(完整版)高等代数(北大版)第7章习题参考答案

第七章 线性变换
1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：
1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；
3） 在P 3
中，A
),,(),,(2
33221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3
中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；
5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；
6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。

8） 在P n
n ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P n
n ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。

4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++
=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx
),,2()
,,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-=
= k A )(α，
故A 是P 3
上的线性变换。

5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令
)()()(x g x f x u +=则
A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。

6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则.
A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )， A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。

7)不是，例如取a=1,k=I ，则A (ka)=-i , k(A a)=i, A (ka )≠k A (a)。

8)是，因任取二矩阵Y X ,n
n P
⨯∈，则A (=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y ，
A (k X )=k BXC k kX
B ==)()(A X ，故A 是n n P ⨯上的线性变换。

2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A 表示将空间绕ox 轴由oy 向oz 方向旋转90度的变换,以B 表示绕oy 轴向ox 方向旋转90度的变换,以C 表示绕oz 轴由ox 向oy 方向旋转90度的变换，证明：A 4=B 4=C 4=E,AB ≠BA,A 2B 2=B 2A 2，并检验(AB )2=A 2B 2是否成立。

解 任取一向量a=(x,y,z)，则有 1) 因为
A a=(x,-z,y), A 2a=(x,-y,-z)，A 3a=(x,z,-y), A 4a=(x,y,z)，
B a=(z,y,-x), B 2a=(-x,y,-z)，B 3a=(-z,y,x), B 4a=(x,y,z)，
C a=(-y,x,z), C 2a=(-x,-y,z)，C 3a=(y,-x,z), C 4a=(x,y,z)， 所以A 4=B 4=C 4=E 。

2) 因为AB (a)=A (z,y,-x)=(z,x,y)，BA (a)=B (x,-z,y)=(y,-z,-x)， 所以AB ≠BA 。

3)因为A 2B 2(a)=A 2(-x,y,-z)=(-x,-y,z)，B 2A 2(a)=B 2(x,-y,-z)=(-x,-y,z)， 所以A 2B 2=B 2A 2。

3) 因为(AB )2(a)=(AB )(AB (a))_=AB (z,x,y)=(y,z,x)，A 2B 2(a)=(-x,-y,z)，
所以(AB )2≠A 2B 2。

3.在P[x] 中，A '
)(f x f =),(x B )()(x xf x f =，证明:AB-BA=E 。

证 任取∈)(x f P[x]，则有
(AB-BA ))(x f =AB )(x f -BA )(x f =A ())(x xf -B ('
f ))(x =;
)(xf x f +)(x -'
xf )(x =)(x f 所以 AB-BA=E 。

4.设A,B 是线性变换，如果AB-BA=E ，证明：A k
B-BA k
=k A 1
-k (k>1)。

证 采用数学归纳法。

当k=2时
A 2
B-BA 2
=(A 2
B-ABA)+(ABA-BA 2
)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2ª，结论成立。

归纳假设m k =时结论成立，即A m
B-BA m
=m A 1
-m 。

则当1+=m k 时，有
A
1
+m B-BA
1
+m =(A
1
+m B-A m BA)+(A m BA-BA
1
+m )=A m
(AB-BA)+(A m
B-BA m
)A=A m
E+m A
1
-m A=)1(+m A m。

即1+=m k 时结论成立.故对一切1>k 结论成立。

5.证明：可逆变换是双射。

证 设A 是可逆变换，它的逆变换为A 1-。

若a ≠b ，则必有A a ≠A b ，不然设Aa=A b ，两边左乘A 1-，有a=b ，这与条件矛盾。

其次，对任一向量b ，必有a 使A a=b ，事实上,令A 1-b=a 即可。

因此,A 是一个双射。

6.设1ε,2ε, ,n ε是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换。

证明：A 是可逆变换当且仅当A 1ε,A 2ε, ,A n ε线性无关。

证 因A (1ε,2ε, ,n ε)=(A 1ε,A 2ε, ,A n ε)=(1ε,2ε, ,n ε)A ，
故A 可逆的充要条件是矩阵A 可逆，而矩阵A 可逆的充要条件是A 1ε,A 2ε, ,A n ε线性无关，故A 可逆的充要条件是A 1ε,A 2ε, ,A n ε线性无关.。

7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵:
1) 第1题4)中变换A 在基1ε=(1,0,0),2ε=(0,1,0),3ε=(0,0,1)下的矩阵；
2) [o; 1ε,2ε]是平面上一直角坐标系,A 是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂
直投影,B 是平面上的向量对2ε的垂直投影，求A,B,AB 在基1ε,2ε下的矩阵； 3) 在空间P [x]n 中，设变换A 为)()1()(x f x f x f -+→， 试求A 在基i ε=!
1
)
1()1(i i x x x +-- (I=1,2, ,n-1)下的矩阵A ； 4) 六个函数 1ε=e ax cos bx ,2ε=e ax sin bx ，3ε=x e ax cos bx ,4ε=x e ax
sin bx ，
1ε=22
1
x e ax cos bx ,1ε=21e ax 2x sin bx ，的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空
间，求微分变换D 在基i ε(i=1,2, ,6)下的矩阵；
5) 已知P 3
中线性变换A 在基1η=(-1,1,1),2η=(1,0,-1),3η=(0,1,1)下的矩阵是⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-121011101，
求A 在基1ε=(1,0,0),2ε=(0,1,0),3ε=(0,0,1)下的矩阵； 6) 在P 3
中，A 定义如下：
⎪⎩⎪
⎨⎧--=-=-=)9,1,5()6,1,0()3,0,5(3
21ηηηA A A ， 其中
⎪⎩⎪
⎨⎧-==-=)0,1,3()1,1,0()2,0,1(3
21ηηη， 求在基1ε=(1,0,0),2ε=(0,1,0),3ε=(0,0,1)下的矩阵； 7) 同上，求A 在1η,2η,3η下的矩阵。

