工程力学(王永跃版)第八章
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23
2. 剪切胡克定律
Me
Me
g
A D BC
j
薄壁圆筒的扭转实验表明：当横截面上切应力 不超过
材料的剪切比例极限p时，外力偶矩Me(数值上等于扭矩T )
与相对扭转角j 成线性正比例关系，从而可知 与g 亦成线 性正比关系：
Gg
这就是材料的剪切胡克定律，式中的比例系数G 称为材料的切变模量。
r0 d A T，于是有
A
dA
m
x
T T 2 r0 d A r0 (2πr0 ) 2πr0
A
T
2 引进 A0 πr0 ，上式亦可写作
T 2A0
20
§8-4 切应力互等定理和剪切胡克定律 1. 单元体· 切应力互等定理 以横截面、径向截面以及与表面平行的面(切向 截面)从受扭的薄壁圆筒或等直圆杆内任一点处截取 一微小的正六面体——单元体。
解：（1）计算传动轴的扭矩 P 30 T M e 9550 9550 204N m n 1400 （2）强度校核
τ max Tmax T 16 204 16.2 106 Pa 16.2MPa WP d 3 /16 3.14 0.043
13
思考：如果将从动轮D与C的位置对调，试作该传
动轴的扭矩图。这样的布置是否合理？
14
4.78
6.37
15.9
4.78
15
用简便法求扭矩： 任一横截面上的扭矩等于该截面一侧上所有外力 对轴之矩的代数和。背离该截面的外力矩矢取+号， 指向该截面的外力矩矢取-号。
16
§8-3 薄壁圆筒的扭转
r0 薄壁圆筒——通常指 的圆筒 10 Me Me m
可知，杆的相距 l 的
两横截面之间的相对扭转角j为
j dj
l
T dx 0 GI p
l
当等直圆杆相距 l 的两横截面之间，扭矩T及 材料的切变模量G为常量时有
Tl j GI p
42
§8-8 扭转的强度和刚度条件
1. 强度条件
max [ ]
此处[]为材料的许用切应力
对于等直圆轴亦即
作的情况。
4
§8-2 扭矩的计算和扭矩图 Ⅰ. 传动轴的外力偶矩
当传动轴稳定转动时，作用于某一轮上的外 力偶在t秒钟内所作功等于外力偶之矩Me乘以轮
在t秒钟内的转角a 。
5
因此，外力偶Me每秒钟所作功，
即该轮所传递的功率为
{P}kw {a }rad {M e }Nm 103 {t}s {M e }Nm rad 103
24
§8-5 圆截面杆扭转时横截面上的应力 横截面上的应力公式推导：
表面 变形 情况 推断 横截面 的变形 情况 横截面 上应变 应力-应变关系
的变化
规律
(问题的几何方面) 横截面上 应力变化 规律 (问题的物理方面) 内力与应力的关系 横截面上应力 的计算公式 (问题的静力学方面)
25
1、几何方面
29
3、 静力学方面
即 dj G dx
A
dA T
A
2 dA T
其中A 2 d A 称为横截面的极惯性矩Ip， 它是横截面的几何性质。 以 I p d A 代入上式得：
2 A
dj T d x GI p
从而得等直圆杆在线弹性范围内扭转时，横截面上任一点 处切应力计算公式
11
2. 计算各段的扭矩
T BC段内：1 M 2 4.78 kN m
注意这个扭矩是假定为负的 CA段内： T2 M 2 M3 9.56 kN m
(负)
AD段内： T3 M 4 6.37 kN m
12
3. 作扭矩图
由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩Tmax在CA段 内，其值为9.56 kN· m。
（1）表面变形情况：
(a) 相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但它们的大小和形 状未变，小变形情况下它们的间距也未变； (b) 纵向线倾斜了一个角度g 。 平面假设——等直圆杆受扭转时横截面如同刚性平面
绕杆的轴线转动，小变形情况下相邻横截面的间距不变。
推知：杆的横截面上只有切应力，且垂直于半径。
