等式,看等式两边是否相等即可.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(9分钟) 1.判断下列方程是否为一元二次方程.(1)1-x 2=0; (2)2(x 2-1)=3y ; (3)2x 2-3x -1=0; (4)1x 2-2x=0;(5)(x +3)2=(x -3)2; (6)9x 2=5-4x. 解:(1)是;(2)不是;(3)是; (4)不是;(5)不是;(6)是.2.若x =2是方程ax 2+4x -5=0的一个根,求a 的值. 解:∵x =2是方程ax 2+4x -5=0的一个根, ∴4a +8-5=0, 解得a =-34.3.根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式:(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x;(2)一个长方形的长比宽多2,面积是100,求长方形的长x.解:(1)4x2=25,4x2-25=0;(2)x(x-2)=100,x2-2x-100=0.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),特别强调a≠0.3.要会判断一个数是否是一元二次方程的根.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2解一元二次方程21.2.1配方法(1)1. 使学生会用直接开平方法解一元二次方程.2. 渗透转化思想,掌握一些转化的技能.重点:运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程;领会降次——转化的数学思想.难点:通过根据平方根的意义解形如x2=n(n≥0)的方程,知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.一、自学指导.(10分钟)问题1:一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm2,小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗?设正方体的棱长为x dm,则一个正方体的表面积为__6x2__dm2,根据一桶油漆可刷的面积列出方程:__10×6x2=1500__,由此可得__x2=25__,根据平方根的意义,得x=__±5__,即x1=__5__,x2=__-5__.可以验证__5__和-5都是方程的根,但棱长不能为负值,所以正方体的棱长为__5__dm.探究:对照问题1解方程的过程,你认为应该怎样解方程(2x-1)2=5及方程x2+6x+9=4?方程(2x-1)2=5左边是一个整式的平方,右边是一个非负数,根据平方根的意义,可将方程变形为,即将方程变为两个一元一次方程,从而得到方程(2x-1)2=5的两个解为x1=2x2=2.在解上述方程的过程中,实质上是把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程,这样问题就容易解决了.方程x2+6x+9=4的左边是完全平方式,这个方程可以化成(x+__3__)2=4,进行降次,得到__x+3=±2__ ,方程的根为x1=__-1__,x2=__-5__.归纳:在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程.如果方程能化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,那么可得x=±p或mx+n=±p.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(6分钟)解下列方程:(1)2y 2=8; (2)2(x -8)2=50; (3)(2x -1)2+4=0; (4)4x 2-4x +1=0.解:(1)2y 2=8, (2)2(x -8)2=50, y 2=4, (x -8)2=25, y =±2, x -8=±5,∴y 1=2,y 2=-2; x -8=5或x -8=-5, ∴x 1=13,x 2=3;(3)(2x -1)2+4=0, (4)4x 2-4x +1=0, (2x -1)2=-4<0, (2x -1)2=0, ∴原方程无解; 2x -1=0, ∴x 1=x 2=12.点拨精讲:观察以上各个方程能否化成x 2=p(p ≥0)或(mx +n)2=p(p ≥0)的形式,若能,则可运用直接开平方法解.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.用直接开平方法解下列方程: (1)(3x +1)2=7; (2)y 2+2y +1=24; (3)9n 2-24n +16=11.解:(1)-1±73;(2)-1±26;(3)4±113.点拨精讲:运用开平方法解形如(mx +n)2=p(p ≥0)的方程时,最容易出错的是漏掉负根.2.已知关于x 的方程x 2+(a 2+1)x -3=0的一个根是1,求a 的值.解:±1.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(9分钟) 用直接开平方法解下列方程:(1)3(x -1)2-6=0 ; (2)x 2-4x +4=5; (3)9x 2+6x +1=4; (4)36x 2-1=0; (5)4x 2=81; (6)(x +5)2=25; (7)x 2+2x +1=4.解:(1)x 1=1+2,x 2=1-2; (2)x 1=2+5,x 2=2-5; (3)x 1=-1,x 2=13;(4)x 1=16,x 2=-16;(5)x 1=92,x 2=-92;(6)x 1=0,x 2=-10;(7)x 1=1,x 2=-3.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.用直接开平方法解一元二次方程. 2.理解“降次”思想.3.理解x 2=p(p ≥0)或(mx +n)2=p(p ≥0)中,为什么p ≥0?学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.1 配方法(2)1.会用配方法解数字系数的一元二次方程.2.掌握配方法和推导过程,能使用配方法解一元二次方程.重点:掌握配方法解一元二次方程.难点:把一元二次方程转化为形如(x -a)2=b 的过程.(2分钟)1.填空:(1)x 2-8x +__16__=(x -__4__)2; (2)9x 2+12x +__4__=(3x +__2__)2; (3)x 2+px +__(p 2)2__=(x +__p2__)2.2.若4x 2-mx +9是一个完全平方式,那么m 的值是__±12__.一、自学指导.(10分钟)问题1:要使一块矩形场地的长比宽多6 m ,并且面积为16 m 2,场地的长和宽分别是多少米?设场地的宽为x m ,则长为__(x +6)__m ,根据矩形面积为16 m 2,得到方程__x(x +6)=16__,整理得到__x 2+6x -16=0__.探究:怎样解方程x 2+6x -16=0?对比这个方程与前面讨论过的方程x 2+6x +9=4,可以发现方程x 2+6x +9=4的左边是含有x 的完全平方形式,右边是非负数,可以直接降次解方程;而方程x 2+6x -16=0不具有上述形式,直接降次有困难,能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗?解:移项,得x 2+6x =16,两边都加上__9__即__(62)2__,使左边配成x 2+bx +(b2)2的形式,得__x 2__+6__x__+9=16+__9__,左边写成平方形式,得__(x +3)2=25__,开平方,得__x +3=±5__, (降次)即 __x +3=5__或__x +3=-5__,解一次方程,得x 1=__2__,x 2=__-8__.归纳:通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法,叫做配方法;配方的目的是为了降次,把一元二次方程转化为两个一元一次方程.问题2:解下列方程:(1)3x 2-1=5; (2)4(x -1)2-9=0; (3)4x 2+16x +16=9.解:(1)x =±2;(2)x 1=-12,x 2=52;(3)x 1=-72,x 2=-12.归纳:利用配方法解方程时应该遵循的步骤:(1)把方程化为一般形式ax 2+bx +c =0;(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边; (3)方程两边同时除以二次项系数a ;(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方;(5)此时方程的左边是一个完全平方式,然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(8分钟) 1.填空:(1)x 2+6x +__9__=(x +__3__)2; (2)x 2-x +__14__=(x -__12__)2;(3)4x 2+4x +__1__=(2x +__1__)2.2.解下列方程:(1)x 2+6x +5=0; (2)2x 2+6x +2=0; (3)(1+x)2+2(1+x)-4=0.解:(1)移项,得x 2+6x =-5,配方得x 2+6x +32=-5+32,(x +3)2=4, 由此可得x +3=±2,即x 1=-1,x 2=-5. (2)移项,得2x 2+6x =-2,二次项系数化为1,得x 2+3x =-1, 配方得x 2+3x +(32)2=(x +32)2=54,由此可得x +32=±52,即x 1=52-32,x 2=-52-32. (3)去括号,整理得x 2+4x -1=0, 移项得x 2+4x =1, 配方得(x +2)2=5,x +2=±5,即x 1=5-2,x 2=-5-2.