斜面问题汇总分析

“斜面”问题分析

刘德良 杨磊 崔磊

（山东省聊城第一中学 252000）

一、物体在单斜面上处于平衡状态

1．物体处于静止状态

⑴物体本身静止在斜面上

物体受力如图1所示，在最大静摩擦力等于滑动摩擦力的条件下，由共点力的平衡条

件有：F f ＝mg sin θ，F N ＝mg cos θ，F f ≤μF N ,可得：tan θ≤μ。

结论：满足条件tan θ≤μ时，物体一定能在斜面上处于静止，这种现象也叫自锁，在

生活中的应用有螺丝和螺母、盘山公路、楔子等。

例1．如图2所示，物块A 放在倾斜程度可调的斜面上，已知斜面的倾角θ分别为30º和45º时物块所受摩擦力的大小恰好相同，则物块和斜面间的动摩擦因数为

A ．21

B ．23

C ．22

D ．25 分析与解：物体A 处于静止时有F f ＝mg sin θ，可知，F f 大小取决于倾角θ，由题

意知倾角θ分别为30º和45º时物块所受摩擦力的大小恰好相同，可知：倾角θ＝30º时为静摩擦力，可得F f1＝mg sin30º。倾角θ＝45º时为滑动摩擦力，F f2＝μF N , F N ＝mg cos θ，可得F f2＝μmg cos45º。 由题意知，F f1＝F f2，即mg sin30º＝μmg cos45º，得2

2=μ。C 正确。 ⑵在其它力的作用力静止在斜面上 例2．如图3所示，位于斜面上的物块M 在沿斜面向上的力F 作用下，处于静止状态，则斜面作用于物块的静摩擦力

A ．方向可能沿斜面向上

B ．方向可能沿斜面向下

C ．大小可能等于零

D ．大小可能等于F

分析与解：物块M 处于静止状态，由物体的平衡条件，有F ＋F f －mg sin α＝0，F f =mg sin α－F 。可知： 当mg sin α＞F 时，F f ＞0，即沿斜面向上，A 正确；当mg sin α＜F 时，F f ＜0，即F f 的方向沿斜面向下，B 正确；当mg sin α＝F 时，F f = 0，物块不受静摩擦力作用，C 正确；当F ＝αsin 21mg 时，F f =αsin 21mg ，即F f ＝F ，D 正确。选ABCD 。

2．物体在斜面上匀速运动

例3．如图4所示，质量为m 的物体沿斜面匀速下滑。下列说法正确的是

A ．物体所受合力的方向沿斜面向下

B ．斜面对物体的支持力等于物体的重力

C ．物体下滑速度越大说明物体所受摩擦力越小

D ．斜面对物体的支持力和摩擦力的合力的方向竖直向上

答案：D 。

3．涉及斜面的物体的动态分析 ⑴物体在斜面上缓慢运动 例4．如图5所示，光滑斜面的倾角为θ，在斜面上放一个质量为m 的球，再用光滑板OA 将球挡住。缓慢改变板与斜面间的夹角α，问当α多大时，板OA 所受的压力最小？这个最小压力是多大？ 分析与解：在缓慢改变板与斜面间的夹角α时，小球所受力的矢量三角形变化如图

5所示，可知，当板垂直斜面即α＝90º时，压力最小且F min ＝G sin θ＝mg sin θ。

⑵斜面在缓慢平动

例5．如图6所示，小球被细绳斜吊着放在光滑斜面上，在向左缓慢推动斜面一

板

图

3

图1

图2 图4

小段距离的过程中，绳子受到的拉力和斜面受到的压力将

A ．减小，增大

B ．增大，增大

C ．减小，不变

D ．增大，不变

分析与解：如例4，作出小球受到的三力的矢量三角形变化图，可知答案为A 。

⑶斜面在缓慢转动

例6．如图7所示，水平木板AB 上放着一个质量为m 的木块C ，现将B 端缓慢抬

起，当θ＝θ1时，物体C 仍相对于木板静止；当θ增大到θ2时，C 刚要开始滑动；C 滑动后调整θ到θ3时，C 刚好匀速下滑。求：在θ角从0º增大到90º的过程中，木块受到的最大静摩擦力为多少？木块与木板间的动摩擦因数为多少？