26
（2）横截面上一点处的切应变随点的位置的变化规律：
T(+)
T(-)
9
例题8-1 一传动轴如图，转速 n 300 r min ；
主动轮输入的功率P1= 500 kW，三个从动轮输出的
功率分别为：P2= 150 kW，P3= 150 kW，P4= 200
kW。试作轴的扭矩图。
10
解：1. 计算作用在各轮上的外力偶矩
500 M 1 (9.55 )kN m 15.9 kN m 300 150 M 2 M 3 (9.55 ) kN m 4.78 kN m 300 200 M 4 (9.55 )k N m 6.37 kN m 300
第8章 扭转
1
§8-1 扭转的概念及实例
受力特点： 圆截面直杆在与杆的轴线垂直平面内的外力
偶Me作用下发生扭转。
Me Me
变形特点： Ⅰ. 相邻横截面绕杆的轴线有相对转动；
Ⅱ. 杆表面的纵向线变成螺旋线； Ⅲ. 实际构件在工作时除发生扭转变形外， 还伴随有弯曲或拉、压等变形。
2
Me
Me
g
A D BC l
45 max
45 min ，如图所示。
36
至于上图所示单元体内不垂直于前、后两平面的任意
斜截面上的应力，经类似上面所作的分析可知，也只与单
元体四个侧面上的切应力相关。因此这种应力状态称为纯 剪切应力状态。
37
低碳钢扭转破坏断口
38
铸铁扭转破坏断口
利用 '，经整理得
a sin 2a , a cos2a
35
a sin 2a , a cos2a
由此可知： (1) 单元体的四个侧面(a = 0°和 a = 90°)上 切应力的绝对值最大； (2) a =-45°和a =+45°截面上切应力为零， 而正应力的绝对值最大。
21
由单元体的平衡条件∑Fx=0 知单元体的上、下
两个平面(即杆的径向截面上)必有大小相等、指向
相反的一对力'dxdz并组成其矩为'dxdz)dy 力偶。
由
Baidu Nhomakorabea
d y d z d x d x d z d y
可得：
M
z
0
22
即单元体的两个相互垂直的面上，与该两个面 的交线垂直的切应力 和 数值相等，且均指向 (或背离)该两个面的交线——切应力互等定理。
A
D 2 d 2
π πD 4 D4 d 4 1 a 4 32 32 d 其中 a D
πD Ip 1a 4 32
4
π D4 d 4 πD 3 Wp 1a 4 D/2 16D 16 Ip
πD 4 Wp 1 a 16
3
44
3. 解决问题 （1）校核圆杆的强度、刚度
（2）选截面
（3）选荷载
45
例题8−3 一电机的传动轴直径d=40mm，轴传递的功率 P=30kW，转速n=1400 r/min。材料的许用切应力[τ]=40 MPa，切变模量G=80GPa，单位长度的许用扭转角 [θ]=1º /m。试校核此轴的强度和刚度。
O r0
m Me m
l
T m 当其两端面上作用有外力偶矩时，任一横截面上的内力
偶矩——扭矩
T Me
17
Ⅰ. 薄壁圆筒横截面上各点处切应力的变化规律 Me
Me
g
A D BC 推论：
j
(1) 横截面保持为形状、大小未改变的平面，即横截面如 同刚性平面一样；
(2) 相邻横截面只是绕圆筒轴线相对转动，横截面之间的
j
剪切角：螺旋线的切线与原纵向线的 夹角γ称为剪切角。 相对扭转角：截面B相对于截面A转动 j 的角度 ，称为相对扭转角。
3
Me
从动轮
n
主轴
主动轮 叶片
本章研究杆件发生除扭转变形外，其它变形可忽略的 情况，并且以圆截面(实心圆截面或空心圆截面)杆为主要
研究对象。此外，所研究的问题限于杆在线弹性范围内工
{ M e }N m 9.55
{ P }kw kN m { n} r
min
主动轮上的外力偶其转向与传动轴的转动方向 相同，而从动轮上的外力偶则转向与传动轴的转 动方向相反。
7
Ⅱ. 扭矩及扭矩图
传动轴横截面上的扭矩T 可利用截面法来计算。
Me 1 Me
1 Me
T
T = Me
Me
T
8
扭矩的正负可按右手螺旋法则确定：扭矩矢 量（大拇指）背离截面为正，指向截面为负。