点拨精讲:解这些方程可以用配方法来完成,即配一个含有x 的完全平方式.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(5分钟)如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =8 m ,CB =6 m ,点P ,Q 同时由A ,B 两点出发分别沿AC ,BC 方向向点C 匀速移动,它们的速度都是1 m /s ,几秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半?解:设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半.根据题意可列方程: 12(8-x)(6-x)=12×12×8×6, 即x 2-14x +24=0, (x -7)2=25, x -7=±5,∴x 1=12,x 2=2,x 1=12,x 2=2都是原方程的根,但x 1=12不合题意,舍去.答:2秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半. 点拨精讲:设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半,△PCQ 也是直角三角形.根据已知条件列出等式.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(8分钟) 1.用配方法解下列关于x 的方程:(1)2x 2-4x -8=0; (2)x 2-4x +2=0; (3)x 2-12x -1=0 ; (4)2x 2+2=5.解:(1)x 1=1+5,x 2=1-5; (2)x 1=2+2,x 2=2-2; (3)x 1=14+174,x 2=14-174;(4)x 1=62,x 2=-62. 2.如果x 2-4x +y 2+6y +z +2+13=0,求(xy)z 的值.解:由已知方程得x 2-4x +4+y 2+6y +9+z +2=0,即(x -2)2+(y +3)2+z +2=0,∴x =2,y =-3,z =-2.∴(xy)z =[2×(-3)]-2=136.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.用配方法解一元二次方程的步骤. 2.用配方法解一元二次方程的注意事项.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.2 公式法1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念.2. 会熟练应用公式法解一元二次方程.重点:求根公式的推导和公式法的应用. 难点:一元二次方程求根公式的推导.(2分钟)用配方法解方程:(1)x 2+3x +2=0; (2)2x 2-3x +5=0. 解:(1)x 1=-2,x 2=-1; (2)无解.一、自学指导.(8分钟)问题:如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx +c =0(a ≠0),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根?问题:已知ax 2+bx +c =0(a ≠0),试推导它的两个根x 1=-b +b 2-4ac2a,x 2=-b -b 2-4ac2a.分析:因为前面具体数字已做得很多,现在不妨把a ,b ,c 也当成一个具体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去.探究:一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根由方程的系数a ,b ,c 而定,因此: (1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax 2+bx +c =0,当b 2-4ac ≥0时,将a ,b ,c 代入式子x =-b±b 2-4ac2a就得到方程的根,当b 2-4ac <0时,方程没有实数根.(2)x =-b±b 2-4ac 2a叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的求根公式.(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.(4)由求根公式可知,一元二次方程最多有__2个实数根,也可能有__1__个实根或者__没有__实根.(5)一般地,式子b 2-4ac 叫做方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的判别式,通常用希腊字母Δ表示,即Δ=b 2-4ac.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟) 用公式法解下列方程,根据方程根的情况你有什么结论?(1)2x 2-3x =0; (2)3x 2-23x +1=0; (3)4x 2+x +1=0.解:(1)x 1=0,x 2=32;有两个不相等的实数根;(2)x 1=x 2=33;有两个相等的实数根; (3)无实数根.点拨精讲:Δ>0时,有两个不相等的实数根;Δ=0时,有两个相等的实数根;Δ<0时,没有实数根.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.方程x 2-4x +4=0的根的情况是( B ) A .有两个不相等的实数根 B .有两个相等的实数根 C .有一个实数根 D .没有实数根2.当m 为何值时,方程(m +1)x 2-(2m -3)x +m +1=0, (1)有两个不相等的实数根? (2)有两个相等的实数根? (3)没有实数根?解:(1)m <14; (2)m =14; (3)m >14.3. 已知x 2+2x =m -1没有实数根,求证:x 2+mx =1-2m 必有两个不相等的实数根.证明:∵x 2+2x -m +1=0没有实数根, ∴4-4(1-m)<0,∴m <0.对于方程x 2+mx =1-2m ,即x 2+mx +2m -1=0, Δ=m 2-8m +4,∵m <0,∴Δ>0,∴x 2+mx =1-2m 必有两个不相等的实数根.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(10分钟) 1.利用判别式判定下列方程的根的情况: (1)2x 2-3x -32=0; (2)16x 2-24x +9=0;(3)x 2-42x +9=0 ; (4)3x 2+10x =2x 2+8x. 解:(1)有两个不相等的实数根; (2)有两个相等的实数根; (3)无实数根;(4)有两个不相等的实数根. 2.用公式法解下列方程:(1)x 2+x -12=0 ; (2)x 2-2x -14=0;(3)x 2+4x +8=2x +11; (4)x(x -4)=2-8x ; (5)x 2+2x =0 ; (6)x 2+25x +10=0. 解:(1)x 1=3,x 2=-4; (2)x 1=2+32,x 2=2-32; (3)x 1=1,x 2=-3;(4)x 1=-2+6,x 2=-2-6;(5)x 1=0,x 2=-2; (6)无实数根.点拨精讲:(1)一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根是由一元二次方程的系数a ,b ,c 确定的;(2)在解一元二次方程时,可先把方程化为一般形式,然后在b 2-4ac ≥0的前提下,把a ,b ,c 的值代入x =-b±b 2-4ac 2a(b 2-4ac ≥0)中,可求得方程的两个根;(3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.求根公式的推导过程.2.用公式法解一元二次方程的一般步骤:先确定.a,b,c的值,再算.出b2-4ac的值、最后代.入求根公式求解.3.用判别式判定一元二次方程根的情况.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.3因式分解法1. 会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程.2. 能根据具体的一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法,体会解决问题方法的多样性.重点:用因式分解法解一元二次方程.难点:理解因式分解法解一元二次方程的基本思想.(2分钟)将下列各题因式分解:(1)am+bm+cm=(__a+b+c__)m;(2)a2-b2=__(a+b)(a-b)__;(3)a2±2ab+b2=__(a±b)2__.一、自学指导.(8分钟)问题:根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛,那么经过x s物体离地的高度(单位:m)为10x-4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗?(精确到0.01s)设物体经过x s落回地面,这时它离地面的高度为0,即10x-4.9x2=0,①思考:除配方法或公式法以外,能否找到更简单的方法解方程①?分析:方程①的右边为0,左边可以因式分解得:x(10-4.9x)=0,于是得x=0或10-4.9x=0,②∴x1=__0__,x2≈2.04.