晶体的能带理论

晶体的能带理论

一、能带理论（Energy band theory ）概述

能带理论是讨论晶体（包括金属、绝缘体和半导体的晶体）中电子的状态及其运动的一种重要的近似理论。它首先由 F.布洛赫和L.-N.布里渊在解决金属的导电性问题时提出，它把晶体中每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动，即是单电子近似的理论；对于晶体中的价电子而言，等效势场包括原子实的势场、其他价电子的平均势场和考虑电子波函数反对称而带来交换作用，是一种晶体周期性的势场。

即认为晶体中的电子是在整个晶体内运动的共有化电子，并且共有化电子是在晶体周期性的势场中运动的；由此得出，共有化电子的本征态波函数是Bloch函数形式，能量是由准连续能级构成的许多能带。

二、能带的形成

图1 1.电子共有化

对于只有一个价电子的简单情况：电子在离子实

电场中运动，单个原子的势能曲线表示如图1。

图2 当两个原子靠得很近时：每个价电子将同时受到两个离子实电场的作用，这时的势能曲线表示为图2。

当大量原子形成晶体时，晶体内形成了周期性势场，周期性势场的势能曲线具有和晶格相同的周期性!（如图3所示）

即:在N 个离子实的范围内，U 是以晶格间距d 为周期的函数。实际的晶体是三维点阵，势场也具有三维周期性。

图3

分析：

1.能量为E1的电子，由于E1小，势能曲线是一种势阱。因势垒较宽，电子穿透势垒的概率很微小，基本上仍可看成是束缚态的电子，在各自的原子核周围运动；

2.具有较大能量E3 的电子，能量超过了势垒高度，电子可以在晶体中自由运动；

3.能量E2 接近势垒高度的电子，将会因隧道效应而穿越势垒进入另一个原子中。

这样在晶体场内部就出现了一批属于整个晶体原子所共有的电子，称为电子共有化。价电子受母原子束缚最弱，共有化最为显著！

可借助图4理解电子共有化：

图4

晶体中大量的原子集合在一起，而且原子之间距离很近.致使离原子核较远的壳层发生交叠，壳层交叠使电子不再局限于某个原子上，有可能转移到相邻原子的相似壳层上去，也可能从相邻原子运动到更远的原子壳层上去，这种现象称为电子的共有化。

2.能带的形成是电子共有化的结果。

孤立原子的外层电子可能取的能量状态完全相同，但当原子彼此靠近时，外层电子就不再仅受原来所属原子的作用，还要受到其他原子的作用，这使电子的能量发生微小变化。原子结合成晶体时，原子最外层的价电子受束缚最弱，它同时受到原来所属原子和其他原子的共同作用，已很难区分究竟属于哪个原子，实际上是被晶体中所有原子所共有，称为共有化。原子间距减小时，孤立原子的每个能级将演化成由密集能级组成的准连续能带。共有化程度越高的电子，其相应能带也越宽。孤立原子的每个能级都有一个能带（晶体内电子的能量可以处于一些允许的范围之内，这些允许的范围称为能带）与之相应，所有这些能带称为允许带。相邻两允许带间的空隙代表晶体所不能占有的能量状态，称为禁带。

备注：关于能带的形成，还可以从晶体中各个

原子的能级的相互影响来说明（图5）：

★孤立的原子，其轨道电子的能量由一系列分

立的能级所表征；

图5

★原子结合成固体时，使本来处于同一能量状态的电子产生微小的能量差异，与此相对应的能级扩展为能带。

事实上，在单个原子中，电子具有分离的能级

如 1s,2s,2p 等，如果晶体内含有 N 个相同的原子，

那么原先每个原子中具有相同能量的所有价电子，现

在处于共有化状态。

图6

这些被共有化的外层电子，由于泡利不相容原理的限制，不能再处于相同的能级上，这就使得原来相同的能级分裂成 N 个和原能级相近的新能级（见图6）。

由于N 很大，新能级中相邻两能级的能量差仅为 10-22eV ，几乎可以看成是连续的，N 个新能级有一定的能量范围，通常称为能带。

三、能带的结构

1.能带： n 是带指标，用来标志不同的能带对每一个给定的 n ，本征能量包含着由不同 k 取值所对应的许多能级，这些由许多能级组成的

())3,2,1( ==n k E E n n

带称为能带。在能带理论中，能量本征值的总体称为晶体的能带结构。原子（中电子）的能级和晶体（中电子）的能带如图7所示

图7

2.固体的导电机制

不同的晶体有不同的导电性，这与晶体内的电子在能带中的填充和运动情况有关！

导体：电阻率为 10-8Ω•m 以下的物体

绝缘体：电阻率为108Ω•m以上的物体

半导体：电阻率介乎上面两者之间的

原子壳层中的内层允许带总是被电子先占满，然后再占据能量更高的外面一层的允许带。晶体中的电子在能带中各个能级的填充方式，服从洪特规则、泡利不相容原理，还要服从最小能量原理，电子从能量较低的能级依次到达较高的能级。按充填电子的情况，能带可以分成：满带，价带（导带），空带，禁带

（1）满带：晶体中最低能带的各个能级都被电子填满，这样的能带称为满带。

被电子占满的允许带当满带中的电子从它原来占据的

能级转移到同一能带中其它能级时，因受泡利不相容原理

的限制，必有另一个电子作相反转移，总效果与没有电子

转移一样—外电场不能改变电子在满带中的分布，所以满

带中的电子不能起导电作用！

（2）价带：一部分价电子存在于不满带中，这种能带

称为导带。价带是由价电子能级分裂而形成的能带。

★通常情况下，价带为能量最高的能带；

★价带可能被电子填满，成为满带；

★也可能未被电子填满，形成不满带或半满带。

在绝缘体中，价电子刚好填满最低的一系列能带，最

上边的满带 —— 价带

（3）空带：若一个能带中所有的能级都没有被电子

填入，这样的能带称为空带。每一个能级上都没有电子的

能带。

★与各原子的激发态能级相对应的能带，在未被激发的正常情况下就是空带；

★空带中若有被激发的电子进入，空带就变成导带。

（4）禁带：两个相邻能带间的间隔

★禁带中不存在电子的定态；

★禁带的宽度对晶体的导电性起 着重要的作用。

（图8/9、10为导体、半导体、绝缘体的能带示意图。）