ASK,FSK,PSK频谱特性分析

数字ASK 、FSK 、PSK 调制的频谱分析摘要：信号频谱是信号区别于其他信号一项非常基本的特征。

将信号进行傅里叶变换（能量有限）或者傅里叶级数展开（能量无限），可以得到每一个频率点上信号功率的分布。

各类调制的实质是将基带信号的低通频谱搬移到高频载波频率上，使得所发送的频带信号的频谱匹配于频带信道的带通特性。

关键字：ASK FSK PSK 频谱数字基带信号通过正弦波调制成为带通型的频带信号，即调制器将二进制符号序列映射到与信道匹配的频带上去。

数字调制的基本原理是用数字基带信号去控制正弦型载波的某参量，如：控制载波的幅度，称为振幅键控（ASK ）；控制载波的频率，称为频率键控（FSK ）；控制载波的相位，称为相位键控（PSK ）。

带通型数字调制有二进制及M 进制（M>2）之分。

二进制数字调制是将每个二进制符号映射为相应的波形之一，如2ASK 。

在M 进制数字调制中，将二进制数字序列中每K 个比特构成一组，对应于M 进制符号之一（M=2K ），如MFSK 。

一、二进制启闭键控（OOK ） 1、OOK 信号的产生二进制启闭键控(OOK ：On-Off Keying)又名二进制振幅键控(2ASK)，它是以单极性不归零码序列来控制正弦载波的开启与关闭。

上图中，{n a }的取值为1或0，b T 为二进制符号间隔，发送脉冲成形低通滤波器的冲激响应为)(t g T ，)(t g T 可能是升余弦滚降滤波器的冲激响应，现暂设其为矩形不归零脉冲。

二进制序列通过脉冲成形低通滤波器后的限带信号为)()(b T n nnT t g at b -=∑∞-∞=其中)(t b 为单极性不归零脉冲序列。

将此)(t b 与载波相乘，得到2ASK 信号：t nT t g a A t s c b T n n ASK ωcos )]([)(2-=∑∞-∞=若)(t g T 是矩形不归零脉冲，在b T t ≤≤0期间，2ASK 信号也可表示为如下形式空号）传号）((0)(cos )()(212⎩⎨⎧===t s t A t s t s c ASK ωb T t ≤≤02、数字OOK 调制信号的功率谱密度数字调制信号s(t)的带通随机样本函数：])(Re[)(t jw c e t Ab t s =式中的)(t Ab 是带通型数字调制信号的复包络。

带通信号)(t s 的自相关函数为{}])(cos )(]}[)(Re[])(Re[)]()([),())(()(2τωττττθτωθω+++∙=+=++++t t s et b et b E A t s t s E t t R c t j t j s c c]),(Re[2})]()([Re{222τωτωττc c j b j e t t R A e t b t b E A +=+∙=*由上式可以看出，若),(τ+t t R b 是周期为b T 的周期函数，则),(τ+tt R s 也是周期为b T 的周期函数。

若数字基带信号或等效基带信号)(t b 是广义循环平稳过程，则带通型数字调制信号)(t s 也是广义的循环平稳过程。

)(t s 的平均自相关函数为])()([4),(1)(22/2/τωτωττττc c b b j b j b T T sbs e R e R A dt t t R T R -*-+=+=⎰ 其中dt t t R T R b b T T b bb ⎰-+=2/2/),(1)(ττ)(t s 的平均功率谱密度（对平均互相关函数求傅里叶变换）为)]()([4)()(22c b c b f j s s f f P f f P A d eR f P --+-==*∞∞--⎰τττπ其中)(τb R *的傅里叶变换为)(f P b -*。

由于)(t b 的平均功率谱密度)(f P b 是频率f 的实偶函数，所以)()()(f P f P f P b b b -==*， 故)]()([4)(2c b c b s f f P f f P A f P ++-=又因为单极性不归零矩形脉冲序列)(t b 的平均功率谱密度为)(41)(41)(2f R f Sa R f P b b b δπ+=其中b R s bf T ==1为码速度。

故OOK 信号的平均功率谱密度为[])()(161))(())((161)(22c c b c b c bs f f f f R f f Sa R f f Sa R f P -+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=δδππ 由)(f P b ，)(f P s 绘得功率谱如下对于数字基带信号)(t b ，其双边平均功率谱密度只能够含有离散的直流分量及连续谱，如上图（a ）所示。

对于OOK 调制信号，其双边平均功率谱密度只是将复包络)(t b 的平均功率谱密度搬移到载频c f 上，如上图（b ）所示。

其中，离散谱由载波分量确定，连续谱由数字基带信号波形)(t g T 确定，OOK 信号的带宽是数字基带信号波形带宽b R 的两倍, 即)(2主瓣宽度b OOK R B ≈ ，其带宽利用率为Hz s bit B R OOKbOOK ⋅==/5.0η。