上述解中,x2≈2.04表示物体约在2.04 s时落回地面,而x1=0表示物体被上抛离开地面的时刻,即0 s时物体被抛出,此刻物体的高度是0 m.点拨精讲:(1)对于一元二次方程,先将方程右边化为0,然后对方程左边进行因式分解,使方程化为两个一次式的乘积的形式,再使这两个一次因式分别等于零,从而实现降次,这种解法叫做因式分解法.(2)如果a·b=0,那么a=0或b=0,这是因式分解法的根据.如:如果(x+1)(x-1)=0,那么__x+1=0或__x-1=0__,即__x=-1__或__x=1.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)1.说出下列方程的根:(1)x(x-8)=0;(2)(3x+1)(2x-5)=0.解:(1)x 1=0,x 2=8; (2)x 1=-13,x 2=52.2.用因式分解法解下列方程: (1)x 2-4x =0; (2)4x 2-49=0;(3)5x 2-20x +20=0.解:(1)x 1=0,x 2=4; (2)x 1=72,x 2=-72;(3)x 1=x 2=2.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.用因式分解法解下列方程:(1)5x 2-4x =0; (2)3x(2x +1)=4x +2; (3)(x +5)2=3x +15. 解:(1)x 1=0,x 2=45;(2)x 1=23,x 2=-12;(3)x 1=-5,x 2=-2.点拨精讲:用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0,另一边可以分解因式.2.用因式分解法解下列方程:(1)4x 2-144=0;(2)(2x -1)2=(3-x)2; (3)5x 2-2x -14=x 2-2x +34;(4)3x 2-12x =-12.解:(1)x 1=6,x 2=-6; (2)x 1=43,x 2=-2;(3)x 1=12,x 2=-12;(4)x 1=x 2=2.点拨精讲:注意本例中的方程可以试用多种方法.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(10分钟) 1.用因式分解法解下列方程: (1)x 2+x =0; (2)x 2-23x =0; (3)3x 2-6x =-3; (4)4x 2-121=0; (5)(x -4)2=(5-2x)2. 解:(1)x 1=0,x 2=-1; (2)x 1=0,x 2=23; (3)x 1=x 2=1; (4)x 1=112,x 2=-112;(5)x 1=3,x 2=1.点拨精讲:因式分解法解一元二次方程的一般步骤: (1)将方程右边化为__0__;(2)将方程左边分解成两个一次式的__乘积__;(3)令每个因式分别为__0__,得到两个一元一次方程; (4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.2.把小圆形场地的半径增加5 m 得到大圆形场地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.解:设小圆形场地的半径为x m . 则可列方程2πx 2=π(x +5)2.解得x 1=5+52,x 2=5-52(舍去).答:小圆形场地的半径为(5+52) m .学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.用因式分解法解方程的根据由ab =0得 a =0或b =0,即“二次降为一次”. 2.正确的因式分解是解题的关键.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系1. 理解并掌握根与系数的关系:x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=ca .2. 会用根的判别式及根与系数的关系解题.重点:一元二次方程的根与系数的关系及运用.难点:一元二次方程的根与系数的关系及运用.一、自学指导.(10分钟) 自学1:完成下表:问题:你发现什么规律? ①用语言叙述你发现的规律;答:两根之和为一次项系数的相反数;两根之积为常数项. ②x 2+px +q =0的两根x 1,x 2用式子表示你发现的规律. 答:x 1+x 2=-p ,x 1x 2=q.问题:上面发现的结论在这里成立吗?(不成立) 请完善规律:①用语言叙述发现的规律; 答:两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数,两根之积为常数项与二次项系数之比.②ax 2+bx +c =0的两根x 1,x 2用式子表示你发现的规律.答:x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=ca.自学3:利用求根公式推导根与系数的关系.(韦达定理)ax 2+bx +c =0的两根x 1=2a ,x 2=2a.x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=ca.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)根据一元二次方程的根与系数的关系,求下列方程的两根之和与两根之积. (1)x 2-3x -1=0 ; (2)2x 2+3x -5=0; (3)13x 2-2x =0. 解:(1)x 1+x 2=3,x 1x 2=-1; (2)x 1+x 2=-32,x 1x 2=-52;(3)x 1+x 2=6,x 1x 2=0.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(10分钟)1.不解方程,求下列方程的两根之和与两根之积. (1)x 2-6x -15=0; (2)3x 2+7x -9=0; (3)5x -1=4x 2.解:(1)x 1+x 2=6,x 1x 2=-15; (2)x 1+x 2=-73,x 1x 2=-3;(3)x 1+x 2=54,x 1x 2=14.点拨精讲:先将方程化为一般形式,找对a ,b ,c.2.已知方程2x 2+kx -9=0的一个根是-3,求另一根及k 的值. 解:另一根为32,k =3.点拨精讲:本题有两种解法,一种是根据根的定义,将x =-3代入方程先求k ,再求另一个根;一种是利用根与系数的关系解答.3.已知α,β是方程x 2-3x -5=0的两根,不解方程,求下列代数式的值.(1)1α+1β; (2)α2+β2; (3)α-β. 解:(1)-35;(2)19;(3)29或-29.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(8分钟) 1.不解方程,求下列方程的两根和与两根积:(1)x 2-3x =15; (2)5x 2-1=4x 2; (3)x 2-3x +2=10; (4)4x 2-144=0. 解:(1)x 1+x 2=3,x 1x 2=-15; (2)x 1+x 2=0,x 1x 2=-1; (3)x 1+x 2=3,x 1x 2=-8; (4)x 1+x 2=0,x 1x 2=-36.2.两根均为负数的一元二次方程是( C ) A .7x 2-12x +5=0 B .6x 2-13x -5=0 C .4x 2+21x +5=0 D .x 2+15x -8=0 点拨精讲:两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数,两根之积为正数.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)不解方程,根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合,可求得一些代数式的值;求得方程的另一根和方程中的待定系数的值. 1.先化成一般形式,再确定a ,b ,c.2.当且仅当b 2-4ac ≥0时,才能应用根与系数的关系.3.要注意比的符号:x 1+x 2=-b a (比前面有负号),x 1x 2=ca(比前面没有负号).学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.3 实际问题与一元二次方程(1)1.会根据具体问题(按一定传播速度传播的问题、数字问题等)中的数量关系列一元二次方程并求解.2.能根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理. 3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.重点:列一元二次方程解决实际问题. 难点:找出实际问题中的等量关系.一、自学指导.(12分钟)问题1:有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?分析:①设每轮传染中平均一个人传染了x 个人,那么患流感的这一个人在第一轮中传染了__x__人,第一轮后共有__(x +1)__人患了流感;②第二轮传染中,这些人中的每个人又传染了__x__人,第二轮后共有__(x +1)(x +1)__人患了流感.则列方程:__(x +1)2=121__,解得__x =10或x =-12(舍)__,即平均一个人传染了__10__个人.再思考:如果按照这样的传染速度,三轮后有多少人患流感?问题2:一个两位数,它的两个数字之和为6,把这两个数字交换位置后所得的两位数与原两位数的积是1008,求原来的两位数.分析:设原来的两位数的个位数字为__x__,则十位数字为__(6-x)__,则原两位数为__10(6-x)+x,新两位数为__10x+(6-x)__.依题意可列方程:[10(6-x)+x][10x+(6-x)]=1008__,解得x1=__2__,x2=__4__,∴原来的两位数为24或42.