s
{M e }Nm 2π
{n} r
min
60
103
因此，在已知传动轴的转速n(亦即传动轴上 每个轮的转速)和主动轮或从动轮所传递的功率P 之后，即可由下式计算作用于每一轮上的外力偶 矩：
6
{ M e }N m
{ P }kw 9.55 10 N m { n} r
3 min
a T
b
T
O1
A
E
g
G D G' D' dx dx
O2
dj
g
a O1 E
GG g ρ tang ρ EG dj dx
b
即
O2 G
D D'
d/2
A
g
g
dj G'
dj gρ dx
27
a T
b
gρ
dj dx
T
O1
A
E
g
G D G' D' dx
O2
dj
dj 式中 ——相对扭转角 dx
（3）刚度校核
Tmax 180 32T 180 32 204 180 0.58 4 10 4 2 m GI p G d 8 10 0.04 3.14
31
圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp： 实心圆截面：
Ip 2 d A
A
d 2 0
πd 4 2π 3 d 32
πd 4 Ip 32
πd 3 Wp d / 2 16 Ip
πd 3 Wp 16
32
空心圆截面：
I p 2 d A 2π 3 d
距离未变。
18
Me
m r0
dA
m
x
横截面上的应力： (1) 只有与圆周相切的切应力，且圆周上所有点处的 切应力相同；
(2) 对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚均匀分布；
(3) 横截面上无正应力。
19
Ⅱ. 薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式：
由 A d A r T 根据应力分布可知
Me m r0
33
§8-6 斜截面上的应力
现分析单元体内垂直于前、后两平面的任一
斜截面 ef (如图)上的应力。
34
分离体上作用力的平衡方程为
a d A d A cosa sin a d A sin a cosa 0
F 0, F 0,
a d A d A cosa cosa d A sin a sin a 0
39
思考：低碳钢和铸铁的圆截面试件其扭转破坏的断口
分别如图a及图b所示，试问为什么它们的断口形式不同？
40
§8-7圆轴扭转时的变形
等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的相对扭 转角(相对角位移) j 来度量。
Me Me
g
A D BC
j
41
由前已得到的扭转角沿杆长的变化率(亦称单位
长度扭转角)为
dj T d x GI p
max
Tmax [ ] Wp
43
2. 刚度条件
max [ ]
式中的许可单位长度扭转角[θ]的常用单位是(°)/m。 此时，等直圆杆在扭转时的刚度条件表示为：
Tmax 180 [ ] GI p π
对于精密机器的轴[θ]≈0.15~0.30 (°)/m； 对于一般的传动轴[θ]≈2 (°)/m。
T T ρ G GI I p p
30
T
max
T Ip
横截面周边上各点处 r)的
最大切应力为
max
d
T
max
d
max
Tr T T I p I p Wp r
max
D
式中Wp称为扭转截面系数，其单 位为 m3。
g
a
j 沿杆长的变化率，常用 来
表示，对于给定的横截面为常
量。
b
可见，在横截面的同一半径 的圆周上各点处 的切应变g 均相同；g 与 成正比，且发生在与半 径垂直的平面内。
28
2、 物理方面 由剪切胡克定律 Gg 知
dj Gg G dx
可见，在横截面的同一半径 的圆周上各 点处的切应力 均相同，其值 与 成正比，其 方向垂直于半径。
2. 剪切胡克定律
Me
Me
g
A D BC
j
薄壁圆筒的扭转实验表明：当横截面上切应力 不超过
材料的剪切比例极限p时，外力偶矩Me(数值上等于扭矩T )