分析与解：此题中倾斜的木板类似斜面，木块刚要开始滑动时的静摩擦力为最大静摩擦力，有F fm ＝mg sin θ2。C 匀速下滑时滑动摩擦力F f ＝μmg cos θ3，由力的平衡得F f ＝mg sin θ3，可得μ＝tan θ3。

二、物体在单斜面上的动力学问题

1．物体自身沿斜面加速下滑

物体受力如图8所示，由牛顿第二定律有：mg sin θ－μmg cos θ＝ma ，可得： a ＝g (sin θ－μcos θ)。由公式可以看出a 的大小由θ值和μ值决定。对公式进行讨论：

⑴a ＞0，即tan θ＞μ时，物体一定不能在斜面上处于静止状态，会沿斜面加速下滑，其下滑加速度a ＝g (sin θ－μcos θ)。 a ＜0，即tan θ＜μ时，物体会静止在斜面上。但当物体有沿斜面向下的速度时，受力不变，以加速度大小a ＝g (μcos θ－sin θ)做匀减速直线运动。

⑵θ取不同值时：①θ＝90º时，a ＝g ，为自由落体的情况；②θ＝0º时，a ＝－μg ，为物在水平面上滑动时的情况。可见，自由落体和水平面可以看作斜面的两种特殊情况。

⑶μ＝0时，斜面光滑，有a ＝g sin θ。

2．物体在其他力作用下沿斜面的匀变速运动

例7．在倾角θ＝37º的足够长的固定的斜面底端有一质量m ＝1.0kg 的物体。物体与斜面间动摩擦因数μ＝0.25，现用轻细绳将物体由静止沿斜面向上拉动，拉力F ＝10.0N ，方向平行斜面向上。经时间t ＝4.0s 绳子突然断了，则从绳子断了开始到物体再返回到斜面底端的运动时间？g ＝10m/s 2。

分析与解：物体上滑时，有F －mg sin θ－μmg cos θ＝ma 1，可得：a 1＝2m/s 2。

绳子断时的速度为υ＝a 1t ＝8m/s 。绳子断后，有mg sin θ＋μmg cos θ＝ma 2，可得：a 2＝8m/s 2。

经时间t 1减速到0，有0＝υ－a 2t 1，得t 1＝1.0s ，上行位移为=+=)(2

1t t x υ20m 。 速度为零时有：μ＝0.25＜tan37º，物体加速下滑，有mg sin θ－μmg cos θ＝ma 3，可得：a 3＝4m/s 2， 由2232

1t a x =，可得t 2＝10s ，故所求时间为t 3＝t 1＋t 2＝（1＋10）s ≈4.16s 。 3．物体在斜面上的往复运动

例8．如图9所示，在倾角为37º的斜面两端，垂直于斜面方向固定两个弹性板，两板相距L ＝2m ，质量为10g ，带电量为+1.0×10－7C 的物体与斜面的摩擦系数为0.2，物体

在斜面中点时速度大小为10m/s ，物体在运动过程中与弹性板碰撞中无机械能损失，物体在运动中保持电量不变，若匀强电场场强E ＝2.0×106N/C ，求物体在斜面上通过的路程？（g =10m/s 2）

分析与解：物体与弹性板碰撞时不做功，只改变运动方向，在整个过程中不断克服摩擦力做功。F f ＝μmg cos37º＝0.016N ，mg sin37º＝0.06N ，qE ＝0.2N ，即mg sin37º＋ F f ＜qE ，故最后物体应停在紧靠上边弹性板处，由动能定理得：22

1022υm x F L mg L qE f -=--，可解得x ＝40m 。 4．斜面加速运动的临界状态 例9．如图10所示，光滑的斜面小车，若斜面的倾角为θ

，则使斜面上的物体能与斜图7

图8

图9