解 1)
A 1ε=(2,0,1)=21ε+3ε，A 2ε=(-1,1,0)=-1ε+2ε，A 3ε=(0,1,0)= 2ε，
故在基1ε,2ε，3ε下的矩阵为⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-001110012。

2）取1ε=（1，0），2ε=（0，1），则A 1ε=
211ε+212ε，A 2ε=2
1
1ε+212ε，
故A 在基1ε，2ε下的矩阵为A=⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛2121212
1。

又因为B 1ε=0，B 2ε=2ε，所以B 在基1ε，2ε下的矩阵为B =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛1000，另外，
（AB ）2ε=A （B 2ε）=A 2ε=
2
1
1ε+212ε，
所以AB 在基1ε，2ε下的矩阵为AB =⎪⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝
⎛
210210。

3）因为 )!
1()]2([)1(,,!2)1(,,11210----=-===-n n x x x x x x n εεεε， 所以A 0110=-=ε，
A 01)1(εε=-+=x x ，
A )!
1()]2([)1()!1()]3([)1(1---------=
-n n x x x n n x x x n ε
=
)!
1()]
3([)1(----n n x x x {)]2([)1(---+n x x }
=2-n ε，
所以A 在基0ε,1ε, ,1-n ε下的矩阵为A =⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛011010 。

4）因为 D 1ε=a 1ε-b 2ε,
D 2ε=b 1ε-a 2ε,6ε， D 3ε=1ε+a 3ε-b 4ε, D 4ε=2ε+b 3ε+a 4ε, D 5ε=3ε+a 5ε-b 6ε, D 6ε=4ε+b 5ε+a 6ε，
所以D 在给定基下的矩阵为D =⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛---00
0000010000100
001
00
01a b b a a b b a a
b b a。

5）因为(1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛--111101
011，所以 (1ε,2ε，3ε)=(1η,2η,3η)⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛---101110111=(1η,2η,3η)X ，
故A 在基1ε,2ε，3ε下的矩阵为
B =X 1
-AX=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111101
011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-121011101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101110111=⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--203022211。

6）因为(1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛--012110301，
所以A (1η,2η,3η)=A (1ε,2ε，3ε)⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛--012110301,
但已知A (1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛----963110505，
故A (1ε,2ε，3ε)=(1ε,2ε，3ε)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----963110505⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--0121103011
-
=(1ε,2ε，3ε)⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛----963110505⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---717
172717672
737371 =(1ε,2ε，3ε)⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-----7247
187
27727574
72072075。

7）因为(1ε,2ε，3ε)=(1η,2η,3η)⎪⎪
⎪
⎭⎫ ⎝⎛--0121103011
-，
所以A (1η,2η,3η)=(1η,2η,3η)⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--0121103011
-⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛----963110505 =(1η,2η,3η)⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛---011101532。

8．在P
2
2⨯中定义线性变换A
1
(X )=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛d c b a X, A 2
(X )=X ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛d c b a , A 2
(X )=
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a X ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛d c b a , 求A 1, A 2, A 3在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵。

解 因 A 1E 11=a E 11+c E 12, A 1E 12=a E 12+c E 22, A 1E 21=b E 11+d E 21, A 1E 22= b E 21+d E 22,
故A 1在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵为A 1=⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛d c
d
c b a b a
00000
00。

又因A 2E 11=a E 11+b E 12, A 2E 12= c E 11+d E 12, A 2E 21= a E 21+b E 22, A 2E 22= c E 21+d E 22,
故A 2在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵为A 2=⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛d b c a d
b c
a 00000000。

又因A 3E 11= a 2
E 11+ab E 12+ac E 21+bc E 22， A 3E 12= ac E 11+ad E 12+c 2
E 21+cd E 22， A 3E 21= ab E 11+b 2
E 12+ad E 21+bd E 22， A 3E 22 = bc E 11+bd E 12+cd E 21+d 2
E 22，
故A 3在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵为⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛=22223d bd
cd bc cd ad c ac bd b ad
ab bc ab ac
a A 。

9.设三维线性空间V 上的线性变换A 在基321,,εεε下的矩阵为
A=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛3332
31
232221
131211
a a a a a a a a a ， 1) 求A 在基123,,εεε下的矩阵；
2) 求A 在基321,,εεεk 下的矩阵，其中且；
3) 求A 在基3221,,εεεε+下的矩阵。

解 1)因A 3ε=333εa +a +223ε13a 1ε， A 2ε=+332εa +222εa 112εa ， A 1ε=+331εa +221εa 111εa ，
故A 在基123,,εεε下的矩阵为⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=1112
13
212223
3132333a a a a a a a a a B 。

2)因 A 1ε=111εa +
+)(221
εk k
a 331εa ， A (k 2ε)=k 112εa +)(222εk a +332εka ， A 3ε=13a 1ε+
k
a 23
(2εk )+333εa ， 故A 在321,,εεεk 下的矩阵为 ⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=3332
31232221
131211
2a ka a k a a k a
a ka a B 。

3)因 A (21εε+)=(1211a a +)(31εε+)+(12112221a a a a --+)2ε+(3231a a +)3ε， A 2ε=12a (21εε+)+(1222a a -)2ε+332εa ， A 3ε=13a (21εε+)+(1323a a -)2ε+333εa ，
故A 基3221,,εεεε+下的矩阵为⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛+----+-=3332
3231132312
2212
11222113
1212113a a a a a a a a a a a a a a a a B 。