与相对扭转角j 成线性正比例关系，从而可知 与g 亦成线 性正比关系：
Gg
这就是材料的剪切胡克定律，式中的比例系数G 称为材料的切变模量。
r0 d A T，于是有
A
dA
m
x
T T 2 r0 d A r0 (2πr0 ) 2πr0
A
T
2 引进 A0 πr0 ，上式亦可写作
T 2A0
20
§8-4 切应力互等定理和剪切胡克定律 1. 单元体· 切应力互等定理 以横截面、径向截面以及与表面平行的面(切向 截面)从受扭的薄壁圆筒或等直圆杆内任一点处截取 一微小的正六面体——单元体。
解：（1）计算传动轴的扭矩 P 30 T M e 9550 9550 204N m n 1400 （2）强度校核
τ max Tmax T 16 204 16.2 106 Pa 16.2MPa WP d 3 /16 3.14 0.043
13
思考：如果将从动轮D与C的位置对调，试作该传
动轴的扭矩图。这样的布置是否合理？
14
4.78
6.37
15.9
4.78
15
用简便法求扭矩： 任一横截面上的扭矩等于该截面一侧上所有外力 对轴之矩的代数和。背离该截面的外力矩矢取+号， 指向该截面的外力矩矢取-号。
16
§8-3 薄壁圆筒的扭转
r0 薄壁圆筒——通常指 的圆筒 10 Me Me m
可知，杆的相距 l 的
两横截面之间的相对扭转角j为
j dj
l
T dx 0 GI p
l
当等直圆杆相距 l 的两横截面之间，扭矩T及 材料的切变模量G为常量时有
Tl j GI p
42
§8-8 扭转的强度和刚度条件
1. 强度条件
max [ ]
此处[]为材料的许用切应力
对于等直圆轴亦即
作的情况。
4
§8-2 扭矩的计算和扭矩图 Ⅰ. 传动轴的外力偶矩
当传动轴稳定转动时，作用于某一轮上的外 力偶在t秒钟内所作功等于外力偶之矩Me乘以轮
在t秒钟内的转角a 。
5
因此，外力偶Me每秒钟所作功，
即该轮所传递的功率为
{P}kw {a }rad {M e }Nm 103 {t}s {M e }Nm rad 103
24
§8-5 圆截面杆扭转时横截面上的应力 横截面上的应力公式推导：
表面 变形 情况 推断 横截面 的变形 情况 横截面 上应变 应力-应变关系
的变化
规律
(问题的几何方面) 横截面上 应力变化 规律 (问题的物理方面) 内力与应力的关系 横截面上应力 的计算公式 (问题的静力学方面)
25
1、几何方面
29
3、 静力学方面
即 dj G dx
A
dA T
A
2 dA T
其中A 2 d A 称为横截面的极惯性矩Ip， 它是横截面的几何性质。 以 I p d A 代入上式得：
2 A
dj T d x GI p
从而得等直圆杆在线弹性范围内扭转时，横截面上任一点 处切应力计算公式
11
2. 计算各段的扭矩
T BC段内：1 M 2 4.78 kN m
注意这个扭矩是假定为负的 CA段内： T2 M 2 M3 9.56 kN m
(负)
AD段内： T3 M 4 6.37 kN m
12
3. 作扭矩图
由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩Tmax在CA段 内，其值为9.56 kN· m。
（1）表面变形情况：
(a) 相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但它们的大小和形 状未变，小变形情况下它们的间距也未变； (b) 纵向线倾斜了一个角度g 。 平面假设——等直圆杆受扭转时横截面如同刚性平面
绕杆的轴线转动，小变形情况下相邻横截面的间距不变。
推知：杆的横截面上只有切应力，且垂直于半径。
26
（2）横截面上一点处的切应变随点的位置的变化规律：
T(+)
T(-)
9
例题8-1 一传动轴如图，转速 n 300 r min ；
主动轮输入的功率P1= 500 kW，三个从动轮输出的
功率分别为：P2= 150 kW，P3= 150 kW，P4= 200
kW。试作轴的扭矩图。