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念,全班共送了2550张相片,如果全班有x名学生,根据题意,列出方程为()A.x(x+1)=2550B.x(x-1)=2550C.2x(x+1)=2550D.x(x-1)=2550×2分析:由题意,每一个同学都将向全班其他同学各送一张相片,则每人送出(x-1)张相片,全班共送出x(x-1)张相片,可列方程为x(x-1)=2550. 故选B.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91,求每个支干长出多少小分支?解:设每个支干长出x个小分支,则有1+x+x2=91,即x2+x-90=0,解得x1=9,x2=-10(舍去),故每个支干长出9个小分支.点拨精讲:本例与传染问题的区别.2.一个两位数,个位上的数字比十位上的数字小4,且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4,设个位数字为x,则列方程为:__x2+(x+4)2=10(x+4)+x-4__.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(7分钟)1.两个正数的差是2,它们的平方和是52,则这两个数是(C)A.2和4B.6和8C.4和6D.8和102.教材P21第2题、第3题学生总结本堂课的收获与困惑.(3分钟)1.列一元二次方程解应用题的一般步骤:(1)“审”:即审题,读懂题意弄清题中的已知量和未知量;(2)“设”:即设__未知数__,设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种;(3)“列”:即根据题中__等量__关系列方程;(4)“解”:即求出所列方程的__根__;(5)“检验”:即验证根是否符合题意;(6)“答”:即回答题目中要解决的问题.2. 对于数字问题应注意数字的位置.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.3实际问题与一元二次方程(2)1. 会根据具体问题(增长率、降低率问题和利润率问题)中的数量关系列一元二次方程并求解.2.能根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理.3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.重点:如何解决增长率与降低率问题.难点:理解增长率与降低率问题的公式a(1±x)n=b,其中a是原有量,x为增长(或降低)率,n为增长(或降低)的次数,b为增长(或降低)后的量.一、自学指导.(10分钟)自学:两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元,哪种药品成本的年平均下降率较大?(精确到0.01)绝对量:甲种药品成本的年平均下降额为(5000-3000)÷2=1000(元),乙种药品成本的年平均下降额为(6000-3600)÷2=1200(元),显然,乙种药品成本的年平均下降额较大.相对量:从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?下面我们通过计算来说明这个问题.分析:①设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为__5000(1-x)__元,两年后甲种药品成本为__5000(1-x)2__元.依题意,得__5000(1-x)2=3000__.解得__x1≈0.23,x2≈1.77__.根据实际意义,甲种药品成本的年平均下降率约为__0.23__.②设乙种药品成本的年平均下降率为y.则,列方程:__6000(1-y)2=3600__.解得__y1≈0.23,y2≈1.77(舍)__.答:两种药品成本的年平均下降率__相同__.点拨精讲:经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(8分钟)某商店10月份的营业额为5000元,12月份上升到7200元,平均每月增长百分率是多少?【分析】如果设平均每月增长的百分率为x,则11月份的营业额为__5000(1+x)__元,12月份的营业额为__5000(1+x)(1+x)__元,即__5000(1+x)2__元.由此就可列方程:__5000(1+x)2=7200__.点拨精讲:此例是增长率问题,如题目无特别说明,一般都指平均增长率,增长率是增长数与基准数的比.增长率=增长数∶基准数设基准数为a,增长率为x,则一月(或一年)后产量为a(1+x);二月(或二年)后产量为a(1+x)2;n月(或n年)后产量为a(1+x)n;如果已知n月(n年)后产量为M,则有下面等式:M=a(1+x)n.解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)某人将2000元人民币按一年定期存入银行,到期后支取1000元用于购物,剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行,若存款的利率不变,到期后本金和利息共1320元,求这种存款方式的年利率.(利息税20%)分析:设这种存款方式的年利率为x,第一次存2000元取1000元,剩下的本金和利息是1000+2000x·80%;第二次存,本金就变为1000+2000x·80%,其他依此类推.解:设这种存款方式的年利率为x,则1000+2000x·80%+(1000+2000x·80%)x·80%=1320,整理,得1280x2+800x+1600x=320,即8x2+15x-2=0,解得x1=-2(不符,舍去),x2=0.125=12.5%.答:所求的年利率是12.5%.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(6分钟)青山村种的水稻2011年平均每公顷产7200 kg,2013年平均每公顷产8460 kg,求水稻每公顷产量的年平均增长率.解:设年平均增长率为x,则有7200(1+x)2=8460,解得x1=0.08,x2=-2.08(舍).即年平均增长率为8%.答:水稻每公顷产量的年平均增长率为8%.点拨精讲:传播或传染以及增长率问题的方程适合用直接开平方法来解.学生总结本堂课的收获与困惑.(3分钟)1. 列一元二次方程解应用题的步骤:审、设、找、列、解、答.最后要检验根是否符合实际意义.2. 若平均增长(降低)率为x,增长(或降低)前的基数是a,增长(或降低)n次后的量是b,则有:a(1±x)n=b(常见n=2).学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.3实际问题与一元二次方程(3)1. 能根据具体问题中的数量关系,列出一元二次方程,体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.并能根据具体问题的实际意义,检验结果是否合理.2. 列一元二次方程解有关特殊图形问题的应用题.重点:根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题.难点:根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型.。

[初三数学]人教版九年级数学上册全册导学案

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第22章 二次根式导学案22.1 二次根式(1)一、学习目标1、了解二次根式的概念,能判断一个式子是不是二次根式。

2、掌握二次根式有意义的条件。

3、掌握二次根式的基本性质:)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a二、学习重点、难点重点:二次根式有意义的条件;二次根式的性质. 难点:综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。

三、学习过程(一)复习引入:(1)已知x 2 = a ,那么a 是x 的______; x 是a 的________, 记为______, a 一定是_______数。

(2)4的算术平方根为2,用式子表示为 =__________;正数a 的算术平方根为_______,0的算术平方根为_______;式子)0(0≥≥a a 的意义是 。

(二)提出问题1、式子a 表示什么意义?2、什么叫做二次根式?3、式子)0(0≥≥a a 的意义是什么?4、)0()(2≥=a a a 的意义是什么?5、如何确定一个二次根式有无意义?(三)自主学习自学课本第2页例前的内容,完成下面的问题:1、试一试:判断下列各式,哪些是二次根式?哪些不是?为什么?3,16-,34)0(3≥a a ,12+x 2、计算 :(1) 2)4( (2) 2)3(4(3)2)5.0( (4)2)31( 根据计算结果,你能得出结论: ,其中0≥a , )0()(2≥=a a a 的意义是 。

3、当a 为正数时指a 的 ,而0的算术平方根是 ,负数 ,只有非负数a 才有算术平方根。

所以,在二次根式中,字母a 必须满足 ,才有意义。

(三)合作探究 1、学生自学课本第2页例题后,模仿例题的解答过程合作完成练习 : x 取何值时,下列各二次根式有意义?①43-x 223x + ③ 2、(1)若33a a --有意义,则a 的值为___________.(2)若 在实数范围内有意义,则x 为( )。

A.正数B.负数C.非负数D.非正数(四)展示反馈 (学生归纳总结)1.非负数a 的算术平方根a (a ≥0)叫做二次根式.二次根式的概念有两个要点:一是从形式上看,应含有二次根号;二是被开方数的取值范围有限制:被开方数a 必须是非负数。