10. 设A 是线性空间V 上的线性变换，如果A
ε1
-k ≠0,但A εk =0，求证：
ε,A ε,, A ε1-k (k >0)线性无关。

证 设有线性关系01
21=+++-εεεk k A l A l l ，
用A
1
-k 作用于上式,得
1l A
ε1
-k =0(因A 0=εn 对一切n k ≥均成立)，
又因为A
ε1
-k ≠0,所以01=l ,于是有
01232=+++-εεεk k A l A l A l ，
再用A 2-k 作用之,得2l A ε1
-k =0.再由,可得2l =0.同理,继续作用下去,便可得
021====k l l l , 即证ε,A ε,, A
ε1
-k (k >0)线性无关。

11.在n 维线性空间中，设有线性变换A 与向量ε使得A ε1
-n 0≠，求证A 在某组下的矩阵
是 ⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛0101010。

证 由上题知, ε,A ε,A ε2,, A ε1-n 线性无关，故ε,A ε,A ε2,, A ε1
-n 为线性空间
V 的一组基。

又因为A ⋅+⋅+⋅=010εεεA A ε2+⋅+0 A
ε1
-n ，
A (A ε)=ε⋅0+⋅0 A ε+⋅1 A ε2
+⋅+0 A ε1
-n ，
…………………………… A （A
ε1
-n ）=ε⋅0+⋅0 A ε+⋅0 A ε2+⋅+0 A ε1-n ，
故A 在这组基下的矩阵为
⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛0101010。

12． 设V 是数域P 上的维线性空间，证明：与V 的全体线性变换可以交换的线性变换是数
乘变换。

证 因为在某组确定的基下，线性变换与n 级方阵的对应是双射，而与一切n 级方阵可交换的方阵必为数量矩阵kE ，从而与一切线性变换可交换的线性变换必为数乘变换K 。

13. A 是数域P 上n 维线性空间V 的一个线性变换，证明：如果A 在任意一组基下的矩阵都相同，那么是数乘变换。

证 设A 在基n εεε,,,21 下的矩阵为A=(ij a )，只要证明A 为数量矩阵即可。

设X 为任一非退化方阵，且
(n ηηη,,21)=(n εεε,,,21 )X ， 则12,,
,n ηηη也是V 的一组基，且A 在这组基下的矩阵是AX X 1-，从而有AX=XA ，这
说明A 与一切非退化矩阵可交换。

若取
⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=n X
211， 则由A 1X =1X A 知ij a =0(i ≠j)，即得
A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛nn a a a
22
11
， 再取
2X =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛0001100001000010
由A 2X =2X A ，可得 nn a a a === 2211。

故A 为数量矩阵，从而A 为数乘变换。

14.设321,,εεε,4ε是四维线性空间V 的一组基，已知线性变换A 在这组基下的矩阵为
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛---21225521312112
01， 1) 求A 在基42112εεη+-=,4443343222,,3εηεεηεεεη=+=--=下 的矩阵； 2) 求A 的核与值域；
3) 在A 的核中选一组基,把它扩充为V 的一组基,并求A 在这组基下的矩阵； 4) 在A 的值域中选一组基, 把它扩充为V 的一组基, 并求A 在这组基下的矩阵。

解 1)由题设,知
(4321,,,ηηηη)=(321,,εεε,4ε)⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛---21110110003
20001， 故A 在基4321,,,ηηηη下的矩阵为
B=AX X 1-=1
21
110110003
20001
-⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---21225521312112
01
⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛---211
1011
000320001 =⎪⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛-----871
03403403163831031034322332。

2) 先求A
1
-(0).设∈ξ A
1
-(0)，它在321,,εεε,4ε下的坐标为(1χ,432,,χχχ)，且A ε
在321,,εεε,4ε下的坐标为(0,0,0,0,)，则
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---21225521312112
01
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321x x x x =⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛0000。

因rank(A)=2，故由 ⎩⎨
⎧
=+++-=++0
32024321431x x x x x x x ，
可求得基础解系为X 1=)0,1,2
3
,2('-
-,X 2=)1,0,2,1('--。

若令1α=(321,,εεε,4ε)X 1，2α=(321,,εεε,4ε)X 2， 则12,αα即为A 1
-(0)的一组基，所以
A
1
-(0)=12(,)L αα。

再求A 的值域A V 。

因为
A 1ε=43212εεεε++-， A 2ε=432222εεε-+，
A 3ε=432152εεεε+++， A 4ε3ε=4321253εεεε-++，
rank(A)=2，故A 1ε ,A 2ε, A 3ε, A 4ε的秩也为2，且A 1ε ,A 2ε线性无关，故A 1ε ,A 2
ε可组成A V 的基，从而A V=L(A 1ε ,A 2ε)。

4) 由2)知12,αα是A 1-(0)的一组基，且知,1ε2ε, 12,αα是V 的一组基，又
(,1ε2ε, a 1, a 2)=(321,,εεε,4ε)⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛--
-10
00010022310
120
1
， 故A 在基,1ε2ε, 12,αα下的矩阵为
B=
1
10
0010022310120
1
-⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛--
-⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---21225521312112
01
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛--
-10
00010022310120
1
=⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛-0022002100129002
5。

4) 由2)知A 1ε=43212εεεε++-, A 2ε=432222εεε-+ 易知A 1ε, A 2ε,43,εε是V 的一组基，且
(A 1ε, A 2ε,43,εε)=(321,,εεε,4ε)⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛--10210121002
10001
， 故A 在基A 1ε, A 2ε,43,εε下的矩阵为
C=
1
1021012100210001
-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---212
25521
312
112
01
⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛--102
1012
10021000
1
=⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛00
0000002231291225。

15. 给定P 3的两组基
⎪⎩⎪
⎨⎧===)1,1,1()0,1,2()
1,0,1(3
21εεε ⎪⎩⎪
⎨⎧--=-=-=)1,1,2()1,2,2()1,2,1(3
21ηηη， 定义线性变换A : A i ε=i η(i =1,2,3)，
1) 写出由基321,,εεε到基321,,ηηη的过度矩阵； 2) 写出在基321,,εεε下的矩阵； 3) 写出在基321,,ηηη下的矩阵。