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解：1. 计算作用在各轮上的外力偶矩
500 M 1 (9.55 )kN m 15.9 kN m 300 150 M 2 M 3 (9.55 ) kN m 4.78 kN m 300 200 M 4 (9.55 )k N m 6.37 kN m 300
第8章 扭转
1
§8-1 扭转的概念及实例
受力特点： 圆截面直杆在与杆的轴线垂直平面内的外力
偶Me作用下发生扭转。
Me Me
变形特点： Ⅰ. 相邻横截面绕杆的轴线有相对转动；
Ⅱ. 杆表面的纵向线变成螺旋线； Ⅲ. 实际构件在工作时除发生扭转变形外， 还伴随有弯曲或拉、压等变形。
2
Me
Me
g
A D BC l
45 max
45 min ，如图所示。
36
至于上图所示单元体内不垂直于前、后两平面的任意
斜截面上的应力，经类似上面所作的分析可知，也只与单
元体四个侧面上的切应力相关。因此这种应力状态称为纯 剪切应力状态。
37
低碳钢扭转破坏断口
38
铸铁扭转破坏断口
利用 '，经整理得
a sin 2a , a cos2a
35
a sin 2a , a cos2a
由此可知： (1) 单元体的四个侧面(a = 0°和 a = 90°)上 切应力的绝对值最大； (2) a =-45°和a =+45°截面上切应力为零， 而正应力的绝对值最大。
21
由单元体的平衡条件∑Fx=0 知单元体的上、下
两个平面(即杆的径向截面上)必有大小相等、指向
相反的一对力'dxdz并组成其矩为'dxdz)dy 力偶。
由
Baidu Nhomakorabea
d y d z d x d x d z d y
可得：
M
z
0
22
即单元体的两个相互垂直的面上，与该两个面 的交线垂直的切应力 和 数值相等，且均指向 (或背离)该两个面的交线——切应力互等定理。
A
D 2 d 2
π πD 4 D4 d 4 1 a 4 32 32 d 其中 a D
πD Ip 1a 4 32
4
π D4 d 4 πD 3 Wp 1a 4 D/2 16D 16 Ip
πD 4 Wp 1 a 16
3
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3. 解决问题 （1）校核圆杆的强度、刚度
（2）选截面
（3）选荷载
45
例题8−3 一电机的传动轴直径d=40mm，轴传递的功率 P=30kW，转速n=1400 r/min。材料的许用切应力[τ]=40 MPa，切变模量G=80GPa，单位长度的许用扭转角 [θ]=1º /m。试校核此轴的强度和刚度。
O r0
m Me m
l
T m 当其两端面上作用有外力偶矩时，任一横截面上的内力
偶矩——扭矩
T Me
17
Ⅰ. 薄壁圆筒横截面上各点处切应力的变化规律 Me
Me
g
A D BC 推论：
j
(1) 横截面保持为形状、大小未改变的平面，即横截面如 同刚性平面一样；
(2) 相邻横截面只是绕圆筒轴线相对转动，横截面之间的
j
剪切角：螺旋线的切线与原纵向线的 夹角γ称为剪切角。 相对扭转角：截面B相对于截面A转动 j 的角度 ，称为相对扭转角。
3
Me
从动轮
n
主轴
主动轮 叶片
本章研究杆件发生除扭转变形外，其它变形可忽略的 情况，并且以圆截面(实心圆截面或空心圆截面)杆为主要
研究对象。此外，所研究的问题限于杆在线弹性范围内工
{ M e }N m 9.55
{ P }kw kN m { n} r
min
主动轮上的外力偶其转向与传动轴的转动方向 相同，而从动轮上的外力偶则转向与传动轴的转 动方向相反。
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Ⅱ. 扭矩及扭矩图
传动轴横截面上的扭矩T 可利用截面法来计算。
Me 1 Me
1 Me
T
T = Me
Me
T
8
扭矩的正负可按右手螺旋法则确定：扭矩矢 量（大拇指）背离截面为正，指向截面为负。
s
