导数的应用-函数极值与最大值最小值

《高等数学》教案

【教学过程】

第五节 函数的极值与最大值最小值

一、函数的极值及其求法 极值的定义:

定义 设函数()f x 在区间(,)a b 内有定义，0(,)x a b ∈． 如果在0x 的某一去心邻域内有

0()()f x f x <则称0()f x 是函数()f x 的一个极大值；如果在0x 的某一去心邻域内有0()()f x f x <，

则称0()f x 是函数()f x 的一个极小值．

设函数()f x 在点0x 的某邻域0()U x 内有定义, 如果在去心邻域0()U x 内有0()()f x f x < (或

0()()f x f x >)，

则称0()f x 是函数()f x 的一个极大值(或极小值)．

函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点．

函数的极大值和极小值概念是局部性的．如果0()f x 是函数()f x 的一个极大值， 那只是就0x 附近的一个局部范围来说，0()f x 是f (x )的一个最大值；如果就()f x 的整个定义域来说， 0()f x 不一定是最大值．关于极小值也类似．

极值与水平切线的关系：在函数取得极值处, 曲线上的切线是水平的． 但曲线上有水平切线的地方， 函数不一定取得极值．

定理1 (必要条件)设函数()f x 在点0x 处可导， 且在0x 处取得极值, 那么这函数在0x 处的导数为零， 即'0()0f x =．

驻点: 使导数为零的点(即方程'0()0f x =的实根)叫函数()f x 的驻点． 定理１就是说： 可导函数

()f x 的极值点必定是函数的驻点． 但的过来， 函数()f x 的驻点却不一定是极值点．

考察函数3

()f x x =在0x =处的情况．

定理２(第一充分条件)设函数()f x 在点0x 的一个邻域内连续， 在0x 的左右邻域内可导．

(1) 如果在0x 的某一左邻域内'()0f x >，在0x 的某一右邻域内'

()0f x <，那么函数()f x 在0x 处

取得极大值；

(2) 如果在0x 的某一左邻域内'()0f x <， 在0x 的某一右邻域内'()0f x >， 那么函数()f x 在0x 处取得极小值；

(3)如果在0x 的某一邻域内'()f x 不改变符号， 那么函数()f x 在0x 处没有极值．

定理2也可简单地这样说： 当x 在0x 的邻近渐增地经过0x 时， 如果'()f x 的符号由负变正， 那么

()f x 在0x 处取得极大值； 如果'()f x 的符号由正变负， 那么()f x 在0x 处取得极小值； 如果'()

f x 的符号并不改变， 那么()f x 在0x 处没有极值 (注： 定理的叙述与教材有所不同) ． 确定极值点和极值的步骤: (1)求出导数'()f x ；

(2)求出()f x 的全部驻点和不可导点；

(3)列表判断(考察'()f x 的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况， 以便确定该点是否是极值点， 如果是极值点， 还要按定理2确定对应的函数值是极大值还是极小值)； (4)确定出函数的所有极值点和极值． 例1求函数32()395f x x x x =--+的极值． 解(1) 2()3693(1)(3)f x x x x x '=--=+-；

(2)令'

()0f x =，得驻点11x =-，23x =;

(3)列表判断

(4)极大值为(1)10f -=，极小值为(3)22f =-．

定理3 (第二充分条件) 设函数()f x 在点0x 处具有二阶导数且'0()0f x =，''0()0f x ≠，那么 (1)当''0()0f x <时， 函数()f x 在0x 处取得极大值;

(1)当''0()0f x >时, 函数()f x 在0x 处取得极小值; 证明 在情形(1), 由于''0()0f x <，按二阶导数的定义有

0)

()(lim

)(0

000

<-'-'=''→x x x f x f x f x x ．

根据函数极限的局部保号性， 当x 在0x 的足够小的去心邻域内时，

0)

()(0

0<-'-'x x x f x f ．

但'()0f x =， 所以上式即

0)

(0

<-'x x x f ． 从而知道, 对于这去心邻域内的x 来说，'

()f x 与0x x -符号相反． 因此，当00x x -<即0x x <时，

'()0f x >；当00x x ->即0x x >时，'()0f x <． 根据定理2，()f x 在点0x 处取得极大值．

定理3 表明，如果函数()f x 在驻点0x 处的二导数''0()0f x ≠，那么该点0x 一定是极值点，并且可以按二阶导数''0()f x 的符来判定0()f x 是极大值还是极小值． 但如果''0()0f x =，定理3就不能应用．

例2 求函数2

3

()(1)1f x x =-+的极值. 解 (1)'

2

2()6(1)f x x x =-．

(2)令'

()0f x =， 求得驻点11x =-，20x =,，31x =． (3)''

2

2

()6(1)(51)f x x x =-- ．

(4)因''

(0)60f =>， 所以()f x 在0x =处取得极小值， 极小值为(0)0f =．

(5)因''''(1)(1)0f f -==，用定理3无法判别．因为在1-的左右邻域内'

()0f x <，所以()f x 在1

-处没有极值； 同理，()f x 在1处也没有极值． 二、最大值最小值问题

在工农业生产、工程技术及科学实验中, 常常会遇到这样一类问题: 在一定条件下, 怎样使“产品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效率最高”等问题, 这类问题在数学上有时可归结为求某一函数（通常称为目标函数）的最大值或最小值问题.