解 1)由(321,,ηηη)=(321,,εεε)X ，引入P 3
的一组基1e =(1,0,0), 2e =(0,1,0), 3e =(0,0,1)，则
(321,,εεε)=(1e ,2e ,3e )⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛101110121=(1e ,2e ,3e )A ，
所以
(321,,ηηη)=(1e ,2e ,3e )⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛----111122
221
=(1e ,2e ,3e )B=(1e ,2e ,3e )A 1-B ， 故由基321,,εεε到基321,,ηηη的过度矩阵为
X= A 1
-B=1
101110121-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----111122
221
=⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛
---252112323123232。

2)因
A (321,,εεε)=(321,,ηηη)=(321,,εεε)⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛
--
-252112323
1
23232， 故A 在基321,,εεε下的矩阵为
A=⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛
--
-252112323
123232。

4) 因A (321,,ηηη)=A (321,,εεε)X=(321,,ηηη)X ，
故A 在基321,,ηηη下的矩阵仍为X.。

16.证明
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛n λλλ
2
1与⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛n i i
i λλλ
2
1相似，其中(n i i i ,,,21 )是1,2,n , 的一个排列。

证 设有线性变换A ，使
A )21,,,(n εεε =)21,,,(n εεε ⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛n λλλ
2
1=)21,,,(n εεε D 1， 则A ( ,,21i i εε,n i ε)=( ,,21i i εε,n i ε)⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛n i i
i λλλ
2
1=( ,,21i i εε,n i ε)D 2， 于是D 1与D 2为同一线性变换A 在两组不同基下的矩阵,故
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛n λλλ
2
1
与⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛n i i
i λλλ
2
1相似。

17.如果A 可逆,证明AB 与BA 相似。

证 因A 可逆,故A 1-存在，从而A 1-(AB)A=( A 1-A)BA=BA ，所以AB 与BA 相似。

18.如果A 与B 相似，C 与D 相似，证明：0000A B B D ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
与相似。

证 由已知，可设B=X 1
-AX, D=Y 1
-CY ，则⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--1100Y X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C A 00⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Y X
00=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛D B 00， 这里⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1100Y X =⎪⎪⎭⎫
⎝⎛Y X
001-，故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C A 00与⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛D B 00相似。

19.求复数域上线性变换空间V 的线性变换A 的特征值与特征向量.已知A 在一组基下的矩
阵为：
1)A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2543 2)A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00a a 3)A=⎪
⎪⎪
⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛------111111*********
1 4)A=⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---121101365 5)A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001010100 6)A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---031302120 7)A=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----284014013
解 1)设A 在给定基1ε,2ε下的矩阵为A ，且A 的特征多项式为
A E -λ=
2
5
4
3
----λλ=2
λ-5λ-14=(7-λ)(2+λ)，故A 的特征值为7，-2。

先求属于特征值λ=7的特征向量。

解方程组⎩⎨
⎧=+-=-0550442121x x x x ，它的基础解系为⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛11，因此A 的属于特征值7的全部特征向量为k 1ξ (k 0≠)，其中1ξ=1ε+2ε。

再解方程组⎩⎨⎧=--=--0450452121x x x x ，它的基础解系为⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-54，因此A 的属于特征值-2的全部特征响向量为k 2ξ(k 0≠)，其中2ξ=41ε-52ε。

2)设A 在给定基1ε,2ε下的矩阵为A ，且当a=0时，有A=0，所以A
E -λ=
λ
λ00=2
λ， 故A 的特征值为1λ=2λ=0。

解方程组⎩⎨
⎧=+=+0000002121x x x x ，它的基础解系为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01,⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛10，因此A 的属于特征值0的两个线性无关特征向量为1ξ=1ε，2ξ=2ε，故A 以V 的任一非零向量为
其特征向量。

当a ≠0时，A
E -λ=
λ
λa a -=2
λ+a 2=(ai +λ)(ai -λ)，故A 的特征值为1λ=ai ，
2λ= -ai 。

当1λ=ai 时，方程组⎩⎨⎧=+=-002121aix ax ax aix 的基础解系为⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-1i ，故A 的属于特征值ai 的全部特征向量为k 1ξ(k 0≠)，其中1ξ=-1εi +2ε。

当2λ= -ai 时，方程组⎩⎨⎧=-=--002121aix ax ax aix 的基础解系为⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛1i ，故A 的属于特征值-ai 的全部特征向量为 k 2ξ (k 0≠)，其中2ξ=1εi +2ε。

3)设A 在 给定基1ε,2ε,3ε,4ε下的矩阵为A ，因为A E -λ=(2-λ)3(2+λ)，故A 的
特征值为1λ=2λ=2,243-==λλ。

当2=λ时,相应特征方程组的基础解系为X ⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001,0101,0011321X X ，故A 的属
于特征值2的全部特征向量为 11εk +22k ε+k 33ε (k 321,,k k 不全为零)，其中1ξ=1ε+2ε，
2ξ=1ε+3ε，3ξ=1ε+4ε。

当2-=λ时，特征方程组的基础解系为X =4⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛---1111，故A 的属于特征值-2的全部特
征向量为 k 4ξ (k 0≠)，其中4ξ=1ε-2ε-43εε-。

4） 设A 在给定基321,,εεε下的矩阵为A ，因
A E -λ==+-----1
21
11
3
6
5λλλ43-λ422++λλ=(2-λ)(31--λ)(31+-λ)， 故A 的特征值为1λ=2，2λ
=3λ
当1λ=2时, 方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=+--=-+=+--032020363321321321x x x x x x x x x 的基础解系为⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-012，故A 的属于特征值2
的全部特征向量为 k 1ξ (k 0≠)，其中1ξ=12ε-2ε。