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第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程1. 了解一元二次方程的概念,应用一元二次方程概念解决一些简单问题.2.掌握一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)及有关概念.3.会进行简单的一元二次方程的试解;理解方程解的概念.重点:一元二次方程的概念及其一般形式;一元二次方程解的探索.难点:由实际问题列出一元二次方程;准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项.一、自学指导.(10分钟)问题1:如图,有一块矩形铁皮,长100 cm,宽50 cm,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?分析:设切去的正方形的边长为x cm,则盒底的长为__(100-2x)cm__,宽为__(50-2x)cm__.列方程__(100-2x)·(50-2x)=3600__,化简整理,得__x2-75x+350=0__.①问题2:要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?分析:全部比赛的场数为__4×7=28__.设应邀请x个队参赛,每个队要与其他__(x-1)__个队各赛1场,所以全部比赛共x(x-1)2__场.列方程__x(x-1)2=28__,化简整理,得__x2-x-56=0__.②探究:(1)方程①②中未知数的个数各是多少?__1个__.(2)它们最高次数分别是几次?__2次__.归纳:方程①②的共同特点是:这些方程的两边都是__整式__,只含有__一个__未知数(一元),并且未知数的最高次数是__2__的方程.1.一元二次方程的定义等号两边都是__整式__ ,只含有__一__个未知数(一元),并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程,叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式:ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中__ax2__是二次项,__a__是二次项系数,__bx__是一次项,__b__是一次项系数,__c__是常数项.点拨精讲:二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号.二次项系数a≠0是一个重要条件,不能漏掉.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(6分钟)1.判断下列方程,哪些是一元二次方程?(1)x3-2x2+5=0;(2)x2=1;(3)5x2-2x-14=x2-2x+35;(4)2(x+1)2=3(x+1);(5)x2-2x=x2+1; (6)ax2+bx+c=0.解:(2)(3)(4).点拨精讲:有些含字母系数的方程,尽管分母中含有字母,但只要分母中不含有未知数,这样的方程仍然是整式方程.2.将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.解:去括号,得3x2-3x=5x+10.移项,合并同类项,得3x2-8x-10=0.其中二次项系数是3,一次项系数是-8,常数项是-10.点拨精讲:将一元二次方程化成一般形式时,通常要将首项化负为正,化分为整.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.求证:关于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0,无论m取何值,该方程都是一元二次方程.证明:m2-8m+17=(m-4)2+1,∵(m-4)2≥0,∴(m-4)2+1>0,即(m-4)2+1≠0.∴无论m取何值,该方程都是一元二次方程.点拨精讲:要证明无论m取何值,该方程都是一元二次方程,只要证明m2-8m+17≠0即可.2.下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根?-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.解:将上面的这些数代入后,只有-2和-3满足等式,所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根.点拨精讲:要判定一个数是否是方程的根,只要把这个数代入等式,看等式两边是否相等即可.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(9分钟)1.判断下列方程是否为一元二次方程.(1)1-x2=0; (2)2(x2-1)=3y;(3)2x2-3x-1=0; (4)1x2-2x=0;(5)(x+3)2=(x-3)2; (6)9x2=5-4x.解:(1)是;(2)不是;(3)是;(4)不是;(5)不是;(6)是.2.若x=2是方程ax2+4x-5=0的一个根,求a的值.解:∵x=2是方程ax2+4x-5=0的一个根,∴4a+8-5=0,解得a=-3 4.3.根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式:(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x;(2)一个长方形的长比宽多2,面积是100,求长方形的长x.解:(1)4x2=25,4x2-25=0;(2)x(x-2)=100,x2-2x-100=0.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟) 1.一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),特别强调a≠0.3.要会判断一个数是否是一元二次方程的根.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2解一元二次方程21.2.1配方法(1)1. 使学生会用直接开平方法解一元二次方程.2. 渗透转化思想,掌握一些转化的技能.重点:运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程;领会降次——转化的数学思想.难点:通过根据平方根的意义解形如x2=n(n≥0)的方程,知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.一、自学指导.(10分钟)问题1:一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm2,小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗?设正方体的棱长为x dm,则一个正方体的表面积为__6x2__dm2,根据一桶油漆可刷的面积列出方程:__10×6x2=1500__,由此可得__x2=25__,根据平方根的意义,得x=__±5__,即x1=__5__,x2=__-5__.可以验证__5__和-5都是方程的根,但棱长不能为负值,所以正方体的棱长为__5__dm.探究:对照问题1解方程的过程,你认为应该怎样解方程(2x-1)2=5及方程x2+6x+9=4?方程(2x-1)2=5左边是一个整式的平方,右边是一个非负数,根据平方根的意义,可将方程变形为__2x-1=±5__,即将方程变为__2x-1=5和__2x-1=-5__两个一元一次方程,从而得到方程(2x-1)2=5的两个解为x1=__1+52,x2=__1-52__.在解上述方程的过程中,实质上是把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程,这样问题就容易解决了.方程x2+6x+9=4的左边是完全平方式,这个方程可以化成(x+__3__)2=4,进行降次,得到__x+3=±2__ ,方程的根为x1=__-1__,x2=__-5__.归纳:在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程.如果方程能化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,那么可得x=±p或mx+n=±p.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(6分钟)解下列方程:(1)2y2=8;(2)2(x-8)2=50;(3)(2x-1)2+4=0; (4)4x2-4x+1=0.解:(1)2y2=8,(2)2(x-8)2=50,y2=4,(x-8)2=25,y=±2,x-8=±5,∴y1=2,y2=-2;x-8=5或x-8=-5,∴x1=13,x2=3;(3)(2x-1)2+4=0,(4)4x2-4x+1=0,(2x-1)2=-4<0,(2x-1)2=0,∴原方程无解;2x-1=0,∴x1=x2=1 2.点拨精讲:观察以上各个方程能否化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,若能,则可运用直接开平方法解.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.用直接开平方法解下列方程:(1)(3x+1)2=7; (2)y2+2y+1=24;(3)9n2-24n+16=11.