第二次课(偏导数)

(R 为常数) , 例4. 已知理想气体的状态方程 求证: p V T 1 V T p RT p RT 2 , 证: p 说明: 此例表明, V V V 偏导数记号是一个 RT V R V , p T p 整体记号, 不能看作 分子与分母的商 !
u abeax sin by, xy
2
2z 2z 注意:此处 . x y y x
问题： 二阶混合偏导数总相等吗？
例 8
x3 y 2 设 f ( x, y) x y 2 0
当( x , y ) (0,0)时,
( x , y ) (0,0) ( x , y ) (0,0)
d f ( x0 , y) y y0 dy
x0
在点M0 处的切线 M 0Ty 对 y 轴的
斜率.
三、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
z z f x ( x, y ) , f y ( x, y ) x y 若这两个偏导数仍存在偏导数， 则称它们是z = f ( x , y )
x2 y2 ( xy ) | y| ( x 2 y 2 )3 x 1 2 sgn 2 ( y 0) x y y 1, y 0, 符号函数 sgn y 0, y 0, 1, y 0. z 0 y x y0
？
（需用偏导数定义来计算）
z y
x0 y 0
x arcsin arcsin 2 2 x x (y ) lim y 0 y
x
罗比达法则
x lim 2 sgn(y ) 2 y 0 x ( y )
1 y 0 1 y 0
z 故 不存在． x 0 y y 0
x( x 2 y 2 ) ( x , y ) ( 0,0 ) 2 2 2 f y ( x, y) ( x y ) . 0 ( x , y ) ( 0,0 )
可见
偏导数存在 连续.
偏导数的几何意义
设 M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z f ( x, y ) 上一点,
类似的,可以定义 z f ( x, y )在点( x0 , y0 )对y 的偏导数.
即有如下的说法
称一 元函 数 z f ( x , y0 ) 在 x x0 处 的 导 数 f ( x 0 x , y 0 ) f ( x 0 , y 0 ) f ( x , y0 ) f ( x 0 , y0 ) lim lim x 0 x x0 x x x0 为二 元函 数 z f ( x , y ) 在 P0 ( x0 , y0 ) 处 对 x 的偏 导 数 ，
x z 1 z 2z . 求证 y x ln x y
证
z y 1 yx , x
z x y ln x , y
x z 1 z x y 1 1 y yx x ln x y x ln x y y ln x y y x x
2z.
原结论成立．
x z z 例 3 设 z arcsin ，求 ， . 2 2 x y x y
解
z x
1 x 1 2 x y2
2
x x2 y2 x

x2 y2 y2 | y| ( x 2 y 2 )3
| y| 2 . 2 x y
z y
1 x 1 2 x y2
2
x x2 y2 y
当( x , y ) (0,0)时, 按定义可知：
f ( x ,0) f (0,0) 0 f x (0,0) lim lim 0, x 0 x 0 x x f (0, y ) f (0,0) 0 f y (0,0) lim lim wk.baidu.com, y 0 y 0 y y
例6. 证明函数
满足拉普拉斯
2u 2u 2u 方程 u 2 2 2 0 x y z
证：
2
2 3 x r 1 3 x 1 u 4 3 5 r r x2 r 3 r x 2u 1 3 y2 2u 1 3 z2 利用对称性 , 有 2 3 5 , 3 5 2 z r r y r r 2 2 2 u u u 3 3( x2 y2 z 2 ) 2 2 0 2 3 5 x y z r r
u o
u ( x0 , t )
u(x , t )
x0
x
一般地,设函数 z f ( x, y),( x, y) D当 ( x, y ) 沿着平行
x 轴方向变化时, y 不变, x在变, z 实际上是 x 的一元函数
因此, 沿平行于 x轴方向变化率就是把 y 看作常数, 函数关于自变量 x 一阶导数.
第二节 偏导数
教学内容 1 偏导数的定义及其计算方法 2 高阶偏导数 考研要求 1 理解多元函数偏导数的概念及其性质 2 掌握多元函数偏导数的求法
第九章 第二节
1
一、 偏导数定义及其计算法
在这节我们讨论二元函数关于一个自变量的情况 .