当λ=1+3时, 方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧=++--=-++=+-+-0
)32(20)31(036)34(321321321x x x x x x x x x 的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--3213，故A
的属于特征值1+3的全部特征向量为 k 2ξ (k 0≠)，其中2ξ=13ε-2ε+(23-)3ε。

当λ=1-3时, 方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧=-+--=--+=+---0
)32(20)31(036)34(321321321x x x x x x x x x 的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-3213，故A
的属于特征值13-的全部特征向量为 k 3ξ (k 0≠)，其中3ξ=13ε-2ε+(23+)3ε。

5) 设A 在给定基321,,εεε下的矩阵为A ，因
A E -λ=λ
λλ0
1
01
1
0---=(1-λ)2(1+λ)，
故A 的特征值为1,132
1-===λλ
λ。

当12
1==λ
λ，方程组⎩⎨
⎧=+-=-00
3131x x x x 的基础解系为,101⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛010⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
，故A 的属于特征值1的全部特征向量为112212(,)k k k k ξξ+不全为零，其中311εεξ+=,22εξ=。

当13-=λ时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=--0020
31
231x x x x x 的基础解系为101⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪
-⎝⎭，故A 的属于特征值-1的全
部特征向量为)0(3≠k k ξ，其中313εεξ-=。

6) 设A 在给定基321,,εεε下的矩阵为A ，因
A E -λ==---λ
λλ31321
2)14(2+λλ=)14)(14(i i +-λλλ，
故A 的特征值为i i 14,14,032
1-===λλ
λ。

当01=λ时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=--030320221
3132x x x x x x 的基础解系为312⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪
⎝⎭，故A 的属于特征值0的全
部特征向量为)0(1≠k k ξ，其中321123εεεξ+-=。

当i 142=λ时，该特征方程组的基础解系为⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-+-+101432146i
i
，故A 的属于特征值i 14的全部特征向量为)0(2≠k k ξ，其中321210)1432()146(εεεξ-+-++=i i 。

当i 14-=λ时，该特征方程组的基础解系为⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛----101432146i
i ，故A 的属于特征值i 14-的全部特征向量为)0(3≠k k ξ，其中321310)1432()146(εεεξ---+-=i i 。

7) 设A 在给定基321,,εεε下的矩阵为A ，因
A E -λ=2
8
4
1
4
013+-+--λλλ=(1-λ)2
(2+λ)，
故A 的特征值为2,132
1-===λλ
λ。

当12
1==λ
λ，该特征方程组的基础解系为3620⎛⎫
⎪
- ⎪ ⎪⎝⎭
，故A 的属于特征值1的全部特征
向量为)0(1≠k k ξ，其中32112063εεεξ+-=。

当23-=λ，该特征方程组的基础解系为001⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
，故A 的属于特征值-2的全部特征向量
为)0(2≠k k ξ，其中32εξ=。

20.在上题中,哪些变换的矩阵可以在适当的基下变成对角形?在可以化成对角形的情况下，写出相应的基变换的过度矩阵T ，并验算T
1
-AT 。

解 已知线形变换A 在某一组基下为对角形的充要条件是有n 个线形无关的特征向量,故上题中1)~6)可以化成对角形,而7)不能.下面分别求过渡矩阵T 。

1) 因为12(,)ξξ=(21,εε)⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-5141 ，所以过渡矩阵T=⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-5141， T 1-AT=⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-919
19495⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛2543⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-5141=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2007。

2)0,a =当时已是对角型。

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=≠11),(),(,02121i i a εεξξ有时当，过渡矩阵T=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-11i i ，
T 1
-AT=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-ai ai i i a a i i
001100212
212。

3)因为(4321,,,ξξξξ)=(4321,,,εεεε)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---110010101001
11
11
，过渡矩阵T=⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛---11001010
1001
1111，
T 1
-AT=⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-22
22。

4)因为(),,321ξξξ=(⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+----32320111
332
),,321εεε， 过渡矩阵T=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+----32320111332，T ⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-+=-313121AT 。

5)因为 (),,321ξξξ=(321,,εεε)⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-101010101，过渡矩阵
T=⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-101010101，
1110001101100220100100100101110010100102
2T AT -⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪
== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭-
⎪⎝⎭。

6)因为 (⎪⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛----+---+=101021432143211461463),,(),,321321i i i i εεεξξξ,
即过渡矩阵为 T=⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛----+---+101021432143211461463i i i i ,
且T ⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝
⎛-=-i i AT 14000140
1。

21.在P[x]n (n>1)中,求微分变换D 的特征多项式，并证明D 在任何一组基下的矩阵都不可能是对角阵。

解 取P[x]n 的一组基1,x,21
,...,2(1)!
n x x n --，则D 在此基下的矩阵为 D=⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛0 (00)
01...000...............0...1000 (010)
，
从而n D E λλλλλ=⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛---=-...
0001...000.........
......0...
1
00 0
1， 故D 的特征值是n (0=λ重)，且D 的属于特征值0的特征向量ξ只能是非零常数。

从而线性无关的特征向量个数是1，它小于空间的维数n ，故D 在任一组基下的矩阵都不可能是对角形。

22.设 A=142034043⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭
，求A k。

解:因为=---+---=
-3
4
43
02
41
λλλλA E ()5)(5)(1+--λλλ，
故A 的特征值为5,5,1321-===λλλ，且A 的属于特征值1的一个特征向量为X '1)0,0,1(=，A 的属于特征值5的一个特征向量为X '
2)2,1,2(=，A 的属于特征值-5 的一
个特征向量为X '
3)1,2,1(-=。