解:(1)-1±73;(2)-1±26;(3)4±113.点拨精讲:运用开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程时,最容易出错的是漏掉负根.2.已知关于x的方程x2+(a2+1)x-3=0的一个根是1,求a的值.解:±1.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(9分钟) 用直接开平方法解下列方程:(1)3(x-1)2-6=0 ; (2)x2-4x+4=5;(3)9x2+6x+1=4; (4)36x2-1=0;(5)4x2=81; (6)(x+5)2=25;(7)x2+2x+1=4.解:(1)x1=1+2,x2=1-2;(2)x1=2+5,x2=2-5;(3)x1=-1,x2=1 3;(4)x1=16,x2=-16;(5)x1=92,x2=-92;(6)x1=0,x2=-10;(7)x1=1,x2=-3.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.用直接开平方法解一元二次方程.2.理解“降次”思想.3.理解x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)中,为什么p≥0?学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.1配方法(2)1.会用配方法解数字系数的一元二次方程.2.掌握配方法和推导过程,能使用配方法解一元二次方程.重点:掌握配方法解一元二次方程.难点:把一元二次方程转化为形如(x-a)2=b的过程.(2分钟) 1.填空:(1)x2-8x+__16__=(x-__4__)2;(2)9x2+12x+__4__=(3x+__2__)2;(3)x2+px+__(p2)2__=(x+__p2__)2.2.若4x2-mx+9是一个完全平方式,那么m的值是__±12__.一、自学指导.(10分钟)问题1:要使一块矩形场地的长比宽多6 m,并且面积为16 m2,场地的长和宽分别是多少米?设场地的宽为x m,则长为__(x+6)__m,根据矩形面积为16 m2,得到方程__x(x+6)=16__,整理得到__x2+6x-16=0__.探究:怎样解方程x2+6x-16=0?对比这个方程与前面讨论过的方程x2+6x+9=4,可以发现方程x2+6x+9=4的左边是含有x的完全平方形式,右边是非负数,可以直接降次解方程;而方程x2+6x-16=0不具有上述形式,直接降次有困难,能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗?解:移项,得x2+6x=16,两边都加上__9__即__(62)2__,使左边配成x2+bx+(b2)2的形式,得__x2__+6__x__+9=16+__9__,左边写成平方形式,得__(x+3)2=25__,开平方,得__x+3=±5__,(降次)即__x+3=5__或__x+3=-5__,解一次方程,得x1=__2__,x2=__-8__.归纳:通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法,叫做配方法;配方的目的是为了降次,把一元二次方程转化为两个一元一次方程.问题2:解下列方程:(1)3x2-1=5;(2)4(x-1)2-9=0;(3)4x2+16x+16=9.解:(1)x=±2;(2)x1=-12,x2=52;(3)x1=-72,x2=-12.归纳:利用配方法解方程时应该遵循的步骤:(1)把方程化为一般形式ax2+bx+c=0;(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边;(3)方程两边同时除以二次项系数a;(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方;(5)此时方程的左边是一个完全平方式,然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(8分钟)1.填空:(1)x2+6x+__9__=(x+__3__)2;(2)x2-x+__14__=(x-__12__)2;(3)4x2+4x+__1__=(2x+__1__)2.2.解下列方程:(1)x2+6x+5=0; (2)2x2+6x+2=0;(3)(1+x)2+2(1+x)-4=0.解:(1)移项,得x2+6x=-5,配方得x2+6x+32=-5+32,(x+3)2=4,由此可得x+3=±2,即x1=-1,x2=-5.(2)移项,得2x2+6x=-2,二次项系数化为1,得x2+3x=-1,配方得x2+3x+(32)2=(x+32)2=54,由此可得x+32=±52,即x1=52-32,x2=-52-32.(3)去括号,整理得x2+4x-1=0,移项得x2+4x=1,配方得(x+2)2=5,x+2=±5,即x1=5-2,x2=-5-2.点拨精讲:解这些方程可以用配方法来完成,即配一个含有x的完全平方式.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(5分钟)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8 m,CB=6 m,点P,Q同时由A,B两点出发分别沿AC,BC方向向点C匀速移动,它们的速度都是1 m/s,几秒后△PCQ的面积为Rt △ABC面积的一半?解:设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半.根据题意可列方程:12(8-x)(6-x)=12×12×8×6,即x 2-14x +24=0, (x -7)2=25, x -7=±5, ∴x 1=12,x 2=2,x 1=12,x 2=2都是原方程的根,但x 1=12不合题意,舍去. 答:2秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半.点拨精讲:设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半,△PCQ 也是直角三角形.根据已知条件列出等式.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(8分钟) 1.用配方法解下列关于x 的方程:(1)2x 2-4x -8=0; (2)x 2-4x +2=0; (3)x 2-12x -1=0 ; (4)2x 2+2=5.解:(1)x 1=1+5,x 2=1-5; (2)x 1=2+2,x 2=2-2; (3)x 1=14+174,x 2=14-174;(4)x 1=62,x 2=-62. 2.如果x 2-4x +y 2+6y +z +2+13=0,求(xy)z 的值.解:由已知方程得x 2-4x +4+y 2+6y +9+z +2=0,即(x -2)2+(y +3)2+z +2=0,∴x =2,y =-3,z =-2.∴(xy)z=[2×(-3)]-2=136.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.用配方法解一元二次方程的步骤.2.用配方法解一元二次方程的注意事项.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.2公式法1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念.2. 会熟练应用公式法解一元二次方程.重点:求根公式的推导和公式法的应用.难点:一元二次方程求根公式的推导.(2分钟)用配方法解方程:(1)x2+3x+2=0;(2)2x2-3x+5=0.解:(1)x1=-2,x2=-1;(2)无解.一、自学指导.(8分钟)问题:如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根?问题:已知ax2+bx+c=0(a≠0),试推导它的两个根x1=-b+b2-4ac2a,x2=-b-b2-4ac2a.分析:因为前面具体数字已做得很多,现在不妨把a,b,c也当成一个具体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去.探究:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a,b,c而定,因此:(1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b2-4ac≥0时,将a,b,c代入式子x=-b±b2-4ac2a就得到方程的根,当b2-4ac<0时,方程没有实数根.(2)x=-b±b2-4ac2a叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式.(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.(4)由求根公式可知,一元二次方程最多有__2个实数根,也可能有__1__个实根或者__没有__实根.(5)一般地,式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用希腊字母Δ表示,即Δ=b2-4ac.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)用公式法解下列方程,根据方程根的情况你有什么结论?(1)2x2-3x=0;(2)3x2-23x+1=0;(3)4x2+x+1=0.解:(1)x1=0,x2=32;有两个不相等的实数根;(2)x1=x2=33;有两个相等的实数根;(3)无实数根.