二、二进制移频键控（2FSK ）用二进制数字基带信号去控制正弦载波的载频称为二进制移频键控（2FSK ）。

1、2FSK 信号的产生1）相位不连续的2FSK 信号如下图左，用二进制数字基带信号去控制电开关，分别接入两载频振荡器之一，可产生相位不连续的2FSK 信号。

相位不连续2FSK 信号的数学表达式为2）相位连续的2FSK 信号将二进制数字信号对单一的载频振荡器进行调频，可以得到相位连续的2FSK 信号。

如下图右。

相位不连续2FSK 信号的数学表达式为])(2cos[)(⎰∞-+=tfc FSKd b K t A t s ττπω2FSK 信号的产生2、2FSK 两信号波形的互相关系数考虑)(1t s )(2t s 的相关性。

则它们的互相关系数为因为12>>b c T ω，所以上式第二项0)2(cos )(→=b c b c b c T Sa T T Sa ωωω，所以])2(2[)2(12b b T f Sa T Sa ∆=∆=πωρ根据互相关系数与频差2f ∆的函数，得二者关系图如下在12ρ=0时，表示)(1t s 与)(2t s 正交，此时的两载频的最小频率间隔为1122()cos 2()0()cos 2FSK bs t A f t s t t T s t A f t ππ=⎧=≤≤⎨=⎩“传号”“空号”1212001().()2[cos()cos()](2)()cos bb c b c bT bTc c b b s t s t dtE t t t t d Sa T T T Sa T t ρωωωωωωω==+∆=⋅⋅-∆∆+⎰⎰1222()f f f ωππ∆=∆=-22121b b R T f f ==- 若频差很大，两函数近似正交。

3、2FSK 信号的功率谱密度及其信号带宽对于相位不连续的2FSK 信号，可以将其看做两个OOK 信号的叠加，表达式如下)cos()()cos()()(21n b nn n nb n FSK t nT t g a t nT t g a t s θωϕω+-++-=∑∑其中n a 对应二进制序列，n a 对应于二进制序列的反码。

1ω 2ω为不同载波的载频。

n ϕ n θ为对应不同载波的初始相位，可以忽略。

t t s t t s s FSK 22112cos )(cos )(ωω+=故相位不连续的2FSK 信号的平均功率谱密度为)]()([41)]()([41)(221122221f f P f f P f f P f f P f P s s s s FSK -+++-++=其中)(1f P s )(2f P s 分别为数字基带信号 )(1t s )(2t s 的双边平均功率谱密度。

故2FSK 信号的平均功率谱密度为[])()()()(161)])(())(())(())(([161)(2211222212122f f f f f f f f R f f Sa R f f Sa R f f Sa R f f Sa R f P bb b b b FSK -+++-+++-+++-++=δδδδππππ由此式可得相位不连续的2FSK 信号的单边平均功率谱密度图如下a.b s R f f f 7.07.012==-b.b s R f f f ==-12c.b s R f f f 2212==-对于相位不连续的2FSK 信号的功率谱由离散谱和连续谱所组成。

其中，离散谱位于两个载频1f 和2f 处，连续谱由两个中心位于1f 和2f 处的双边谱叠加形成。

若两个载波频差小于b R （如b s R f f f 7.07.012==-），则连续谱在1f 和2f 的中点处出现单峰，如上图a 所示；若载频差大于等于b R （如b s R f f f 2212==-），则连续谱出现双峰，如上图b,c 所示。

若以2FSK 信号功率谱第一个零点之间的频率间隔计算其带宽，则2FSK 信号的带宽为b FSK R f f B 2122+-=。

实际应用中一般b R f f 221≥- ，取b R f f )5~3(12=-，故b b b FSK R R R B )7~5()5~3(22=+=，其带宽利用率为Hz s bit B R FSKbFSK ⋅==/014~2.022η。

据分析，连续相位2FSK 信号的平均功率谱密度随着频率f 偏离c f ，其旁瓣按4/1f 衰减，而相位不连续2FSK 信号的旁瓣按2/1f 衰减，前者的旁瓣衰减速度快；同时，两者带宽和频带利用率基本相同，所以常用连续相位的2FSK 调制方式。

三、二进制移相键控（2PSK 或BPSK ）用二进制数字信号控制正弦载波的相位称为二进制移相键控。

1、2PSK 信号的产生其中{n a }的取值为1或-1，两个电平等概率出现，符号间互不相关，最终得到2PSK 信号为∑-=nc b T n PSK t nT t g a A t s ωcos )]([)(2亦可写作bb bb c c PSK T k t kT T k t kT t t t s )1("0"()1("1"(cos cos )(2+≤<+≤<⎩⎨⎧-=）空号）传号ωω2、2PSK 信号的功率谱密度2PSK 信号的功率谱密度采用与求OOK 信号功率谱密度相同的方法。

故)]()([4)(22c b c b PSK f f P f f P A f P -++=其中)(f P b 为双极性不归零序列脉冲的平均功率谱密度，)()(2b b b fT Sa T f P π=则2PSK 信号的功率谱密度为()])([])([4)(2222b c b c bPSK T f f Sa T f f Sa T A f P -++=ππ由)(f P b ，)(f P s 绘得功率谱如下由于在传号与空号等概率出现时，双极性不归零脉冲序列的平均功率谱密度中无离散的直流分量，所以2PSK 信号的平均功率谱中无离散的载频分量，仅有连续谱。