于是只要记T=(X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=120210121),,321X X ，则 T B AT =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-5000500011
，
且 B ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-=k k
k )5(0005
000
1。

于是A ==-1
T TB k k ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛
--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-5152052510
101)5(00050001120210121k k =[][
]
[
]
[]
[
]
[
]
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-+⋅-+⋅⋅-+⋅⋅-+⋅--+⋅-+⋅⋅-+-+---+-k K k k k k k k k k k k )1(45)1(1520)1(152)1(4150
1)1(45)1(15211111
11111 。

23.设εεε,,2143,ε是四维线性空间V 的一个基,线性变换A 在这组基下的矩阵为
A ⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--------=71131025292132313
3425。

1) 求A 的基432112εεεεη+++=，321232εεεη++=，33εη=，44εη=下的矩阵；
2) 求A 的特征值与特征向量； 3) 求一可逆矩阵T,使T
AT 1
-成对角形。

解 1)由已知得(X ),,,(100101110032
0021),,,(),,,432143214321εεεεεεεεηηηη=⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛=， 故求得A 在基4321,,,ηηηη下的矩阵为
B=X ⎪⎪⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛----=-250023270045005600
1
AX 。

2) A 的特征多项式为=
)(λf )1)(2
1(2--=-=-λλλλλB E A E ，
所以A 的特征值为1,2
1
,04321==
==λλλλ。

A 的属于特征值0=λ的全部特征向量为2211ξξk k +，其中21,k k 不全为零，且
21=ξ,3321εεε++ 4212εεεξ+--=。

A 的属于特征值2
1
=
λ的全部特征向量为33ξk ，其中 03≠k ，且 321324εεεξ+--=+64ε。

A 的属于特征值1=λ的全部特征向量为44ξk ,其中04≠k ，且
4321423εεεεξ-++=。

3）因为
（⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-----=2610110112133412),,,(),,,43214321εεεεξξξξ，
所求可逆阵为 T=⎪⎪⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛-----2610110112133412，且 T ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-121
001
AT 为对角矩阵。

24.1)设21,λλ是线性变换A 的两个不同特征值，21,εε是分别属于21,λλ的特征向量，证明：
21εε+不是A 的特征向量；
2)证明:如果线性空间V 的线性变换A 以V 中每个非零向量作为它的特征向量，那么A 是数乘变换。

证 1)由题设知A 111)(ελε=, A 222)(ελε=, 且21λλ≠，
若21εε+是A 的特征向量，则存在0≠λ使 A （21εε+）=)(21εελ+=21λελε+， A （21εε+）=2211ελελ+=21λελε+， 即 0)()(2211=-+-ελλελλ。

再由21,εε的线性无关性，知021=-=-λλλλ，即21λλλ==，这是不可能的。

故21εε+不是A 的特征向量。

2）设V 的一组基为12,,...,n εεε，则它也是A 的n 个线性无关的特征向量，故存在特征值λ
λ,12
,,...,n λ 使
A i i i ελε=)( ),...,2,1(n i =。

由1）即知12...n k λλλ====。

由已知，又有A ααk =)( )(V ∈∀α，即证A 是数乘变换。

25.设V 是复数域上的n 维线性空间，A ，B 是V 上的线性变换，且AB =BA .，证明：
1) 如过0λ是A 的一个特征值，那么0λV 是B 的不变子空间； 2) A ，B 至少有一个公共的特征向量。

证 1)设0λαV ∈，则A 0αλα=，于是由题设知 A (B α)=B (A α)=B (=)0αλ0λ(B α)， 故B α∈0λV ，即证0λV 是B 的不变子空间。

3) 由1)知0λV 是B 的不变子空间，若记B|0λV =B 0，则B 0也是复数域上线性空间0
λV 的一个线性变换，它必有特征值,0μ使B 0B =0μB (B ∈0λV ,且B 0≠)， 显然也有A (B )= 0μB ，故B 即为A 与B 的公共特征向量。

26. 设V 是复数域上的n 维线性空间，而线性变换A 在基n εεε,...,,21下的矩
阵是一若当块。

证明：
1) V 中包含1ε的A -子空间只有V 自身； 2) V 中任一非零A -子空间都包含n ε；
3) V 不能分解成两个非平凡的A -子空间的直和。

证 1)由题设,知
A (n εεε,...,,21)=(n εεε,...,,21)⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛⋅
λλλ1....
.
1，
即⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧=+=+=+=--n n n
n n a A A A λεεε
λεεε
λεεελεε11322211.........................，
设W 为A -子空间,且∈1εW,则∈1εA W ， 进而有 ∈-=112λεεεA W ∈⇒2εA W ， ∈-=223λεεεA W ∈⇒3εA W ， …………………………………. ∈-=--11n n n A λεεεW ， 故W=L{n εεε,...,,21}=V 。

2)设W 为任一非零的A -子空间,对任一非零向量∈αW,有 n n εκεκεκα+++=...211 不妨设01≠κ,则A n
n A A A εκεκεκα+++= (2211)
=1κ(21ελε+)+2κ(32ελε+)+…+n n λεκ =∈++++-n n εκεκεκλα13221...W 于是
∈+++-n n εκεκεκ13221...W
同理可得 ∈+++-n n εκεκεκ24231...W ，…，∈n εκ1W
从而∈n εW ，即证V 中任一非零的A -子空间W 都包含n ε。

3）设W ,1W 2是任意两个非平凡的A -子空间，则由2）知
∈n εW 1且∈n εW 2,
于是∈n εW ⋂1W 2，故V 不能分解成两个非平凡的A -子空间的直和。

27．求下列矩阵的最小多项式：
⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛001010100)1, 2)⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--------3131131331311313 解 1)设=A ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛001010100，因为A 2-E =0，是所以12
-λA 的零化多项式，但
A -E 0≠,A +E 0≠，故A 的最小多项式为1)(2
-=λλA m 。