点拨精讲:Δ>0时,有两个不相等的实数根;Δ=0时,有两个相等的实数根;Δ<0时,没有实数根.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.方程x2-4x+4=0的根的情况是(B)A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有一个实数根D.没有实数根2.当m为何值时,方程(m+1)x2-(2m-3)x+m+1=0,(1)有两个不相等的实数根?(2)有两个相等的实数根?(3)没有实数根?解:(1)m<14;(2)m=14;(3)m >14.3. 已知x2+2x=m-1没有实数根,求证:x2+mx=1-2m必有两个不相等的实数根. 证明:∵x2+2x-m+1=0没有实数根,∴4-4(1-m)<0,∴m<0.对于方程x2+mx=1-2m,即x2+mx+2m-1=0,Δ=m2-8m+4,∵m<0,∴Δ>0,∴x2+mx=1-2m必有两个不相等的实数根.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(10分钟) 1.利用判别式判定下列方程的根的情况:(1)2x2-3x-32=0; (2)16x2-24x+9=0;(3)x2-42x+9=0 ; (4)3x2+10x=2x2+8x. 解:(1)有两个不相等的实数根;(2)有两个相等的实数根;(3)无实数根;(4)有两个不相等的实数根.2.用公式法解下列方程:(1)x2+x-12=0 ; (2)x2-2x-14=0;(3)x2+4x+8=2x+11; (4)x(x-4)=2-8x;(5)x2+2x=0 ; (6)x2+25x+10=0.解:(1)x1=3,x2=-4;(2)x1=2+32,x2=2-32;(3)x1=1,x2=-3;(4)x1=-2+6,x2=-2-6;(5)x1=0,x2=-2; (6)无实数根.点拨精讲:(1)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数a,b,c确定的;(2)在解一元二次方程时,可先把方程化为一般形式,然后在b2-4ac≥0的前提下,把a,b,c的值代入x=-b±b2-4ac2a(b2-4ac≥0)中,可求得方程的两个根;(3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.求根公式的推导过程.2.用公式法解一元二次方程的一般步骤:先确定.a,b,c的值,再算.出b2-4ac的值、最后代.入求根公式求解.3.用判别式判定一元二次方程根的情况.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.3因式分解法1. 会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程.2. 能根据具体的一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法,体会解决问题方法的多样性.重点:用因式分解法解一元二次方程.难点:理解因式分解法解一元二次方程的基本思想.(2分钟)将下列各题因式分解:(1)am+bm+cm=(__a+b+c__)m;(2)a2-b2=__(a+b)(a-b)__;(3)a2±2ab+b2=__(a±b)2__.一、自学指导.(8分钟)问题:根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛,那么经过x s 物体离地的高度(单位:m)为10x-4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗?(精确到0.01s)设物体经过x s落回地面,这时它离地面的高度为0,即10x-4.9x2=0,①思考:除配方法或公式法以外,能否找到更简单的方法解方程①?分析:方程①的右边为0,左边可以因式分解得:x(10-4.9x)=0,于是得x =0或10-4.9x =0, ② ∴x 1=__0__,x 2≈2.04.上述解中,x 2≈2.04表示物体约在2.04 s 时落回地面,而x 1=0表示物体被上抛离开地面的时刻,即0 s 时物体被抛出,此刻物体的高度是0 m .点拨精讲: (1)对于一元二次方程,先将方程右边化为0,然后对方程左边进行因式分解,使方程化为两个一次式的乘积的形式,再使这两个一次因式分别等于零,从而实现降次,这种解法叫做因式分解法.(2)如果a·b =0,那么a =0或b =0,这是因式分解法的根据.如:如果(x +1)(x -1)=0,那么__x +1=0或__x -1=0__,即__x =-1__或__x =1.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟) 1.说出下列方程的根:(1)x(x -8)=0; (2)(3x +1)(2x -5)=0. 解:(1)x 1=0,x 2=8; (2)x 1=-13,x 2=52.2.用因式分解法解下列方程: (1)x 2-4x =0; (2)4x 2-49=0; (3)5x 2-20x +20=0.解:(1)x 1=0,x 2=4; (2)x 1=72,x 2=-72;(3)x 1=x 2=2.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟) 1.用因式分解法解下列方程:(1)5x 2-4x =0; (2)3x(2x +1)=4x +2; (3)(x +5)2=3x +15. 解:(1)x 1=0,x 2=45;(2)x 1=23,x 2=-12;(3)x 1=-5,x 2=-2.点拨精讲:用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0,另一边可以分解因式. 2.用因式分解法解下列方程: (1)4x 2-144=0; (2)(2x -1)2=(3-x)2; (3)5x 2-2x -14=x 2-2x +34;(4)3x 2-12x =-12. 解:(1)x 1=6,x 2=-6; (2)x 1=43,x 2=-2;(3)x 1=12,x 2=-12;(4)x 1=x 2=2.点拨精讲:注意本例中的方程可以试用多种方法.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(10分钟) 1.用因式分解法解下列方程: (1)x 2+x =0; (2)x 2-23x =0; (3)3x 2-6x =-3; (4)4x 2-121=0; (5)(x -4)2=(5-2x)2. 解:(1)x 1=0,x 2=-1; (2)x 1=0,x 2=23; (3)x 1=x 2=1; (4)x 1=112,x 2=-112;(5)x 1=3,x 2=1.点拨精讲:因式分解法解一元二次方程的一般步骤: (1)将方程右边化为__0__;(2)将方程左边分解成两个一次式的__乘积__;(3)令每个因式分别为__0__,得到两个一元一次方程;(4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.2.把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.解:设小圆形场地的半径为x m.则可列方程2πx2=π(x+5)2.解得x1=5+52,x2=5-52(舍去).答:小圆形场地的半径为(5+52) m.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟) 1.用因式分解法解方程的根据由ab=0得a=0或b=0,即“二次降为一次”.2.正确的因式分解是解题的关键.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟) 21.2.4一元二次方程的根与系数的关系1. 理解并掌握根与系数的关系:x1+x2=-ba,x1x2=ca.2. 会用根的判别式及根与系数的关系解题.重点:一元二次方程的根与系数的关系及运用.难点:一元二次方程的根与系数的关系及运用.一、自学指导.(10分钟)自学1:完成下表:方程x1x2x1+x2x1x2 x2-5x+6=2 3 5 6x2+3x-10=02 -5 -3 -10 问题:你发现什么规律?①用语言叙述你发现的规律;答:两根之和为一次项系数的相反数;两根之积为常数项.②x2+px+q=0的两根x1,x2用式子表示你发现的规律.答:x1+x2=-p,x1x2=q.自学2:完成下表:方程 x 1 x 2 x 1+x 2 x 1x 22x 2-3x -2=0 2-12-13x 2-4x +1=01问题:上面发现的结论在这里成立吗?(不成立) 请完善规律:①用语言叙述发现的规律;答:两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数,两根之积为常数项与二次项系数之比.②ax 2+bx +c =0的两根x 1,x 2用式子表示你发现的规律. 答:x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=ca.自学3:利用求根公式推导根与系数的关系.(韦达定理)ax 2+bx +c =0的两根x 1=__-b +b 2-4ac 2a __,x 2=__-b -b 2-4ac2a__.x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=ca.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟) 根据一元二次方程的根与系数的关系,求下列方程的两根之和与两根之积. (1)x 2-3x -1=0 ; (2)2x 2+3x -5=0; (3)13x 2-2x =0. 