电磁波的辐射案例

A(r) J (r' ) e jkRdV '
4 V R
1
4
S
A(r' )
R
e jkR R
A(r' )
R
e jkR R
dS' (7
-
8)
考虑无限空间的电磁问题时，取以R为半径的球面作为S，
dS′=R2dΩ′，式(7 - 8)中的面积分可以写成
R jk e jkRd' e jkRd'
p
4 r
3
sin
H
Idl sin 4r2
式中p=Qdl是电偶极矩的复振幅。 因为已经把载流短导线看成一 个振荡电偶极子，其上下两端的电荷与电流的关系是I=jωQ。
2.
当kr>>1时，r>>λ/2π，即场点P与源点距离r远大于波长λ的
区域称为远区。 在远区中，
1 kr
1 (k r)2
1 (k r)3
(r,t) 1
(
r'
)
e
j
t
R v
dV
'
4 V R
A(r) J (r' ) e jkRdV '
4 V R
引入时间因子ejωt后则有
A(r,t)
J
(r'
)
e
j
tR
dV
'
4 V R
(r)
1
4
V
(r' ) dV '
R
A(r)
4
V
J (r') R
dV '
7.2 电基本振子的辐射场
S R
S
(7 - 10)
而要排除在无限远处的场源(设无限远处的场源为零)， 就 必须使上式为零。为此，要求R→∝时，
lim R 有限值
R
在这个限制条件下，式(7 - 10)的第二项积分等于零， 即要求在 远离场源处标量位φ至少按R-1减少；第一项积分在满足
lim R jk 0
R R
(7-11b)
和w是任意标量函数，且要求u和w以及它们的一阶和二阶导数在
V内连续。
容易验证标量函数
e jkR
R
满足齐次亥姆霍兹方程
2 k 2 0
令格林定理中的u代表标量位φ，即u=φ，φ满足式(5-79)，即
2(r' ) k2(r' ) (r' )
(7 - 6)
再令w=Ψ，且R=|r-r′|，如图7 - 1所示。r是场点；r′是源点， 亦即格林定理中的积分变点。
R=|r-r′|≈r。
A(r)
4
Idlez lR
jkR
e
ez
4
Idl e jkr R
A er Ar e A e A er Az cos e Az sin
er
re r sine
H (r)
1
A
1
r2 sin
r
由此可解得
Hr 0
Az cos rAz sin 0
H 0
H
k 2Idl sin 4
时也等于零。式(7 -11b)称为辐射条件。对于矢量位亦有类似条件。
7.7.2 滞后位
标量位φ满足辐射条件式(7-11b)时，排除无限远处的场源，
式(7-8)中的面积分一项为零，标量位φ(r)仅表示向外传播的电磁
波，即
(r) 1 (r' )e jkR dV '
4 V R
如果我们把k=ω/v代入上式，并重新引入时间因子ejωt，则得
第七章 电磁波的辐射
7.1 滞后位 45.46学时）
7.2
7.3 对偶原理与磁基本振子的辐射场
7.4
（47.48学时）
7.5
7.6 面天线的辐射场
7.7 互易原理
返回
第45.46学时 7.1 滞 后 位
2 A k 2 A J 2 k 2
时谐场中，电荷源ρ和电流源J之间以电流连续性方程
J j
j k r
（k1r）2 e jkr
7.2.2 电基本振子的电磁场分析
1. 近区场
当kr<<1时，r<<λ/2π，即场点P与源点的距离r远小于波长λ 的区域称为近区。在近区中，
1 kr
1 (k r)2
1 (k r)3
, e jkr
1
Er
j
Idl cos 2 r3
2p
4 r3
c
os
E
j
Idl sin 2 r3
图 7 - 2 电流元与短对称振子
7.2.1 电基本振子的电磁场计算 图 7 - 3 电基本振子
取短导线的长度为dl，横截面积为ΔS，因为短导线仅占有 一个很小的体积dV=dl·ΔS，故有
J (r' )dV '
I S
Sdlez
Idlez
又由于短导线放置在坐标原点，dl很小，因此可取r′=0，从而有
面S2上的φ（r′)可以用小球球心处的φ(r)代替：
lim
a0
S2
(r'
)
e jk R2
R
R
a
a
2d'
(
r
)
d' 4 (r)
S2
(r) 1 (r' ) e jkRdV '
4 V R
1
4
S
(r' )
R
e jkR R
(r' )
R
e jkR R
dS'
矢量位A的每个直角坐标分量均可用形如上式的积分表示，于是
图 7 - 1 求解式(7 - 6)用图
于是积分在体积V1=V-V2及其表面S1=S+S2上进行：
[ (r' )2 2 (r' )]dV ' V1
S
(r'
)
n
(r'
n
)
dS '
S2
(r'
)
n
(r'
n
)
dS '
在S2上积分时，外法线方向指向小球球心P点于是
；
面元 d/ Sn′=a2dΩ/′，RdΩ′是dS′对P点所张的立体角元。这样，
振子的远区场是横电磁波(TEM波) 。
② 场的相位：无论Eθ或Hφ，其空间相位因子都是-kr，即其 空间相位随离源点的距离r增大而滞后，等相位面是r为常数的球
返回
将ρ与J联系起来，而标量位φ和矢量位A之间也存在一定的 关系。这一关系就是洛仑兹条件，即式(5 - 77)：
A j
电磁场与标量位φ和矢量位A之间的关系式为
B A
E
j
( k2
A)
源自文库
A
7.1.1 亥姆霍兹积分及辐射条件
(u2w w2u)dV (uw wu) dS
V
S
求式(5 - 79)中的标量位φ，并且导出辐射条件。格林定理中的u
远区电磁场表达式简化为
E
j
Idlk2 sin 4 r
e jkr
j Idl sin 2r
e jkr
E
j
Idlk sin 4r
e jkr
j Idl sin 2r
e jkr
① 场的方向：电场只有Eθ分量；磁场只有Hφ分量。其复坡
印廷矢量为
S
1 2
E
H
*
er
1 2
E
H*
er
1 2
E 2
可见，E、H互相垂直，并都与传播方向er相垂直。因此电基本
S2
(r' )
R
e jkR R
e jkR R
(r
n
'
)
Ra
a
2d'
S2
(r'
)
1 R2
jk R
e jkR
e jkR R
(r
n
'
)
Ra
a
2d'
令a→0，小球面S2收缩成点P。考虑到 / R 有限，上式中的
积分只剩下被积函数是φ(r′)·e-jkR/R2的一项不等于零。此时小球