{M e }Nm 2π
{n} r
min
60
103
因此，在已知传动轴的转速n(亦即传动轴上 每个轮的转速)和主动轮或从动轮所传递的功率P 之后，即可由下式计算作用于每一轮上的外力偶 矩：
6
{ M e }N m
{ P }kw 9.55 10 N m { n} r
3 min
a T
b
T
O1
A
E
g
G D G' D' dx dx
O2
dj
g
a O1 E
GG g ρ tang ρ EG dj dx
b
即
O2 G
D D'
d/2
A
g
g
dj G'
dj gρ dx
27
a T
b
gρ
dj dx
T
O1
A
E
g
G D G' D' dx
O2
dj
dj 式中 ——相对扭转角 dx
（3）刚度校核
Tmax 180 32T 180 32 204 180 0.58 4 10 4 2 m GI p G d 8 10 0.04 3.14
31
圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp： 实心圆截面：
Ip 2 d A
A
d 2 0
πd 4 2π 3 d 32
πd 4 Ip 32
πd 3 Wp d / 2 16 Ip
πd 3 Wp 16
32
空心圆截面：
I p 2 d A 2π 3 d
距离未变。
18
Me
m r0
dA
m
x
横截面上的应力： (1) 只有与圆周相切的切应力，且圆周上所有点处的 切应力相同；
(2) 对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚均匀分布；
(3) 横截面上无正应力。
19
Ⅱ. 薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式：
由 A d A r T 根据应力分布可知
Me m r0
33
§8-6 斜截面上的应力
现分析单元体内垂直于前、后两平面的任一
斜截面 ef (如图)上的应力。
34
分离体上作用力的平衡方程为
a d A d A cosa sin a d A sin a cosa 0
F 0, F 0,
a d A d A cosa cosa d A sin a sin a 0
39
思考：低碳钢和铸铁的圆截面试件其扭转破坏的断口
分别如图a及图b所示，试问为什么它们的断口形式不同？
40
§8-7圆轴扭转时的变形
等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的相对扭 转角(相对角位移) j 来度量。
Me Me
g
A D BC
j
41
由前已得到的扭转角沿杆长的变化率(亦称单位
长度扭转角)为
dj T d x GI p
max
Tmax [ ] Wp
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2. 刚度条件
max [ ]
式中的许可单位长度扭转角[θ]的常用单位是(°)/m。 此时，等直圆杆在扭转时的刚度条件表示为：
Tmax 180 [ ] GI p π
对于精密机器的轴[θ]≈0.15~0.30 (°)/m； 对于一般的传动轴[θ]≈2 (°)/m。
T T ρ G GI I p p
30
T
max
T Ip
横截面周边上各点处 r)的
最大切应力为
max
d
T
max
d
max
Tr T T I p I p Wp r
max
D
式中Wp称为扭转截面系数，其单 位为 m3。
g
a
j 沿杆长的变化率，常用 来
表示，对于给定的横截面为常
量。
b
可见，在横截面的同一半径 的圆周上各点处 的切应变g 均相同；g 与 成正比，且发生在与半 径垂直的平面内。
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2、 物理方面 由剪切胡克定律 Gg 知
dj Gg G dx
可见，在横截面的同一半径 的圆周上各 点处的切应力 均相同，其值 与 成正比，其 方向垂直于半径。