解:(1)x 1+x 2=3,x 1x 2=-1; (2)x 1+x 2=-32,x 1x 2=-52;(3)x 1+x 2=6,x 1x 2=0.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(10分钟)1.不解方程,求下列方程的两根之和与两根之积.(1)x2-6x-15=0; (2)3x2+7x-9=0;(3)5x-1=4x2.解:(1)x1+x2=6,x1x2=-15;(2)x1+x2=-73,x1x2=-3;(3)x1+x2=54,x1x2=14.点拨精讲:先将方程化为一般形式,找对a,b,c.2.已知方程2x2+kx-9=0的一个根是-3,求另一根及k的值.解:另一根为32,k=3.点拨精讲:本题有两种解法,一种是根据根的定义,将x=-3代入方程先求k,再求另一个根;一种是利用根与系数的关系解答.3.已知α,β是方程x2-3x-5=0的两根,不解方程,求下列代数式的值.(1)1α+1β;(2)α2+β2;(3)α-β.解:(1)-35;(2)19;(3)29或-29.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(8分钟) 1.不解方程,求下列方程的两根和与两根积:(1)x2-3x=15; (2)5x2-1=4x2;(3)x2-3x+2=10; (4)4x2-144=0.解:(1)x1+x2=3,x1x2=-15;(2)x1+x2=0,x1x2=-1;(3)x1+x2=3,x1x2=-8;(4)x1+x2=0,x1x2=-36.2.两根均为负数的一元二次方程是(C)A.7x2-12x+5=0 B.6x2-13x-5=0C.4x2+21x+5=0 D.x2+15x-8=0点拨精讲:两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数,两根之积为正数.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟) 不解方程,根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合,可求得一些代数式的值;求得方程的另一根和方程中的待定系数的值.1.先化成一般形式,再确定a,b,c.2.当且仅当b2-4ac≥0时,才能应用根与系数的关系.3.要注意比的符号:x1+x2=-ba(比前面有负号),x1x2=ca(比前面没有负号).学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.3实际问题与一元二次方程(1)1.会根据具体问题(按一定传播速度传播的问题、数字问题等)中的数量关系列一元二次方程并求解.2.能根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理.3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.重点:列一元二次方程解决实际问题.难点:找出实际问题中的等量关系.一、自学指导.(12分钟)问题1:有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?分析:①设每轮传染中平均一个人传染了x个人,那么患流感的这一个人在第一轮中传染了__x__人,第一轮后共有__(x+1)__人患了流感;②第二轮传染中,这些人中的每个人又传染了__x__人,第二轮后共有__(x+1)(x+1)__人患了流感.则列方程:__(x+1)2=121__,解得__x=10或x=-12(舍)__,即平均一个人传染了__10__个人.再思考:如果按照这样的传染速度,三轮后有多少人患流感?问题2:一个两位数,它的两个数字之和为6,把这两个数字交换位置后所得的两位数与原两位数的积是1008,求原来的两位数.分析:设原来的两位数的个位数字为__x__,则十位数字为__(6-x)__,则原两位数为__10(6-x)+x,新两位数为__10x+(6-x)__.依题意可列方程:[10(6-x)+x][10x+(6-x)]=1008__,解得x1=__2__,x2=__4__,∴原来的两位数为24或42.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念,全班共送了2550张相片,如果全班有x名学生,根据题意,列出方程为()A.x(x+1)=2550B.x(x-1)=2550C.2x(x+1)=2550D.x(x-1)=2550×2分析:由题意,每一个同学都将向全班其他同学各送一张相片,则每人送出(x-1)张相片,全班共送出x(x-1)张相片,可列方程为x(x-1)=2550. 故选B.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91,求每个支干长出多少小分支?解:设每个支干长出x个小分支,则有1+x+x2=91,即x2+x-90=0,解得x1=9,x2=-10(舍去),故每个支干长出9个小分支.点拨精讲:本例与传染问题的区别.2.一个两位数,个位上的数字比十位上的数字小4,且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4,设个位数字为x,则列方程为:__x2+(x+4)2=10(x+4)+x-4__.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(7分钟)1.两个正数的差是2,它们的平方和是52,则这两个数是(C)A.2和4B.6和8C.4和6D.8和102.教材P21第2题、第3题学生总结本堂课的收获与困惑.(3分钟)1.列一元二次方程解应用题的一般步骤:(1)“审”:即审题,读懂题意弄清题中的已知量和未知量;(2)“设”:即设__未知数__,设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种;(3)“列”:即根据题中__等量__关系列方程;(4)“解”:即求出所列方程的__根__;(5)“检验”:即验证根是否符合题意;(6)“答”:即回答题目中要解决的问题.2. 对于数字问题应注意数字的位置.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.3实际问题与一元二次方程(2)1. 会根据具体问题(增长率、降低率问题和利润率问题)中的数量关系列一元二次方程并求解.2.能根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理.3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.重点:如何解决增长率与降低率问题.难点:理解增长率与降低率问题的公式a(1±x)n=b,其中a是原有量,x为增长(或降低)率,n为增长(或降低)的次数,b为增长(或降低)后的量.一、自学指导.(10分钟)自学:两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元,哪种药品成本的年平均下降率较大?(精确到0.01)绝对量:甲种药品成本的年平均下降额为(5000-3000)÷2=1000(元),乙种药品成本的年平均下降额为(6000-3600)÷2=1200(元),显然,乙种药品成本的年平均下降额较大.相对量:从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?下面我们通过计算来说明这个问题.分析:①设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为__5000(1-x)__元,两年后甲种药品成本为__5000(1-x)2__元.依题意,得__5000(1-x)2=3000__.解得__x1≈0.23,x2≈1.77__.根据实际意义,甲种药品成本的年平均下降率约为__0.23__.②设乙种药品成本的年平均下降率为y.则,列方程:__6000(1-y)2=3600__.解得__y1≈0.23,y2≈1.77(舍)__.答:两种药品成本的年平均下降率__相同__.点拨精讲:经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(8分钟)某商店10月份的营业额为5000元,12月份上升到7200元,平均每月增长百分率是多少?【分析】如果设平均每月增长的百分率为x,则11月份的营业额为__5000(1+x)__元,12月份的营业额为__5000(1+x)(1+x)__元,即__5000(1+x)2__元.由此就可列方程:__5000(1+x)2=7200__.点拨精讲:此例是增长率问题,如题目无特别说明,一般都指平均增长率,增长率是增长数与基准数的比.增长率=增长数∶基准数设基准数为a,增长率为x,则一月(或一年)后产量为a(1+x);二月(或二年)后产量为a(1+x)2;n月(或n年)后产量为a(1+x)n;如果已知n月(n年)后产量为M,则有下面等式:M=a(1+x)n.解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)某人将2000元人民币按一年定期存入银行,到期后支取1000元用于购物,剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行,若存款的利率不变,到期后本金和利息共1320元,求这种存款方式的年利率.(利息税20%)分析:设这种存款方式的年利率为x,第一次存2000元取1000元,剩下的本金和利息是1000+2000x·80%;第二次存,本金就变为1000+2000x·80%,其他依此类推.。

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