2)因为4)(λλλ=-=
A E f ，所以A 的最小多项式为432,,,λλλλ之一,代入计算可得
A 的最小多项式为2
)(λλ=A m 。

二 补充题参考解答
1. 设A,B 是线性变换, A 2
= A, B 2
=B 证明:
1) 如果(A+B )2
=A+B 那么AB=0; 2) 如果, AB=BA 那么(A+B-AB)2
=A+B-AB. 证 1)因为A 2
= A, B 2
=B, (A+B )2 =A+B 由(A+B )2
=(A+B) (A+B)= A 2
+AB+BA+ B 2
, 故A+B= A +AB+BA+ B, 即AB+BA=0.
又2AB=AB+AB=AB-BA= A 2
B-B 2
A= A 2
B+ABA= A (AB+BA)= A0=0 所以AB=0.
2) 因为A 2
= A, B 2
=B, AB=BA 所以(A+B-AB)2= (A+B-AB) (A+B-AB)
= A 2+BA- AB A+ AB+ B 2- AB 2-A 2B-BAB +ABAB = A+AB - AA B + AB+ B- AB-AB-ABB +AABB = A+AB - A B + AB+ B- AB-AB-AB +AB = A+B- AB 。

2. 设V 是数域P 上维线性空间,证明:由V 的全体变换组成的线性空间是2
n 维的。

证 2
1112121n n n n n n n nn E E E E E E P P n ⨯⨯因，，，，，，，是的一组基，是维的。

V 的全体线性变换与n n P ⨯同构,故V 的全体线性变换组成的线性空间是2
n 维的。

3. 设A 是数域P 上n 维线性空间V 的一个线性变换,证明:
1) 在][x P 中有一次数2
n ≤的多项式)(x f ,使0)(=A f ; 2) 如
果
)(,0)(==A g A f ,那么
)(=A d ,这里
.)()()(的最大公因式与是x g x f x d ；
3) A 可逆的充分必要条件是:有一常数项不为零的多项式()()0f x f A =使。

证 1)因为P 上的n 维线性空间V 的线性变换组成的线性空间是2n 维的，所以2
n +1个线性变换A
2
n ,A
1
2-n ,、、、,A,E ，一定线性相关,即存在一组不全为零的数22101,,,,n n a a a a -使
2n a A 2
n +12-n a A 1
2
-n
+
+1a A+0a E=0，
令2
2
221
101()n n
n n f x a x
a x a x a --=++
++,
且22(0,1,2,
,)i a i n f x n =∂≤不全为零，（（））。

这就是说，在][x P 中存在一次数2
n ≤的多项式)(x f ,使0)(=A f 。

即证。

2)由题设知)()()()()(x g x v x f x u x d +=因为0)(,0)(==A g A f ， 所以)()()()()(A g A v A f A u A d +==0。

3)必要性.由1)知,在][x P 中存在一次数2
n ≤的多项式)(x f ,使0)(=A f 。

即
2n a A 2n +12-n a A 1
2
-n
+
+1a A+0a E=0，
若则,00≠a 2
2
221
101()n n
n n f x a x a x
a x a --=++
++即为所求。

若00a =，
最小的那一个，则是不为零的系数中下标不全为零，令因j i a n i a ),,2,1,0(2 =
2n a A 2
n +12-n a A 1
2
-n
+
+1a A+0a E=0， 因 A 可逆，故存在
右乘等式两边也存在，用1111)()()(,----=j j j A A A A ，
得2n a A
j
n -2+12-n a A
1
2--j n +…+j a E=0
令=)(x f 2n a j
n
x
-2
+12-n a 1
2
--j n
x
+…+)0(≠j j a a ，即)(x f 为所求。

充分性.设有一常数项不为零的多项式
22
221
101()n n
n n f x a x a x a x a --=++
++)0(0≠a 使0)(=A f ，
即0011
1=++++--E a A a A
a A a m m m m ， 所以E a A a A
a A a m m m m 011
1-=+++-- ， 于是E A E a A a a m m =⋅++-
-)(1
110
， 又⋅A E E a A a a m m =++-
-)(1
110
， 故A 可逆。

4. 设A 是线性空间V 上的可逆线性变换。

1) 证明: A 的特征值一定不为0；
2) 证明:如果λ是的A 特征值，那么
λ
1是1
-A 的特征值。

证 1)设可逆线性变换A 对应的矩阵是A,则矩阵A 可逆,A 的特征多项式)(λf 为
A a a a f n n nn n )1()()(12211-+++++-=- λλλ，A 可逆 ,故0≠A 。

又因为A 的特征值是的全部根，其积为0≠A ,故A 的特征值一定不为0。

2)设
λ是的
A
特征值,那么存在非零向量ξ
,使得
111111
,A A A A A ξλξξλξξξλλ
----===
用作用之，得（），于是，即是的特征值。

5.设A 是线性空间V 上的线性变换，证明；A 的行列式为零的充要条件是A 以零作为一个
特征值。

证:设线性变换A 矩阵为A,则 A 的特征值之积为A 。

必要性，设0=A ,则A 的特征值至少有一个为零,即一另为一个特征值。

充分性，设A 有一个特征值
00
=λ
,那么0=A 。

6. 设A 是一个n 阶下三角矩阵，证明：
1) 如果)2,1,,(n j i j i a a jj ii =≠≠,那么A 相似于一对角矩阵；
2) 如果
a a
a nn === 22
11
，
而至少有一)(00
00
0j i a j i >≠，
那么A 不与对角矩阵相似。

证：1)因为A 的多项式特征是 ()f λ=)())((2211
a a a
nn A E ---
=-λλλλ ，
又因
)2,1,,(n j i j i a
a jj
ii
=≠≠，
故A 有n 个不同的特征值，从而矩阵A 一定可对角化，故A 似于对角矩阵。