引例: 研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 , 就是
将振幅 中的 x 固定于 x0 处, 求 一阶导数与二阶导数. 关于 t 的
f x (0,0) [ f ( x,0)] x0 [0]x 0,
y( y 2 x 2 ) ( x , y ) ( 0 ,0 ) 2 2 2 f x ( x, y) ( x y ) , 0 ( x , y ) ( 0 ,0 )
由对称性 ， 得
亦即: f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 ) lim x 0 x 类似的 f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) lim
y 0
y
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x
p V T RT 1 V T p pV
二、偏导数的几何意义及 函数偏导数存在与函数连续的关系 偏导数存在与连续的关系
一元函数中在某点可导
连续，
连续，
多元函数中在某点偏导数存在
偏导数存在
连续.
xy 2 2 x y 例 5 设 f ( x, y) 0
f ( x , y , z z ) f ( x , y , z ) f z ( x , y , z ) lim . z 0 z
计算偏导数的方法：
求 z f ( x, y) 在某一点(x0,y0)处对 x 的偏导数 (1)求极限（定义法） f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 ) lim x 0 x 通常用于分界点,不连续点以及偏导函数不存在的点.
第九章 第二节 22
r2
例7
设 u e ax cos by ，求二阶偏导数.
解
u aeax cos by, x
u beax sin by; y
2u 2 ax b e cos by, 2 y u abeax sin by. yx
2
2u 2 ax a e cos by, 2 x
的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导 二阶混合偏导数 数: z 2z z 2 z ( ) f x y ( x, y ) ( ) 2 f x x ( x, y ); y x x y x x x
2 z 2 z z ( ) 2 f y y ( x, y ); ( ) z f ( x, y ). yx y y y x y y x
求 f ( x , y )的二阶混合偏导数 .
解
3 x 2 y( x 2 y 2 ) 2 x x 3 y 3 x2 y 2 x4 y f x ( x, y) 2 2 2 2 2 2 2 2, (x y ) x y (x y ) x3 2 x3 y2 f y ( x, y) 2 2 2 2 2, x y (x y )
( x , y ) (0,0) ( x , y ) (0,0)
求 f ( x, y ) 的 偏 导 （ 函 ） 数 . 分界点 解 当( x , y ) (0,0)时, xy 视 y 为常量 y( x 2 y 2 ) 2 x xy f x ( x, y) x2 y2 x 2 2 2 (x y ) 2 2 y( y x ) 2 , 2 2 (x y ) 当( x, y ) (0,0)时，
解法1:
z x (1, 2)
解法2: z
z 2x 3y , x
z 3x 2 y y z y (1, 2)
2 x 6x 4 y 2
z x (1, 2)
z
x 1 1 3 y
y
2
z y (1, 2)
例2
设 z x y ( x 0 , x 1) ，
如图
二元函数偏导数的几何意义:
f x
x x0 y y0
d f ( x, y 0 ) x x0 dx
z
M0
Tx
y0
Ty
z f ( x, y ) 在点 M0 处的切线 是曲线 y y0 M 0Tx 对 x 轴的斜率.
f y
是曲线
x x0 y y0
o x
y
(2)借助一元函数求导运算，先求 z f ( x, y) 对应的 偏导函数 f x ( x, y), 而 f x ( x0 , y0 ) 就是偏导函数 f x ( x, y)在 在点(x0,y0)处的值. 注意 方法(2)要求偏导函数 f x ( x, y) 在点(x0,y0)处有意义.
2 2 z x 3 x y y 在点(1 , 2) 处的偏导数. 例1 . 求
偏导数的概念可以推广到二元以上的多元函数
如 u f ( x, y, z ) 在 ( x , y, z ) 处
f ( x x , y , z ) f ( x , y , z ) f x ( x , y , z ) lim , x 0 x
f ( x , y y , z ) f ( x , y , z ) f y ( x , y , z ) lim , y 0 y
定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 类似可以定义更高阶的偏导数.
例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为
z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶
偏导数为
n z ( ) n 1 y x y 注意 与一阶偏导数计算类似，但特殊点仍需用定义.
定义1. 设函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域内
极限
x0 x
x
x0
存在, 则称此极限为函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 对 x 的偏导数，记为
f ; x ( x0 , y 0 )
zx
( x0 , y 0 )
;
f1( x0 , y0 ) .
或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为
偏导数 , 记为
注意
z f ( x, y ) , , z y , f y ( x, y ) , f 2 y y f ( x h, y ) f ( x, y ) f x ( x, y ) lim h 0 h
f ( x, y k ) f ( x, y ) f y ( x, y ) lim k 0 k