机械制图-展开图

目录

一、展开原理

二、展开放样的基本要求与方法

三、几何展开法的三个要求与典型实例

四、（实训项目一）展开放样训练

第一节展开原理

1.展开放样的基本思路

1) 什么是展开放样

所谓展开，实际是把一个封闭的空间曲面沿一条特定的线切开后铺平成一个同样封闭的平面图形。它的逆过程，即把平面图形作成空间曲面，通常叫成形过程。实际生产工作中，往往是先设计空间曲面后再制作该曲面，而这个曲面的制造材料大都是平面板料。因此，用平板做曲面，先要求得相应的平面图形，即根据曲面的设计参数把平面坯料的图样画出来。这一工艺过程就叫展开放样。实际工作中，有人把它简称为展开，也有人把它简称为放样，本书中采用前者的说法。

2) 展开的基本思路----换面逼近

图2-1-0 换面逼近示意图

如图2-1-0，我们按预先设定的经纬网络把曲面网格化，并在曲面上任取其一个四角面元abcd（A、B、C、D为其四个顶点，a、b、c、d为其四条边界弧线）。连接它的四个顶点A、B、C、D和对角点B、C，将得到一个与四角面元abcd对应的四边形ABCD以及组成四边形ABCD的两个平面三角形△ABC和△BCD。为了简化我们的研究，我们以三角形△ABC和△BCD代替对应的四角面元abcd，其中

直线段AB、AC、CD、DB与a、b、c、d四条弧线分别对应。对所有的网格都做同样的替代处理，我们就可以得到一个与曲面贴近的，由众多三角平面元构成的多棱面。多棱面与原曲面当然会存在差别，但是，只要网格数目足够多，他们的误差可以足够小，小到我们允许的公差范围内。

把曲面换成与之相近、由小平面组成的多棱面，再用多棱面的展开图去近似替代该曲面的理论展开图，这就是换面逼近的基本思路。多棱面的展开是容易的，只要在同一平面上把这些小平面元按相邻位置和共用边逐个画出来就得到了多棱面的展开图。需要指出的是，如何网格化是个中关键，这一部分将在讲展开方法时详细介绍。

以上讲的是三角平面元替换，其实我们也可以采用其他形状的小平面来换面逼近。如梯形、六边形等等。更进一步，我们还可以用简单曲面，如圆柱面、正锥面等来作类似的替换。实践证明，这样的替换逼近效果更好，既简化了手续，又保证了精度。以下图例，可资说明。

2.换面逼近的几个例子

第一个例子是共顶点三角形替换。

请看图2-1-1。换面逼近的大致步骤如下:

图2-2-1 共顶点三角形替换

首先分割：将圆锥底圆分外分为12等分，等分点为A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K、L；然后以过锥顶0与各分点的素线为界线将此圆锥面分为12个共

一顶点的三角锥面元；其次换面：用平面三角形△0AB、△0BC、△0CD、…△0KL、△0LA替代对应的三角锥面元；就总体而言，这种替换，也可以理解为用一个12棱锥的外表面来代替圆锥面；然后展开：在同一平面上把这些三角形按照共用边和共用顶点逐个画出来，这样就得到了12个共同一顶点并呈放射状分布的三角形组成的平面图形；我们用这个平面图形模拟、逼近圆锥的理想展开曲面。当然，这只是一个近似展开图形，但是他们之间的误差是可以控制的，例如我们只要增加底圆的等分点数N，其替代误差随着N的增加而减小，以至小到允许的公差范围以内。

以上即所谓共顶点三角形换面逼近。就工艺而言，这是一个可行的方法；从精度来看，关键是N的确定，实际中，N根据误差大小、布点方式、加工工艺和材料性质等因素通过实践选择。在各种锥面的展开中，我们都采用这种换面逼近的思路，久而久之，便形成了一个成熟的展开方法。由于它的展开图线由以顶点为中心呈放射状布置，我们通常把它叫做放射线展开法。

第二个例子是梯形替换。这是一个用梯形面元替换对应曲面元的例子

图2-1-2 梯形替换

如图2-1-2 所示，本图系斜口圆柱面展开时进行换面逼近的示意图。象圆锥面展开的思路一样，用以取得圆柱微面元的方式仍然是素线分割，但此时的素线已不再相交而是相互平行了。由此得到的微面元是四角曲面，对应的平面图形是

梯形。如图所示，我们是用梯形AA′BB′去替换四角微面元AA′BB′，逐个替换以后，整个斜口圆柱面的展开将用其内接12边形为底面的12棱柱面的展开去近似它。

以上即所谓梯形换面逼近。从这个思路出发，在展开放样中已形成了成熟的平行线展开法。

第三个例子是三角形替换，请看图图2-1-3。

图2-1-3 三角形替换

图中斜口大小头上下口均为圆，但直径不同；上口圆中心在下口圆面的投影与下口圆中心同心；此外上下口所在平面之间有15°夹角。需要展开的是以上、下口圆为边界的周边蒙面。

本例是这样换面和逼近的：

首先，将上下口圆分别以对称中面为基准各自等分为12等分，然后一上一下,依次连接各等分点，由此得到24条直线，即图中aA、Ab、bB、Bc、cC、Cd、dD…La、aA；

之后分别用每条直线和下口圆心确定的平面分割蒙面，得到24个三角曲面元；同时也得到与之对应的24个平面三角形，即图中△aAb、△AbB、△bBc、△BcC…△lLa、△LaA；其中12个三角形都有一条边长度为上口圆周长的1/12，而另外12个三角形都有一条边长度为下口圆周长的1/12；

为了简化蒙面的展开，我们再将这24个三角形逐个替换对应的三角曲面元，

换言之，我们用一个多棱面来近似大小头蒙面的展开。这样替换的结果无疑存在误差,但它的误差是可以控制的,例如增大等分点的数目就是减小误差的途径，不管你给出的公差多小，总可以设法使误差不超过你的公差范围。

最后展开。选定一个切开线，如图中Aa，并以之作为起始线在同一平面内逐个画出△aAb、△bAB、△Bbc、△cBC…△lLa、△Ala。这24个三角形共同组成了正确的近似展开图形。

以上即所谓三角形换面逼近。从这个思路出发，在展开放样中已形成了成熟的三角形展开法。

第四个例子是曲面替换。（如图2-1-4）

所谓曲面替换是在换面逼近时，直接用已知的、易展开曲面（如圆柱面、正圆锥面）的曲面元去替代复杂曲面的对应曲面元，以取得更好的逼近效果，从而使复杂曲面的展开工作更简便,更快捷。

图2-1-4 曲面替换

本图以24条经线与24纬线分划球面，得到的曲面元是由相邻的两条经线和相邻的两条纬线所围成球面元。对这些曲面元，我们分别进行平面元(梯形面元+三角面元)替换、柱面元替换和锥面元替换。

图中虚线线部分，采用椭圆柱面元替换。即以一个经线处为原来弧线，纬线