2)假定 A=⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛a a a
a j i
1111
110
与对角矩阵B=⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛λλ
λn
2
1
相似， 则它们有相同的特征值
λ
λλn
,,,2
1 ,因为A 的特征多项式
()f λ=()n a 11
-λ，
所以
a n 112
1
====λλ
λ ,
由于 B=⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛a a
a 1111
11
=E a
11
是数量矩阵，它只能与自身相似，故A 不可能与
对角矩阵相似。

7.证明:对任一n n ⨯复系数矩阵A ,存在可逆矩阵T,使AT T 1
-
证:存在一组基
εεεε
sr s r ,,,,1111
1 ，，,使与矩阵A 相应的线性变换A 在该基下的矩
阵成若尔当标准形J ，且
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧=+=ε
λεε
ελεr r A A 1
11111211111 ，
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧=+=ε
λεε
ελεr r A A s s s s s s s s 1211 ，
若过度矩阵为P ，则
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=-S J J J J AP P
2
11， 重排基向量的次序，使之成为一组新基1111,,,,,,1s sr r s εεεε ，则由新基到旧基的过渡矩阵为
Q=⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛s r r r B B B
2
1
，其中B j r =j r ⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭⎫ ⎝⎛111 ， 于是 A 1111,,,,,,(1s sr r s εεεε )=1111,,,,,,(1s sr r s εεεε )J '， 故A 在此新基下的矩阵即为上三角形 J Q AP P Q '=--)(1
1
即存在可逆矩阵T=PQ,使AT T 1-成上三角形。

8. 如果s A A A ,,,21 是线性空间V 的两两不同的线性变换，那么在V 中必存在向量a ,使
a A a A a A s ,,,21 也两两不同。

证 令
V }{a A A V j
i
ij =∈=
ααα, (s j i ,2,1,=)，
因为ij j i V A A ∈==0,000，故`ij V 非空。

又因为s A A A ,,,21 两两不同,所以对于每两个j i A A ,而言,总存在一个向量β,使
ββj i A A ≠，故ij V 是V 的非空真子集。

设则,,ij V ∈βαββααj i i A A A A ==,，于是)()(βαβα+=+j i A A ，即
ij V ∈+βα。

又)()(ααααk A kA kA k A j j i i ===，于是ij V k ∈α，故ij V 是V 的真子空间。

1)如果ij V 都是V 的非平凡子空间,在V 中至少有一个向量不属于所有的ij V ,设
),,,2,1,(s j i V ij =∉α则
ααj i A A ≠(s j i ,,2,1, =)，
即证: 存在向量α使αααs A A A ,,,21 两两不同。

2)如果{ij V }中有V 的平凡子空间00j i V ，则00j i V 只能是零空间。

对于这种00j i V ,只要取0α≠，就有ααj i A A ≠,故这样的00j i V 可以去掉。

因而问题可归于1),即知也存在向量α使
αααs A A A ,,,21 两两不同。

,.,:
A V W V AW W 9.设是有限维线性空间的线性变换是的子空间表示由中向量的像组成的子空间证明 )dim ())0(dim ()dim (1
W W A AW =⋂+-。

证 因为故上的线形变换也是,W A W A ⋂-)0(1是.的子空间
W 设W A ⋂-)0(1
的维数 为r,W 的维数为s.
今在W A ⋂-)0(1
中取一组基,,,21r εεε 把它扩充成W 的一组基,,,21r εεε s r εε ,1+, 则),,,,(121s r r A A A A A L AW εεεεε +==),(1s r A A L εε +，
且s r A A εε,1 +线性无关，所以)dim ())0(dim ()dim (1
W W A AW =⋂+-。

10.设,,A B n V 是维线性空间的两个线性变换证明：
rank (AB )rank ≥(A )+n B rank -)(。

证 在分别为在这组基下对应的矩阵设线性变换中取一组基B A V ,, A,B,则线性变换对应的矩阵为AB AB 。

因为B A ,线性变换,的秩分别等于矩阵AB A,B,AB 的秩,所以对于矩阵A,B,AB 有
rank (AB)rank ≥(A)+n rank -)B (，
故对于B A ,线性变换,也有AB
rank (AB )rank ≥(A )+n B rank -)(。

11.设2
2
,,A A B B ==证明：
1),A B AB B BA A ==与有相同值域的充要条件是； 2) ,A B AB A BA B ==与有相同的核充要条件是。

证1)必要性，若
βαβααA B V AV BV B V BV AV =∈=∈∈=使故存在向量则任取,,,,，
于是αβββB A A AB ===2
，ββα=A 故有的任意性由,。

同理可证 A A =β。

充分性，若=AB B ,A BA =,任取则有,V AV Aa ⊂∈ BV Aa B BAa Aa ∈==)(，于是BV AV ⊂，同理可证AV BV ⊂,故BV AV =。

2)必要性.若),0()0(11--=B A 对任意V ∈β,作向量ββA -,因为
A (ββA -)==-ββ2A A βA -βA =0，
所以ββA -∈),0()0(11--=B A
又B ()ββA -=0=-ββBA B ，
所以ββBA B =，由β的任意性，故有BA B =。

作向量ββA -,则)(ββB B -=02
=-=-ββββB B B B ，
所以∈-ββB )0()0(11--=A B 。

又()0,,,.A B A AB A AB βββββ-===所以由的任意性故有即证必要性。

充分性，若由任取),0(.,1-∈==A a BA B AB A 0)0()()(====B A B BA B ααα，知从而),0(1-∈B α)0()0(11--⊂B A 。

同理可证)0()0(11--⊂A B ，即证)0()0(11--=B A 。